寶 활 와 位 相
金 홍핫 榮
짧代數學의 各分野의 發展過程올 살펴 보연 그 大部分이 寶數體의 性質에셔 流生되었다고 보아 도 過름이 아낼 것 같다. 假令 現代代數擊에 았 어셔의 群， 環， 짧， id않l 等의 모든 理꿇도 홉局 寶혔集合。1 지니고 있는 性賢의 抽象 1t에 不過 한 것이고，3:'. 解折學의 分野훌 살켜 보더라도 그것윤 實數의 運績性융 士훌로 하여， 영홍數集合 R위에셔 定義훤 實빼數 特혀 連續빼數의 性質 을 옳限總;훌 또는 收敏擬;홍올 媒介로 하여 짧究 한 것에 不過한 것이라고 폴 수 있올 것이얘， 5ε 現代數學의 各分野에 걸쳐서 그 士훌률 이루고 있는 位相數學이야말로 完全히 實數뿔가 지니고 있는 位相的性質의 抽훌化에 不過한 것 이 다.
筆者는 0] 짤악한 글올 通하여 寶훌u훌 R에서 位相的性質이 抽훌化원 過程 및 二L것 이 어 뺑꺼l 展開되어 나가고 있는가에 對한 한 두 面올 考 察하여 보는 同時에 實數 7} 지니고 었는 그 構 造의 多樣의 -面옳 살혜 보혀고 한다.
生覺컨대 解折畢의 基本課題를 寶數全體의 훌 合올 R 內로 옮커는 連홈짧像 f:R → R의 맑究라 고 용다면 ， f 의 domain 옳은 range 에 該寶되는 寶數擊合 自훌훌의 性賢 特히 實數의 連績性을 究 明한다는 것은 解折學에셔 훌훌忽허 활수 없은 重 要課題의 하냐앨 것 이다.
實數의 運績性의 解折的 表짧으로서 우려 가 찰 얄고 았는 事實용 다융 47r지로셔 이 삶題들 용 셔로 同i直엄도 창 얄려져 았다. 郞
1. D빼e.k뻐d 의 cut
實數全題R용 두 部分驚合 A와 B 로 分關
〔뼈πition)하였올빼 R=AUB. AflB=O. A.B추φ.
7F 驚足되돼 A의 任意의 數가 B의 任훌의 數보 다 훨常 작체되어 았으연 雙CA.B)훌 R 의 切斷 (cut) 이 라고 푸른다. oed뼈nd 는 이와같은 實數 익 切斷(A，B)를 만률면 A에 最大數 7} 었든가，
B에 훨小數가 있든가， 이 두 樓避中 오로지 어 느 한쪽만야 한듯이 成立하게 훤다는 것오로서 實數의 連훌뾰폴 表示하는혀1 없功하였마.
2. Weierstra 용 의 定理
또 Weierstrass는 “有界언 數의 集合에 는 반드 시 上限〈最小上界) 몇 下限〔훌大下界)이 存1£한 다”라는 表現으로셔 亦是 같윤 連績性율 表示하 였.2..며， 또 이와 同f直안 것으호서
3. “휴界입 單鋼數쩌l흔 收敏합다” 라는 表現 도 可能하다. 마지 약으로
4. Cantor의 定훌
‘直線上에서 閒區間列 11' It."', 1•• 야 存在하 여 다융 條件
i) II:::;,It::;)···:::;,I.;:::J···
ii) lim dia(I.)=O (여 기 dia(/.)은 ι의 걸이 률
F→∞
뜻함〕률 線足하연 오듣 I.어1 屬하는 單한 點이 存在한다”라는Cantor의 定理도 寶數의 連훌훌性 올 表現한 重要한 定理의 하나인 것이다. (이 옆 理는 F‘r€chet의 V-space에 다 一般化하면 다음 과 강야 판다.
E1그f길그…그E.;:::J•••이 V-space內의 홍이 아년 閒훌훌合들의 減少列이고 그中 하냐가 짜-compact 이연 E1nEzn··· 는 홍야 아니다.) CW. Sierpin- ski, General Toyol명Y 훌考).
以上에 서 言及한 實數의 連續性올 f뭉定하면 우리 는 解析學에셔 重要屬되는 Weierstrass의 다 융 定理훌 앨계 완다. lIP
Weierstrass의 定理
數直線上에셔 有界안 無限顧흉흉合 E 에는 한드 시 集獲鄭(limit point)이 存在한다. 여 기 한點 p 가 E의 集積點이 란 p의 任意의 S近홉內에는 p 以外에 E외 點이 힐常存훈할 빼률 풋한다. (0]
定理는 우리 가 位根호間에셔 말하는 countably compact 性 및一樣位相훌間에서의 完備性과 密接 하게 關聯훤 寶數의 性寶안 것 이 다).
