학업성취도 향상을 위한 학습지도방안 연구

碩 士 學 位 論 文

학업성취도 향상을 위한 학습지도방안 연구

- 고등학교 미분법 단원을 중심으로 -

國民大學校 敎育大學院

數學敎育專攻

崔 根 煥

2001

학업성취도 향상을 위한 학습지도방안 연구

- 고등학교 미분법 단원을 중심으로 -

指導敎授 李 種 根

이 論文을 碩士學位 請求 論文으로 제출함

2002年 4月 30日

國民大學校 敎育大學院

數學敎育專攻

崔 根 煥

2001

崔 根 煥의

碩士學位 請求論文을 認准함

2002年 6月 30日

審査委員長 --- ㊞ 審 査 委 員 - - - - ㊞ 審 査 委 員 - - - - ㊞

國民大學校 敎育大學院

목 차

국문요약

ⅴ

Ⅰ . 서 론 ···1

1. 연구의 필요성 ···1

2. 연구의 목적 ···3

3. 실태 분석 ···4

4. 연구의 문제 ···7

5. 연구의 제한점 ···8

6. 용어의 정의 ···8

Ⅱ . 이론적 배경 ···9

1. 관련 문헌 탐색 ···9

2. 선행 연구 고찰 ···26

Ⅲ . 실행목표 설정 ···28

1. 실행목표 [1] ···28

2. 실행목표 [2] ···28

3. 실행목표 [3] ···29

Ⅳ . 연구의 설계 ···30

1. 연구의 대상 ···30

2. 연구의 기간 ···30

3. 연구의 절차 ···30

4. 자료 처리 내용과 방법 ···31

5. 조건 통제 ···31

Ⅴ . 연구의 실행 ···32

1. 실행목표 [1]의 실천계획 ···32

2. 실행목표 [2]의 실천계획 ···38

3. 실행목표 [3]의 실천계획 ···45

Ⅵ . 연구결과 검증 및 평가 ···51

1. 검증내용 및 방법 ···

51

2. 연구결과 분석 ···

51

Ⅶ . 요약 및 결론 ···56

1. 요약 ···

56

2. 결론 ···

59

3. 제언 ···59

참 고 문 헌 ···60

ABSTRACT ···61

부 록

<부록-1> 학생실태조사(수학적 태도 및 흥미도) ···

63

<부록-2> 교사실태조사(교수-학습실태) ···

64

<부록-3> 학업성취도 평가문제 ···

65

<부록-4> 교수-학습 과정안 ···

73

표 목 차

4

<표-2> 수학적 태도 및 흥미도(학생) ···5

<표-3> 교수-학습 실태(교사) ···6

<표-4> 내용에 관련된 사고 방법 ···21

<표-5> 필수 학습 요소 분석표 ···34

<표-6> 교수-학습 과정안(예) ···

43

<표-7> 필수 학습요소의 체계표 ···

45

<표-8> 학습 단계별 지도 자료(예) ···49

<표-9> 형성 평가 지도 자료(예) ···50

<표-11> 수학 교과에 대한 흥미도 조사 ···

51

<표-12> 학습 실태 조사 ···52

<표-13> 활용 전 성적 비교 ···54

<표-14> 활용 후 성적 비교 ···54

그 림 목 차

19

<그림-2> 학습 내용 체계도 ···33

<그림-3> 필수 학습 요소의 구조화 ···37

<그림-4> 교수-학습 과정의 단계별 비교 ···39

<그림-5> 문제해결 교수-학습 과정 ···39

<그림-6> 문제해결 교수-학습 모형도 ···

40

<그림-7> 학습문항 제작 모형도 ···47

국문요약

학업성취도 향상을 위한 학습지도 방안 연구 - 고등학교 미분법 단원을 중심으로 -

최 근 환

국 민 대 학 교 교 육 대 학 원 수 학 교 육 전 공

본 연구의 목적은

(1) 수학의 기본개념, 원리, 법칙 및 상호 관련성을 쉽게 이해하도록 구조화 방안을 모색하고,

(2) 문제 해결 중심의 학습 자료를 적용한 교수-학습 방법을 마련하며,

(3) 문제 해결 중심의 학습을 전개하여 수학과 문제 해결력을 기르는데 어떤 영향 을 미치는가를 알아보고자 다음과 같은 연구문제를 설정하고 검증해보려는 것 이다.

가. 수학과 학습 내용 중 문제 해결 수업 과정에 알맞은 기본적 개념, 원리, 법칙 및 상호 관련성을 어떻게 구조화하고 자료화 할것인가?

