이등변삼각형의 성질 01강

Ⅰ. 도형의 성질

1

내신 성적을 쑥쑥~ 올리는 내공의 힘

이등변삼각형의 성질 01

^강

p. 6

예제

1

⑴_∠x=80*, ∠y=50*

⑵_∠x=40*, ∠y=110*

⑴ ∠B=∠C^이므로 ∠y=50*

∠x=180*-(50*+50*)=80*

⑵ ∠B=∠C^이므로 ∠C=70*

∴ ∠x=180*-(70*+70*)=40*

이때 semoABC^에서 ∠y=180*-70*=110*

2

⑴_{6 cm} ⑵_90* ⑶_55*

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로

⑴ CD^_=BD^_=6 cm

⑵ AD^_jikgakBC^_ ^이므로 ∠ADC=90*

⑶ ∠BAD=∠CAD=35*^이고,

∠ADB=90*^이므로

△ABD^에서

∠B=180*-(35*+90*)=55*

3

⑴₃ ⑵₄

⑴ ∠A=∠C^이므로 △ABC^는 AB=BC^_인 이등변삼각형이다.

따라서 AB=BC^_=3 cm^이므로 x=3

⑵ ∠B=∠DCB=25*^이므로 △DBC^는 DB^_=DC^_^{인 이등변삼}

각형이다.

즉, DC^_=DB^_=4 cm △DBC^에서

∠ADC=25*+25*=50*

이때 ∠ADC=∠A^이므로 △ADC^는 AC^_=DC^_^{인 이등변삼}

각형이다.

따라서 AC=DC^_=4 cm^이므로 x=4

1

24*

△ABC^에서 AB^_=AC^_^이므로

∠ABC=∠ACB=68*

또 △DBC^에서 BC^_=BD^_^이므로 ∠BDC=∠BCD=68*

∴ ∠DBC=180*-(68*+68*)=44*

∴ ∠x =∠ABC-∠DBC

=68*-44*=24*

p. 7

2

₂₉

CD^_=BD^_=12BC^_=1/ 2\8=4(cm)/ ∴ x=4

∠ADB=90*^이므로 △ABD^에서 ∠BAD =180*-(90*+65*)=25*

∴ y=25

∴ x+y=4+25=29

3

120*

BD^_=DC^_^이므로 ∠DCB=∠DBC=40*

△DBC^에서

∠ADC =∠DBC+∠DCB

=40*+40*=80*

또 DC^_=CA^_^이므로 ∠DAC=∠ADC=80*

따라서 △ABC^에서 ∠x =∠ABC+∠BAC

=40*+80*=120*

4

5 cm

△ABC^에서 AB^_=AC^_^이므로 ∠B=∠C

=1/2\(180*-36*)=72*

이때 ∠ABD=∠CBD=1/2∠B =1/2\72*=36*

따라서 ∠A=∠ABD^이므로 △ABD^는 AD^_=BD^_^{인 이등변삼각}

형이다.

∴ BD^_=AD^_=5 cm

5

_{6 cm}

AC^_BD^_^이므로

∠ACB=∠CBD`<sup>(엇각),</sup> ∠ABC=∠CBD`^{(접은 각)} ∴ ∠ABC=∠ACB

따라서 △ABC^는 AB^_=AC^_^{인 이등} 변삼각형이므로

AB^_=AC^_=6 cm

1

△ABC≡△ONM`⁽ RHS ^합동),

△DEF≡△LKJ`⁽ RHA ^합동)

직각삼각형의 합동 조건 02

^강

예제

p. 8

1

ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ

ㄱ. 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이 가 각각 같으므로 RHS ^{합동이다.}

ㄴ. 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으므로 SAS ^합동 이다.

ㄷ. 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각 의 크기가 각각 같으므로 ASA ^합 동이다.

ㅁ. 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로 RHA ^{합동이다.}

따라서 서로 합동이 될 수 있는 조건을 모두 고르면 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.

2

_{7 cm}

△ADB^와 △BEC^에서 ∠ADB=∠BEC=90*^, AB^_=BC^_^,

∠ABD=90*-∠CBE=gakBCE 이므로

△ADB≡△BEC`⁽ RHA ^합동) 따라서 DB^_=EC^_=4 cm^,

p. 9 △ABC^와 △ONM^에서

∠C=∠M=90*^, AB^_=ON=5^, AC^_=OM^_=3^이므로

△ABC≡△ONM`( RHS ^합동) △DEF^와 △LKJ^에서

∠F=∠J=90*^, DE^_=LK=5^, ∠E=∠K=60*^이므로 △DEF≡△LKJ`( RHA ^합동)

2

3

semoPOA^와 semoPOB^에서 gakOAP=gakOBP=90*^, OP^_^{는 공통,} gakPOA=gakPOB 이므로

semoPOA≡semoPOB`⁽ RHA ^합동) 따라서 BP^_=AP^_=3 cm^이므로 x=3

3

18*

semoPOB^에서

gakPOB=180*-(72*+90*)=18*

semoPOA^와 semoPOB^에서 gakOAP=gakOBP=90*^, OP^_^{는 공통,} PA=PB^이므로 semoPOA≡semoPOB`⁽ RHS ^합동) gak x=gakPOB=18*

BE^_=AD^_=3 cm^이므로

DE^_=DB^_+BE^_=4+3=7(cm)

3

₄₆

△EBD^와 △EBC^에서 ∠BDE=∠BCE=90*^, BE^_^{는 공통,} BD^_=BC^_^이므로 △EBD≡△EBC`⁽ RHS ^합동) 즉, DE^_=CE^_=6 cm^이므로 x=6 또 ∠EBD=∠EBC=25*^이므로 ∠ABC=25*+25*=50*

△ABC^에서

∠A=180*-(90*+50*⁾=40*

∴ y=40

∴ x+y=6+40=46

4

^{ㄱ, ㄷ, ㄹ}

△POA^와 △POB^에서 ∠OAP=∠OBP=90*^,

OP^_^{는 공통,} ∠POA=∠POB`^(ㄱ) 이므로

△POA≡△POB`<sup>(</sup> RHA <sup>합동)</sup>`^(ㄹ) ∴ PA=PB^_`^(ㄷ), OA^_=OB^_

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

5

_{15 cm^2}

△ABD^와 △AHD^에서 ∠ABD=∠AHD=90*^, AD^_^{는 공통,} ∠BAD=∠HAD 이므로

△ABD≡△AHD`⁽ RHA ^합동) 따라서 DH^_=DB^_=3 cm^이므로 △ADC=1/2\AC^_\DH^_

=1/2\10\3=15(cm^2)

1

_△ABC^에서 ∠B=∠C

=1/2\(180*-50*)=65*

이때 AD^_BC^_^이므로 ∠EAD=∠B=65*`^(동위각)

2

_△ABC^에서 _{AB^_=AC^_}^이므로

∠ACB=∠B=64*

△ACD^에서

∠x+25*=64* ^∴ ∠x=39*

돌다리 두드리기 |삼각형의 한 외각의 크기 는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.

