2 단일관수로

2 단일관수로

 단일관수로 : 2개의 수조를 분기됨 없이 단선관으로 연결한 경우

 병렬관수로 : 하나의 관수로가 중도에 분기했다가 다시 합쳐지는 경우나, 2개 저수지를 2개의 별도의 관으로 연결한 경우

 다지관수로 : 여러 개의 관이 서로 다른 저수지에 연결된 경우

2.1 등 단면 관수로

 수면상의 점 1,2 사이에 베르누이방정식을 적용하면

2 단일관수로

 V₁ 및 V₂는 관 내의 유속 V에 비해서 무시 가능하고, p₁, p₂는 대기압으로서 0이므로 z₁-z₂=H인 점을 고려하여

 두 수조의 수면차 H는 총수두손실 H_L과 같다.

부 차 적 손 실 인 입 구 손 실 과 출구손실을 고려하면

 관의제원 (d, ℓ, e]과 양 수조의 수면차 H가 주어지면, 관을 통해 흐르는 유량[Q]를 구하는 문제의 경우 유형(3)의 문제로 되어 반복계산법을 통해 위 식에서 V를 계산하고 이로부터 유량을 구할 수 있다.

 K_e : 입구손실계수, 0.5

 K₀ : 출구손실계수, 1.0

 ℓ/d의 값이 큰 경우에는 입구손실과, 출구손실을 무시하고 계산해도 오차는 작다.

2 단일관수로

예제 10.5 수면차가 H=10m, d=0.3, 관의 길이 ℓ=1km 인 관을 통해 흐르는 유량을 두 가지 방법에 의하여 구하라. 단 관은 주철관으로 절대조도는 e=0.26mm, 조도계수 n=0.011 임.

(a) 시행착오법

1. 흐 름 을 완 전 난 류 로 가 정 , e/d=0.26/300=0.00087, Moody 도 표 를 찾 으 면 f=0.0195를 얻는다. 이를 초기 가정치로 하면

V를 구하기 위해서는 f를 가정하지 않으면 안됨.

2. 이것을 이용하여 얻은 Re=516000과 e/d=0.00087을 이용하여 Moody 도표로부터 f=0.0198 을 얻 는다. 이 값이 초기 가정 치와 일치 하지 않 으으로 f=0.0198 을 재가정치로 하여 계산하면

1.72 / sec V = m

1.70 / sec, Re 510000

V = m =

2 단일관수로

3. 다시 Re와 e/d를 이용하여 f를 찾으면 f=0.0199가 되어 바로 앞 가정치 0.0198과 근사하므로 V=1.70 m/sec로 보고 유량을 계산한다.

(b) Manning의 마찰계수 이용

1.58 / sec

V = m

2 단일관수로

2.2 부등단면 관수로

 관이 중도에 급 축소되어 2개의 수조 A, B에 연결되어 있는 경우를 생각해보자.

 두 수조의 수면상의 점 1, 2에 베르누이 방정식을 적용하면,

2 2

1 2 2

1

V d V

d

 

=  

 

2 단일관수로

 부등단면 관수로의 흐름문제를 아래의 두 가지 경우에 대해서 생각해 본다.

(1) 관의 제원(d, ℓ, e)과 유량 Q가 주어진 경우 수면차 H를 구하는 문제 (2) 관의 제원(d, ℓ, e)과 H가 주어지고 Q을 구하는 문제

(1) d, ℓ,e와 Q가 주어지고 H를 구하는 문제

 관의 제원과 Q(또는 V)가 주어졌으므로 Re와 e/d로부터 Moody 도표를 사용하여 마찰계수 f를 결정할 수 있어 H를 쉽게 구할 수 있음.

(2) d, ℓ,e와 H가 주어지고 Q를 구하는 문제

 복 잡 한 해 석 절 차 가 따 르 는 유 형 으 로 (a) 시 행 착 오 법 , (b) 도 식 해 법 , (c)등가길이관을 이용하는 방법이 있음.

2 단일관수로

(a) 시행착오법

 Manning의 마찰계수식을 사용하면 시행 착오없이 곧 바로 마찰계수를 산정할 수 있음

2 1/3

124.5n

f = d

2 단일관수로

(b)도식해법

 시행착오법에서 마찰계수를 가정하는 것과는 달리 도식해법에서는 유량을 가정한다.

 유량을 가정하면 관의 제원, 유량이 주어지고 수면차 H를 구하는 문제로 됨.