나. 문제 해결 중심의 구조화된 내용을 어떻게 구성하여 교수-학습에 적용할 것 인가?

다. 문제 해결 중심의 학습 자료를 어떻게 제작 활용하여 문제 해결 학습을 전개 할 것인가?

본 연구의 추진을 위하여 연구 문제점을 찾아 강원도 원주시 J고등학교 2학년 2

였다.

본 연구를 통하여 얻은 결론을 요약하면 다음과 같다.

가. 수학과의 각 영역에서 기초 개념, 원리, 법칙을 이해시키는 부분의 기본적 내 용을 구조화하여 교수-학습 과정안을 작성 지도한 결과 학습에 흥미를 느끼 고 참여도가 높으며 학습 내용을 체계적으로 습득할 수 있었다.

나. 문제 해결 교수-학습 과정안을 적용하여 문제를 수학적으로 사고하고 처리하 는 능력이 신장되었다.

다. 문제 해결 중심의 단계별 학습 문항을 적용한다면 수학의 문제를 문제 해결 측면에서 점진적으로 단계적 사고와 흥미가 유발되고 문제 해결력이 신장 되었다.

라. 문제 해결 중심의 학습 내용을 구조화하여 적용한 결과 학생들의 학습 방법이 개선되었다.

앞으로의 과제는 수학 교과뿐만 아니라 특히 자연계 교과에 있어서도 교사의 지 속적인 연구와 개발이 이루어져야 하겠으며, 보다 차원 높은 문제 해결력에 중심을 둔 교수-학습 지도가 필요하고 다양한 자료 개발이 요구된다.

Ⅰ. 서 론

1. 연구의 필요성

본래 수학이라는 과목은 한 인간이 살아가는 데 필요한 모든 활동의 기본적인 사고력과 사회의 여러 가지 복합한 문제들을 합리적으로 풀어나가는 아이디어를 제공하는 학문이다.

더욱이 모든 산업이 발달하고 사회가 복잡하고 매우 빠른 속도로 변화하는 현재에 사는 우리는 수학적 사고력을 가진 사람을 좀더 필요로 하고 있다.

그러나 고교 수학 교육이 이상의 목적에 맞게 수학적인 사고력을 배양하고 아이 디어를 개발하고 의사소통 능력을 신장시키는 교수-학습의 틀을 가져야 함에도 불 구하고, 근래에 학교 교육현장에서의 수학 교육은 편협하고 단편적인 개념과 지식 에 치중하여 기계적으로 학습하고, 학생 수가 많고 수업이 많은 현실에서 수학과의 학습 내용에 부합되는 교수-학습자료가 부족하며, 교사들은 획일적이고 기계적인 주입식 교육으로 학생들이 수학교과에 대한 학습 동기를 유발시키지 못하여 학년 이 올라갈수록 수학에 대한 흥미를 잃어 수학을 포기하는 현상이 점점 더 심화되 어 가고 있는 실정이다.

특히 그 동안의 대학입시가 예비고사, 학력고사, 본고사, 과도기의 수능고사, 오늘 날의 비교적 쉽게 출제되는 수능고사로 변화해 옴에도 불구하고 현재의 대부분의 학생들은 수학을 개념조차 이해하지 못하고 있으며 또한 문제가 제시되었을 경우 이의 해결을 위해 자신있게 임하는 학생들의 태도가 아직은 미흡한 실정이기도 하다.

수학적 사고의 본질은 문제를 해결하는 활동이라고 생각할 수 있다. 수학 교육을 그토록 강조하고 상급학교 입시에서도 수학의 비중이 큰 이유는 수학이 문제를 해 결하는 무엇보다도 강력한 도구가 되는 매우 유용한 지식이라는 증거이다.¹⁾

수학 교육은 교육의 일환으로 우리가 추구하는 자유 민주주의 사회 이념을 구현 하는데 일익을 담당하고 있으며 개방 민주주의 사회를 성립시키는 방법적인 원리 로서 합리성의 추구가 요구된다. 이 합리성의 추구를 위하여 수학적 사고력과 논리 적 사고력의 함양²⁾이 요구된다.

따라서 이론적인 수학도 중요하지만 실질적인 수학 즉, 통합적 교과인 소재의 응 용문제의 개발을 위하여 보다 많은 노력을 필요로 한다.

