 복소 지수함수 Fourier Series

(1)

 주기 [전력] 신호인 경우, 기본 주기 T

₀

 정현 Fourier Series

• 직교 함수 집합 : 구간 t₀ ≤ t ≤ t₀ + T₀

 복소 지수함수 Fourier Series

• 직교 함수 집합 : 구간 t₀ ≤ t ≤ t₀ + T₀

푸리에 급수 (Fourier Series)

   

0

( ) e

^jn ^o^t

, 0, 1, 2, , 2

n t n o

T





      ^    ^ 

 



 

n

^{( )} t    ^{1, cos} n 

o

t ^{, sin} n 

o

t n ^,  ^{1,2,3, ,}   

(2)

 복소 지수함수 근저 함수 (basis function) 집합에 의한 표현

• 구간 t₀ ≤ t ≤ t₀ + T₀ 에서 임의의 신호 x(t)는 아래 선형 조합으로 표현

• 선형조합의 계수 은 다음과 같이 구함

• 만일 신호 x(t)가 주기 T₀를 가진 주기 신호라면 basis 함수들도 같은 주기의 주기 함수가 되므로 위의 무한급수 표현은 한 주기의 구간을 넘어서 모든 시구간 - < t <  로 확장할 수 있음

복소 지수함수 Fourier Series

0

( ) _ne^jn ^o^t, _o 2

n

x t C

T

  











0

0 2 0

0

( ) ( )

( ), ( ) 1

( ) 1 ( )

o

n o

o o

o

o o

t T

t jn t

n

n t T t T t

t n t

x t t dt

x t t

C x t e dt

t dt dt T







 

 

 

 

   

  

Cn

(3)

• Fourier Series 및 Fourier Series 계수

• FA Coefficient C_n은 n



₀ ^{주파수 성분}(nth harmonic)의 전력량

• 일명, 스펙트럼 계수(spectrum coefficient)

• 복소수(polar form) :

0

2 /

0 0

( ) (Fourier Series: Synthesis)

1 1

( ) ( ) (FS Coefficients: Analysis)

o

o o

jn t j nt T

n n

jn t j nt T

n T T

x t c e C e

c x t e dt x t e dt

T T

 

 

 

 

 

 

 

j Cn

n n

C  C e

(4)

 Spectrum

• 진폭 스펙트럼: 주파수



^{에 따른} ^{의 분포}

• 위상 스펙트럼: 주파수



^{에 따른} ^{의 분포}

 Spectrum의 특성

• 주기 신호의 스펙트럼은 이산적(discrete : line spectrum)





_의 정수 배 주파수 성분만 가짐

• 실수값 신호의 경우(즉 )

푸리에 계수는 conjugate symmetric함

진폭 스펙트럼 : 우함수(even)

위상 스펙트럼 : 기함수(odd)

주기 신호의 스펙트럼

C

n

Cn

( ) ( ) x t  x t^

*

( )

*

0 0 0

1 1 1

( ) ô ( ) ô ( ) ô

o o o

jn t jn t j n t

n T T T

n

C x t e dt x t e dt x t e dt

T T T

C

  

  



 

    



  

n n

,

n n

C

_

C C

_

C

   

(5)

 실수값 신호의 spectrum 예

n cn

0 1

1

4 3 2 2 3 4

5

1 2

2

n cn

0 1

1

4 3 2 2 3 4

0^

120^

120^ 90^

90^

1

n n

C

_

  C

n n

C

_

 C

(6)

 [예제] FS를 구하고 스펙트럼을 그려보라.