1. 작 은 유 량 값 으 로 부 터 등 간 격 으 로 적당한 개수의 유량, Q₁, Q₂, Q₃,…를 가정한다.

2. 그림과 같이 가정한 유량, Q₁, Q₂, Q₃,…

와 그 에 대 응 하 는 H₁, H₂, H₃,… 의 관계를 그래프로 그린다.

3. 문 제 에 서 주 어 진 H 를 찾 고 그 점 으 로 부 터 종 축 에 평 행 선 을 그 어 그래프와 교차하는 점에서 수평으로 그어 유량축과 만나는 값이 구하고자 하는 유량 Q가 된다.

 단면 변화가 여러 형태로 나타나는 문제의 경우에는 시행착오법으로 문제를 해결하기 매우 어렵고 번거로우므로 도식해법을 이용하는 것이 바람직함.

2 단일관수로

(c)등가길이관을 이용하는 방법

 등가길이관이 되기 위한 조건  지름(d₁, d₂)과 길이(ℓ₁, ℓ₂)가 다른 두 관이 등가길이관이 되기 위해서는 같은 유량에서 동일한 수두손실을 나타내야 함.

 등가길이관을 계산하는 경우에 주의할 점

- 각 관에 부차적 손실이 포함되어 있을 때 식 로 표시되는 등가길이를 미리 계산하여 각 관의 길이에 더해 주어야 함.

e /

l = Kd f

 d₁인 관에 포함되는 부차적 손실에 대한 등가길이

 d₂인 관에 포함되는 부차적 손실에 대한 등가길이

 지름 d₁이고 길이 ℓ₁′인 관을 직경 d₂인 관으로 등가 시켰을 때 등가길이 ℓ_e를 구해보면

 Darcy-Weisbach 식을 적용하면

2 단일관수로

 h_L1=h_L2, Q₁=Q₂의 조건을 대입하고 등가길이 ℓ_e로 정리하면

 위 식은 길이 이고, 지름이 d₁인 관을 지름 d₂인 관으로 등가시켰을 때의 길이를 나타냄.

 일반적으로 지름이 큰 관을 지름이 작은 관으로 등가시키는 것이 바람직함.

 등가길이 ℓ_e를 지름이 d₂이고 길이 ℓ₂+ℓ_e2인 관에 더해주면 이 문제는 결국 지름 d₂이고 관의 길이가 ℓ₂+ℓ_e2+ℓ_e이고 부차적 손실이 없는 관의 문제로 귀결됨.

2 단일관수로

 등가길관의 개념을 이용하여 부등단면관의 문제를 푸는 절차를 간단히 살펴보면

(10.15) (10.19)

2 단일관수로

예제 ) 2개의 수조를 잇는 부등단면관을 통해서 흐르는 유량을 (a)시행착오법, (b)도식해법, (c)등가길이관 개념을 이용하여 구하라.

2 단일관수로

(a)시행착오법

1. 흐 름 을 완 전 난 류 로 가 정 하 고 , e₁/d₁=0.00077, e₂/d₂=0.003 과 Moody 도 표 로 부 터 초기가정치 f_1, f₂를 구한다.

1

0.018,

0.026

f = f =

2. 부차적 손실 계수를 결정해 둔다.

0.5, 0.28,

1.0

e sc

K = K = K =

3. 식(10.13)에 주어진 값을 대입하면

4. 위에서 구한 f₁, f₂를 대입해서 V₁, V₂를 구하면

1

1.55 / sec,

3.48 / sec

V = m V = m

2 단일관수로

5. V₁, V₂로 부터 구한 레이놀즈 수와 상대조도 e₁/d₁=0.00077, e₂/d₂=0.003을 이용하여 Moody 도표로부터 재차 f₁ 및 f₂를 구한다.

5 6

1 1 1 2 2 2

Re = V d / ν = 9.30 10 , Re × = V d / ν = 1.39 10 ×

6. 값이 초기 가정치와 거의 근사하므로 계산을 여기서 끝내도 좋다. 초기 가정치와 나중 값이 일치하지 않는 경우에는 나중 값을 재가정치로 하여 반복 계산함.

1

0.019,

0.026

f = f =

7. 유량 산정

2 단일관수로

(b)도식해법

1. 작 은 유 량 값 으 로 부 터 등간격으로 적당한 개수의 유량을 가정하여, V₁, V₂, Re₁, Re₂, f₁, f₂ 를 구 해 서 식 (10.13) 으 로 부 터 그 에 대응하는 H를 구한다.

