밍모의 워드프로세싱

밍모의 워드프로세싱

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ

평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선

1. 이차곡선

2. 평면곡선의 접선

1. 이차곡선

Ⅰ 평면곡선

1 ^포물선

초점을 지나는 직선과 포물선의 정의

유형 5

핵심노트

1 1 1 1 1 1 1

1

¹2012(가) 9월/평가원 26

그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 O 이고 초점이 F인 포물선과 점 F 를 지나고 기울기가 인 직선이 만나는 두 점을 각각 A B라 하자. 선분 AF 를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 일 때, 선분 AB의 길이 는   



^ 이다. ^ ^의 값을 구하시오. (단,  는 정수이다.) [4점]

초점을 지나는 직선과 닮음의 활용

유형 6

핵심노트

2 2 2 2 2 2 2

2

²2013(가) 수능 18

자연수 에 대하여 포물선 ^ 

의 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만

나는 두 점을 각각 P Q 라 하자. PF  이고 FQ _이라 할 때, _{  }



^{ }_^_

의 값은? [4점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선

1 1

1

1

1 1

1

기하와벡터(실력)

1. 이차곡선

정답률 50% 미만 - 4 - fcmath.tistory.com

최단거리 구하기

유형 7

핵심노트

3 3 3 3 3 3 3

3

^{3실질정답률 72%}

그림과 같이 두 점 O  , A  과 포물선   

^  위의 점 P 에

대하여 삼각형 OAP 의 둘레의 길이가 최소일 때, 삼각형 OAP 의 넓이는?

[3점]

①  ② 

 ③  ④ 

 ⑤ 

2 ^{타 원}

타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합

유형 2

핵심노트

4 4 4 4 4 4 4

4

⁴2005(가) 수능(홀) 22

타원 

^

 

^

 의 두 초점을 F 와 F′이라 하고, 초점 F 에 가장 가까운

꼭짓점을 A 라 하자. 이 타원 위의 한 점 P 에 대하여 ∠PFF′  

일 때,

PA^의 값을 구하시오. [4점]

1. 이차곡선

Ⅰ 평면곡선

타원의 방정식과 중점연결 정리

유형 4

핵심노트

5 5 5 5 5 5 5

5

⁵2012(가) 6월/평가원 27

두 점 F   , F′  을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 P , Q 에 대하여 원점 O에서 선분 PF와 선분 QF′에 내린 수선의 발을 각각 H 와 I 라 하자. 점 H 와 점 I 가 각각 선분 PF 와 선분 QF′의 중점이고,

OH × OI 일 때, 이 타원의 장축의 길이를 이라 하자. ^의 값을 구하시 오. (단, OH ≠ OI) [4점]

타원의 성질

유형 5

핵심노트

6 6 6 6 6 6 6

6

⁶2018(가) 6월/평가원 17

그림과 같이 한 초점이 F    인 타원 

^

^

 ^

^

 과 두 점 A , B 가 있다. 점 B를 중심으로 하고 점 F 를 지나는 원이  축과 만나는 점 중에서  좌표가 양수인 점을 C라 할 때, 직선 CF 와 직선 CA 가 이루는 예각의 크기를  라 하자. tan∠CFB 

일 때, tan 의 값은?

(단,    는 양수이다.) [4점]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



기하와벡터(실력)

1. 이차곡선

정답률 50% 미만 - 6 - fcmath.tistory.com

타원의 정의를 이용한 넓이 구하기

유형 6

핵심노트

7 7 7 7 7 7 7

7

⁷2009(가) 삼사 17

그림과 같이 장축의 길이가 , 단축의 길이가 인 타원이 있다. 이 타원의 두 초점 F F′에 대하여 삼각형 AF′F 의 넓이가



^ 가 되도록 타원 위의 점 A 를 정할 때, ∠F′AF   라 하면 cos  의 값은? [4점]

 A

F ′ F

①  

 ②  

 ③  



④  

 ⑤  



타원과 원

유형 7

핵심노트

8 8 8 8 8 8 8

8

⁸2013(B) 10월/교육청 27

그림과 같이 점 A     을 중심으로 하고 반지름의 길이가  인 원과 타원



^

 

^

 의 한 교점을 P 라 하자. 점 B 에 대하여

PA  PB 일 때,   의 값을 구하시오. [4점]

1. 이차곡선

Ⅰ 평면곡선

3 ^쌍곡선

쌍곡선의 점근선

유형 2

핵심노트

9 9 9 9 9 9 9

9

⁹2018(가) 10월/교육청 10

직선    가 두 쌍곡선 ^ ^ , 

^

 

^

   중 어느 것과도 만나지 않도록 하는 정수  의 개수는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

10 10 10 10 10 10 10

10

¹⁰2006(가) 9월/평가원 9

쌍곡선 

^

 

^

  의 두 초점 



^   ,  



^  을 각각 F F′

이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점 P    ＞ 에 대하여 선분 F′P 위의 점 Q 가 FP PQ 를 만족시킬 때, 점 Q 가 나타내는 도형 전체의 길이는? [4점]

①  ②



^  ③ 

④  ⑤ 



^ 

초점을 지나는 쌍곡선의 둘레의 길이

유형 3

핵심노트

11 11 11 11 11 11 11

11

¹¹2017(가) 10월/교육청 20

쌍곡선 ^ ^  위의 점 P 와  축 위의 점 A  이 있다. AP 의 최 솟값을   라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ.     ㄴ. 방정식    

의 실근의 개수는 이다.