이와 같이 하여 19世짧末葉에 가셔 Weierstrass 의 鎭積點의 存在定理률 士훌로 하여 導鎭合의 廳흉에 몇l達하게 되 었다. 數直繼上에서 暴合 E 의 導集合 E'란 E의 모듣 棄積點의 集合융 뭇한 다. (響集合에 關하여 는 Sierpinski의 GenetaI
topol앵Y 및 Na잉noon 의 Th∞ry of functions of a real variable의 i章 參考). 한驚合 E의 導鎭 合이 自 B 自身에 包含되는 集合. IlPE'ζE 안 集 合 E를 閒集合이라 불렀고 또 E'UE=E라 놓고 효를 E의 閔臨라 풀렀다. 그러연 람는 E를 包含 하는 最少의 閒集合A로 되며 아 開뼈에 關하여 는 다융 3性質이 成立하게 판다.
x. Y71- 寶直線上의 任意의 두 集合얼 혜.
i) xU강=1'UY
ii) X가 單한 點오j료 원 棄合이든가 또는 훗集 合야면
갖=x iii) 호=1'
이 셰性質을 抽흉하여 Kuratow않i 는 位相호問 윷 定義하였다. (K. Kuraoowski. Topologie L Warszawa-Lw6w. 1933) j}P그는 tf:慧의 훌훌合윷 호間。l 라 부르고 그것올 I로 表示하고 I의 任意 의 部分集合 X에 다 XCI 률 結附시 키는 O홈raOOr -률 導入하되 그것이 위의 3條件올 澈足하도혹 뻗훌하고 x률 X외 fenneture라 불렸 다. 이 것 야 그71- 定義한 位相뿔間으로셔 우리 가 只今 普通 말하는 T1-space언 것 이 다.
이와같이 定養된 位相훗間에서 x=호인 集合 X 률 閒集合이라 부르기로 하면 이 호間의 全體 閒集合族φ는 다융 3性質융 驚足하계 원다. 郞
i) 全훗間과 O棄合운 閒棄合이다.
iη 有限個의 閒集合의 和는 閒集合이다.
iii)任意個의 閒集合의 交集合은 亦풀 閒葉合이 다. 또 閒驚合의 廳集合융 開集合이라 푸르커로 하면 위의 3性質의 雙훨짧題가 開鎭合훌용어I 關하여 成立하계 원다. 이와같이 導入훨 關集合族융 우 리는 효間에 藥入훤 位相。l 라 훌혔다. 이것은 바 로 實數集合에셔의 閒棄合廳 및 關合族이 지니 고 있는 性質의 抽象化안 것이었다.
그려냐 야와강이 얻어진位相호間은그것이 너 무 -般的안 홍間이어셔 예기마 다시 차례로 制 限條件 JP 分홉훌公理훌 훌용1JII하얘 다시 實數集合 의 本然의 킹쩔努로 되 률아 7}-는 過훌용 ~究하는 것이 쪼한 位相數훌의 콘 課題의 하냐로 되게 되었다. 그中에셔도 가장 童要屬원 問題로는 距 離化問題 (metriza힌on prohl없1) 一樣連寶性의 導 入問훌훌， 따라셔 ，9:.-樣位相의 導入問題， 냐아가 서는 ‘擾ft問題(unifonniz ah피typro뻐앉n) 等。1 d쨌 up 되었고 〔야 問題율어l 關하여는 앞에서
뼈 ~tl 히 다루어 보 71 로 하겠 다). 또 實直練上에 서 有界閒集合이 지니고 있는 性質을 位相홍間에 附與하기 짧하여 Compact Space의 lilT究가 여 러 方面 o 로 이 루어 졌 마.
予先 寶直繼上에서 의 Heine-B아el 의 定理를 回想하얘 보자. IlP
“開集合族 a={Ua:afA} 가 有界閒集合 E(寶 直線위 의 )의 被覆(covering)이 면 !!P
EcU LUa:aEA}이면 a 의 有限部分驚合族rUh U20 •••• u.π}01 a內에 存在하여 야 것 이 亦是 被 覆...2..로 된다”는 것。1 01 定理의 內쩔이다. 이 定理의 位相호間에로의 據張올 흉하여 우려는
Compact Space의 定義률 다움과 같야 한다.