3

_△ABC^에서 _{AB^_=AC^_}^이므로

∠B=∠C=1/2\(180*-72*)=54*

△DBC^에서

∠DBC=∠DCB=1/2\54*=27*

∴ ∠x=180*-(27*+27*)=126*

4

_△ADC^에서 _{AD^_=CD^_}^이므로

∠DAC=∠C=55*

∴ ∠ADB =∠DAC+∠C

=55*+55*=110*

따라서 △ABD^에서 AD^_=BD^_^이므로 ∠DAB=1/2\(180*-110*)=35*

5

_∠B=∠x^{라 하면}

semoABC^에서 AB^_=AC^_^이므로 ∠ACB=gakB=∠x

∴ ∠DAC =∠ABC+∠ACB

=∠x+∠x=2∠x semoACD^에서 AC^_=CD^_^이므로 ∠ADC=∠DAC=2∠x △BCD^에서

∠DCE =∠DBC+∠BDC

=∠x+2∠x=3∠x 따라서 3∠x=105*^이므로 ∠x=35*

6

_△ABC^에서 _{AB^_=AC^_}^이므로

∠B=∠C=1/2\(180*-44*)=68*

∴ ∠DBC=1/2\68*=34*

따라서 △BCD^에서 ∠ADB =∠DBC+∠C

=34*+68*=102*

7

②, ④ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등 분선은 밑변을 수직이등분하므로

BD^_=CD^_=1/2BC^_

=1/2\8=4(cm)^, ∠ADB=∠ADC=90*

③ 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같으므로 ∠B=∠C

⑤ semoABD^와 semoACD^에서 AB^_=AC^_^, AD^_^{는 공통,} gakBAD=gakCAD^이므로 △ABD/=_△ACD`⁽ SAS ^합동) 따라서 옳지 않은 것은 ①이다.

8

_△ABC^에서 _{BA^_=BC^_}^,

gakABD=gakCBD^이므로 AD^_=CD^_^, BD^_jikgak AC^_

∴ AD^_=1/2AC^_=1/2\10=5(cm) semoABD=35 cm^2^이므로

1/2\BD^_\AD^_=35^에서 1/2\BD^_\5=35 ∴ BD^_=14(cm)

9

△ADC^에서

∠A=∠ACD=45*^이므로 AD=CD^_=6 cm

△DBC^에서 ∠B=∠BCD=45*^이 므로 BD^_=CD^_=6 cm

∴ AB^_ =AD^_+BD^_

=6+6=12(cm)

10

_{AD^_CB^_}^이므로

∠CBA=∠DAB=70*`<sup>(엇각),</sup> ∠CAB=∠DAB=70*`^{(접은 각)} ∴ gakCBA=gakCAB

따라서 △ACB^에서

∠ACB =180*-(70*+70*)=40*

돌다리 두드리기 |서로 다른 두 직선이 한 직 선과 만날 때

① 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서 로 같다.

② 두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다.

11

보기의 직각삼각형은 빗변의 길이가 10이고, 다른 한 변의 길이가 6^이므로

④의 삼각형과 RHS ^{합동이다.}

12

^① AB^_=DE^_=8 cm^, BC^_=EF^_=4 cm^, gakC=gakF=90*^이므로 semoABC/=_semoDEF`⁽ RHS ^합동) 1_65* 2 ⑤ 3_126* 4 ②

5_35* 6_102* 7 ①

8_{14 cm} 9_{12 cm} 10_40*

11 ④ 12 ④, ⑤ 13 ③ 14_22.5*

15 ④ 16_30* 17_60* 18_28*

19 ③ 20_46* 21 ② 22_{13 cm} 23_{7 cm} 24_{6 cm^2} 25_70* 26_72*

27_{30 cm} 28_{12 cm} 29_{8 cm}, 과정은 풀이 참조

30_{162 cm^2}, 과정은 풀이 참조

p. 10~13

Ⅰ. 도형의 성질

3

②, ③ AB^_=DE^_=8 cm^, gakA=gakD=30*^,

gakC=gakF=90*^이므로 semoABC≡semoDEF`⁽ RHA ^합동) 따라서 두 직각삼각형이 합동이 되기

위한 조건이 아닌 것은 ④, ⑤이다.

13

_semoBDM^과 _semoCEM^에서

gakD=gakCEM=90*^, BM^_=CM^_^, gakBMD=gakCME`<sup>(맞꼭지각)이므로</sup> △BDM/=_△CEM`⁽ RHA ^합동) 따라서 MD^_=ME^_=1 cm^, BD^_=CE^_=3 cm^이므로 △ABD=1/2\BD^_\AD^_

=1/2\3\(7+1)

=12(cm^2)

14

_△ABC^에서

∠B=∠A=45*

△BDE^와 △BCE^에서 ∠BDE=∠BCE=90*, BE^_^{는 공통,} BD^_=BC^_^이므로 △BDE/=_△BCE`⁽ RHS ^합동) ∴ ∠CBE=∠DBE=1/2∠ABC =1/2\45*=22.5*

15

_△POQ^와 _△POR^에서

∠OQP=∠ORP=90*^, OP^_^{는 공통,} PQ^_=PR^_^이므로 △POQ≡△POR`<sup>(</sup> RHS <sup>합동)</sup>`⁽⑤) ∴ OQ^_=OR^_`⁽①),

∠POQ=∠POR`<sup>(</sup>②), ∠OPQ=∠OPR`⁽③) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

16

_△DAM^과 _△DAC^에서

∠AMD=∠ACD=90*, MD^_=CD^_,

AD^{는 공통이므로}

△DAM/=_△DAC`⁽ RHS ^합동)

…^㉠

또 △DAM^과 △DBM^에서 ∠AMD=∠BMD=90*^, AM^_=BM^_^, DM^_^{은 공통이므로} △DAM≡△DBM`⁽ SAS ^합동)

…^㉡

㉠, ㉡에서

△DAM/=_△DAC/=_△DBM^이므로 ∠B=∠DAM=∠DAC=∠x

△ABC^에서

∠B+∠DAM+∠DAC=90*

이므로

3∠x=90* ^∴ ∠x=30*

17

gakBDE=gakCDE=gak a^{라 하면} semoDBE^에서 BE^_=DE^_^이므로 gakDBE=gakBDE=gak a semoDBC^에서 gakC=90*^이므로 3gak a=90* ^∴ gak a=30*

따라서 semoDBE^에서 gakDEC =gak a+gak a

=30*+30*=60*

18

_△ABD는 이등변삼각형이고, 이등변 삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ∠BED=90*

따라서 △BCE^에서

∠C=180*-(90*+62*)=28*

19

_△ABD^와 _△ACE^에서

AB^_=AC^_^, ∠B=∠C^, BD^_=CE^_

이므로

△ABD/=_△ACE`⁽ SAS ^합동) 따라서 AD^_=AE^_^이므로 △ADE^는

이등변삼각형이다.

∠AED=∠ADE=70*^이므로 ∠DAE =180*-(70*+70*)=40*

20

_{∠DBE=∠A=∠x}^이므로

∠ABC=∠x+21*

△ABC^에서 AB^_=AC^_^이므로 ∠C=∠ABC=∠x+21*

따라서 △ABC^에서

∠x+(∠x+21*)+(∠x+21*) =180*

3∠x=138* ^∴ ∠x=46*

21

_△ABC^에서 _{AB^_=AC^_}^이므로

∠ABC=∠ACB

=1/2\(180*-52*)=64*

∴ ∠DBC=1/2∠ABC =1/2\64*=32*

∠ACE =180*-∠ACB

=180*-64*=116*

∴ ∠DCE=1/2∠ACE =1/2\116*=58*

따라서 △DBC^에서

∠BDC =∠DCE-∠DBC

=58*-32*=26*

22

_∠B=∠C^이므로 _△ABC^는

AB^_=AC^_인 이등변삼각형이다.