ㄷ. 함수  가 미분가능하지 않은 의 값의 개수는 이다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

기하와벡터(실력)

1. 이차곡선

정답률 50% 미만 - 8 - fcmath.tistory.com

쌍곡선의 정의와 원의 활용

유형 4

핵심노트

12 12 12 12 12 12 12

12

¹²2018(가) 4월/교육청 28

그림과 같이 두 초점이 F  , F′  (  )이고, 주축의 길이가 인 쌍곡선 ^

^

 ^

^

 과 점 A  를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원  가 있다. 제사분면에 있는 쌍곡선 위를 움직이는 점 P 와 원  위를 움 직이는 점 Q 에 대하여 PQ PF′ 의 최솟값이 일 때, ^ ^의 값을 구 하시오. (단, 와 는 상수이다.) [4점]

^

^

 ^

^

 

F P A Q





O  F′

쌍곡선과 타원

유형 6

핵심노트

13 13 13 13 13 13 13

13

¹³2016(가) 10월/경남 27

좌표평면에서 두 초점이 F F′인 쌍곡선 

^

 

^

 이 타원



^

 

^

 과 제사분면에서 만나는 점을 P 라 하자. 삼각형 PF′F 에 내 접하는 원과 선분 PF 가 만나는 점을 A 라 할 때, PA  AF  



^ 이다.

  의 값을 구하시오. (단, 점 F의 좌표는 양수이고,  는 정수이다.) [4점]

1. 이차곡선

Ⅰ 평면곡선

쌍곡선과 포물선

유형 7

핵심노트

14 14 14 14 14 14 14

14

¹⁴2012(가) 7월/교육청 20

그림과 같이 F    을 초점으로 하는 포물선 ^ 와 F  과 F′   을 초점으로 하는 쌍곡선 

^

^

 ^

^

        이 제

사분면에서 만나는 점을 A 라 하자. AF , cos∠AFF′  

일 때,

의 값은? [4점]

O F 



F′



A ^ 

^

^

 ^

^

 

①  ②



^ ③



^ ④



^ ⑤ 

이차곡선과 점의 자취

유형 8

핵심노트

15 15 15 15 15 15 15

15

¹⁵2002(자) 6월/교육청 22

비행기가 왼쪽에서 날아와 동수의 머리 위 를 지나 오른쪽으로 날아갔다. 비행기가 왼 쪽에서 나타난 지점으로부터 오른쪽으로  (km)만큼 움직였을 때 동수와 비행기 사이 의 거리는  (km)이다. 이때,  와  의 관 계를 나타내는 그래프의 개형은? (단, 비행 기는 일정한 고도를 유지하면서 직선으로 비행하였고, 동수는 움직이지 않았다.) [3점]

① ②

③ ④

⑤

기하와벡터(실력)

1. 이차곡선

정답률 50% 미만 - 10 - fcmath.tistory.com

16 16 16 16 16 16 16

16

¹⁶2008(가) 9월/평가원 8

좌표평면에서 원 ^ ^  위를 움직이는 점 P 와 점 A  에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 Q 전체의 집합을 라 하자. (단,  ≠ )

(가) 점 Q 는 선분 OP 위에 있다.

(나) 점 Q 를 지나고 직선 AP 에 평행한 직선이 ∠OQA 를 이등분한다.

집합의 포함관계로 옳은 것은? [4점]

①  ⊂



^{  }



^

  ^

 

  ^

 



②  ⊂



^{  }



^

  ^

 

  ^

 



③  ⊂



^{  }



^

  ^

 

^

 



④  ⊂



^{ }



^

  ^

 

^

 



⑤  ⊂



^{ }



^

  ^

 

^

 



17 17 17 17 17 17 17

17

¹⁷2012(가) 삼사 19

좌표평면 위를 움직이는 두 점 A  sin  



^ 



^ sin  , Bcos  



^ cos  와 점 C  에 대하여 선분 AB 의 중점을 M 이 라 하고, CM 이 최대일 때 점 M 을 D , CM 이 최소일 때 점 M 을 E라 하 자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  ≤  ≤ ) [4점]

ㄱ. 점 M 이 그리는 도형은 타원이다.

ㄴ. CD  CE 



^

ㄷ. ∠DOE  라 하면 tan   





^ 이다.

(단, O 는 원점이다.)

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18 18 18 18 18 18 18

18

¹⁸2002(자) 삼사 23

그림과 같이 일직선으로 된 해안가에 있는 두 등대 A , B 사이의 거리는

 km 이다. 이 해안가로부터  km 떨어진 해상에 두 지점 P , Q 가 있다. 등 대 A 와 B 로부터 P 지점까지의 거리의 차와 등대 A 와 B로부터 Q 지점까 지의 거리의 차가 모두  km 이다. 어떤 배가 해안선과 평행하게 분속

 km 의 속력으로 P 지점과 Q 지점 사이를 통과하는 데 걸리는 시간은 몇 분인가? [4점]

P

A  km B

 km

Q

① 



^ ② 



^ ③ 



^

④ 



^ ⑤ 



^

19 19 19 19 19 19 19

19

¹⁹2006학년 삼사(가) 18

쌍곡선 ^  ^ 이 축과 만나는 점을 각각 A , B라 하고, 직선

   (단,   )가 이 쌍곡선과 만나는 점을 각각 C, D 라 하자. 의 값이 변함에 따라 두 직선 AC와 BD의 교점 P 는 곡선을 그린다. 이때, 이 곡선의 두 초점 사이의 거리는? [4점]

① 



^ ② 



^ ③ 



^

④ 



^ ⑤ 



^

2. 평면곡선의 접선

Ⅰ 평면곡선

2 ^{평면곡선의 접선}

기울기가 주어진 포물선의 접선

유형 2

핵심노트

20 20 20 20 20 20 20

20

²⁰2013(B) 6월/평가원 29

좌표평면의 포물선 ^  위의 점 A 에 대하여 점 B는 다음 조건을 만족 시킨다.

(가) 점 A 가 원점이면 점 B도 원점이다.