[풀이]

• Euler 공식 이용

• 계수 비교

 

0 0 0 0

( ) 1 2cos sin 3cos 2 4cos 3 / 6

x t    t   t   t   t  

 



⁰ ⁰

 

⁰ ⁰

 

⁰ ⁰

 

⁰ ⁰



0 0 0 0 0

0 0 0 0

2 2 (3 /6) (3 /6)

2 2 /6 3 /6 3

( ) 1 2cos sin 3cos 2 4cos 3 / 6

1 3

1 2

2 2

1 1 3 3

1 1 1 2 2

2 2 2 2

j t j t j t j t j t j t j t j t

j t j t j t j t j j t j j

x t t t t t

e e e e e e e e

j

e e e e e e e e

j j

         

      

    

     

   

     

        

   

          

0t



3 2 2 3

3 2 1 0 1 2 3

( ) _n ^jn ô^t ^j ô^t ^j ô^t ^j ô^t ^j ô^t ^j ô^t ^j ô^t

n

x t c e ^ c e ^ c e ^ c e ^ c c e ^ c e ^ c e ^

   

  







^       ^

(7)

26.6 26.6

0 1 1

180 180 30 30

2 2 3 3

1 5 1 5

1, 1 , 1 ,

2 2 2 2

3 3 3 3

, , 2 , 2 , 0 for other

2 2 2 2

j j

j j j j

n

c c e c e

j j

c e c e c e c e c n



 

       

        

 

   

n cn

0 1

1

4 3 2 2 3 4

1

5 2 5

2

3 2 3

2 2 2

 

30

40 30 20 0  0 20 40

n cn

0 1

1

4 3 2 2 3 4

26.6^

26.6^

0^

180^

180^

30^ 30^

(8)

 크기가 1이고 펄스 폭이 1인 사각 펄스(구형파)

• 크기가 A이고 펄스 폭이 인 사각 펄스:

Rectangular Pulse

1 1

2 2

1 for ( )

0 otherwise

1 1

2 2

t t

u t u t

   

  



   

      

( )t



1 t 2 1

2

1

( / ) A t 

t 2

 2



A

( / )

A  t 

(9)

 크기가 1이고 펄스 폭이 2인 삼각 펄스

• 크기가 A이고 펄스 폭이 2인 삼각 펄스:

Triangular Pulse

1 for 1 1 ( ) 0 otherwise

t t

t      

  



( / ) A  t 

( )t



t 1 1



1

( / ) A t 

 t



A

(10)

 Sa 함수와 sinc 함수

Sampling Function

Sa( )t

t 1

0  3

 2  ² 3

sinc( )t

t 1

0 1

3 2 1 2 3

Sa( ) sin t

t  t

sinc( ) sin t Sa( )

t t

t

 

  

(11)

 [예제] Rectangular Pulse Train

• 주기가 T₀이고 펄스폭이



^{인 구형 펄스 열}

(a) (b)

( ) 0 k

t kT

x t 





  





  

1



T0

 0 2⁰

0 T

2  T

( ) x t

 

^t

0

4, 1

T

  

0

4, 2

T

  

(12)

0

2

T

2     

0 0

2 2

0 0 0

2

0 2 0

1 1 2

( ) ( ) exp

1 2

(1) exp

o

T T

jn t

n T T

j nt

c x t e dt x t dt

T T T

j nt

T T dt









 



  

   

 

  

  

 

 



2

0 2

0 0

1 (1)

c dt

T T



 





i) n =0

(13)

ii) n ≠0

   

 

0 0

2 2

0 0 0 0

2

0 2

0 0

0 0 0

1 2 1 2

( ) exp (1) exp

1 2

2 exp

1 exp exp

2

sin / si

sinc

n /

/ sinc

T

n T

j nt j nt

c x t dt dt

T T T T

j nt

j n T

j n j n

j n T T

n T n T

n

T T T n



 





   



    

  

 

 



 

   

     

   

 

   

    

     

   

 

 

 

  

 

 

 

0

0 0

0 2

Sa n

f n

T T Sa

T

  



  

 

  

 

 

 

 

(14)

• Spectrum shape :

여기서 ,

• 의 파형은 진동하면서 감쇠하고, 마다 zero-crossing

• First-null(first zero-crossing) frequency : , [ 이면 ]

0

0 0

2 ( ) 2

n n

n

c Sa n c Sa

T ^ T _

 

 ^ ^   ^ ^

      

( )

c  2

( 0) m m

 ^  ^

2 

 ^ 



cn

2

 /T0



0 ₂₀3₀

0

( ) 2

c Sa

T

 

  ^ ^

0

( ) Sa

c 2

T

 

