51. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기
은
와 에 대하여 대칭인 유리함수
을 축의 방향으로
, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 유리함수이다.
따라서 함수
는 두 직선 와 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 직선에 대하여 각각 대칭이다. 즉, 와 에 대하여 대칭이다.
∴
52. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 유리함수의 성질을 이용하여 최대, 최소 문제 해결하기
O
P
이므로 유리함수
의 그래프의 점근선은 ,
이다.
직선 은 두 점근선의 교점 를 지나므로 이 유리함수의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.
따라서 인 경우만 생각해도 된다.
유리함수 그래프 위를 움직이는 한 점을 P
라 하면점 P 와 직선 사이의 거리는
이다.
이므로
≥ 이다.
따라서 구하는 거리의 최솟값은 이다.
53. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기
축과 수직인 직선을
라 하면P
, Q
54. [정답]
[풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 점 P의 의 좌표를 라 하자.
ⅰ 일 때,
O
P
R Q
P
, Q , R
이므로PQ
, QR
∴ PQ× QR
≥
×
등호가 성립하는 경우는
, 즉 일 때이다.
그러므로 일 때, PQ× QR는 최솟값 을 갖는다.
ⅱ 일 때, P
, Q , R
이므로ⅰ에서와 같이
일 때, PQ× QR는 최솟값 을 갖는다.
따라서 ⅰ, ⅱ에 의하여 PQ× QR의 최솟값은
55. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기
에서 정의된 함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 함수
의 그래프는 그림과 같다.
O P
Q R
의 그래프 위의 점 P
(단, )에 대하여정답과 해설 교육청/평가원
56. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프 추론하기 삼각형 AFD와 삼각형 EFC 는 닮음이므로
AD EC DF CF
≤ ≤
따라서 함수 의 그래프의 모양은
O
57. [정답]
[풀이]
[출제의도] 분수함수의 그래프와 직선과의 관계를 이해하고 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
도형 와 직선 의 교점 P , Q 의 좌표를 각각 라 하자.
를 대입하여 정리하면
……㉠
이 방정식의 두 근이 이므로
∴
를 ㉠에 대입하여 풀면 ±
∴ P , Q
∴ OP × OQ OP
[다른풀이]
도형 와 직선 의 교점 P , Q 의 좌표를 각각 라 하자.
를 대입하여 정리하면
……㉠
이 방정식의 두 근이 이므로
여기서 P Q 의 좌표의 곱이 이므로
그런데 도형 는 직선 에 대하여 대칭이므로 선분 PQ 의 중점을 M 이라 하면 삼각형 OPQ 는 이등변삼각형이다.
∴ OP × OQ OP OM
PQ
이때 OM ,
PQ
∴ OP × OQ
이므로 함수
의 점근선의 방정식은
, (ⅰ) 일 때
따라서 두 함수 ,
의 그래프의 교점은 유한개이다.
(ⅱ) 일 때
그림과 같이 두 함수 ,
의 그래프의 교점의 개수 가 무수히 많게 되는 의 값의 범위는
≤ ≤
따라서 조건을 만족시키는 정수 의 값은
, , , , 으로 그 합은 이다.
59. [정답]
[풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 주어진 수열의 합을 구하 는 문제를 해결한다.
곡선
의 그래프는 그림과 같다.
곡선 의 그래프는 점
에 대해 대칭이므로 , ,
, ,
, ,
수학Ⅱ 정답과 해설
이므로
이다.
따라서 의 최댓값은 이다.
60. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 점의 대칭이동과 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 점의 좌표를 구한다.
점 B 가 곡선
위의 점이므로
, 즉 ⋯⋯ ㉠
이므로 , 즉
두 점 B C 가 직선 에 대하여 서로 대칭이므로 C
∴ BC
(∵ )직선 BC 와 직선 가 서로 수직이므로 직선 BC 의 기울기는
이다. 또한 이 직선이 점 B 를 지나므로 직선 BC 의 방정식은
, 즉 점 A와 직선 BC 사이의 거리를 라 하면
(∵ , ) 삼각형 ABC 의 넓이가 이므로
∆ABC
× BC ×
× ×
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서
×
이므로
2. 무리함수 61. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기 함수
≥ 의 역함수는
이고 두 함수 ,
의 그래프의 교점은 직선 위에 있다.