(나) 점 A 가 원점이 아니면 점 B는 점 A , 원점 그리고 점 A 에서 의 접선이 축과 만나는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심이다.

점 A 가 포물선 ^  위를 움직일 때 점 B가 나타내는 곡선을  라 하 자. 점   을 지나는 직선이 곡선  와 두 점 P, Q에서 만나고 PQ 

일 때, 두 점 P, Q 의 좌표의 값의 합을 구하시오. [4점]

기울기가 주어진 타원의 접선

유형 4

핵심노트

21 21 21 21 21 21 21

21

²¹2016(가) 4월/교육청 21

닫힌 구간      에서 정의된 함수 는





^{   }  ≤  ≤ 

       ≤ 

이다. 좌표평면에서   인 실수 에 대하여 함수   의 그래프와 타 원 ^

^

 ^ 이 만나는 서로 다른 점의 개수를 g라 하자. 함수 g가 불연속이 되는 모든 의 값들의 제곱의 합은? [4점]

①  ② 

 ③ 

 ④ 

 ⑤ 

평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의

평면곡선의 접선 접선 접선 접선 접선 접선 평면곡선의 접선

2

2

2

2

2 2

2

기하와벡터(실력)

2. 평면곡선의 접선

정답률 50% 미만 - 12 - fcmath.tistory.com

22 22 22 22 22 22 22

22

²²2009(가) 수능 19

타원 

^

 ^ 의 네 꼭짓점을 연결하여 만든 사각형에 내접하는 타원

^

^

 ^

^

 이 있다. 타원 ^

^

 ^

^

 의 두 초점이 F  ,

F′  일 때, ^^ 

이다.    의 값을 구하시오. (단,  는 서로

소인 자연수이다.) [3점]

23 23 23 23 23 23 23

23

²³2012예비(B) 5월/평가원 17

그림과 같이 좌표평면에서 원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 위의 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 P ′이라 하자. 점 P ′을 초점으로 하 고, 축 위에 있는 원의 지름을 장축으로 하는 타원에 대하여 점 P 에서 타원 에 그은 접선 의 기울기가  

일 때, 직선 OP 의 기울기는? [4점]

① 

 ② 

 ③ 

 ④ 

 ⑤ 



접점이 주어진 쌍곡선의 접선

유형 5

핵심노트

24 24 24 24 24 24 24

24

²⁴2007(가) 삼사 17

그림과 같이 쌍곡선 ^ ^  위의 점 P          에서의 접선이 축과 만나는 점을 A , 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 양수인 직선과 만나는 점을 B라 하자. 삼각형 OAB의 넓이를  라 할 때, lim

→ ∞ 의 값은? (단, O 는 원점이다.) [4점]

^ ^ 

P 

A 

O

B



①  ②



^ ③



^

④  ⑤ 



^

2. 평면곡선의 접선

Ⅰ 평면곡선

기울기가 주어진 쌍곡선의 접선

유형 6

핵심노트

25 25 25 25 25 25 25

25

²⁵2007(가) 9월/평가원 9

쌍곡선 ^ ^ 에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

ㄱ. 점근선의 방정식은   ,    이다.

ㄴ. 쌍곡선 위의 점에서 그은 접선 중 점근선과 평행한 접선이 존재한다.

ㄷ. 포물선 ^    ≠ 는 쌍곡선과 항상 두 점에서 만난다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

26 26 26 26 26 26 26

26

²⁶2008(가) 10월/대전 4

세 이차곡선

^   ≠ , ^

^

 ^

^

  ( ≠± ), ^

^

 ^

^

  ( ) 각각에 대하여, 곡선 위에 있는 임의의 점에서의 접선의 기울기들의 집합을

, , 라 하자. 다음 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[3점]

ㄱ.



^





^∈

ㄴ. _  _ ㄷ.  ⊃

< 보 기 >

곡선 밖의 점에서 그은 접선

유형 7

핵심노트

27 27 27 27 27 27 27

27

²⁷2011(가) 수능 5

좌표평면에서 점 A  와 타원 

^

 ^  위의 점 P 에 대하여 두 점 A 와 P 를 지나는 직선이 원 ^   ^ 과 만나는 두 점 중에서 A 가 아닌 점을 Q 라 하자. 점 P 가 타원 위의 모든 점을 지날 때, 점 Q가 나타내는 도형의 길이는? [3점]

① 

 ② 

 ③ 

 ④ 

 ⑤ 



기하와벡터(실력)

2. 평면곡선의 접선

정답률 50% 미만 - 14 - fcmath.tistory.com

곡선 밖에서 그은 두 접선이 수직인 조건

유형 8

핵심노트

28 28 28 28 28 28 28

28

²⁸1997(자) 수능(홀) 15

포물선     ^  위의 두 점     ^ 와     ^ 

에서 각각 그은 이 포물선의 접선은 서로 수직이다. 이 두 접선과 위 포물선으 로 둘러싸인 도형의 면적을  라고 하자. 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고 르면? (단,     ) [2점]

ㄱ. 가 증가하면 도 증가한다.

ㄴ. 가 증가하면 면적  도 증가한다.

ㄷ. 가 변하면 면적  도 변한다.

< 보 기 >

①　ㄱ ②　ㄴ ③　ㄷ

④　ㄱ, ㄷ ⑤　ㄴ, ㄷ

공통 접선

유형 9

핵심노트

29 29 29 29 29 29 29

29

²⁹2018(가) 6월/평가원 19

 이 아닌 실수  에 대하여 좌표평면 위의 두 포물선 ^  와



^{  }





^ 에 동시에 접하는 직선의 개수를  라 하자.

lim

→  

      를 만족시키는 실수  의 값은? [4점]

①  



^

②  





^

③  



^

④ 





^

⑤ 



^

2. 평면곡선의 접선

Ⅰ 평면곡선

3 ^{매개변수의 미분법}

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

유형 1

핵심노트

30 30 30 30 30 30 30

30

³⁰2013(B) 9월/평가원 21

자연수  에 대하여 함수      를 매개변수  로 나타내면











  ^

 ^   ^ 이고,  ≥ ^{ }



일 때 함수      는   _에서 최솟값 _을 갖는다.