“S가 位相호間오로셔 s의 任意의 open ∞，ver·
ing a가 훤常 finite SUhcoVI않ing 올 가지 연 s를
Compact라 한다’ 이 Com맹.ct s뿜ce 의 定훌훌는
그 雙對옮題의 對遇흘 生聲하연 마융과 같야 陳 述활수도 었다.
엠 部分集合族 L={Fa:aEA}가 finite int앉'8
e야ion proper양 .llPL의 任훌의 有限個 Flo F20
”
'. F.의 交葉合인 i딘{F;J가 톨常 홍樂合이 아니
라는 性質용 가지 연
n
{강:αEA} 도 훗야 아니 라는 것으로 compact 性올 表示활 수 였다. 本來 。l compact s뼈ce 툴 定훌훌하는데 있어서 F빼et 는 現在 우리 가 使用하는 뼈nta비e ∞mpactness 률 가지고 @뺑ct 라 폴줬고 짧在 com뼈et 라고 부 르는 것올bicompact라고 풀렀다.cP.Al짧뼈offII Hopf의 Topologie). m꿇 寶直線 自 활는
∞mpact space는 아니 지 만 Eucli혀an n-space에 서 한 部分集合이 com뼈ct 이7] 옳한 必充條件은 그갯 이 closed bo뻐ded 이 라는 것 이 Heine-Borel 의 定理에서 말 할 수 있다.
야 와 같。1 Heine-Borel의 定理에 셔 抽훌판 때npactspace 에 關하여 많윤 짧究가 이루어 졌 으며 特히 이 호間에서는 위에셔 말한 없nOOr 의 定理가 없立하게 펀다. 特혀 αlmpact space에 關한 다움 Tychonoff 의 定理7}- 有名하다. j}P
ag:意{명의 compact space롤의 product space는 亦是 compact s뿜ce 야 다.
이 定理에 對한 證明뚫은 여려種類가 紹介되 어 았으나 持히 Bour밟10 의 證!Jj~은 興味롭다.
Q. RK따ley. Gen양al Topol맺π， N. Bour뼈퍼.
T따dogie GeneraIe 1章 § 10, 훌考〕
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이 compactness와 關聯히여 寶數의 部分集合 으로서 가장 興味로운것은Cantor set의 構造인 것 이 다. Cantor set란 周知한 바와 같이 單{ft線 分 (0, 1)의 部分集合 o 로서 三進無限小數로 展 開하였을 혜 0과 2만으로서 展開되는 數全體를 말한다. 只今 M을 단두點A로 이루어진 discrete
top때gical space라 하고 ω를 뼈itive integer 全體의 集合이 라 할 빼 Tychonoff Topol앵y 를 가지 는 國數호間 M’ 를 生覺하면 Cantor set가 이 M~ 와 同位相(homeomorphic)_으로 된다는 것 은 容易하게 불 수 있다. 只今 m 代身 任意;의 集 fin릎 生쩔할 혜 a뼈數초問MD률 Cantor Space 라 부르기 로 하자. 그러 연 任意의 Compact Hau- sdorff Space 는 適當한 Cantor Space 의 閒部分集 合의 連續像〔∞ntinuous image)으로 펀다는 것도 쩡易하거l 끊明할 수 있다. 야 합寶은 Compact Hausdorff Space의 構造가 Cantor set익 構造를 通하얘 把握될 수 있다는 것을 意洙한마.
只今 Point set Topology에 서 重要한 位置를 차 치 하고 있 는 Borel set 또는 operator A를 通하 여 이루어지는 Analytic set 는 그 構造카 펙 複 雅한 것 이 지 만 그것 이 모두 無理-數全體의 連樓像
」ζ로 ↑단常表示 可能하다는 事實을 위 의 Cantor set의 형좋遇와 아울러 生覺한다연Compact Haus- dorH Space니 Borel set, analytic set, 하는 젓 이 오두 寶數의 한 폐分集合에서 派生원 것에 不過 하다는 것을 알 수 있 A며 나아가서는 實數集合 의 構造의 多樣性을 立證하여 주는 좋은 例인것 이 다. (Borel set, analytic set에 關하여는 F.
Hausdorff Mengenlehre (1935), 또는 W. Sierpin- ski. general topology(1956)흘 參考).Cantor sel 에
1鋼하얘 는 J,L. Kelley. general Topology의 com- pact space參考).