이것을 해결하기 위하여 수학 교육의 중요성이 부각된다. 중등학교 수학교육 과 정을 보면 수학과의 교육목표가 기본적인 수학과의 지식과 기능을 바탕으로 수학 적 사고력을 길러 창의적으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기른다는 것으로 되 어 있다.³⁾

수학 교육은 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙과 그 상호 관련성을 체계적으로 이해하여야 하며 수학이 단순히 진학만을 위한 입시 도구 과목이 아닌, 분석하고 사고하는 능력과 문제 해결력과 같은 고차적인 능력을 향상시키는 데 필요한 중요 과목으로 인식되어야 할 것이다.

미국의 수학교사평의회(NCTM)에서도 문제 해결력의 향상이 수학 교육에 초점이 되어야 한다고 권고하고 있으며, “수학과 과정은 문제 해결력 중심으로 되어야 하

1) 우정호, 학교 수학의 교육적 기초, (서울대학교 출판부, 1993), p.3 2) 상게서, p.19

3) 전게서, p.19

며 문제 해결력을 지도하기 위한 적절한 보충 자료가 개발되어야 한다.”⁴⁾고 주장하 고 있다. 또한 수학 교육과정이 현대화되어 새로운 교육과정이 만들어지고 교육 내 용이 변화됨에 따라 문제 해결 능력을 기르는 것을 수학 교육의 한 목표로 삼고 있는 지금 수학과 문제 해결을 위한 수업모형의 개발과 적용은 필요한 것이다.

이같은 상황은 수학 교사로서 ‘어렵게만 느끼는 수학을 어떻게 하면 학생들이 쉽 게 대할 수 있을까’에 대한 연구 의욕으로 이어졌고, 본 연구자로 하여금 고등학교 학생들의 수준을 고려, 학습 내용의 구조화를 통한 문제 해결 학습을 강화한다면 학생들의 수학과에 대한 흥미와 더불어 학업 성취도 향상에 긍정적 영향을 미칠 것으로 판단하여 본 연구를 추진하게 되었다.

2. 연구의 목적

이상과 같은 연구의 필요성에 따라 본 연구는 학습 내용을 구조화하여 교수-학 습 과정안을 구안 적용하고 그에 따른 학습자료를 개발, 활용, 문제 해결력을 기르 는 것을 목적으로 하며, 그 구체적인 목적은 다음과 같다.

가. 수학의 기본 개념, 원리, 법칙 및 상호 관련성을 쉽게 이해하도록 구조화 방안을 모색하고,

나. 문제 해결 중심의 학습 자료를 적용한 교수-학습 방법을 마련하며,

다. 문제 해결 중심의 다양한 심화 학습을 전개하여 수학과 문제 해결력을 기 르는 데 목적을 둔다.

3. 실태 분석

4) 강옥기 외 5인, 수학과 문제 해결력 신장을 위한 수업 방법 개선 연구, (한국교

본 연구의 문제점을 발견하기 위하여 강원도 원주시 J고등학교 2학년 2개반 학생 80명과 수학과 선생님 5명을 대상으로 설문지를 통하여 기초 조사한 내용은 다음 과 같다.

가. 실태 조사 내용 및 방법

구 분 조 사 내 용 인원 방 법 시기

학생의 실태

(1) 학업성취도 평가 80 모의고사 3월

(2) 수학적 태도 및 흥미도 80 자작 질문지 3월

교사의 실태 (3) 교수-학습 실태 5 자작 질문지 3월

나. 학생 실태 분석

<표-1> 학업 성취도 실태조사 [80점만점]

구 분 인원 평균 표준편차 평균차 기각역 유의수준

상위30%

연구반 12 70.1 8.7

2.1 0.63 P>0.05 비교반 12 68.0 9.6

전 체

연구반 40 53.5 11.3

3.0 1.21 P>0.05 비교반 40 50.5 13.1

<표-2> 수학적 태도 및 흥미도(부록 - 1 참조) (학생)

설 문 내 용 응답율

(%) 분 석 결 과

① 수학 교과에 대하여 흥미를 가지고 있다. 34.4

흥미가 없거나 그저 그런 학생이 65.6%로 수학 교과에 대하여 의욕이 상실되어 있는 학생들이 많다.

② 수학 시간에 학습 목 표를 분명히 알고 공 부한다.

44.9

학습 목표를 모르는 학생들이 상대적으로 많음을 알 수 있다. 따라서 좀 더 학습목표 를 인식시키는 것이 요구된다.

③ 수학 시간 내 정신을

집중한다. 42.9

좀 더 다양한 교수-학습 지도 방법을 개발 적용하여 수학 교과에 대한 관심과 흥미를 제고하여야 한다.

④ 수학 문제 풀이에 적

극적으로 임한다. 55.1 수학에 대한 기본 개념, 원리, 법칙을 확고 히 하여 자신감을 갖도록 지도하여야 한다.