_

_

 _

_

 _

_

 _

_

의 값은? [4점]

① 

 ②  ③ 

 ④  ⑤ 



이차곡선을 매개변수로 나타낸 접선

유형 4

핵심노트

31 31 31 31 31 31 31

31

³¹2014(B) 3월/교육청 30

실수  에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 tan sin 인 직선과 원 ^ ^ ^이 만나는 점 중에서  좌표가 양수인 점을 P 라 하고, 점 P 가 나타내는 곡선을  라 하자.    일 때, 곡선  위의 점 P 에서의 접선 과  축 및  축으로 둘러싸인 부분의 넓이는  × ^이다.     의 값을 구하시오. (단,  와  는 유리수이다.) [4점]

기하와벡터(실력)

2. 평면곡선의 접선

정답률 50% 미만 - 16 - fcmath.tistory.com

사이클로이드

유형 5

핵심노트

32 32 32 32 32 32 32

32

³²2015(B) 삼사 21

좌표평면에 중심이  이고 반지름의 길이가 인 원  가 있고, 이 원 위 의 점 P 가 점   의 위치에 있다. 원  는 직선   에 접하면서 축의 양의 방향으로 미끄러지지 않고 굴러간다. 그림은 원  가 굴러간 거리가 일 때, 점 P 의 위치를 나타낸 것이다.

점 P 가 나타내는 곡선을  라 하자.   

일 때, 곡선  위의 점에서의

접선의 기울기는? [4점]

①   ②   ③  



^

④  



^

⑤  



^

밍모의 워드프로세싱

Ⅱ

Ⅱ

Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ

평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터

1. 평면벡터의 연산

2. 평면벡터의 성분과 내적

3. 평면운동

1. 평면벡터의 연산

Ⅱ 평면벡터

1 ^{벡터의 연산}

이차곡선의 벡터의 크기

유형 3

핵심노트

33 33 33 33 33 33 33

33

³³2007(가) 수능(홀) 20

타원 

^

 ^ 의 두 초점을 F F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P 가

^OP  OF 을 만족시킬 때, 선분 PF 의 길이는  이다.  의 값을 구 하시오. (단, O 는 원점이다.) [3점]

벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기의 최대ᆞ최소

유형 4

핵심노트

34 34 34 34 34 34 34

34

³⁴2013(B) 10월/교육청 21

그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 인 네 개의 원 _, _, _, _가 서로 외접하고 있고, 두 원 , 의 접점을 A 라 하자. 원  위를 움직이 는 점 P 와 원 _ 위를 움직이는 점 Q 에 대하여 ^AP  AQ의 최댓값 은? [4점]

① 



^ 



^ ②  ③ 



^  

④ 



^ 



^ ⑤ 

평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의

평면벡터의 연산 연산 연산 연산 연산 연산 평면벡터의 연산

1 1

1

1

1 1

1

기하와벡터(실력)

2. 평면벡터의 성분과 내적

정답률 50% 미만 - 20 - fcmath.tistory.com

1 ^위치벡터

위치벡터를 이용한 점의 자취

유형 3

핵심노트

35 35 35 35 35 35 35

35

³⁵2009(가) 삼사 30

그림과 같이 OA  , OB  , ∠AOB   인 삼각형 OAB가 있다.

연립부등식    ≥  ,    ≤  ,  ≥  을 만족시키는    에 대하 여 벡터 OP   OA   OB 의 종점 P 가 존재하는 영역의 넓이를  라 할 때, ^의 값을 구하시오. [4점]

B

A



 O °

36 36 36 36 36 36 36

36

³⁶2019학년 삼사(가) 20

좌표평면에서 점 A   와 양수  에 대하여 점 P   와 점 Q 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) OA ∙ PQ  (나) 

≤^PQ_{≤ }





 ≤  ≤  에서 ^AQ의 최댓값을  , 최솟값을  이라 할 때,   의 값은? [4점]

① 



^ ② 



^ ③ 



^

④ 



^ ⑤ 



^

37 37 37 37 37 37 37

37

³⁷2019학년(가) 수능 29

좌표평면에서 넓이가 인 삼각형 ABC의 세 변 AB BC CA 위를 움직이 는 점을 각각 P Q R라 할 때,

AX  

  AP  AR   

 AQ

를 만족시키는 점 X 가 나타내는 영역의 넓이가 

이다.

  의 값을 구하시오. 단, 와 는 서로소인 자연수이다. [4점]

38 38 38 38 38 38 38

38

³⁸2014(B) 삼사 15

그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가 

인 부채꼴 OAB에서 선분 OA 의 중

점을 M 이라 하자. 점 P는 두 선분 OM 과 BM 위를 움직이고, 점 Q는 호 AB 위를 움직 인다. OR OP OQ 를 만족시키는 점 R가 나타내는 영역 전체의 넓이는? [4점]

①



^ ②  ③ 



^

④  ⑤ 



^

평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의

평면벡터의 성분과 성분과 성분과 성분과 성분과 성분과 내적 내적 내적 내적 내적 내적 평면벡터의 성분과 내적

2

2

2

2

2 2

2

2. 평면벡터의 성분과 내적

Ⅱ 평면벡터

3 ^{평면벡터의 내적}

각도가 주어진 벡터의 내적

유형 1

핵심노트

39 39 39 39 39 39 39

39

³⁹2007(가) 삼사 6

평면 위에 한 변의 길이가  인 정삼각형 ABC 와 정사각형 BDEC 가 그림과 같이 변 BC 를 공유하고 있다.