은 음이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로
≥ ,
≤
이므로 정수 의 개수는
62. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 유리함수와 무리함수의 그래프의 성질을 알고 문제해결하기
(가)에서 치역이 이고,
O
이므로
∴
따라서
63. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 평행이동한 무리함수의 역함수의 그래프를 추측하여 문제 를 해결한다.
그림과 같이 의 값이 증가하면 곡선 는 점 B 를 지난 이후에 삼각형과 만나지 않고 곡선 가 점 B 를 지날 때
이므로 는 이다.
즉, 이면 곡선 와 삼각형은 만나지 않는다.
또, 의 역함수를 구하면 ( ≥ )이다.
의 값이 증가하면 곡선 가 점 A 를 지난 이후 삼각형과 만나 지 않고 곡선 가 점 A 를 지날 때 이므로 는 이 다.
즉, 이면 곡선 와 삼각형은 만나지 않는다.
따라서 함수 의 그래프와 역함수의 그래프가 삼각형과 동시에 만나도록 하는 실수 의 최댓값은 이다.
64. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 무리함수와 수열 문제 해결하기 선분 AB의 길이가 이므로
은 보다 크지 않은 최대의 정수이다.
ⅰ) 인 경우
≤ 이므로 이다.
ⅱ) 인 경우
이므로 이다.
ⅲ) 인 경우
≤
정답과 해설 교육청/평가원
으로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.
무리함수 의 그래프는 점 에서 시작하여 오른쪽 위 로 증가하는 곡선이다. (그림참조)
곡선 가 반드시 반직선 와 만나기 위해서는 점
가 직선 의 왼쪽에 놓여야 한다.
∴ ≤ ⋯㉠
또한, 곡선 가 반직선 와 한 점에서 만나는 경우 중 가 장 아래쪽에 놓일 때는 곡선 가 점 을 지날 때이다.
점 을 지나는 경우는
에서
∴ ≥ ⋯㉡
㉠, ㉡에 의하여 구하는 영역을 좌표평면 위에 나타내면 ①과 같다.
66. [정답]
[풀이]
[출제의도] 무리함수의 그래프와 대칭이동, 평행이동의 성질을 이용하 여 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
의 그래프는 의 그래프를 축의 방향으로 만 큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
또, 의 그래프는 의 그래프를 축에 대하여 대 칭이동한 다음 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동 한 것이다.
그림에서 두 어두운 부분의 넓이가 같으므로 구하는 도형(빗금친 부분) 의 넓이는 굵은 선으로 표시된 직사각형의 넓이와 같다.
따라서 구하는 넓이는 ×
67. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열의 합 추론하기
함수
의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이고,
함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향 으로 만큼 평행이동한 것이므로
두 함수의 그래프와 축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계는 <그 림1>과 같다.
O
㉠ ㉡
㉢
<그림2>
이 때, 함수 의 그래프는
함수
의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 후 축의 방향 으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 <그림2>와 같이 함수
의 그래프와 축, 축으로 둘러싸인 영역 ㉠의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수는함수 의 그래프와 두 직선 , 으로 둘러싸인 영 역 ㉢의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.
그러므로 영역 ㉠과 영역 ㉡의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개 수는 영역 ㉡과 영역 ㉢의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.
축 위의 정수인 점은 , , ⋯, 이므로 개
축 위의 정수인 점은 , , ⋯, 이므로 개
∴ 따라서
×
× ×
×
[다른풀이]
<그림1>에서 의 값에 대한 점의 개수는 아래의 표와 같다.
합
68. [정답]
[풀이]
[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구할 수 있는가?
(은 자연수)라 하면
, 에서
이므로 ≥ 에서 곡선
은 그림과 같다.
(ⅰ) 일 때
주어진 조건을 만족시키는 정사각형은 존재하지 않는다.