Cantor set에 關하여 마지 악￡로 또 하냐 이 야기 하여 둘 것은， Compact totallydis∞nnected
perfect metric space는 그것 이 어 떤 種類의 것 이 건 훤常 Cantor set와 同位相(homeomorph)으로 판다는 事實이 inverse limit systems을 使用하연
證明된다. (G. S. Young 및 J, Go Hocking의 Topology 2章 inverse limit systems 參考). 이 事寶도 亦是 Cantor set의 構造의 重要性을 우리 에게 보얘주는 좋은 例題의 하나이다.
이와 같은 例題以外에도 實數體의 構造로서 抽象호間파 關聯되는 童要한 性質이 많지만 여
기서는 더 以上 듭及쳐 않치로 한다.
다시 compactness로 되 돌아가 보자. Compact 性보다 若千 弱한 條件오로서 Compact1生이 참업;
6연으로 附與된 locally competness도 그 應用面에 서 펙 重要性올 지니고 있다. 位相호間 s 가 없lly compact라 함은 그 호間의 各點이 적 어 도 하냐의 compact인 近f뽕을 가질 빼 훌 말한다.
이 locally compact space의 ~造는 特허 meas따e
theory와 結댐되어 않은 ~究가 。1 루어졌다.
只 今 S를 locally competHausdorff space라 하 자. s의 모듣 ~compact subset의 族을 £. £ 에 {f(하여 生成원 /T-ring 을 s 라 할 혜 s 의 集合올 Borel set라 부르며, s위 에 서 定義훨 實l힘數 f
가 σ-ringS에 關하여 meas따able 이 면 f를 Borel
meas따able 이 라 한다. 特히 S의 compact subset 로서 Go型의 集合숲題를 £0. £。 에 依하여 生成 펀 /T-ring 올 s，로 表示할 혜 이 S。에 속한 集合 올 Baire set라 부르며, 이 s,에 關하여 measur- able안 寶 l웰數률 Baire measurable이 라 한다. 只 今 S 위에서 定義띈 連續寶뼈數로서 S 의 한 compact subset의 外部에 서 는 힘等的으로O‘으로
되는 그런 빼數의 全體族을 L(S)로 表示하기 로 하고， μ 블 Borel set族 s위 에 서 의 measure. μ。
를 그 Baire contraction이 라 할 혜 는 L(S)에 속 한 任意의 빼數 f는 {x:f(x)=\=OlCCE£。 이 면 μ。(c)< ∞ 로 되 어 f는 μ， 에 關하여 積分可能하여 Sidμ。 =5 ，/dμ 로 된다. 이 와같이 하여 Lebesgue 에 (J{하여 Enclid호間에 서 定義원 Lebesgue積分
윤 locally compact Hausdorff space에 까지 據 張可能하게 된다.(Po R. Hal mas, Measure theory‘ 10章 locally compact spaces) 또는 河田敬義， 積
分論 參考;-)
特히 s가 locallY compact topol앵ical group이 연 S에 서 의 Borel measure μ 는 다옵 條件올 滿 足할 예 Haπ measure라 한다. ~P 모든 철야 아 난 Borel開集슴 U에 對하여 μ(U»O 이 고， 모 듣 Borel集合 E에 對하여 μ(xE)=μ(E)가 成~
하는 μ 룰 말한다. 이 와같이 하여 Lebesgue mea- sure는 locally compact topological group에 서 Harr measure에 로 樓張되 었 다. 이 와 같이 locallY compactness는 그 應用面에 서 重要한 位置를 차 지 함을 알수 였 다. (PoR. Halmos. measure theory 11 章，Haπ measure 및 河田敬義， 積分論 또는 淡中忠郞， 位相群論 4章 參考).
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compact space에 關한 重要한 問題외 하냐로 마지 악￡로 言及하여 두어 야 할 問題는 compac- tification problem (compact化問題〕안 것 이 다.~
주어잔 位相호間 S 률 그 部分호間으로 가지는 compact space S률 求하는 問題훌 ∞mpactifica
tion 問題라 부른다. 이와 같은問題는 이마 예려 곳에서 經廳하여 왔다. 假令 Euclid實直線에 마
∞를 導入하여 射影直線용 만드는 것도 이에 該 當되는 것이고 또 우리 가 積分꿇α，ebe행ue)어l 셔 寶數全題의 集츰안 R에 다 +∞，-∞률 廳加하 여 擬大원 實數棄合올 生覺하는 것도 그 한 {정j 이다. 이 據大판 實數集合에 있어셔는 本來實散 全體의 順序는 그대로 保存하고 +∞률 훌大數，
-∞를 最小數로 生覺함오로서 接大훤 寶數驚合 은 그 願序位相 〔여 기 셔 願序位相이 란 線型願序 聚合 (S,<)에 있어셔 {x:x<a} 또는 {x:a<x}
型의 모든 驚合률의 族을 subbase호 가지는 位
相올 말한다〕에 關하얘 compact s뼈ce 로 되 며 R
의 閒服안 R 는 據大된 實數集合 .IlPRU(+∞〕
U(- ∞)로 원다. 야 R 에셔는， 實數의 連續뾰융 表示하는 Weierstrass의 定理 용P ‘有界 數藥合에 는 上限 빛 下限이 存在한다’는 有界하는 像件 올 除去해도 밟立하게 원다.