⑤ 어려운 문제는 끝까 지 해결하도록 노력 한다.

61.2

수학문제 해결력 향상에 노력하는 학생들을 도울 수 있는 교사의 지도 방법 개발이 필 요하다.

⑥ 앞으로 수학 교과 학 습을 포기할 예정이 다.

6.1

학력이 저조하거나 수업 결손이 있는 학생 들도 상당수 수학 교과에 대한 학습 의욕은 높다.

⑦ 수학 교과에 대한 학 습시 주로 수학 공식 및 암기 및 정리에 중점을 둔다.

67.3

단순히 수학 공식의 암기 및 정리에 중점을 두는 학생이 상대적으로 많으며 기본적인 개념, 원리 학습이 필요하다.

⑧ 수학 교과 수업 후 학습내용을 완전히 기억한다.

18.4

학습한 후 기억나지 않는 학생이 81.6%로 교수-학습 방법의 개선이 필요하다.

⑨ 수업 시간에 교사의 교수-학습 지도 방법 에 만족한다.

38.8

만족하지 않은 학생이 61.2%로 높으며 수업 방법의 개선이 필요하다.

⑩ 선수학습 내용이 학 생들에게 실질적으로 57.1

선수학습 내용의 질적 구성에 좀 더 개선점 이 요구된다.

다. 교사 실태 분석

<표-3> 교수-학습 실태(부록-2 참조) (교사)

설 문 내 용 응답율

(%) 분 석 결 과

① 학습 목표에 충실하

게 수업한다. 40.0 기계적이고 주입식으로 수업하고 있다.

② 수학적인 사고력과 창의력 배양에 중점 을 두고 수업한다.

60.0

문제 해결력 향상을 위한 수업 방법의 개발 적용이 필요하다.

③ 학습 결손 학생들의 보충 학습을 충분히 실시하고 있다.

20.0

기본적인 보충 학습 문항 자료의 개발 투입 이 요구된다.

④ 우수 학생을 대상으 로 심화 학습은 충분 히 실시하고 있다.

40.0

좀 더 깊이 있게 심화 학습 문항 자료의 개 발이 필요하다.

이상과 같은 실태조사 분석 결과 학생들은 수학에 대해 아직도 흥미를 많이 잃 어 포기하는 학생도 상당수 늘어나고 있으며, 이는 수학에 대한 집념과 끈기로 이 어지지 않아 수학 교사 각자에 대한 반성을 촉구하고 있으며, 학생들의 수준에 알 맞은 수업 자료 개발과 수업 방법 개선에 문제점을 드러내고 있는 교사 자신에게 도 학생들을 위한 교수-학습 방법의 개선에 지속적인 노력이 요구되고 있는 것으 로 나타났다.

이에 본 연구자는 학생들이 수학에 대해 이전보다 더욱 많은 관심과 흥미를 유 발하여 좀 더 쉽게 수학 활동에 참여할 수 있도록 능동적으로 수학적인 사고력과 창의력을 배양하는 교수-학습 지도방법에 더 많은 관심을 기울이고, 학생들에게 수

학문제를 해결하는 능력을 키우기 위하여 학습 과제를 분석하고, 필수 학습 요소를 추출하여 단계별 지도 자료를 제작 투입한다면 학생들에게 학습 의욕의 고취는 물 론이고, 어떤 문제에 대해서도 학생들이 당황하지 않고 이를 해결하는 능력도 향상 됨으로써 오늘날 수학 교과에서 절실히 필요로 하는 학생들의 수학적 사고력, 창의 력, 문제 해결력 등이 동시에 해결될 것으로 여겨 본 연구를 추진하게 되었다.

4. 연구의 문제

가. 수학과 학습 내용 중 문제 해결 수업 과정에 알맞은 기본적 개념, 원리, 법 칙 및 상호 관련성을 어떻게 구조화하고 자료화 할 것인가?

나. 미분법에서 문제 해결 중심의 구조화된 내용을 어떻게 구성하여 교수-학습 에 적용할 것인가?

다. 미분법에서 문제 해결 중심의 학습 자료를 어떻게 제작 활용하여 문제 해 결 학습을 전개할 것인가?

위와 같은 문제를 해결하기 위하여

(1) 고등학교 수학 교육과정에서 나오는 학습 목표를 중심으로 학습 내용을 분 석하여 필수 학습요소를 추출하고

(2) 추출한 필수 학습요소를 학습 단계별로 재구성해 학습자료와 함께 투입하여 (3) 문제 해결력 향상 여부를 객관적으로 확인하기 위하여 사전 사후 외부기관

이 출제한 평가 문항을 중심으로 검증하고자 한다.

