복소 지수함수 Fourier Series



주기 [전력] 신호인 경우, 기본 주기 T



정현 Fourier Series

• 직교 함수 집합 : 구간 t₀ ≤ t ≤ t₀ + T₀



복소 지수함수 Fourier Series

• 직교 함수 집합 : 구간 t₀ ≤ t ≤ t₀ + T₀

Fourier Series

   

0

( ) e^{jn ot}, 0, 1, 2, , 2

n t n o

T

 

      ^  ^

 





 





복소 지수함수 근저 함수 (basis function) 집합에 의한 표현

• 구간 t₀ ≤ t ≤ t₀ + T₀ 에서 임의의 신호 x(t)는 아래 선형 조합으로 표현

• 선형조합의 계수 은 다음과 같이 구함

• 만일 신호 x(t)가 주기 T₀를 가진 주기 신호라면 basis 함수들도 같은 주기의 주기 함수가 되므로 위의 무한급수 표현은 한 주기의 구간을 넘어서 모든 시구간 - < t <  로 확장할 수 있음

복소 지수함수 Fourier Series

0

( ) _ne^{jn ot}, _o 2

n

x t C

T

  









0

0

0 2 0

0

( ) ( )

( ), ( ) 1

( ) 1 ( )

o

n o

o o

o o

o

o o

t T

t T

t jn t

n

n t T t T t

t n t

x t t dt

x t t

C x t e dt

t dt dt T

 





 

 

 

 

 



  

Cn

• Fourier Series 및 Fourier Series 계수

• FA Coefficient C_n은 n₀ ^{주파수 성분}(nth harmonic)의 전력량

• 일명, 스펙트럼 계수(spectrum coefficient)

• 복소수 : , 여기서 은 의 편각(argument)

0

0

2 /

2 /

0 0

( ) (Fourier Series: Synthesis)

1 1

( ) ( ) (FS Coefficients: Analysis)

o

o

o o

jn t j nt T

n n

n n

jn t j nt T

n T T

x t C e C e

C x t e dt x t e dt

T T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arg _n

j C

n n

C  C e arg C

C



대칭성

• x(t)의 값이 real인 경우, 즉 인 경우

• If x(t) is real & even (i.e. ), then c_n is also real & even

• If x(t) is real & odd (i.e. ), then c_n is imaginary & odd

Fourier Series 성질

( ) ( ) x t  x t^ (conjugate symmetric)

n n

c  c_^

(amplitude spectrum is even) arg arg (phase spectrum is odd)

n n

n n

c c

c c





 

 

( ) ( ) x t  x t ( ) ( ) x t   x t



선형성

• x(t)와 y(t)가 동일한 주기를 갖는 주기신호인 경우

• 의 푸리에 급수는

0

0

( )

( )

jn t n

n

jn t n

n

x t c e

y t d e





















( ) ( ) ( )

z t x t y t

( ) 0

with

jn t n

n

n n n

z t g e

g c d



 







 





시간 천이

• x(t)의 푸리에 계수가 인 경우

• x(t-)의 푸리에 계수 은

• 진폭 스펙트럼은 변화가 없다.

cn

dn

0

0

0

( )

0 0

0

1 1

( ) ( )

1 ( )

o o

o o

o o

jn t jn t jn

n T T

jn jn

T jn

n

d x t e dt x t e e dt

T T

e x e d

T

e c

    

   

 

 

 

   

 



   



 

 



n n

d  c



주기 신호의 평균 전력

• Real valued signal의 경우

•

Parseval’s Theorem

0

2 2

0

1 ( ) _n

T n

P x t dt c

T











2 2

0

1

2 _n

n

P c c





 



2 is called power spectrum cn



[proof]

• 의 푸리에 계수

• z(t)의 푸리에 계수

• z(t)의 직류값(k = 0에서의 푸리에 계수)

• x(t) = y(t)인 경우

0 0

0 0

* *

( )