  ^ ^ ⁰

2

T

2     

  1   2 

(15)

(a)

0 0

0

0 0

2

( ) 1 2 , 4 ,

2 4 2

1 1 sin 4

2 4 4 4

4

n

T

c Sa Sa

T

n

n n

c Sa Sa

T n

  

  

   

  

 



 

   

        

 

 

     

    

에서 0 교차

0

1 1

2 2

3 3

4 4

1 4

sin( / 4) 1 2 sin( / 2) 1

2 2

sin(3 / 4) 1

3 3 2

sin( ) 4 0 c

c c

c c c c c c



 



 



 







  



0

4, 1

T

  

(16)

(b)

   

0 0

0

0 0

2

( ) 1 , 2 ,

2

1 1 sin 2

2 2 2 2

2

n

T

c Sa Sa

T

n

n n

c Sa Sa

T n

  

      

  

 



 

     

 

 

     

    

   

에서 0 교차

0

4, 2

T

  

0

1 1

2 2

3 3 3 3

4 4

1 2

sin( / 2) 1 sin( )

2 0

sin(3 / 2) 1 1

3 3 3

sin(2 ) 4 0 c

c c c c

c c



 



  





 





  

      

  



(17)

(a)

(b)

cn

2 2

 ^

0

1 4 T

  ( ) 1

4 2

c  Sa^{ }  



0 2₀3₀4₀

cn

2 

 ^

0

1 2 T

 _

1   ( ) 2 c  Sa 



0 2₀3₀40

0

4, 1

T

  

0

4, 2

T

  

(18)

 [예제] Impulse train



0



( )

k

x t ^  t kT









t ( )

x t



0



2T0

T0

3T0

 2T0 T₀ 3T₀

(1)

0 0

2 2

0 0 0

1 1 1

( ) ^o ( ) ^o

T T

jn t jn t

n T T

c x t e dt t e dt

T T T







 











 cn



0



20

0

30

 2₀₀ 3₀ 40

 4₀ 5₀ 6₀

50 0 6



0

1 T

(19)

 구형 펄스열을 유한 급수의 합으로 근사화하는 경우

• For finite N

유한 급수에 의한 신호의 근사화와 Gibbs 현상

odd

1 odd

( ) 2

4 sin( )

4 4 4 4

sin( ) sin(3 ) sin(5 ) sin( )

3 5

o o

N N

jn t jn t

N n

n N n N

n N

n n

x t c e e

jn

n n t

t t t N t

N

 



 

   

 



 



    

 





5 N 

(20)

 복소 지수함수 Fourier Series

 주기 [전력] 신호인 경우, 기본 주기 T

 정현 Fourier Series

 복소 지수함수 Fourier Series

푸리에 급수 (Fourier Series)

   

( ) e

, 0, 1, 2, , 2



           

 



 

( ) t    1, cos n 

t , sin n 

t n ,  1,2,3, ,   

 복소 지수함수 근저 함수 (basis function) 집합에 의한 표현

복소 지수함수 Fourier Series



( ) ( )

( ), ( ) 1

( ) 1 ( )







 

   

  



( ) (Fourier Series: Synthesis)

1 1

( ) ( ) (FS Coefficients: Analysis)

x t c e C e

c x t e dt x t e dt

T T

 

 

 

 

C  C e

 Spectrum





 Spectrum의 특성



주기 신호의 스펙트럼

C

  

,

C

C C

C

   

 실수값 신호의 spectrum 예

C

  C

C

 C

 [예제] FS를 구하고 스펙트럼을 그려보라.

 

( ) 1 2cos sin 3cos 2 4cos 3 / 6

x t    t   t   t   t  

 



 

 

 





 크기가 1이고 펄스 폭이 1인 사각 펄스(구형파)

Rectangular Pulse

( / )

A  t 

 크기가 1이고 펄스 폭이 2인 삼각 펄스

Triangular Pulse

1 for 1 1 ( ) 0 otherwise

t t

t      

  



      ^    ^ 

^{( )} t    ^{1, cos} n 

t ^{, sin} n 

t n ^,  ^{1,2,3, ,}   

 ^ 