5. 연구의 제한점

본 연구의 해석 및 적용에는 다음과 같은 제한점을 갖는다.

첫째, 연구의 대상이 강원도 원주 소재의 J고등학교 학생들을 대상으로 하여 지역적 문화적 특성을 극복하지 못하였으며 실험집단의 이질적인 환경과 교과 과정상의 진행정도를 고려하지 못하였다.

둘째, 표본의 크기가 작아 정확성과 신뢰성이 다소 미흡하여 실험결과를 전국적 인 학생들의 대한 일반적인 수치나 경영으로 인정하거나 판단할 수 없다.

셋째, 미분법 단원에 국한된 연구이므로 고등학교 수학과 전과정에 적용하기가 어렵다고 생각한다.

6. 용어의 정의

가. 문제 해결력

미국 국가 수준의 수학 장학 위원회(NCSM 1977)에서도 주장한 바 있는 수학과 의 목표로, 이미 알고 있는 지식을 잘 알지 못하는 새로운 장면에 적용하는 행위로 서 문제를 풀어 가는데 있어서의 방법, 절차, 전략 등을 말하는 것으로 본 연구에서 는 학생 스스로 문제 내용을 파악하여 해결하는 능력을 의미한다.

나. 학습 내용의 구조화

수학 교육 과정상의 학습내용을 조사 분석하여 문제 해결 수업 모형에 알맞도록 재구성한 형태로, 학생들의 문제 해결력 신장을 위해 필요한 수학의 기본적 개념, 원리, 상호 연관성 등을 주요 내용으로 한다.

Ⅱ. 이론적 배경

1. 관련 문헌 탐색

가. 교육과정 규준

학교 수학의 교육과정 규준은 서너 가지 요인 즉 사회적 목표, 학생의 목표, 교수 -학습에 관한 연구, 그리고 전문적인 경험을 바탕으로 한 학교에 대한 폭넓고 일관 된 시각에 의한 가치 판단이다.

따라서 학교 수학 교육에 필수적인 교육과정 규준에서 수학에 내재된 여러 내용 을 열거하면 다음과 같다.

(1) 문제 해결로써의 수학

9-12학년에서 교육과정은 수학적 문제 해결의 방법을 세련시키고 확장하는 것을 포함함으로써 그 결과 학생들은

(가) 수학적 내용을 탐구하고 이해하기 위해 점차 자신감을 갖고 문제 해결식 접근을 사용할 수 있어야 한다.

(나) 수학 안팎에서 문제를 해결하기 위하여 통합된 문제 해결 전략을 사용할 수 있어야 한다.

(다) 수학 안팎에서의 상황으로부터 문제를 인식하고 구상할 수 있어야 한다.

(라) 실세계의 문제 상황에 수학적 모델링의 과정을 적용할 수 있어야 한다

(2) 의사 소통으로서의 수학

9-12학년 수학 교육과정에서 수학적 아이디어를 의사 소통하기 위해 언어와 기 호를 개발하는 것이 포함됨으로서 그 결과 학생들은

(가) 수학적 아이디어와 관계에 대한 그들의 생각을 반영하고 명료화 할 수 있 어야 한다.

(나) 수학적 정의를 내리고 탐구활동을 통해 발견한 일반화를 표현할 수 있어 야 한다.

(다) 수학적 아이디어를 말과 글로 표현할 수 있어야 한다.

(라) 글로 쓰여진 수학적 표현을 이해할 수 있어야 한다.

(마) 그들이 읽었거나 들었던 수학에 관련된 질문을 명료화하고 확장할 수 있 어야 한다.

(바) 수학적 기호의 경제성과 위력과 우아함 그리고 수학적 아이디어가 발달함 에 있어서 기호의 역할을 음미할 수 있어야 한다.

(3) 추론으로써의 수학

9-12학년 수학 교육과정에서는 논리적 추론 기술을 강화하고 확대하는 많은 다 양한 경험이 제공됨으로서 그 결과 학생들은

(가) 가설을 세우고 검증할 수 있어야 한다.

(나) 반례를 형성할 수 있어야 한다.

(다) 논리적 주장을 따를 수 있어야 한다.

(라) 논증의 타당성을 판단할 수 있어야 한다.

(마) 간략하고 타당한 주장을 펼칠 수 있어야 한다.