* *

( ) ( ) ( ) _n ^{jn t} _m ^{jm t}

n m

j n m t jk t

n m k m m

n m k m

z t x t y t c e d e

c d e c d e

 

 

 



 

   



    

 

 

   

 

   

( ) ( ) ( )*

z t  x t y t

0 0

* *

0

1 ( ) ( ) ^{jk t}

k m m m T

c d x t y t e dt

T

 



 





0

* *

0

1 ( ) ( )

m m T

m

c d x t y t dt

T









0

2 2

0

1 ( )

n T

n

c x t dt

T











크기가 1이고 펄스 폭이 1인 사각 펄스(구형파)

• 크기가 A이고 펄스 폭이 인 사각 펄스:

Rectangular Pulse

 

( ) ( )

0 otherwise

1 1

2 2

t rect t t

u t u t

   

   



   

      

( )t



1 t 2 1

2

1

( / ) A t 

t 2

 2



A

( / ) A t 



크기가 1이고 펄스 폭이 2인 삼각 펄스

• 크기가 A이고 펄스 폭이 2인 삼각 펄스:

Triangular Pulse

1 for 1 1 ( ) 0 otherwise

t t

t      

  



( / ) A t 

( )t



t 1 1



1

( / ) A t 

 t



A



Sa 함수와 sinc 함수

Sampling Function

Sa( )t

t 1

0  3

 2  ² 3

sinc( )t

t 1

0 1

3 2 1 2 3

Sa( ) sint t  t

sinc( ) sin t Sa( )

t t

t

 

  



[Example] Rectangular Pulse Train

• 주기가 T₀이고 펄스폭이 ^{인 구형 펄스 열}

( ) 0 k

t kT

x t 





  





1 

T0

T0

 0 2⁰

0 T 2

T

( ) x t

 



[Example] Rectangular Pulse Train

i) n = 0: dc value

0 2 /T0 / 2

   

0 0

0 0

2 2

2 2

0 0 0

2

0 2 0

1 1 2

( ) ( ) exp

1 2

(1) exp

o

T T

jn t

n T T

j nt

c x t e dt x t dt

T T T

j nt

T T dt













 



  

   

 

 

  

 

 



2

0 2

0 0

1 (1)

c dt

T T











ii) n ≠0

   

 

0 0

2 2

2 2

0 0 0 0

2

0 2

0 0

0 0

0 0

0 0 0

1 2 1 2

( ) exp (1) exp

1 2

2 exp

1 exp exp

2

sin / si

sinc

n /

/ sinc

T

n T

j nt j nt

c x t dt dt

T T T T

j nt

j n T

j n j n

j n T T

n T n T

n T n T

n

T T T n









 







   



    

  

 

 



 

   

     

   

 

   

    

     

   

 

 

 

  

 

 

 

0

0

0 0

0 2

Sa n

f n

T T Sa

T

  



  

 

  

 

 

 

 



[Example] Rectangular Pulse Train

• Spectrum shape :

• 의 파형은 진동하면서 감쇠하고, 마다 zero-crossing

• First zero-crossing frequency:

0

0 0

0 0

0

( )

2 2

( ) 2

n

n

c c n Sa n Sa

T T

c Sa

T



 

  



 



   

      

   

 

  

 

( )

c    n / (n  0)

   /



cn

2

 /T0



0 ₂₀3₀

0

( ) 2

c Sa

T

 

  ^ ^

16/80



비주기 신호의 주기적 확장

비주기 신호의 Fourier Transform

x t( )

t

T T

 0

p( ) x t

 

extension T  

0

2 2 0

0

( )

1 ( ) ( 2 / )

2 2

o

o

jn t

p n

n

T jn t

n p

T

n

n

x t c e

c x t e dt T

T

c Sa Sa n

T T





 

 

 

  













 

 

 

     





cn

T0



0

2 T



cn

2T0



T0



T T0

2 0

T  T

 

0

1. Spectrum shape :

2 2. First zero-crossing :