∴ AB^_=AC^_=8 cm 다음과 같이 AP^_^{를 그으면}

# $

% 1

&

"

DN

△ABC=△ABP+△ACP^이므로 52=1/2\8\PD^_+1/2\8\PE^_

52=4(PD^_+PE^_) ∴ PD^_+PE^_=13(cm)

23

△ABD^와 △CAE^에서 ∠ADB=∠CEA=90*^, AB^_=CA^_^,

∠ABD=90*-∠BAD=∠CAE 이므로

△ABD/=_△CAE`⁽ RHA ^합동) 따라서 AD^_=CE^_=5 cm^, AE^_=BD^_=12 cm^이므로 DE^_=AE^_-AD^_

=12-5=7(cm)

24

다음과 같이 점 D^에서 AB^_^{에 내린 수} 선의 발을 E^{라 하면}

DN

DN

"

% $

&

#

△AED^와 △ACD^에서 ∠AED=∠ACD=90*,

AD^_^{는 공통,} ∠EAD=∠CAD^이므로 △AED/=_△ACD`⁽ RHA ^합동) 따라서 ED^_=CD^_=2 cm^이므로 △ABD=1/2\6\2=6(cm^2)

25

_△ABC^에서 _{AB^_=AC^_}^이므로

∠B=∠C

=1/2\(180*-40*)=70*

△FBD^와 △DCE^에서

FB=DC^_^, ∠B=∠C^, BD^_=CE^_

이므로

△FBD/=_△DCE`⁽ SAS ^합동) 따라서 ∠BFD=∠CDE^, ∠FDB=∠DEC^이므로 ∠FDE

=180*-(∠FDB+∠CDE)

=180*-(∠FDB+∠BFD)

=∠B=70*

26

_∠EBD=∠a^{라 하면}

△EBD^에서 EB^_=ED^_^이므로 ∠EDB=gakEBD=∠a

∴ ∠AED =∠EBD+∠EDB

=∠a+∠a=2∠a semoEDA^에서 ED^_=AD^_^이므로 ∠EAD=gakAED=2∠a △ABD^에서

∠ADC =∠ABD+∠BAD

=∠a+2∠a=3∠a △ADC^에서 AD^_=AC^_^이므로 ∠ACD=gakADC=3∠a △ABC^에서

84*+∠a+3∠a=180*

4gak a=96* ^∴ ∠a=24*

∴ ∠ACB=3∠a=3\24*=72*

27

_∠ADC=90*^이므로

△ADC^{의 넓이에서}

1/2\AC^_\DE^_=1/2\AD^_\DC^_

이때 AC^_=AB^_=25 cm^이므로 1/2\25\12=1/2\20\DC^_

10DC^_=150 ^∴ DC^_=15(cm) ∴ BC^_=2DC^_=2\15=30(cm)

28

△BDE^와 △BCE^에서

∠BDE=∠BCE=90*,

∠EBD=∠EBC^, BE^_^{는 공통이므로} △BDE≡△BCE`⁽ RHA ^합동) ∴ DE^_=CE^_^, BD^_=BC^_=12 cm AD^_=AB^_-BD^_=15-12=3(cm) ∴ (△ADE^{의 둘레의 길이)}

=AD^_+DE^_+AE^_

=AD^_+CE^_+AE^_

=AD^_+AC^_

=3+9=12(cm)

29

_△ABC^에서 _{AB^_=BC^_}^이므로

∠A=∠C=72*

∴ ∠B=180*-(72*+72*)=36*

…^

∠BAD=∠CAD=1/2\72*=36*

즉, ∠B=∠BAD^이므로 △ABD^는 BD^_=AD^_인 이등변삼각형이다.

∴ AD=BD^_=8 cm …^ 또 △ADC^에서

∠ADC=180*-(36*+72*)=72*

즉, ∠ADC=∠C^이므로

△ADC^는 AD^_=AC^_^{인 이등변삼각형} 이다.

∴ AC^_=AD^_=8 cm … 

30

_△ADB^와 _△CEA^에서

∠ADB=∠CEA=90*^, AB^_=CA^_^, ∠DBA=90*-gakDAB=gakEAC 이므로

△ADB≡△CEA`⁽ RHA ^합동)

…^

이때 DA^_=EC^_=8 cm^, AE^_=BD^_=10 cm^이므로 DE^_=DA^_+AE

=8+10=18(cm) …^ 따라서 사각형 DBCE^{의 넓이는} 1/2\(DB^_+EC^_⁾\DE^_

=1/2\(10+8)\18

=162(cm^2) … 

채점 기준 비율

 gakB^{의 크기 구하기} 20 %

 AD^_^{의 길이 구하기} 40 %

 AC^_^{의 길이 구하기} 40 %

채점 기준 비율

 △ADB≡△CEA^{임을 보이기} 40 %

 DE^{의 길이 구하기} 40 %

 사각형 DBCE^{의 넓이 구하기} 20 %

2

⑴_{16 cm} ⑵_80*

⑴ 점 O^가 △ABC^{의 외심이므로} OA^_=OB^_=OC^_=8 cm

∴ AB^_=2OA^_=2\8=16(cm) ⑵ semoOBC^에서 OB^_=OC^_^이므로 gakOCB=gakB=40*

∴ gakAOC =gakB+gakOCB

=40*+40*=80*

3

⑴_15* ⑵_140*

점 O^가 △ABC^{의 외심이므로} ⑴ ∠x+30*+45*=90*

∴ ∠x=15*

⑵ ∠x=2gakA=2\70*=140*

1

⑴₇ ⑵₃₅

⑴ CD^_=BD^_=7 cm ^∴ x=7 ⑵ OA^_=OC^_^이므로 semoOAC^에서 gakOCA=1/2\(180*-110*)=35*

∴ x=35

삼각형의 외심 03

^강

p. 14

예제

1

ㄱ, ㄷ, ㄹ

ㄱ. 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이 르는 거리는 같으므로 OA^_=OB^_=OC^_

ㄷ. 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등 분선의 교점이므로 AD^_=BD^_

ㄹ. △OBE^와 △OCE^에서

∠OEB=∠OEC=90*^, OB^_=OC^_^, OE^_^{는 공통이므로}

△OBE≡△OCE`⁽ RHS ^합동) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

2

_{42 cm}

점 O^가 △ABC^{의 외심이므로} BD^_=AD^_=6 cm^,

BE^_=CE^_=8 cm^, AF^_=CF^_=7 cm

∴ (△ABC의 둘레의 길이)

=AB^_+BC^_+CA^_

=2(AD^_+EC^_+CF^_)

=2\(6+8+7)

=42(cm)

3

8 cm

△OAB^{의 둘레의 길이가} 28 cm^이므로 12+OA^_+OB^_=28

이때 OA^_=OB^_^이므로 12+2OA^_=28^, 2OA^_=16 ∴ OA^_=8(cm)

p. 15

Ⅰ. 도형의 성질

5 4

25pai cm^2

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 (외접원의 반지름의 길이)

=1/2\^{(빗변의 길이)} =1/2\10=5(cm) ∴ (외접원의 넓이)

=pai\5^2=25pai(cm^2)

5

⑴_15* ⑵_60*

⑴ gakOAC=gakOCA=35*^이므로 40*+∠x+35*=90*

∴ ∠x=15*

⑵ ∠BOC=2∠A^이므로 ∠A=1/2∠BOC =1/2\120*=60*

∴ ∠x=60*

6

112*

점 O^가 △ABC^{의 외심이므로} ∠OAB=∠OBA=20*

∴ ∠BAC =∠OAB+∠OAC

=20*+36*=56*

∠BOC=2∠BAC^이므로 ∠x=2\56*=112*

| 다른 풀이 |

점 O^가 △ABC^{의 외심이므로} 20*+∠OCB+36*=90*

∴ ∠OCB=34*

이때 ∠OBC=∠OCB=34*^이므로 △OBC^에서

∠x =180*-(34*+34*)

=112*

2

⑴₁₂₅ ⑵₁ 점 I^가 △ABC^{의 내심이므로} ⑴ ∠BIC=90*+1/2\70*=125*

∴ x=125

⑵ △ABC=1/2\4\3

=6(cm^2)

