QM5.1
제5장 동일한 입자들로 이루어진 물리계
5.1 두 개의 입자로 이루어진 물리계
* 파동함수(상태함수), 슈뢰딩어 방정식
1. 한 개의 입자; 상태함수 r(당분간 스핀 고려 않음)
2. 두 개의 입자; 첫 번째 입자의 좌표(r) 두 번째 입자의 좌표(r) 1) 상태함수는
r r [5.1]
2) 슈뢰딩어 방정식
[5.2]
; 시스템 전체의 해밀토니안
∇
∇r r [5.3]
3) 통계적 해석
∣r r∣rr [5.4]
입자 1을 r 범위 내에서 입자 2을 r 범위 내에서 발견할 확률.
규격화 조건
∣r r∣rr [5.5]* 민시간 슈뢰딩어 방정식
1. 시간에 무관한 퍼텐셜의 경우 시간 공간 변수분리 가능.
r r r r [5.6]
2. [5.2]에 대입
∇
∇ [5.7]
; 물리계의 총에너지
과제
연습문제 5.1, 5.2
5.1.1 보존과 페르미온(Bosons and Fermion)
* 두 입자로 이루어진 물리계의 파동함수(잠정)
1. 입자 1는 상태 r에 있고 입자 2는 상태 r에 있다 가정하면
r r rr [5.9]
두 입자를 구분할 수 있다는 가정을 해야 한다.
2. 구분할 수 없다.
왜냐하면 “이(this)” 전자, “저(that)” 전자의 구별 자체가 불가능하기 때문이다.
3. 단지 “한” 전자(an electron)에 대해서만 이야기 할 수 있다.
“한” 전자(an electron) → “어떤” 전자 하는 것이 나을 듯.
* 페르미온과 보존
1. 어느 입자가 어느 상태에 있는가에 대하여 정보를 주지 않는 방식으로 파동함수를 구성.
±r r rr ± rr [5.10]
(+) 부호에 해당하는 입자들; 보존(광자, 중간자) (-) 부호에 해당하는 입자들; 페르미온(전자, 양성자)
스핀이 정수인 모든 입자들은 보존이고,
스핀이 정수(홀수)의 절반인 모든 입자들은 페르미온이다.
2. 스핀과 통계의 관계 상대론적 양자역학에서 증명할 수 있다.
3. 비상대론적 양자역학에서는 공리(axiom)로 받아들여진다.
*** 파동함수를 기입하는 방식이 다르므로 경우의 수가 다르고 통계의 특성이 달라 짐. 보존은 Bose-Einstein 통계, 페르미온은 Fermi-Dirac 통계 ***
* 파울리의 배타원리(Pauli exclusion principle)
1. 두 개의 동일한 전자(페르미온)는 같은 상태에 있을 수 없다.
라면
rr Arr rr 이런 상태 없다.[∵ 파동함수가 0.]
2. 전자뿐 아니라 동일한 페르미온은 같은 상태에 있을 수 없다.
* 교환연산자, 대칭화 요구조건
1. 교환연산자(exchange operator) ; 1) 역할; 두 입자의 위치를 바꾸는 것.
r r f r r [5.12]
2)
3) 고유치는 ±
(증명; 고유치를 , 고유함수를 라 하자.
→ ± )
2. 두 입자가 동일하다면 해밀토니안에서 두 입자는 똑같이 다루어져야 한다.
1) , r r V r r, 즉, 해밀토니안이 대칭적.
2) 와 는 서로 호환됨. [∵ 운동에너지는 덧셈으로 표현되므로 순서에 무관]
[5.13]
3) 와 에 대한 동시고유함수 얻을 수 있다.
교환에 대하여
r r ± r r [5.14]
4) 어떤 물리계가 이러한 (대칭 또는 반대대칭) 상태에서 시작했다면 그 물리계는 그 상태를 유지한다.
3. 대칭화 요구조건(symmetrization requirement); 동일한 입자로 이루어진 물리계 는 [5.14]를 만족하는데, 보존의 경우는 (+) 부호, 페르미온의 경우는 (-)부호가 대응 된다.
예제 5.1 (보기) 독자 여러분에게!
[문제 부분] 1. 서로 상호작용하지 않는 두 개의 입자가 있다고 가정해 보자.
2. 그리고 그 두 입자가 서로 통과해 지나간다고 생각해 보자. (실제 실험에서 이를 어떻게 구현할 수 있을까의 문제는 고민하지 말도록 하자.)
3. 두 입자의 질량은 각각 이고 이들은 2.2절에서 다루었던 것과 같이 무한히 깊은 사각 퍼텐셜 우물에 놓여 있다고 가정하자.
[풀이 부분] 1. 그러면 한 개의 입자가 만족하는 상태함수는 다음과 같다.
sin
(여기서 편의상 ≡ 으로 놓았다.)
2. 두 입자를 구분할 수 있는 경우[입자 1은 상태, 입자 2는 상태로 가정]
1) 전체 파동함수는 다음과 같이 각각의 파동함수의 단순한 곱으로 이루어진다.
sin
sin
sin
sin
2) 바닥상태의 파동함수와 에너지 고유치는 다음과 같다.
sin
sin
,
3) 첫 번째 들뜬 상태는 2중 겹친 상태가 된다.
sin
sin
,
sin
sin
, 3. 두 입자가 구별할 수 없는 동일한 보존
1) 바닥상태는 구별할 수 있는 경우와 똑같다.
sin
sin
, 2) 첫 번째 들뜬 상태는 다음과 같이 겹쳐지지 않은 상태가 된다.
sin
sin
sin
sin
(에너지 고유치는 여전히 이다.)