또 하나의 αmpactification의 例로서 우리 가 자주 使用하는 것은 複素數격i面上에마 ∞률 뚫 加하는 것 。l 그것 이 다. 複素數빼數꿇어l 서 複素 數월에 다 ∞훌 짧JJIl함으로셔 모든 理를융이 便利 하게 展關되게 되는데 이것올 位相數學的 見地 에 서 본다면 one-point compactification올 한례 不過한 것이다. 그려연 手先 ∞mκ￠디fication 의 가장 簡單한 例로서 one-point compa.ctificatton율
生聲하여 보기로 하자.
one-p이nt compactificaton야 한 位相호間s얘 다 한嚴 ∞훌 @종加하여 set S*=SU {∞} 훌 얀률고S*
에 마 遭當허 位相용 鍵入하여 S*률 ∞mpact s뿜ce 로 만률되， S 는 S*의 部分훌間ξ혹셔 s의 本來
位相야 S*에셔의 相對位相파 -혔하켜l 펴도륙 하 는 것올 말한다. 그려가 짧하얘는 마융과 같이 하변 판다. 郞 S*에저 U7t 應n 이라는 것윤 마 융 0, ii) 條件이 錯足 철 빼률 뭇하기 로 하자.
1!P
i) UnS 가 S 에셔 야Jen 이고
iη ∞EU 이 연 SoU가 compact야 라야 한마.
야와 같이 鍵入훨 開集合의 歲은 S*의 한 {{L相
으로되 며 이 빼 s는 S*의 dense subspace로 되 어 었 다. 야 one-point compactification은 Alexa
ndroff 에 依하여 야루어진 것이마.
보다 一般的암compactification으로 Stone-6ech
의 compactification율 生覺활 수 있다. 그러 기 짧하여 얘 기 서 compactification의 正確한 定養를 하얘 두기 로 하자. J;!P位相호間 S의 ∞mpactifi
cation이 란 雙(f. T)훌 말하되 여 기 T 는compact
언 位相호間이고， f 는 s 률 T 의 dense 안 部分호 間위 로 옮기는 位相寫像(homeomorphism)이 다.
萬-T가 Hausdorff홍間이 변 (f.T)률 Hau영.orff
∞mpactification이 라 한다. 이 와같이 com햄difi
cation의 定훌훌륭 하연 位相호間 s의 모듣 comp- actification틀의 族에다 順序關係률 導入할 수 있으며, 이 順序關係로서 compactification全體의 族은 半順序集合으로 된다.
그려 연 이 제 Cech의 α)mpactification 융 生覺 하여 보자. S률 位相졸間， F(S)륨， S률 單찮線 分 (0,0=1 內로 옮기논 모든 連續흩흉數의 集合
01라 하자. 그려 면 平行훌훌 !F(')는 TYI앙lonoff 定 理에 依하여 com뼈.ctspace로 훤다. 只今 mapping
e:S→!F(')률 마음과 같이 定훌훌하자. S의 點 X 률 !F“)의 짧 e(x)로 옮겨 되， FeS)의 各 f에 對하여 e(x)의 f벤째 座樓가 f(x)로 되 어 었다 하자. 이와 같이 定훌훌판 罵像 e 는 運寶寫像iζ로 되 며 特히 S가 Tychonoff space C∞mpletely 뺑떠ar TI-Space)이 면e는 S훌 IF써의 짧分쩔間 위로의 位相옳像으후 원마. 只今 e 에 依한 S 의 像안 e(S)의， IF씨에셔의 閒願률 f3(S)로 表示하기 로 활 혜 雙(e. peS))를 S의 Stone-6ech의 ∞mp
actification이 라 푸릎다.