(ⅱ) ( ≤ 인 자연수)일 때
수학Ⅱ 정답과 해설
따라서 정사각형의 개수는 ( ≤ 인 자연수)
③ 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형은 그 림과 같다.
따라서 정사각형의 개수는 ( ≤ 인 자연수)
①, ②, ③에 의하여
(ⅳ) ( ≤ 인 자연수)일 때
① 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형의 개 수는
② 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형의 개수는
( ≤ 인 자연수)
③ 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형의 개 수는
( ≤ 인 자연수)
④ 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형은 그림과 같다.
따라서 정사각형의 개수는
①, ②, ③, ④에 의하여
(ⅴ) ( ≤ 인 자연수)일 때
① 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형의 개수는
② 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형의 개수는
( ≤ 인 자연수)
③ 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형의 개수는
( ≤ 인 자연수)
④ 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 인 정사각형의 개수는
따라서
이므로 ≤ 을 만족시키는 자연수 의 최댓값은 이다.
Ⅲ
이므로
이다.
∴
수열
의 공차를 라 하면
이므로 공차는
이다.
70. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열의 일반항과 합을 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
개의 부채꼴의 넓이를 작은 것부터 차례로
( )라 하면
개의 부채꼴의 넓이의 합은 원의 넓이이므로
∴
또, 주어진 조건으로부터
에서
따라서 가장 큰 부채꼴의 넓이는
⋅
∴
71. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 직각삼각형의 세 변이 등차수열을 이룰 조건을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.
세 변을 , , 로 놓으면 피타고라스의 정리에서
,
∴ (∵ )
,
(삼각형의 넓이)
× ×
72. [정답] ③ [풀이]
수열
이 공차가 인 등차수열이므로 이다.따라서 주어진 부등식에서
≥
이므로
이다.
ㄱ.
(참)
ㄴ.
이므로 수열
은 공차가 인 등차수열이다. (거짓) ㄷ.
× × (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ
73. [정답]
[풀이]
첫째항이 이고 공차가 인 등차수열
의 첫째항부터 제정답과 해설 교육청/평가원
≥
×
(단, 등호는 일 때 성립)
따라서 모든 자연수 에 대하여 ㉠이 성립하려면 이어야 하므로 자연수 의 최댓값은 이다.
[다른풀이]
에서 모든 자연수 에 대하여 이므로
이라 하면
이때 는 자연수이므로 이 최소가 되게 하는 은
,
,
,
중의 하나이다. 따라서 모든 자연수 에 대하여
이 성립하려면 네 부등식
,
,
,
이 모두 성립해야 한다.
×
에서
⋯ ㉠
×
에서
⋯ ㉡
에서
⋯ ㉢
×
에서
⋯ ㉣
㉠, ㉡, ㉢, ㉣이 모두 성립하려면 이어야 한다.
∴
따라서 자연수 의 최댓값은 이다.
74. [정답]
[풀이]
[출제의도] 주어진 조건을 이용하여 수열의 합 구하는 문제를 해결한 다.
(가)에서 ≤
일 때 ≤ 그런데
≤
(나)에서
이므로
( … )
≥ 이므로 따라서
75. [정답]
[풀이]
76. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 등차수열의 합의 성질을 이용하여 수열의 항을 추론한다.
수열
은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열이므로 ( ≥ ) 이때
⋯
이므로
이를 만족하는 자연수 , 이 존재하기 위해서는 가 의 약수이어야 한다.
× × 이므로 의 개수는 × ×
[다른풀이]
등차수열의 연속된 개의 항의 합이 이기 위한 수열의 조건은 다음과 같다.
ⅰ) 이 홀수일 때
⋯ ⋯
이때 는 의 양의 약수가 되어야 하므로
ⅱ) 이 짝수일 때
⋯
⋯
이때
에서
은 자연수이므로
ⅰ), ⅱ)에서 구하는 의 개수는 이다.
77. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등차수열의 합과 이차함수의 성질을 이용하여 문제를 해 결한다.
수열
의 공차를 ( 는 정수)라 하자., 이 성립하므로
,
에서
에서
따라서
이므로
∴
이때
라 하면 함수 의 그래프는 다음과 같다.