4. 반면에 두 입자가 동일한 페르미온일 경우 1) 에너지가 인 상태는 없다.
2) 그 대신 바닥상태는 다음과 같고
sin
sin
sin
sin
에너지 고유치는 이다.
과제
연습문제 5.4
5.1.2 교환력(exchange forces)
* 1차원 예제; 두 입자
[한 입자가 상태에 있고, 또 하나의 입자는 상태에 있는 경우. 서로 직 교하며 규격화 되어 있는 경우]
1. 구별 가능한 경우의 파동함수;
[5.15]
2. 동일한 보존인 경우의 파동함수;
[5.16]
3. 동일한 페르미온인 경우의 파동함수;
[5.17]
* 두 입자 사이 거리의 제곱에 관한 기대치
[5.18]
* Case 1: 두 입자가 구별가능한 경우: [5.15] 이용.
1. 각각의 적분 계산
∣∣
∣∣ ×
∣∣
∣∣ ×
∣∣
∣∣ × 2. [5.18]에 대입
적분결과는 적분변수에 무관하므로
[5.19]
(여기서 아래첨자 는 distinguishable(구별가능)을 뜻함.)
* Case 2: 두 입자가 동일하여 구별 불가능한 경우: [5.16], [5.17] 이용.
1. 각각의 적분 계산
±±
±
±
±
±
±
±
× ×
±
× ±
×
마찬가지로
가 된다.
한편
±±
±
±
±
±
±
±
± ±
± 여기서 는
=
[5.20]로 표현된다.
2. 결과는
±
±
∓ [5.21]
* 비교검토
1. [5.19]와 [5.21] 비교
± ∓
± ∓ [5.22]
2. 구별되는 두 입자의 경우와 비교
1) 동일한 두 보존들은 ([5.22]의 복호 중 위쪽) 둘 사이의 거리가 가까워지려는 경 향을 보임.
2) 동일한 두 페르미온들은 ([5.22]의 복호 중 아래쪽) 둘 사이의 거리가 멀어지려는 경향을 보임.
3. 는 두 파동함수 와 가 실제로 겹치지 않으면 0이 됨을 주목하라.
(가 0이 아닌 모든 영역에서 가 0일 경우 적분값은 0이 된다.)
1) 만약 서울에 있는 전자의 상태가 이고 부산에 있는 전자의 상태가가 라면( 가 서울을 벗어나면 0에 가까워지고, 는 부산을 벗어나면 0에 가까워진다면, 즉, 서로 겹치는 효과를 무시할 수 있다면), 파동함수를 반대대칭으로 만들든지 말든지 실 질적으로 차이가 없다.
2) 그러므로 현실적으로는 서로 파동함수가 겹칠 가능성이 (거의) 없는 두 전자는 구 별 가능한 것으로 보아도 상관없는 것이다.
* 교환력과 공유결합 1. 교환력;
두 개의 동일한 입자 파동함수 사이에 겹치는 부분이 있을 경우 (즉 =0이 아닐 수 있음.)
1) 동일한 두 보존의 경우, 마치 인력(force of attraction)이 작용하는 것처럼 보임.
(둘 사이의 거리가 가까워지는 경향을 보임)
2) 동일한 두 페르미온의 경우, 마치 척력(force of repulsion)이 작용하는 것처럼 보 임.(둘 사이의 거리가 멀어지는 경향을 보임) (스핀은 고려하고 있지 않음)
3) 이런 현상을 교환력(exchange force)이라 한다.(힘은 아니다.)
(1) 대칭화 요구조건의 결과로 나타나는, 순수하게 기하학적인 효과이다.
(2) 고전역학에서는 전혀 비슷한 효과를 찾아볼 수 없는 철저하게 양자역학적인 현상 이다.
2. 공유결합(covalent bond); 예로 수소분자(H)를 생각.
1) 수소분자의 바닥상태;
한 전자가 원자핵1 을 중심으로 하는 수소원자의 바닥상태에 있고
다른(동일한) 한 전자가 원자핵2 을 중심으로 하는 수소원자의 바닥상태에 있는 것으 로 볼 수 있다.(기본적으로, 대략적으로)
2) 전자 사이의 교환력이 인력(그림5.1a)이라면 전자쌍이 형성될 수 있고, 원자핵을 이루고 있는 양성자들 역시 가운데로 끌어들이는 결과가 될 것이다.
(공유결합의 원리)
3) 전자가 페르미온이라서 불가능한 것 같지만(그림 5.1b) 스핀이 역할을 함.
* 스핀의 역할
1. 전자의 스핀을 고려하기 위하여 파동함수에 스피너를 곱해준다.
rs [5.23]
2. 두 개의 스핀 1/2 입자의 결합상태([4.177], [4.178])는 단일 상태와 삼중상태가 가 능하다.
1) 삼중상태; 두 스핀의 교환에 대하여 대칭
∣ = ↑↑
∣
↑↓ ↓↑ (triplet)
∣ ↓↓ [4.177]
2) 단일상태; 두 스핀의 교환에 대하여 반대대칭
∣
↑↓ ↓↑ (singlet) [4.178]
3. 대칭 vs. 반대대칭
전체파동함수 스핀상태 공간 파동함수 공유결합
반대대칭 단일상태; 반대대칭 대칭 가능
반대대칭 삼중상태; 대칭 반대대칭 불가능
과제
연습문제 5.7