이때 △ABC의 내접원의 반지름의 길이는 x cm^이므로

6=1/2\x\(4+3+5) 6=6x ^∴ x=1

4

22*

∠AIB=90*+1/2∠ACB^이므로 112*=90*+1/2∠ACB

1/2gakACB=22* ^∴ ∠ACB=44*

이때 ∠ICA=∠ICB^이므로 ∠x=1/2∠ACB=1/2\44*=22*

5

_{16 cm^2}

△ABC

=1/2\2\(AB^_+BC^_+CA^_) =1/2\2\16=16(cm^2)

6

13 cm

AF^_=AD^_=3 cm^이므로 CE^_=CF^_=7-3=4(cm)^, BE^_=BD^_=12-3=9(cm) ∴ BC^_=BE^_+CE^_

=9+4=13(cm)

1

^점 _O^{가 직각삼각형} _ABC^{의 외심이므로}

⑴ OC^_=OA^_=5 cm ∴ x=5

⑵ AC^_=2AF^_=2\3=6(cm) ∴ x=6

⑶ OC^_=OA^_=OB^_

=1/2AB^_=1/2\14=7(cm) ∴ x=7

2

^점 _O^가 _semoABC^{의 외심이므로}

⑴ gak x+43*+25*=90*

∴ gak x=22*

⑵ gakBOC=2gakA=2\50*=100*

이때 OB^_=OC^_^이므로

gak x=1/2\(180*-100*)=40*

⑶ gakBOC=2gak x^이므로 2gak x=130*

∴ gak x=65*

1

^⑴ 5 ^⑵ 6 ^⑶ 7

2

^⑴ 22* ^⑵ 40* ^⑶ 65*

3

^⑴ 28* ^⑵ 29* ^⑶ 15* ^⑷ 30*

⑸ 120* ^⑹ 100*

p. 18

1

⑴₃₀ ⑵₄

⑴ gakIAC=gakIAB=30*

∴ x=30

⑵ IF=ID=IE=4 cm ∴ x=4

삼각형의 내심 04

^강

p. 16

예제

1

①^, ②

①, ② 점 I^가 semoABC^{의 외심일 때 성} 립한다.

③ 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 ID=IE=IF

④ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분 선의 교점이므로 gakICE=gakICF ⑤ semoIBD^와 semoIBE^에서

gakIDB=gakIEB=90*^, gakIBD=gakIBE^, IB^{는 공통이므로}

semoIBD≡semoIBE`⁽ RHA ^합동) 따라서 옳지 않은 것은 ①, ②이다.

2

_36*

점 I^가 △ABC^{의 내심이므로} ∠IBC=∠IBA=24*^, ∠ICB=∠ICA=∠x 따라서 △IBC^에서

∠x =180*-(120*+24*)=36*

3

25*

다음 그림과 같이 IC^{를 그으면}

"

*

# Y $





점 I^가 △ABC^{의 내심이므로} ∠ICA=∠ICB=1/2\60*=30*

이때 35*+∠x+30*=90*^이므로 ∠x=25*

p. 17

3

^점 _I^가 _semoABC^{의 내심이므로}

⑴ gak x=gakICA=28*

⑵ gakICB=gakICA=25*^이므로 semoIBC^에서

gak x=180*-(126*+25*)=29*

⑶ gak x+60*+15*=90*

∴ gak x=15*

⑷ gakICA=gakICB =1/2gakACB =1/2\80*=40*

따라서 20*+gak x+40*=90*^이므로 gak x=30*

⑸ gak x=90*+1/2gakBAC =90*+30*=120*

⑹ 140*=90*+1/2gak x^이므로 1/2gak x=50* ^∴ gak x=100*

1

ㄴ, ㄹ. 삼각형의 내심에 대한 설명이다.

2

^{①, ② 점} _O^가 _semoABC^{의 내심일 때 성}

립한다.

⑤ semoOAF/=_semoOCF`⁽ RHS ^합동)

3

다음 그림과 같이 OB^_^{를 그으면}

25*

50*

A

B O C

y x

1 ㄴ, ㄹ 2 ①, ② 3_25* 4 ② 5_{5p cm} 6 ⑤ 7_58*

8 ④ 9_90* 10 ③, ⑤ 11 ④ 12_115* 13① 14_51* 15_75*

16_121* 17_{44 cm} 18_{9 cm} 19② 20_{15 cm^2} 21_14*

22_38* 23⑤ 24_45* 25_110*

26_147* 27_{84 cm^2}

28_{30 cm} 29⑤ 30_40*

31_115* 32_159* 33_70*

34_{189/4p cm^2} 35_9*, 과정은 풀이 참조

36(24-4p) cm^2 , 과정은 풀이 참조 p. 19~23

gakOBC=gakOCB=25*^이므로 gakOBA=gak x-25*

이때 gakOAB=gakOBA^이므로 gak y=gak x-25*

∴ gak x-gak y=25*

| 다른 풀이 |

semoAOC^에서 OA^_=OC^_^이므로 gakOCA=gakOAC=50*

gakAOC=180*-(50*+50*⁾=80*

∴ gak x=1/2gakAOC=1/2\180*

=40*

또 semoOBC^에서

gakOBC=gakOCB=25*^이므로 semoOAB^에서

gak y =gakABO=gakABC-gakOBC

=40*-25*=15*

돌다리 두드리기 |점 O^가 semoABC^{의 외심} 이면 semoOAB^, semoOBC^, semoOCA^{는 모} 두 이등변삼각형이다.

4

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선 의 교점이므로 AD^_=CD^_=5 cm ∴ AC^_=5+5=10(cm)

이때 OA^_=OC^_^이고, △AOC^{의 둘레} 의 길이가 22 cm^이므로

OA^_+OC^_+AC=22 2OA^_+10=22

2OA^_=12 ^∴ OA^_=6(cm) 따라서 △ABC의 외접원의 반지름의

길이는 6 cm^이다.

5

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로

△ABC의 외접원의 반지름의 길이는 1/2AC^_=1/2\5=5/2(cm)

따라서 △ABC의 외접원의 둘레의 길 이는 2p\5/2=5p(cm)

6

^점 _M^{은 직각삼각형} _ABC^{의 외심이므로}

MA^_=MB^_=MC^_

△BCM^에서

∠MBC=∠MCB=35*

따라서 △ABC^에서

∠A=180*-(35*+90*⁾=55*

7

다음 그림과 같이 OC^_^{를 그으면}

O A

B C 32*

28*

32*+28*+∠OCA=90*^이므로 ∠OCA=30*

△OBC^에서 OB^_=OC^_^이므로 ∠OCB=∠OBC=28*

∴ ∠C =∠OCA+∠OCB

=30*+28*=58*

돌다리 두드리기 |OA^_=OB^_=OC^_^이므로 gakOCB=gakOBC^이다.

gakOCB=gakOCA^{는 점} O^{가 삼각형의} 내심일 때의 성질이므로 착각하지 않도록 한다.

8

_△OAB^에서 _{OA^_=OB^_}^이므로

∠OAB=1/2\(180*-130*)=25*

이때 OC^_=OA^_^이므로 ∠OCA=∠OAC=35*

따라서 25*+∠OBC+35*=90*^이므로 ∠OBC=30*

| 다른 풀이 |

△OCA^에서 OC^_=OA^_^이므로 ∠OCA=∠OAC=35*

∠ACB=1/2∠AOB

=12\130*=65*/ ∴ ∠OBC =∠OCB

=∠ACB-∠OCA

=65*-35*=30*

9

_{∠x=1/2∠BOC=1/2\124*=62*}

또 △OBC^에서 OB^_=OC^_^이므로 ∠y=1/2\(180*-124*)=28*

∴ ∠x+∠y =62*+28*=90*

10

③ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분 선의 교점이다.