6) 상게서, p.193 7) 상게서, p.203

(4) 수학의 일관성

9-12학년 수학 교육과정은 다양한 수학적 내용 사이의 연결과 상호 작용과 각 내용의 응용을 포함함으로서 그 결과 학생들은

(가) 같은 개념의 동치표상을 인식할 수 있어야 한다.

(나) 한 표상에서의 절차를 동치표상에서의 절차와 연결시킬 수 있어야 한다.

(다) 수학적 내용 사이의 연결성을 이용하고 음미할 수 있어야 한다.

(라) 수학과 다른 학문 사이의 연결성을 이용하고 음미할 수 있어야 한다.

나. 수학적 생각과 태도

수학적인 생각과 태도의 형성 정착은 수학 교육의 중요한 목표이다. 이는 곧 학 력 신장으로 연결되는 것이다. 즉 수학적인 사고 방법 태도를 형성 정착시키는 것 이 참된 학력을 신장시키는 일이고 이것을 목표로 하는 지도야말로 무엇보다 필요 하다고 보는 것은 타당한 것이다. 그래서 이들 사고 방법 태도는 지식, 기능을 추진 하는 에너지이며 문제 해결의 과정을 통하여 길러지는 것이고, 문제 해결의 추진력 으로써 중요한 역할을 하는 것이다.⁸⁾

특히 Polya는 학생을 도와 당면한 문제를 풀게 하고 학생의 능력을 개발하기 위 하여 문제 해결 과정에 수학적 사고 단계를 네 가지로 구분하였다. 즉 문제에 대한 이해, 계획의 작성, 계획의 실행, 결과에 대한 반성으로 구분하였다.⁹⁾

다. 수학의 방법에 관련된 수학적인 생각

수학의 방법에 관련된 수학적인 생각이나 수학적인 태도의 육성이 연구나 학습 에 매우 중요하다. 따라서 몇 가지 수학적인 생각을 정리해 보자.¹⁰⁾

(1) 귀납적인 생각

귀납적인 생각은 다음과 같은 생각으로 이해할 수 있다. 문제를 해결함에 있어, 그 해결 방법이 생각나지 않으며 연역적인 해결이 안 되는 상황에서, 먼저 일반적 인 규칙, 성질을 발견하여, 이를 근거로 당면 문제를 해결하려 할 때 이용되는 사고 방법이다. 그리고 어떤 문제를 해결했을 때, 그것으로 그치지 않고 그것을 계기로 일반적인 규칙, 성질을 찾아낼 때 사용되는 사고 방법으로서

(가) 몇 몇의 data를 모은다.

(나) 그 data 사이의 공통적인 규칙이나 성질을 찾아낸다.

(다) 그 규칙이나 성질이 그 data를 포함하는 집합(변수의 변역 전체)에서 성립 될 것이라고 추측한다.

(라) 추측한 그 일반성이 참임을 보다 확실하게 하기 위해 새로운 data로 확인 한다와 같은 절차를 거치는 사고 방법이다.

(2) 유추적인 생각

(가) 유추적인 생각의 의미

유추는 『어떤 특수한 경우에서 다른 특수한 경우에 이르는 추리』이다. 어떤 대 상이나 집합에서 성립하는 사실이, 이와 유사한 대상 또는 집합에 대해서도 설립하 리라고 추론하는 것이다. 이것은 개체에서 개체를 이끌어 내려는 전도 추리의 일종

10) 이용률 외 3인, 상게서, p.122

으로서, 논리적으로는 물론 불완전하다.

따라서 유추적인 생각이라는 것은, 『어떤 사상 A에 대해, 그 성질 또는 법칙을 알고 싶다. 그러나 그것을 모른다고 할 때, A와 닮은 기지의 사상, A'를 생각해 내 어(A'에 대해서는 성질 또는 법칙 P'가 성립한다고 가정) A에 대해서도 P'와 동일 한 성질 또는 규칙 P가 성립하지 않을까라는 생각을 해 나가려는 것이다.』라고 이 해할 수 있다.

한편, 유추에는 결과를 유추하는 경우와, 방법을 유추하는 경우, 그리고 이 두 가 지를 모두 유추하는 경우가 있다.

(3) 통합적인 생각

통합적인 생각의 의미를 간단히 나타내면, 『많은 사상을 흐트러진 채 두지 않고, 보다 넓은 관점에서, 그들의 본질적인 공통성을 추상하여, 그들을 모두 같은 것으로 볼 수 있게 종합 정리해 나가려는 사고 방법』이라 할 수 있다.

통합으로는 어떤 유형을 생각할 수 있는가를 고찰함으로써 이 의미를 좀 더 명 확히 할 필요가 있다.

여기서는 그 유형으로 다음 3가지를 제시한다.