2. 그림과 같이 가정유량 Q₁, Q₂,… 에 대응하는 H₁, H₂,…

의 그래프를 그린다.

3. 주 어 진 H 를 찾 고 그 점 으 로 부 터 종 축 에 평 행 선 을 그 어 그 래 프 와 교차하는 점에서 수평으로 그어 유량축과 값을 찾는다.

이 값 이 구 하 고 자 하 는 유량임.

2 단일관수로

(c)등가길이관 개념

1. 식(9.81)을 이용하여 관 1에 포함되는 부차 손실의 등가길이 ℓ_e1과 관 2에 포함하는 부차손실의 등가길이 ℓ_e2를 각각 구함.

2. 부차적 손실을 마찰손실로 환산한 관의 길이는 다음과 같다.

2 단일관수로

3. 식(10.18)을 이용하여 지름 d₁의 관을 d₂로 등가시켰을 때의 등가길이 ℓ_e를 구한다.

이 문제는 지름 40cm이고, 총 길이가

인 부차적 손실이 없는 등단면 단일관의 문제가 됨

2 _e2 _e

219.69 30.39 250.08

l + l + = l + =

4. 앞에서 구한 f₂와 결과를 이용하여 식(10.19)로부터 유속과 유량을 구함.

3.47 / sec

V = m

2 단일관수로

2.3 사이폰(siphon)

 사이폰 : 관이 동수경사선(H.G.L) 위 쪽에 놓이는 관수로

 동수경사선 보다 위에 놓인 관로 내의 압력은 (-) 압력이 된다.

 관수로 상 임의의 점에서 에너지경사선과 동수경사선 사이의 연직거리는 속도수두이고, 동수경사선과 관 상의 연직거리는 압력 수두임.

2 단일관수로

 정점 S에서의 전 수두 H_s(에너지 선까지의 연직거리)는 다음과 같다.

 속도수두 V²/2g이 (+)값 이므로

 S 점의 압력수두 p_s/γ 는 (-) 값을 나타낸다

 P, Q 사이의 관 내는 (-) 압력이 되고, (-)압력은 정점 S에서 최대가 됨.

 사이폰의 원리는 압력이 큰 T에서 S로 물이 운반되고 정점 S에서는 높은 위치에서 얻은 위치에너지가 (-)압력을 보상하고 R로 흐르게 됨.

 점 1, 2에 베르누이정리를 적용하면

(10.20)

2 단일관수로

 (-)압력으로 나타나는 정점 S에서의 압력을 구해보면 점 1과 S점 사이에 베르누이정이를 적용하면

 P_s/γ에 대해서 정리하면

(10.21)

 식(10.20)과 (10.21)로부터 V²/2g를 소거하면

 (z₁-z_s)<0 이면 p_s/γ 가(-)

 (z₁-z_s)>0 이 면 두 번 째 항 의 절 대 치 가 (z₁-z_s) 보 다 큰 경우에 p_s/γ는 (-)

2 단일관수로

 S점에서의 압력수두는 정점 S로부터 동수경사선까지의 연직거리로 다음과 같다.

 H_p의 크기는 이론상으로 대기압과 같은 수두로서 약 10m

 실제로 사이폰 작용이 가능한 정점의 수두 H_p는 8.0~8.5m 정도로 이 값을 초과하면 사이폰 작동이 제대로 되지 않음.

 수면차 H가 커지면 H_p도 함께 증가하므로 결국 H_p가 한계값 H_pc에 이르면 H값은 최대값 H_max를 나타냄.

 이것이 사이폰이 작동할 수 있는 최대 수면차가 됨.

 P_s/γ=-H_pc를 대입하면 H_max는 다음과 같이 구할 수 있음.

1 2

0

max 1

1

[ ( )]

1

e b

pc s

e b

l l

K f K K

H H z z d

K f l K d

+ + + +

= + − ×

+ + +

2 단일관수로

예제 ) 사이폰을 통해 I 저수지에서 II 저수지로 물을 수송한다. I 저수지의 수위는 98m, 정점 S 까 지 의 높 이 z_s=100m, ℓ₁ = 1000m, ℓ₂ = 2000m 인 관 의 지 름 은 d=0.6m 임 . 관 의 마찰손실계수와 부차적손실계수가 각각 다음과 같을 때 두 수조의 수면차 H의 최대값과 유량을 구하라.

0.024,

0.5,

0.2,

1.0

f = K = K = K =

식(10.24)로부터

유량을 구하면