⑤ 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.

11

①, ③ 점 I는 삼각형의 세 내각의 이등 분선의 교점이므로 내심이다.

∴ ID=IE=IF

② △IDB≡△IEB`⁽ RHA ^합동)

∴ BD^_=BE^_

⑤ △IEC≡△IFC`⁽ RHA ^합동) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

12

^점 _I^가 _△ABC^{의 내심이므로}

∠IBC=∠IBA=40*^,

Ⅰ. 도형의 성질

7

∠ICB=∠ICA=25*

따라서 △IBC^에서

∠BIC=180*-(40*+25*)=115*

13

_gak x+25*+38*=90*^이므로 gak x=27*

또 gakIAB=gakIAC=38*^이므로 gak y=38*

∴ gak y-gak x=38*-27*=11*

14

gakBIA=90*+1/2gakC =90*+1/2\78*=129*

따라서 semoABI^에서

gakIAB+gakIBA+129*=180*

∴ gakIAB+gakIBA =180*-129*

=51*

15

35*+20*+gak x=90*^이므로 gak x=35*

gak y=90*+1/2gakABC =90*+20*=110*

∴ gak y-gak x=110*-35*=75*

16

_△ABC^에서 _{AB^_=AC^_}^이므로

∠B=1/2\(180*-56*)=62*

∴ ∠AIC=90*+1/2gakB =90*+1/2\62*=121*

17

_△ABC의 내접원의 반지름의 길이가 4 cm^이므로

88=1/2\4\(AB^_+BC^_+CA^_) ∴ AB^_+BC^_+CA^_=44(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는

44 cm^이다.

18

BD^_=BE^_=x cm라 하면 AF^_=AD^_=(14-x) cm^, CF^_=CE^_=(16-x) cm 이때 AC^_=AF^_+CF^_^이므로 12=(14-x)+(16-x) 2x=18 ^∴ x=9

∴ BD^_=9 cm

19

^② 둔각삼각형의 외심은 삼각형의 외 부에 있다.

20

^점 _O^{는 직각삼각형} _ABC^{의 외심이므}

로 OB^_=OC^_

이때 semoABO=semoAOC^이므로 semoAOC=1/2semoABC =1/2\Ñ1/2\5\12Ò =15(cm^2)

21

^점 M^{은 직각삼각형} ABC^{의 외심이므로} MA^_=MB^_=MC^_

△AMC^에서 MA^_=MC^_^이므로 ∠MCA=∠MAC=52*

semoADC^에서

∠DCA=180*-(90*+52*)=38*

∴ ∠MCD =∠MCA-∠DCA

=52*-38*=14*

돌다리 두드리기 |이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.

즉, semoABC^에서 AB^_=AC^_^이면 gakB=gakC^이다.

22

△OAB^에서 OA^_=OB^_^이므로 ∠OBA=∠OAB=20*+∠x △OAC^에서 OA^_=OC^_^이므로 ∠OCA=∠OAC=20*

△OBC^에서 OB^_=OC^_^이므로 ∠OBC=∠OCB=20*+32*=52*

△ABC^에서

∠x+(20*+∠x+52*)+32*=180*

2∠x=76* ^∴ ∠x=38*

23

^점 _O^는 _△ABC의 외심이므로 다음 그림과 같이 OA^_^, OB^_^{를 그으면}

0

"

$

&

#



%

∠OAB+∠OBC+∠OCA=90*

즉, ∠OBA+∠OBC+∠OCA=90*

이므로

40*+∠OCA=90*

∴ ∠OCA=50*

24

∠AOB : ∠BOC : ∠COA =3 : 4 : 5^이므로

∠AOB=3/12\360*=90*

∴ gakACB=1/2gakAOB

=1/2\90*=45*

25

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180*

이므로 ∠ACB=2/9\180*=40*

∴ ∠x=90*+1/2^gakACB =90*+1/2\40*=110*

26

^점 _I^가 _△ABC^{의 내심이므로}

∠IBC=∠IBA=40*^, ∠ICB=∠ICA=26*

△IBC^에서

∠BIC=180*-(40*+26*⁾=114*

따라서 점 I^'이 △IBC^{의 내심이므로} ∠BI^'C=90*+1/2∠BIC =90*+1/2\114*=147*

27

_△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm^{라 하면}

△ICA=1/2\14\r=28 ∴ r=4

∴ △ABC

=1/2\4\(AB^_+BC^_+CA^_) =1/2\4\(13+15+14) =84(cm^2)

28

AF^_=AD^_=3 cm^이고, BD^_=BE^_=x cm^{라 하면} CF^_=CE^_=(12-x) cm ∴ (△ABC의 둘레의 길이)

=AB^_+BC^_+CA^_

=(3+x)+12+(3+12-x)

=30(cm)

29

^점 _I^가 _△ABC^{의 내심이므로}

∠DBI=∠IBC^, ∠ECI=∠ICB 이때 DE^_BC^_^이므로

∠DIB=∠IBC`<sup>(엇각),</sup> ∠EIC=∠ICB`^(엇각) ∴ ∠DBI=∠DIB^,

∠EIC=∠ECI

즉, semoDBI^, semoEIC^{는 이등변삼각형} 이므로 DB^_=DI^_^, EI^_=EC^_

∴ (△ADE의 둘레의 길이)

=AD^_+DE^_+AE^_

=AD^_+(DI^_+EI^_)+AE^_

=(AD^_+DB^_⁾+(EC^_+AE^_)

=AB^_+AC^_

=8+13=21(cm)

30

^점 _O'^이 _△ABO^{의 외심이므로}

∠O'OB=∠O'BO=40*

△O'BO^에서

∠BO'O=180*-(40*+40*)=100*

∠BAO=1/2∠BO'O =1/2\100*=50*

이때 △ABC^{의 외심} O^가 BC^_ ^위에 있으므로 ∠BAC=90*

∴ ∠OAC =∠BAC-∠BAO

=90*-50*=40*

31

다음 그림과 같이 OB^_^, OC^_^, OD^_^{를 그} 으면

_"

0

$

% B B C

C

#





점 O^가 △ABD^{의 외심이므로} ∠BOD =2∠A

=2\65*=130*

또 점 O^가 △BCD^{의 외심이므로} ∠OBC=∠OCB=∠a^, ∠OCD=∠ODC=∠b^{라 하면} 사각형 OBCD^에서

130*+∠a+(∠a+∠b)+∠b

=360*

2⁽∠a+∠b)=230*

∴ ∠a+∠b=115*

∴ ∠C=∠a+∠b=115*

32

다음 그림과 같이 IC^_^{를 그으면}

_"

$

* B B CC

# %

&



점 I^가 △ABC^{의 내심이므로} gakICD=1/2\46*=23*

∠IAB=∠IAE=∠a^, ∠IBA=∠IBD=∠b^{라 하면} ∠a+∠b+23*=90*

∴ ∠a+∠b=67*

△ADC^에서 ∠ADB=∠a+46*

△EBC^에서 ∠AEB=∠b+46*

∴ ∠ADB+∠AEB

=⁽∠a+46*)+⁽∠b+46*)

=∠a+∠b+92*

=67*+92*=159*

33

^점 _I^가 _△ABC^{의 내심이므로}

gakBAC=2gakCAE=2\40*=80*

다음 그림과 같이 OB^_^, OC^_^{를 그으면}

# $

0 *

&

%

"

 

점 O^가 △ABC^{의 외심이므로} gakABO=gakBAO=30*^,

∠BOC=2∠BAC=2\80*=160*

△OBC^에서 OB^_=OC^_^이므로 ∠OBD=1/2\(180*-160*)=10*

따라서 △ABD^에서

∠ADE =gakBAD+gakABD

=30*+(30*+10*)=70*

34

(외접원의 반지름의 길이) =1/2\^{(빗변의 길이)} =1/2\15=15/2(cm)