이때, AC∙ AD 의 값은? [3점]

①  ②



^

③



^ ④ 

 



^

⑤ 

 



^

40 40 40 40 40 40 40

40

⁴⁰2014(B) 10월/교육청 27

그림과 같이 반지름의 길이가  인 반원의 호를  등분하여 양 끝점과 각 분점 을 왼쪽부터 차례로

P_, P_, P_, P_, P_, P_, P_

이라 하자. 이  개의 점 중에서 임의로 선택한 서로 다른 두 점을 각각 P_, P_  ≤    ≤  이라 하고, 선분 PP_의 중점을 O 라 하자. 두 벡터

OP_, OP_의 내적 OP_∙ OP_의 값을 확률변수  라 할 때,

E   





^

이다.    의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이 다.) [4점]

41 41 41 41 41 41 41

41

⁴¹2008(가) 삼사 7

∠BAC  °이고 ∠BCA   인 둔각삼각형 ABC 가 있다. 그림과 같이 ∠BAC 의 이등분선과 선분 BC 의 교점을 D, ∠BAC 의 외각의 이등 분선과 선분 BC 의 연장선의 교점을 E 라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

A

B D C E

°

ㄱ. AB  AC  AD ㄴ. AB∙ AD  AC∙ AE ㄷ. AB∙ AC  AD ∙ AE

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

A

D E

C

B

기하와벡터(실력)

2. 평면벡터의 성분과 내적

정답률 50% 미만 - 22 - fcmath.tistory.com

벡터의 내적의 부호

유형 2

핵심노트

42 42 42 42 42 42 42

42

⁴²2011(가) 10월/대전 30

그림과 같이 두 점 O_, O_를 중심으로 하는 반지름의 길이가 각각   인 두 원이 내접하고, 큰 원의 지름 AB 와 선분 O_O_가 수직이다. 점 P 가 작은 원 위를 움직일 때, 두 벡터 O_P , O_A 의 내적 O_P∙ O_A 의 최댓값  에 대하여    ^의 값을 구하시오. [4점]

평면벡터의 수직과 평행

유형 4

핵심노트

43 43 43 43 43 43 43

43

⁴³2019학년 삼사(가) 27

그림과 같이 AB , BC  인 삼각형 ABC 에서 선분 AC 를    로 내 분하는 점을 D , 선분 AC 를    로 내분하는 점을 E 라 하자. 선분 BC 의 중점을 F 라 하고, 두 선분 BE, DF 의 교점을 G 라 하자. AG ∙ BE  일 때, cos ∠ABC  

 이다.

   의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이다.) [4점]

A

B C

D

E

F G





2. 평면벡터의 성분과 내적

Ⅱ 평면벡터

44 44 44 44 44 44 44

44

⁴⁴2009(가) 삼사 22

그림과 같은 AD   , AB 



^ , ∠ADB  °인 평행사변형 ABCD 에서 AD   , AB   라 놓는다. 꼭짓점 D 에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 E 라 할 때, 벡터 AE       를 만족시키는 실수  의 값은?

[4점]

A

B C D





① 

 ② 

 ③ 

 ④ 

 ⑤ 



^

45 45 45 45 45 45 45

45

⁴⁵2018(가) 5월/전북 29

좌표평면 위의 네 점 A , B, C, D 가 다음 조건을 만족한다.

(가) 사각형 ABCD 는 정사각형이다.

(나) 점 A 의 좌표는 점 D의 좌표보다 작다.

(다) OA  OC  , OA  OB   

^OC OD^의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.) [4점]

벡터의 내적의 성질

유형 5

핵심노트

46 46 46 46 46 46 46

46

⁴⁶2010(가) 11월/대전 14

그림과 같이 점 O 를 중심으로 하고, 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 내부에 AC  인 점 C를 잡고, ∆ABC의 내접원 의 중심을 O′이라 하자. 선분 AO′의 연장선과 선분 BC의 교점을 N , 반원 과의 교점을 P 라 하고, 선분 BC의 중점을 M , 선분 AM 의 연장선과 선분 BP의 교점을 Q라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. AN ∙ BQ  ㄴ. AN   AB  AC ㄷ. AQ  AM

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

기하와벡터(실력)

2. 평면벡터의 성분과 내적

정답률 50% 미만 - 24 - fcmath.tistory.com

평면벡터의 내적의 성질 활용

유형 6

핵심노트

47 47 47 47 47 47 47

47

⁴⁷2017(가) 10월/경남 29

한 변의 길이가 인 정육각형 ABCDEF 가 있다.

정육각형 ABCDEF 의 내부 또는 변 위의 점 P 가

^PF  PE∙^PD  PE 

을 만족시킨다. ^FP의 값이 최대와 최소가 되도록 하는 점 P 를 각각 P_ P_라 하자. ∠P_FP_  라 할 때, tan  





^ 이다.    의 값을

구하시오. (단,    는 서로소인 자연수이다.) [4점]

내적의 성질을 이용한 빈칸 추론

유형 7

핵심노트

48 48 48 48 48 48 48

48

⁴⁸2005(가) 삼사 16

다음은 ∆ABC에서 BC   , CA   , AB   라 할 때,

∙  ∙    ∙      이면 ∆ABC는 정삼각형임을 증명 한 것이다. (단,  ∙  는 두 벡터  ,  의 내적이다.)

  ㈎ 를 주어진 조건식에 대입하여 정리하면

 ∙ ㈎    ㈎ ∙      ∙   ㈎   ㈏  ∙      ㈏   ∙       와  는 평행하지 않으므로











㈏   ∙   

㈏  ∙   

위의 두 식에서 ∙   ∙  ∴ ^^

같은 방법으로,   ㈐ 를 주어진 조건식에 대입하여 정리하 면 ^^가 얻어진다.