2

2 2

c Sa

T

n n

T

 



 

 

 



 

  



  



2





2





Define discrete frequency 

as



Define X( 

)



Let then

0

2

n n n

T

   

2

( )_{n n} ^T 2 _p( ) ^{jn ot} X  Tc T x t e^{ } dt





T  

( )_{n n} ^T ( ) ^{j t} ( )

X  Tc ^{ } x t e^{ } dt X 

 



   

0

0 0

( ) lim ( ) lim lim 1

lim ( )

2 2

o o

o

jn t jn t

p n n

T T T

n n

jn t j t

T n n

x t x t c e Tc e

T

Tc e X e d

 

 



  

 

 

  

 

 

  



  

  

 

 



Fourier Transform



Inverse Fourier Transform



주파수 변수를  대신 f를 사용하면

 

F

( ) ( ) ( )

2

j t

d

x t X  X  e





 

  

 

( ) ( ) ( )

X  x t

x t e

dt

 ^F  

 

 

2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

j ft

j ft

X f x t x t e dt

x t X f X f e df





 



 



 

 





F F



Continuous Spectrum

• 주기 신호의 푸리에 스펙트럼이 이산 스펙트럼

• 비주기 신호의 푸리에 스펙트럼은 연속 스펙트럼



Amplitude spectrum and phase spectrum

arg ( )

( ) ( )

1) ( ) : amplitude spectrum 2) arg ( ) : phase spectrum

j X

X X e

X X

 









[예제 5.1] Rectangular Pulse with pulse width 

1 / 2

( ) ( / )

0 otherwise

x t t t 

 ^{ }

   



 

2

2

( ) e

0,

e sin 2

0,

2

2

j t

j t

t dt

If

If j

Sa

 



 





 



 

 

 









 

 

  

  

         

 



 

  



F

0 t

1 ( ) x t





[예제 5.1] Rectangular Pulse with pulse width 

( / )

t   Sa ^  2 ^

     

F

 ( )

X 

2



4



6







[예제 5.2] Impulse

( ) t 1

 

 





F

t ( ) ( )

x t  t

0 

( ) 1 X  

0

 1



[예제 5.3] Inverse Fourier transform of  (  )

1 

2    ( )   ( ) f

 

1 0 1

( ) ( ) ( )

2 2 2

j t d d

e ^  e 

     

  

 



 







F

t ( ) 1

x t 

0 

( ) 2 ( ) X    

0

1  (2 )



[예제 5.4] Inverse Fourier transform of rectangular spectrum

• Rectangular spectrum of bandwidth / 2

 

1

2

2

2

( ) ( ) e

2 0, 2

1 exp( ) sin 2

0, 2 2

2

2 2

j t d x t

If t

t If t j t

jt t Sa t

 







  







  

  

 









  

 



  

           

   

 



x F

1 / 2

( ) ( / )

0 / 2

X  

  

 

 

   

 



[예제 5.4] Inverse Fourier transform of rectangular spectrum

• Rectangular spectrum of bandwidth / 2

1

2 2

Sa  t 

  

   

          

F

 1

 1

 2



 ( ) x t

2

 2

 0

t



( ) X 

( )a ( )b



[예제 5.5] Exponential function

( ) ^at ( ), 0 x t  e^ u t a 

( )

( ) ( ) 0

1 , 0

at j t a j t

X e e u t dt e dt

a j a

 





     

  

 



 

2 2 2

1

1 1 1

( )

1

arg ( ) tan

X a a

a

X a

  

 ^ 

  

  

   

     

( ) (0) 1

2

arg ( )

4

X a X

X a 

 

 



[예제 5.5] Exponential function

( ) 1 e

u t

a j 







F

2

1 1

( )

1

X a

a

 ^ _{ }

   

( ) tan 1

X a

   ^{  } 

  ( )

X 

( ) X  a a



a a



1

a 1

2 a

2



2



4



4







t ( ) ^at ( )

x t e^ u t

1 