△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm^{라 하면}

△ABC

=1/2\r\(15+9+12) =18r(cm^2)

이때

semoABC=1/2\9\12=54(cm^2) 이므로

18r=54 ^∴ r=3

따라서 semoABC의 외접원과 내접원의 넓이의 차는

p\15/2^2-p\3^2

=225/4p-9p=189/4p(cm^2)

35

^점 O^가 △ABC^{의 외심이므로} ∠BOC=2∠A=2\48*=96*

△OBC^에서 OB^_=OC^_^이므로 ∠OBC=1/2\(180*-96*)

=42* …^

한편, △ABC^에서 AB^_=AC^_^이므로 ∠ABC=1/2\(180*-48*)=66*

점 I^가 △ABC^{의 내심이므로} ∠IBC=1/2∠ABC

=1/2\66*=33* …^ ∴ ∠OBI =∠OBC-∠IBC

=42*-33*=9* …^

36

_△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면

△ABC=1/2\r\(6+10+8) =12r(cm^2)

이때

△ABC=1/2\6\8=24(cm^2) 이므로

12r=24 ^∴ r=2 …^ 따라서 내접원 I^{의 넓이는}

p\2^2=4p(cm^2) …^ ∴ (색칠한 부분의 넓이)

=△ABC-^(내접원 I^{의 넓이)} =24-4p(cm^2) …^

채점 기준 비율

 ∠OBC^{의 크기 구하기} 40 %

 ∠IBC^{의 크기 구하기} 40 %

 ∠OBI^{의 크기 구하기} 20 %

채점 기준 비율

 내접원 I의 반지름의 길이 구하기 40 %

 내접원 I^{의 넓이 구하기} 30 %

 색칠한 부분의 넓이 구하기 30 %

1

⑴_x=8, y=65 ⑵_x=6, y=5 ⑴ 평행사변형에서 두 쌍의 대변의 길

이는 각각 같으므로 x=BC^_=8

두 쌍의 대각의 크기는 각각 같으므로

∠D=∠B=65* ^∴ y=65 ⑵ 평행사변형에서 두 대각선은 서로

다른 것을 이등분하므로 x=1/2AC^_=1/2\12=6^, y=BO^_=5

2

ㄴ, ㄹ

ㄱ. 오른쪽 그림에서 _"

%

# $



 



□ABCD^는 AB^_=BC^_^, AD^_=CD^_^이지만 평행사변형이 아니다.

평행사변형 05

^강

p. 24

예제

Ⅰ. 도형의 성질

9

ㄴ. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므 로 □ABCD^{는 평행사변형이다.}

ㄷ. 오른쪽 그림에서 _{" %}

# $

□ABCD^는 AD^_BC^_^,

AB^_=CD^_이지만 평행사변형이 아 니다.

ㄹ. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등 분하므로 □ABCD^{는 평행사변형} 이다.

따라서 평행사변형이 되는 것은 ㄴ, ㄹ 이다.

3

_{18 cm^2}

△PAD+△PBC =1/2□ABCD =1/2\36=18(cm^2 ⁾

③ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하 므로 □ABCD^{는 평행사변형이다.}

④, ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길 이가 같으므로 □ABCD^{는 평행사} 변형이다.

따라서 □ABCD 중 평행사변형이 아 닌 것은 ①이다.

4

^㈎ NC^_ ^㈏ DC^_ ^㈐ NC^_

5

48 cm^2

평행사변형 ABCD^에서 semoOCD=1/4□ABCD^이므로   □ABCD  =4semoOCD

=4\12

=48(cm^2)

1

^⑴ AD^_=BC^_^이므로 x=9 AB^_=DC^_^이므로 2y=12 ^∴ y=6

1

^⑴ x=9^, y=6 ^⑵ x=6^, y=6

⑶ x=70^, y=110

⑷ x=35^, y=105

⑸ x=80^, y=50 ^⑹ x=25^, y=45

⑺ x=5^, y=7 ^⑻ x=5^, y=5

2

^⑴ x=3 ^⑵ x=3^, y=11

⑶ x=62^, y=60

3

⑴ ◯, 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

⑵ ×

⑶ ◯, 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.

⑷ ◯, 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

⑸ ×

⑹ ◯, 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.

⑺ ◯, 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길 이가 같다.

⑻ ×

4

^⑴ 6 cm^2 ^⑵ 12 cm^2

5

^⑴ 13 cm^2 ^⑵ 16 cm^2

⑶ 15 cm^2 ^⑷ 32 cm^2 p. 26~27

⑵ AB^_=DC^_^이므로 2x-1=11^, 2x=12 ∴ x=6

AD^_=BC^_^이므로 8=y+2 ^∴ y=6 ⑶ gakD=gakB=70*^이므로 x=70

gakB+gakC=180*^이므로 gakC=110* ^∴ y=110 ⑷ AD^_BC^_^이므로 gakDBC=gakADB=35*

∴ x=35

gakABC=40*+35*=75*^이고, gakABC+gakC=180*^이므로 gakC=105* ^∴ y=105 ⑸ AB^_DC^_^이므로

gakACD=gakBAC=80*`^(엇각) ∴ x=80

AD^_BC^_^이므로

gakACB=gakDAC=50*`^(엇각) ∴ y=50

⑹ AB^_DC^_^이므로

gakBAC=gakDCA=25*`^(엇각) ∴ x=25

gakCDB=gakABD=45*`^(엇각) ∴ y=45

⑺ OA^_=OC^_=1/2AC^_

=1/2\10=5 ∴ x=5

OB^_=OD^_=1/2BD^_

=1/2\14=7 ∴ y=7

⑻ OA^_=OC^_^이므로 x+8=13 ^∴ x=5 OB^_=OD^_^이므로 9=2y-1 2y=10 ^∴ y=5

2

⑴ AB^_//DC^_^, AB^_=DC^_^{이어야 하므로} 5=x+2^에서

x=3

⑵ AD^_=BC^_^{이어야 하므로} x+5=3x-1^에서 2x=6 ∴ x=3

AB^_=DC^_^{이어야 하므로} x+8=y^에서 y=11 ⑶ AB^_DC^_^{이어야 하므로} gakABD=gakCDB=62*`^(엇각) ∴ x=62

1

⑴_x=9^, _y=5 ⑵_x=75^, _y=35 ⑴ 평행사변형에서 두 쌍의 대변의 길

이는 각각 같으므로 AB^_=DC^_ ^∴ x=9 AD^_=BC^_^{, 즉} 16=3y+1 3y=15 ^∴ y=5 ⑵ AD^_BC^_^이므로

gakDAC=∠ACB=75*`^(엇각) ∴ x=75

△ABC^에서

∠B=180*-(70*+75*)=35*

이때 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같으므로

∠D=∠B=35* ^∴ y=35

2

10

□ABCD는 평행사변형이므로 AD^_=BC^_^{, 즉} 2x+6=4x 2x=6 ^∴ x=3

이때 BO^_=2\3-1=5^이므로 BD^_=2BO^_=2\5=10

3

①

① 대각의 크기가 같지 않으므로

□ABCD는 평행사변형이 아니다.

② 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므 로 □ABCD^{는 평행사변형이다.}

p. 25

semoABC^에서

gakDBC =180*-(62*+58*)

=60*

AD^_BC^_^{이어야 하므로} gakADB=gakDBC=60*`^(엇각) ∴ y=60

3

^⑴ 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므 로 □ABCD^{는 평행사변형이다.}

⑵ 두 쌍의 대변의 길이가 모두 같지 않으므로 □ABCD^{는 평행사변형} 이 아니다.