따라서 ∆ABC는 정삼각형이다.

< 증 명 >

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가) (나) (다)

①      ⋅   

②     ⋅  

③   ⋅   

④     ⋅  

⑤    ⋅   

2. 평면벡터의 성분과 내적

Ⅱ 평면벡터

내적의 정의를 이용한 최대ᆞ최소

유형 9

핵심노트

49 49 49 49 49 49 49

49

⁴⁹2016(가) 6월/평가원 28

그림과 같이 선분 AB 위에 AE  DB  인 두 점 D, E가 있다. 두 선분 AE, DB를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 AE , DB 가 만나는 점을 C라 하고, 선분 AB 위에 O_A  O_B  인 두 점을 O_, O_라 하자.

호 AC 위를 움직이는 점 P 와 호 DC 위를 움직이는 점 Q 에 대하여



^OP O_Q



_{의 최솟값이 }^일 때, 선분 AB 의 길이는 

 이다.    의

값을 구하시오. (단,   O_O_  이고,  와  는 서로소인 자연수이다.) [4점]

내적의 기하학적 의미 활용

유형 10

핵심노트

50 50 50 50 50 50 50

50

⁵⁰2010(가) 10월/교육청 11

그림은 AB , AD 



^ 인 직사각형 ABCD 와 이 직사각형의 한 변 CD를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이 원 위를 움직이는 점 P 에 대하 여 두 벡터 AC , AP 의 내적 AC∙ AP 의 최댓값은? (단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.) [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

기하와벡터(실력)

2. 평면벡터의 성분과 내적

정답률 50% 미만 - 26 - fcmath.tistory.com

51 51 51 51 51 51 51

51

⁵¹2010(가) 11월/대전 21

두 점 A , B 와 타원 

^

 ^  위를 움직이는 점 P 에 대하 여, AB∙ AP 가 최대가 되는 점 P 에서의 접선의 방정식은     이 다. ^ ^의 값을 구하시오. [4점]

52 52 52 52 52 52 52

52

⁵²2010(가) 9월/평가원 14

평면에서 그림과 같이 AB  이고 BC 



^ 인 직사각형 ABCD 와 정삼 각형 EAD 가 있다. 점 P가 선분 AE 위를 움직일 때, 옳은 것만을 <보기>에 서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. ^CB  CP의 최솟값은 이다.

ㄴ. CA ∙ CP 의 값은 일정하다.

ㄷ. ^DA  CP_{의 최솟값은 }



이다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

벡터 분해를 이용한 내적의 최대ᆞ최소

유형 11 UP!

핵심노트

53 53 53 53 53 53 53

53

⁵³2017학년 삼사(가) 28

그림과 같이 반지름의 길이가  인 원  와 원  위의 점 A 에서의 접선  이 있다. 원  위의 점 P 와 AB  를 만족시키는 직선  위의 점 B 에 대하 여 PA ⋅PB 의 최댓값을 구하시오. [4점]

P

A B





54 54 54 54 54 54 54

54

⁵⁴2018(가) 6월/평가원 29

좌표평면 위에 AB 인 두 점 A B 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이 가  인 두 원을 각각 _ _라 하자. 원 _ 위의 점 C 와 원 _ 위의 점 D 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) cos∠CAB 



(나) AB⋅CD   이고 CD    이다.

선분 CD 를 지름으로 하는 원 위의 점 P 에 대하여 PA ⋅PB 의 최댓값이

  



^ 이다.    의 값을 구하시오. (단,   는 유리수이다.) [4점]

2. 평면벡터의 성분과 내적

Ⅱ 평면벡터

55 55 55 55 55 55 55

55

⁵⁵2017학년 삼사(가) 29

그림과 같이 반지름의 길이가  이고 중심각의 크기가 

인 부채꼴 OAB 가

있다. 호 AB 위의 점 P 를 지나고 선분 OB 와 평행한 직선이 선분 OA 와 만 나는 점을 Q 라 하고 ∠AOP   라 하자. 점 A 를 지름의 한 끝점으로 하고 지름이 선분 AQ 위에 있으며 선분 PQ 에 접하는 반원의 반지름의 길이를

  라 할 때, lim

 →  

 

   



^ 이다. ^ ^의 값을 구하시오.



단,     

이고,  ,  는 유리수이다.



^[4점]

O  Q A

  P B

56 56 56 56 56 56 56

56

⁵⁶2018(가) 7월/교육청 29]

그림과 같이 평면 위에 OA  



^ 을 만족하는 두 점 O , A 와 점 O 를 중 심으로 하고 반지름의 길이가 각각



^ ,



^ 인 두 원 _, _가 있다. 원

 위의 서로 다른 두 점 P , Q 와 원  위의 점 R 가 다음 조건을 만족시킨 다.

(가) 양수  에 대하여 PQ  QR (나) PQ ∙ AR  이고 PQ  AR  



^

원 _ 위의 점 S 에 대하여 AR∙ AS 의 최댓값을  , 최솟값을  이라 할 때,   의 값을 구하시오. (단, 

 ∠ORA   ) [4점]

O

R

A



_

Q

57 57 57 57 57 57 57

57

⁵⁷2011(가) 수능 22

그림과 같이 평면 위에 정삼각형 ABC와 선분 AC를 지름으로 하는 원  가 있다. 선분 BC 위의 점 D 를 ∠DAB  

 가 되도록 정한다. 점  가 원 

위를 움직일 때, 두 벡터 AD  CX 의 내적 AD∙ CX 의 값이 최소가 되도록 하는 점 X를 점 P 라 하자. ∠ACP 

일 때,   의 값을 구하시오. (단,

와 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

58 58 58 58 58 58 58

58

⁵⁸2017(가) 7월/교육청 29

평면 위에 반지름의 길이가  인 원  가 있다. 원  위의 두 점 A , B 에 대 하여 AB   이고, 이 평면 위의 점 P 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) ^AP 

(나) AB 와 AP 가 이루는 각의 크기를  라 할 때,

cos  는 자연수이다.