(가) 통합 Ⅰ형(고차에의 통합)

문장제를 같은 유형의 문제로서의 통합을 하기 위해서는, 그림이나 식의 모양에 바탕을 두고, 그 모양의 동일성에 주목하여, 각 문제의 특수성을 버리고 가장 근본 적인 것을 탐색하여야 한다. 이리하여 통합이 되고 나면, 다른 새로운 문제도 이런

통합의 한 가지로는 몇 개의 사상(이것은 개념이나 원리, 법칙, 그리고 이론, 사 고방법 등 여러 가지를 생각할 수 있다)이 있을 때 이것을 보다 넓은 관점, 보다 높은 관점에서 보고 그것에서 볼 수 있는 공통인 성질을 찾아내어 통합하는 경우 를 생각할 수 있다.

즉, 이 생각은 몇몇 문제가 이미 풀어졌다거나, 몇몇 사실을 알고 있는 경우에, 이들을 종합 정리할 때 하게 되는 생각이다. 이 생각을 통합 Ⅰ형(고차에의 통합) 이라고 부르기로 한다.

(나) 통합 Ⅱ형(포괄적 통합)

위의 통합 Ⅰ형과 거의 같지만, 통합하기 위해 보다 새로운 관점에서 보는 것이 아니고, S1, S2의 특수한 경우로 보는 통합을 의미한다. 이런 경우는, 얻어진 몇몇의 사실을 그대로 두지 않고, 그들 사이의 관계를 알아본다는 것이 중요하다.

(다) 통합 Ⅲ형(확장)

어떤 집합에서 성립되는 사상을 알고 있을 때, 이 사상의 적용범위를 점차로 넓 혀가거나, 보다 넓은 범위에서 성립되게 하기 위하여 조건을 약간 바꾸어 보다 포 괄적인 것이 되도록 한다. 즉, 새로운 것을 차례차례 포함시켜 종합해 나가려는 생 각이다. 이것도 통합의 한 측면으로 본다. 이것은 확장이라고 하는 것으로, 이 생각 에는 발전적인 면이 있다.

(4) 추상화의 생각

- 추상화, 구체화, 이상화, 조건의 명확화의 생각 -

추상이라는 말의 뜻이 『철학 사전』에 다음과 같이 제시되어 있다. 『전체로서 의 사물의 표상에 포함되는 여러 징후 가운데, 하나 또는 몇 개를 분리시켜 이것만 을 단독으로 사유의 대상으로 삼는 정신 작용이다. 이 경우에는 다른 여러 징후는 당연히 도외시 즉, 사상되며, 이런 연유로 추상과 사상은 동일 작용의 양면을 이룬 다. 보다 광의의 추상은 온갖 개념, 판단의 성립의 기초 과정을 이룬다. 추상은 많 은 개념에 대해서도 행해지며 그 많은 개념에서 새로운, 그리고 내포가 한층 적은 개념을 만든다. 그리고 많은 표상에 대해 행해지는 추상은, 그 표상을 비교하여 다 시 유사한 것을 끄집어냄으로써 여러 대상에 관한 일반적인 개념을 형성한다.』

이 진술에서도 개념의 내포를 명확히 하는 사고가 추상임을 알 수 있다. 이와 같 은 추상화와 함께 추상화된 성질을 써서 이 성질이 있는 것과 없는 것을 판별하거 나 그와 같은 성질이 있는 새로운 것을 알아보는 등, 추상화된 성질의 사용도 필요 하다. 후자는 구체화라는 것이다. 추상화의 생각은 개념 형성에서만이 아니라 문제 해결에서도 물론 이용된다.

추상화의 생각은

(가) 하나 또는 몇 개의 성질을 끄집어내려고 하는, 추상하려는 생각과, 이와 표리 관계에 있는 사상하려는 생각이라 할 수 있다.

(나) 구체화의 생각을 해 보는 일도 결국에는 사상을 추상하기 위한 것이므로 추상화의 생각에, 이 구체화의 생각을 포함시키는 것이 좋다고 생각한다.

(다) 『추상할 때 중요한 것으로 이상화의 생각을 들 수 있다. 몇 개의 사상 사이의 관계를 알아볼 때, 이들 사상에 부수된 여러 조건이 사태를 복잡 다단하게 만드는 경우가 종종 있다. 이런 경우 그 여러 조건이 일정한 것

같은 이상적인 상태를 생각하나, 또한 조건이나 성질이 수학적인 정의나 원리, 법칙의 조건을 만족하는 이상적인 상태로 생각함으로써 사태가 명확 해지는 경우가 많은데 그와 같은 이상적인 상태로 보는 것을 이상화의 생 각』이라 할 수 있다.