⑶ 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로

□ABCD^{는 평행사변형이다.}

⑷ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므 로 □ABCD^{는 평행사변형이다.}

⑸ gakA=70*^, gakB=110*^이므로 ADBC^_^이지만 ADnot=BC^_^이므로

□ABCD는 평행사변형이 아니다.

⑹ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하 므로 □ABCD^{는 평행사변형이다.}

⑺ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 □ABCD^{는 평행사변형} 이다.

⑻ AD^_//BC^_^, AB^_=CD^_=6^이지만 AD^_=BC^_인지 알 수 없으므로 평 행사변형인지 알 수 없다.

4

⑴ semoAOD=1/4□ABCD

=1/4\24=6(cm^2) ⑵ semoABO=semoCDO=1/4□ABCD 이므로

semoABO+semoCDO =1/2□ABCD =1/2\24 =12(cm^2)

5

^⑴ semoPAB+semoPCD =semoPAD+semoPBC =8+5=13(cm^2) ⑵ semoPAB+semoPCD

=semoPAD+semoPBC^이므로 13+9=6+semoPBC ∴ semoPBC=16(cm^2)

⑶ semoPAB+semoPCD=1/2□ABCD 이므로

10+semoPCD=1/2\50

∴ semoPCD=25-10=15(cm^2) ⑷ △PAB+△PCD

=△PAD+△PBC^이므로 □ABCD

=2(△PAB+△PCD)

=2\16

=32(cm^2)

1

_{AB^_//DC^_}^이므로

gakCDO=gakABO=40*`^(엇각) 따라서 semoOCD^에서

gak x =gakOCD+gakCDO

=70*+40*=110*

2

_{AD^_//BC^_}^이므로

∠BCO=∠DAO=∠a`^(엇각) AB^_//DC^_^이므로

∠CDO=∠ABO=38*`^(엇각) △DBC^에서

∠b+(∠a+70*)+38*=180*

∴ ∠a+∠b=72*

3

평행사변형의 성질에서

① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

② 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분 한다.

④ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

⑤ AD^_BC^_^이므로

∠CAD=∠ACB`^(엇각) 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

1 ④ 2 ⑤ 3 ③ 4_{4 cm} 5 ⑤ 6_36*

7_{21 cm} 8_55* 9 ①, ④ 10^{ㄴ, ㅁ} 11_{8 cm^2} 12 ③ 13_{3 cm} 14 ② 15_60*

16_{12 cm^2} 17 ④ 18_{4 cm} 19_{32 cm^2} 20_{18 cm} 21 ② 22_{36 cm^2}

23 평행사변형, 과정은 풀이 참조

24_{20 cm}, 과정은 풀이 참조

p. 28~31

4

_{AB^_EC^_}^이므로

gakCEB=gakABE`^(엇각) ∴ gakCBE=gakCEB

즉, semoBCE^는 CB^_=CE^_^{인 이등변삼} 각형이므로

CE^_=CB^_=12 cm

이때 CD^_=AB^_=8 cm^이므로 DE^_=CE^_-CD^_=12-8=4(cm) 돌다리 두드리기 |두 내각의 크기가 같은 삼

각형은 이등변삼각형이다.

5

_gakA=3gakB^이고 gakA+gakB=180*

이므로

3gakB+gakB=180*^, 4gakB=180*

∴ gakB=45*

따라서 평행사변형에서 대각의 크기는 같으므로

gakC =gakA=180*-gakB

=180*-45*=135*

6

gakA+gakB=180*^이고, gakA : gakB=3 : 2^이므로 gakA=180*\3/5=108*

∴ gakC=gakA=108*

이때 semoDPC^에서 AB^_=CD^_=CP^_

이므로

gakDPC=1/2\(180*-108*⁾=36*

7

DC^_=AB^_=7 cm

OA=OC^_^, OB^_=OD^_^이므로 AC^_+BD^_=2OC^_+2OD^_

=2(OC^_+OD^_)

=28 ∴ OC^_+OD^_=14(cm) 따라서 △DOC^{의 둘레의 길이는} OC^_+OD^_+DC^_

=14+7=21(cm)

8

_□ABCD^{가 평행사변형이려면}

gakB=gakD=70*^,

gakBAD=gakC=180*-70*=110*

이어야 한다.

semoBAE^는 BA^_=BE^_^{인 이등변삼각형} 이므로

gakBAE=1/2\(180*-70*)=55*

∴ gak x =gakBAD-gakBAE

=110*-55*=55*

9

^① 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가

Ⅰ. 도형의 성질

11

같으므로 □ABCD^{는 평행사변형} 이다.

④ 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로

□ABCD^{는 평행사변형이다.}

10

ㄱ. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으 므로 평행사변형이다.

ㄴ. 대각의 크기가 서로 다르므로 평행 사변형이 아니다.

ㄷ. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이 가 같으므로 평행사변형이다.

ㄹ. 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.

ㅁ. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등 분하지 않으므로 평행사변형이 아 니다.

따라서 평행사변형이 아닌 것은 ㄴ, ㅁ 이다.

11

_semoAPO^와 _semoCQO^에서

OA=OC^_^,

gakAOP=gakCOQ`<sup>(맞꼭지각),</sup> gakPAO=gakQCO`^{(엇각)이므로} △APO/=_△CQO`⁽ ASA ^합동) ∴ semoAPO=semoCQO

∴ (색칠한 부분의 넓이) =△APO+△DOQ

=△CQO+△DOQ

=△DOC=1/4□ABCD

=1/4\32=8(cm^2)

12

semoPAD : semoPBC=1 : 2^이므로 semoPBC=2semoPAD

semoPAD+semoPBC=1/2□ABCD 이므로

semoPAD+2semoPAD=1/2\72 3semoPAD=36

∴ semoPAD=12(cm^2)

13

_{AD^_BC^_}^이므로

gakBEA=gakDAE`^(엇각) ∴ ∠BAE=∠BEA

즉, △ABE^는 BA^_=BE^_^{인 이등변삼} 각형이다.

∴ BE^_=BA^_=6 cm 이때 BC^_=AD^_=9 cm^이므로 CE^_=9-6=3(cm)

또 gakCFD=gakADF`^{(엇각)이므로}

gakCDF=gakCFD

즉, △DFC^는 CF^_=CD^_^{인 이등변삼} 각형이므로

CF^_=CD^_=AB^_=6 cm ∴ EF^_=CF^_-CE^_

=6-3=3(cm)

14

^점 _A^{의 좌표를} _(a^, ₃₎^{이라 하면}

AD^_=0-a=-a^, BC^_=2-⁽-4)=6 이때 AD^_=BC^_^이므로 -a=6 ^∴ a=-6

따라서 점 A^{의 좌표는} (-6^, 3)^이다.

15

∠ADF=1/2∠D=1/2∠B =1/2\60*=30*

이므로 △AFD^에서

∠DAF =180*-(90*+30*)

=60*

이때 ∠BAD+∠B=180*^이므로 gakBAD=180*-60*=120*

∴ gakBAF =gakBAD-gakDAF

=120*-60*=60*

16

_semoOAP^와 _semoOCQ^에서

OA^_=OC^_^,

∠OPA=∠OQC=90*`<sup>(엇각)</sup> ∠AOP=∠COQ`^{(맞꼭지각)이므로} △OAP/=_△OCQ`⁽ RHA ^합동) 이때 AB^_=DC^_=12 cm^이므로 AP^_=12-9=3(cm) ∴ △OCQ=△OAP

=1/2\3\8=12(cm^2)

17

□ABCD^{는 평행사변형이므로} OA^_=OC^_^, OB^_=OD^_

① OB^_=OD^_^, BE^_=DF^_^이므로 OE^_=OF^_

② OA^_=OC^_^, OE^_=OF^_^이므로 □AECF는 평행사변형이다.