원  위의 점 Q에 대하여 AP∙ AQ 의 최댓값을 구하시오. [4점]

기하와벡터(실력)

2. 평면벡터의 성분과 내적

정답률 50% 미만 - 28 - fcmath.tistory.com

59 59 59 59 59 59 59

59

⁵⁹2018학년 삼사(가) 29

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정삼각형 ABC 와 반지름의 길이가  이 고 선분 AB 와 직선 BC 에 동시에 접하는 원  가 있다. 원  위의 점 P 와 선분 BC 위의 점 Q 에 대하여 AP∙ AQ 의 최댓값과 최솟값의 합은

  



^ 이다. ^ ^의 값을 구하시오. (단,  ,  는 유리수이고, 원  의 중심은 삼각형 ABC 의 외부에 있다.) [4점]



B C

P

Q A

60 60 60 60 60 60 60

60

⁶⁰2017(가) 6월/평가원 29

좌표평면에서 중심이 O 이고 반지름의 길이가  인 원 위의 한 점을 A 중심이 O이고 반지름의 길이가 인 원 위의 한 점을 B라 할 때, 점 P가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) OB⋅OP OA ⋅OP (나) ^PA^^PB^ 

PA ⋅PB 의 최솟값은  이고 이때 ^OP  이다.   ^의 값을 구하시 오. [4점]

3. 평면운동

Ⅱ 평면벡터

1 ^{속도와 가속도}

등속 원운동에서의 속도와 가속도

유형 3

핵심노트

61 61 61 61 61 61 61

61

⁶¹2009(가) 10월/교육청 30

좌표평면 위의 반지름의 길이가 인 원  와 이 원 위를 움직이는 점 P가 다 음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 P 는 원  위를 시계 반대 방향으로 매초 의 속력으로 움 직인다.

(나) 원  는 축의 양의 방향으로 매초 의 속력으로 움직인다.

원  는 중심이 원점에서, 점 P 는 점  에서 동시에 출발할 때, 원  의 중심과 점 P 를 지나는 직선이 직선   와 만나는 점을 Q라 하자. 출발한 후



 초가 되는 순간, 점 Q 는 직선    위를 매초 의 속력으로 움직인다.

 의 값을 구하시오. [4점]

2 ^{속도와 거리}

평면운동에서 점이 움직인 거리

유형 1

핵심노트

62 62 62 62 62 62 62

62

⁶²2010(가) 수능 30

좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각  에서의 위치  가



  cos   sin 

  cos ^ ≤  ≤ 이다.

점 P 가   에서   까지 움직인 거리(경과 거리)를  라 할 때, ^의 값을 구하시오. [4점]

63 63 63 63 63 63 63

63

⁶³2017(가) 6월/평가원 18

좌표평면에서 점 P 는 시각    일 때    에서 출발하여 시각  에서 의 속도가

  sin

이고, 점 Q 는 시각    일 때 출발하여 시각  에서의 위치가 Qsin cos 

이다. 출발한 후 두 점 P Q 가 만나는 횟수는? [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동

3 3

3

3

3 3

3

기하와벡터(실력)

3. 평면운동

정답률 50% 미만 - 30 - fcmath.tistory.com

64 64 64 64 64 64 64

64

⁶⁴2016(가) 6월/평가원 29

양의 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 에 대하여 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각  ≥ 에서의 위치  가



^{   ln }  

이다. 점 P가 점  로부터 움직인 거리가  가 될 때, 시각  는

  

 



^^ 

이고,   일 때, 점 P 의 속도는



^{ }_^



^{이다. 시각}

  일 때 점 P 의 가속도를



^{ }

 



라 할 때,  의 값을 구하시오.

[4점]

곡선의 길이(1)

유형 3

핵심노트

65 65 65 65 65 65 65

65

⁶⁵2016(B) 삼사 12

좌표평면에서 매개변수  로 나타낸 곡선

  cos   cos  ,   sin  sin

에 대하여 아래 다음에 답하시오. (단,  는 실수이다.)

 ≤  ≤  일 때, 이 곡선의 길이는? [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3. 평면운동

Ⅱ 평면벡터

곡선의 길이(2)

유형 4

핵심노트

66 66 66 66 66 66 66

66

⁶⁶2007(가) 9월/평가원 27

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고    ,    



^ 을 만족시 키는 모든 함수   에 대하여









^   ′ ^의 최솟값은? [3점]

①



^ ②  ③  



^

④



^ ⑤  



^

67 67 67 67 67 67 67

67

⁶⁷2008(가) 수능(홀) 30

  에서   까지 곡선   

^ 의 길이를 구하시오. [4점]

밍모의 워드프로세싱

Ⅲ

Ⅲ

Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ Ⅲ

공간도형과

공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간도형과 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표 공간좌표

1. 공간도형

2. 공간좌표

1. 공간도형

Ⅲ 공간도형과 공간좌표

1 ^{위치 관계}

공간도형의 위치 관계

유형 1

핵심노트

68 68 68 68 68 68 68

68

⁶⁸2011(가) 10월/교육청 30

정사면체 ABCD 에서 두 모서리 AC , AD 의 중점을 각각 M , N 이라 하자.

직선 BM 과 직선 CN 이 이루는 예각의 크기를  라 할 때, cos   

 이

다.    의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이다.) [4점]

69 69 69 69 69 69 69

69

⁶⁹2007(가) 10월/교육청 20

정각기둥에서 밑면의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를  

이라 하자. 예를 들어     ,     이다.