이 와 강이 導入원 Ston앙였h 의 compaαificatio앉 은 위에셔 導入한 半願序關係로 폴 빼 ~in파f
compadification‘으로 된다는 것 올 Stone 몇 6ecb
가 훌훌明하였다.
α~ 6ech, On bicompact sp없짧 Ann. of Math.
38(937), M.R stone, Application of the the야Y
of Boolean rings to general T，따lOlogy. Trans.
Amer. Mat h. Soc. 42(1937)).
마;;tJ 악~£ 널려 알려 진 Wallman compa.야ific
ation을 하나 머 紹介함으로셔 com없.ct 化問題흉
끝맺기로 하자.
只今 S 률 T,space. F 훌 S 의 모든 cl∞ed subset률의 族이 라 하고. 그려 고 아S)훌， F‘약
〔延t!t大) subfamily a로서 finite intersection property를
가지되 이 性質에 關하여 F 에서 maximal 안 그 런 a들 全體의 族이 라 하자. 그러 면 ω(S)의 한 元 a에 關하여 a의 任意、의 두元의 intersection 윤 亦是 a 의 元으로 되고 또 그 dual 도 成立하 게 된다.
여 기 서 ω(S)에 다 位相을 다읍과 같이 導入하 자. .ilP S의 各!채集合 U에 對하얘 u*흘 다읍파 같은 것이라 하자. ω(S)의 元 a효서， u 의 subset 가 a의 元으혹 되어 있는 그렌 a全體의 族을 u*라 부르기호 하자. U*=fa:(i(ω(8)， a 의 한 元이 U 의 部分集合A로됩 i 이다. 이와 같은 u*들의 全體族은 어 먼 {立相에 對한 base의 條 件을 滿足하게 되며 이것올 base 로 가지는 {tL相 을- ω(S) 內에 i않λ 하연 ω(8)는 compact space
혹 된다.
이 혜 S 을 ω(8) 內로 융r기는 X굉 f찢 ￠를， 8 의 各默 x 어1 對하여 1지 ψ(x)= {A:AEF， XEA) 에 f강 하여 定義하연 ψ 는 one-one cont.로 되 고 ψ(S)는 ω(S)에서 dense subset 로 띈다. 雙(rp. ω(8))가
Wallmar. compactification인 것 이 다. 여 기 서 興 味있는 것은 호r，;j 8가 normal space이 연， ω(8") 는 Hausdorff space로 되 며 이 해 Wallman comp- actification은 事寶上Stone-6ech compactification
과 {i相的으로 equivalent로 되 고 만다는것 이 다.
위 에 서 compact化 問題의 代表的안 것을 한두 f웹 紹介하였지만 이 外에도 많은 사랑들에 μ: 하 여 。l 와 같은 問題가 다추어 졌다.
假令 Tychonoff compactification이 라든가 도는 1950年代에 My성klS 가 이 부어 놓은 業績쯤은 無 視할 수 없는 것 이 다. 그는 compactification問題 률 두 方向으로 分離하여 compactification올 싸 的 記述과 內的記述의 두 種類로 냐누어 없究 하였고 또 이와 같은 方向에서 않운 業續도 이 루어 졌 다. (A. D. Myski. i)On the concept of boun없ry， Mat. Sborik 25(1949), ii) The defin- ition of boundary by means of continuous map- pmg. Mat. sbornik 26(1950), iii) On the equiva- lence of certain methods of definition ofboundaη.
Mat. sbornik 26(1650) 흉考) 이 싸에 도 topological group의 compact化問題， 도는 uniform space.
function space의 compact化問題等 現在도 。 l 方 向의 않은 맑究 7} 繼續 進行되 고 있읍을 附記하 여 두고 紙面의 制限上 나머지部分안 距離化問 싫， uniformity 똥에 關한 問짧는 다옴 回로 밀
기 혹 한다. (다읍回에 계 속) 1964. -1. 20.
틀롤 디피 ~ 훌훌f류 rAij강 보rJ] 、 훌HI
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工科， 理科뽕生훌 위함 敎科書
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; 서울大·工大 鄭 鳳 俠 著 代數學及幾何學 짧判 장O頁 값 未定 : b~ 大 훌용 훌 훌 짧 ￥울 tξml! 'O''''i5'' 7L .=:f.--:.t::::I:
: 서울大•工大 季 廷 紀 著 徵 積 分 學 쩌判 뻐Uil. 값 *껑 ;
앓훌훌:좋號·李禹輪共쫓 徵 分 方 程 式 氣判 230頁 값 未定
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