∴ AF^_=CE^_

③, ⑤ semoABE^와 semoCDF^에서 AB^_=CD^_^,

gakABE=gakCDF`^(엇각), BE^_=DF^_^이므로

semoABE/=_semoCDF`⁽ SAS ^합동) ∴ gakBAE=gakDCF 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

18

_□EOCD^{는 평행사변형이므로}

AC^_ED^_^, OC^_=ED^_

△AOF^와 △DEF^에서 ∠FAO=∠FDE`^(엇각), AO^_=DE^_^,

∠AOF=∠DEF`<sup>(엇각)이므로</sup> △AOF/=_△DEF`⁽ ASA ^합동) 따라서 OF^_=EF^_^이므로

EF^_=1/2EO^_=1/2DC^_=1/2AB^_

=1/2\8=4(cm)

19

_{BC^_=CE^_}^, _{DC^_=CF^_}^이므로

□BFED^{는 평행사변형이다.}

이때 □ABCD^{가 평행사변형이므로} semoBCD=semoABC=8 cm^2 ∴ □BFED =4semoBCD

=4\8=32(cm^2) 돌다리 두드리기 |평행사변형의 넓이는 한

대각선에 의해 이등분되고, 두 대각선에 의 해 사등분된다.

20

_semoABC가 이등변삼각형이므로 gakB=gakC

AC^_QP^이므로 gakQPB=gakC`^(동위각)

즉, semoQBP^는 QB=QP^{인 이등변삼} 각형이다.

이때 AQ^_RP^, AR^_QP^에서 □AQPR^{는 평행사변형이므로} (□AQPR의 둘레의 길이) =2(AQ+QP)=2(AQ+QB) =2AB=2\9=18(cm)

21

^{①, ③} _semoABC^와 _semoDBE^에서

AB^_=DB^_^, BC^_=BE^_^,

gakABC =60*-gakEBA

=gakDBE 이므로

semoABC/=_semoDBE`⁽ SAS ^합동)

…^㉠

즉, AC^_=DE^_^이고, semoACF^{는 정} 삼각형이므로 AC^_=AF^_

∴ AF^_=DE^_ …^㉡ ②, ④ semoABC^와 semoFEC^에서 AC^_=FC^, BC^_=EC^_^,

gakACB =60*-gakECA

=gakFCE 이므로

semoABC/=_semoFEC`⁽ SAS ^합동)

…^㉢

즉, AB^_=FE^이고, semoABD^{는 정} 삼각형이므로 AB^_=AD^_

∴ AD^_=FE …^㉣ ㉠, ㉢에서 semoDBE/=_semoFEC ⑤ ㉡, ㉣에서 □AFED^{는 두 쌍의 대}

변의 길이가 각각 같으므로 평행사 변형이다.

따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

22

_semoABH^와 _semoDFH^에서

gakABH=gakDFH`^(엇각), AB^_=DF^_^,

gakBAH=gakFDH`<sup>(엇각)이므로</sup> semoABH/=_semoDFH`⁽ ASA ^합동) ∴ AH^_=DH^_=1/2AD^_=AB^_

semoABG^와 semoECG^에서 gakBAG=gakCEG`^(엇각), AB=EC^_^,

gakABG=gakECG`<sup>(엇각)이므로</sup> semoABG/=_semoECG`⁽ ASA ^합동) ∴ BG^_=CG^_=1/2BC^_=AB^_

즉, AH^_BG^_^이고 AH^_=BG^_^이므로 □ABGH^{는 평행사변형이다.}

이때 semoABG=8 cm^2^이므로 semoDFH =semoECG=semoABG

=8 cm^2^,

□HGCD  =□ABGH

=2semoABG

=2\8=16(cm^2) semoPGH=1/4□ABGH =1/4\16=4(cm^2) ∴ semoPEF

= semoPGH+□HGCD +semoDFH+semoECG =4+16+8+8=36(cm^2)

23

∠AEF=∠CFE=90*^이므로

AE^_FC …^

△ABE^와 △CDF^에서 AB^_=CD^_^,

∠AEB=∠CFD=90*^, ∠ABE=∠CDF`<sup>(엇각)이므로</sup> △ABE/=_△CDF`⁽ RHA ^합동) ∴ AE^_=FC …^ 따라서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길 이가 같으므로 □AECF^{는 평행사변}

형이다. …^

24

AD^_BC^_^이므로 ∠AEB=∠EBC`^(엇각) 즉, semoABE는 이등변삼각형이다.

그런데 ∠A=60*^이므로 △ABE^는 정삼각형이다.

따라서 AE^_=BE^_=AB^_=7 cm^이므로 ED^_=AD^_-AE^_=10-7=3(cm)

…^

이때 gakABF=gakEDC=120*^에서 gakEBF=gakEDF=60*^이고, gakAEB=gakEBF=60*`<sup>(엇각),</sup> gakDFC=gakEDF=60*`^{(엇각)에서} gakBED=gakDFB=120*^이므로 □BFDE는 평행사변형이다. …^ ∴ (□BFDE^{의 둘레의 길이)}

=2\(3+7)=20(cm) … 

채점 기준 비율

 AEFC^{임을 보이기} 40 %

 AE=FC^{임을 보이기} 40 %

 □AECF가 어떤 사각형인지

말하기 20 %

7cm 10cm

A 60* D

F E

B C

채점 기준 비율

 ED^_^{의 길이 구하기} 30 %

 □BFDE가 평행사변형임을

알기 50 %

 □BFDE의 둘레의 길이 구하기 20 %

1

③, ⑤

③ AB^_=DC^_^, AD^_=BC^_

⑤ ∠AOB=∠DOC^,

∠AOD=∠BOC

2

80*

직사각형의 한 내각의 크기는 90*^이므로

∠OCD=90*-40*=50*

이때 △OCD^는 OC^_=OD^_^{인 이등변} 삼각형이므로

∠ODC=∠OCD=50*

∴ ∠x=180*-(50*+50*)=80*

3

⑤

② ∠A+∠B=180*^이므로

∠A=∠B^이면 ∠A=∠B=90*

즉, 한 내각이 직각이므로

□ABCD는 직사각형이 된다.

④ AO^_=DO^_^이면 AC^_=BD^_

즉, 두 대각선의 길이가 같으므로

□ABCD는 직사각형이 된다.

⑤ 평행사변형이 마름모가 되는 조건 이다.

따라서 직사각형이 되는 조건이 아닌 것 은 ⑤이다.

p. 33

1

⑴_x=12, y=6 ⑵_x=35, y=55 ⑴ 직사각형의 두 대각선은 길이가 같

고, 서로 다른 것을 이등분하므로 AC^_=BD^_=12 ^∴ x=12 OD^_=1/2BD^_=1/2\12=6 ∴ y=6

⑵ BO^_=CO^_^이므로

∠OBC=∠OCB=35*

∴ x=35

직사각형의 한 내각의 크기는 90*^이 므로 semoDBC^에서

여러 가지 사각형 ⑴ 06

^강

p. 32

예제

gakBDC=180*-(35*+90*)=55*

∴ y=55

2

②, ④

① 마름모는 네 변의 길이가 같은 사각 형이다.

즉, AB^_=BC^_

③ 마름모의 두 대각선은 수직으로 만

난다.

즉, AC^_jikgakBD^_

⑤ semoABD^에서 AB^_=AD^_^이므로 gakABD=gakADB

따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.

3

x=2^, y=50

마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로

DO^_=BO^_=2 ^∴ x=2 ∠AOB=90*^이므로 △ABO^에서 ∠BAO=180*-(90*+40*)=50*

∴ y=50