70 70 70 70 70 70 70

70

⁷⁰2009(가) 수능 24

그림과 같이 반지름의 길이가 모두



^ 이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면  위에 놓여있다. 평면  와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 P Q R라 할 때, 삼각형 QPR는 이등변삼각형이고, 평 면 QPR와 평면  가 이루는 각의 크기는 °이다. 세 원기둥의 높이를 각각

, ,  라 할 때,    의 값을 구하시오. (단, ＜＜ ) [4점]

P Q

R



71 71 71 71 71 71 71

71

⁷¹2012(가) 수능 29

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가

이고 높이가 인 원뿔이 평면  위에 놓여있고, 원뿔의 밑면의 둘레가 원 기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 O, 원뿔의 꼭짓점을 A 라 하자. 중심이 B이고 반지름의 길이가 인 구  가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 구 S 는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다.

(나) 두 점 A , B의 평면  위로의 정사영이 각각 A′, B′일 때,

∠A′OB′  °이다.

직선 AB와 평면 가 이루는 예각의 크기를  라 할 때, tan    이다.

  의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 A′은 일치한다.) [4점]

공간도형 공간도형 공간도형 공간도형 공간도형 공간도형 공간도형

1 1

1

1

1 1

1

기하와벡터(실력)

1. 공간도형

정답률 50% 미만 - 36 - fcmath.tistory.com

삼수선의 정리

유형 2

핵심노트

72 72 72 72 72 72 72

72

⁷²2019학년 삼사(가) 17

그림과 같이 서로 다른 두 평면 ,  의 교선 위에 점 A 가 있다. 평면  위 의 세 점 B, C, D 의 평면  위로의 정사영을 각각 B′, C′, D′ 이라 할 때, 사각형 AB′C′D′ 은 한 변의 길이가 



^ 인 정사각형이고, BB′ DD′ 이 다. 두 평면  와  가 이루는 각의 크기를  라 할 때, tan   

 이다. 선분 BC의 길이는? (단, 선분 BD 와 평면  는 만나지 않는다.) [4점]

A

B C D

B′

C′



 D′

①



^ ②



^ ③



^ ④



^ ⑤



^

73 73 73 73 73 73 73

73

⁷³2016(B) 수능 27

좌표공간에 서로 수직인 두 평면  와  가 있다. 평면  위의 두 점 A , B 에 대하여 AB  



^ 이고 직선 AB 는 평면  에 평행하다. 점 A 와 평면

 사이의 거리가  이고, 평면  위의 점 P 와 평면  사이의 거리는  일 때, 삼각형 PAB 의 넓이를 구하시오. [4점]

74 74 74 74 74 74 74

74

⁷⁴2019학년(가) 수능 19

한 변의 길이가 인 정삼각형 BCD를 한 면으로 하는 사면체 ABCD의 꼭 짓점 A에서 평면 BCD에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, 점 H 는 삼각형 BCD의 내부에 놓여 있다. 삼각형 CDH의 넓이는 삼각형 BCH의 넓이의  배, 삼각형 DBH 의 넓이는 삼각형 BCH 의 넓이의 배이고 AH  이다.

선분 BD의 중점을 M, 점 A에서 선분 CM에 내린 수선의 발을 Q 라 할 때, 선분 AQ 의 길이는? [4점]

①



^ ② 



^ ③



^ ④



^ ⑤



^

75 75 75 75 75 75 75

75

⁷⁵2016(가) 9월/평가원 29

그림과 같이 직선 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 

인 두 평면 와

가 있고, 평면  위의 점 A 와 평면  위의 점 B가 있다. 두 점 A B에서 직선 에 내린 수선의 발을 각각 C D라 하자. AB  AD 



^ 이고 직 선 AB와 평면 가 이루는 각의 크기가 

일 때, 사면체 ABCD 의 부피는

  



^ 이다.   의 값을 구하시오. (단,  는 유리수이다.) [4점]

1. 공간도형

Ⅲ 공간도형과 공간좌표

여러 가지 방법으로 이면각의 크기 구하기

유형 5

핵심노트

76 76 76 76 76 76 76

76

⁷⁶2013(가) 수능 28

그림과 같이 AB  AD  인 직사각형 ABCD 모양의 종이가 있다. 선 분 AB 위의 점 E와 선분 DC 위의 점 F 를 연결하는 선을 접는 선으로 하여, 점 B의 평면 AEFD 위로의 정사영이 점 D 가 되도록 종이를 접었다.

AE 일 때, 두 평면 AEFD와 EFCB가 이루는 각의 크기가  이다.

 cos  의 값을 구하시오. (단,     

이고, 종이의 두께는 고려하지

않는다.) [4점]

77 77 77 77 77 77 77

77

⁷⁷2008(가) 삼사 13

그림은 모든 모서리의 길이가 같은 정사각뿔 O  ABCD 와 정사면체 O  CDE를 면 OCD가 공유하도록 붙여놓은 것이다. 평면 ABCD와 평면 CDE가 이루는 각의 크기를  라 할 때, cos^ 의 값은? [4점]

① 

 ② 

 ③ 

 ④ 

 ⑤ 



78 78 78 78 78 78 78

78

⁷⁸2015(B) 삼사 20

그림은 어떤 사면체의 전개도이다. 삼각형 BEC는 한 변의 길이가 인 정삼 각형이고, ∠ABC  ∠CFA  °, AC 이다. 이 전개도로 사면체를 만들 때, 두 면 ACF, ABC가 이루는 예각의 크기를  라 하자. cos  의 값 은? [4점]

① 

 ② 



^

③ 



④ 



^

⑤ 