(라) 추상함에 있어서는 조건을 명확히 하려는 생각이 필요하다. 일상에서 일 어나는 문제는 수학 교과서에 있는 여러 문제와 같이, 조건이 명확하거나 단순하지 않다. 그래서 추상화하는 데는 조건을 명확히 규정할 필요가 있 다.

(5) 일반화의 생각

『추상화의 작용이 외연을 일단 고정시키고 내포를 명확히 하는 것인데 비해, 일 반화의 작용은 내포를 일단 고정시키고 이에 해당하는 외연을 한층 더 명확히 하 는 것이라 할 수 있다.』 이 추상화와 일반화가 어울려서 개념이 형성된다.

이런 의미에서 일반화하려는 생각은 대단히 중요한 것이다. 일반화는 문제 해결 에 관련되는 경우에도 자주 이용된다. 문제 해결을 위해 거기에서 볼 수 있는 일반 성을 알아내거나 또는 해결된 문제를 바탕으로 이 문제를 포함하는 집합 전체에서 성립되는 일반성을 알아내는 일반화의 생각은 대단히 중요하다.

라. 문제 해결 과정

수학적 사고력을 증대시키기 위해서는 문제 해결을 통하여 가능하다. 문제 해결 능력의 신장은 실제로 문제 해결을 통해서 이루어진다. 또 문제 해결은 말할 것도 없이 일정한 문제 해결의 과정을 밟아서 해야 된다. 이와 같이 생각하면 수학의 학

습은 거의가 문제 해결의 과정을 밟고 있다고 할 수 있다. 따라서 수학과의 문제 해결력을 신장시키기 위해서는 문제 해결 학습을 고찰해 볼 필요가 있겠다. 이에 그 과정에 대한 몇 사람의 견해를 살펴서 이를 비교 검토하면 다음과 같다.

(1) G. Polya의 문제 해결의 과정

Polya는 다음과 같이 4단계를 들고 각 단계에서 일반적으로 생각해 가는 방법을 질문의 형식으로 나타내고 있다.

(가) 문제를 이해할 것 : 미지의 것, 데이터, 조건은 무엇인가?, 조건은 미지의 것을 정하는데 충분한가?, 남는가?, 그림을 그려라, 조건을 분리하라 등 (나) 계획을 세울 것 : 전에 이런 것을 본적이 있는가?, 관계되는 문제를 알고

있는가?, 비슷한 문제를 찾아내라 등

(다) 계획을 실행할 것 : 계획을 실행해라, 각 단계를 체크하라, 각 단계가 옳 은가?, 그것을 증명할 수 있는가?

(라) 뒤돌아 볼 것 : 결과를 점검하라, 결과를 다른 방법으로 얻을 수 있는가?, 한 눈으로 그것을 알 수 있는가?, 이 문제의 그 결과나 방법을 쓸 수 있는 가?

(2) J. Dewey의 반성적 사고

Dewey는 반성적 사고에 의한 문제 해결의 단계를 다음과 같이 들고 있다.

(가) 암시 : 어려움을 막연히 자각하며 불안이나 혼란을 느끼는 단계 (나) 지성적 정리 : 관찰에 의하여 어려움이 분명해지는 단계

(다) 가설 : 명확히 된 문제를 해결하기 위해 가능하다고 생각되는 몇 개의 가

설과 그에 따르는 해결 방침을 세우는 단계

(라) 추리 작용 : 제 3단계에서 세운 가설에 타당성 여부를 추리에 의해서 검 토하는 단계

(마) 검증 : 제 4단계에서 타당성이 인정된 가설을 행동으로 검증해보는 단계

(3) G. Wallas의 창조적 사고

창조적 사고는 다음 4단계로 되어있다.

(가) 준비기 : 문제를 풀기 위하여 오랫동안 노력한다. 몇 번의 실패를 되풀이 하기도 하여 문제를 여러 방면에서 검토한다.

(나) 부란기 : 갑작스런 번득임이 나타나는 것은 위와 같은 노력을 한 다음에 잠시 문제를 잊고, 다른 일을 한다거나 쉬고 있을 때에 무의식이 세계에서 창조적인 일을 하고 있기 때문이라고 생각된다.

(다) 해명기 : 부란기에 이어 무의식중에 돌연 해결, 발견이 이루어지는 때이 다. 통찰, Inspiration이라고도 한다.

(라) 검증기 : 제 3단계인 해명기에서 완전한 형태의 발견, 창조가 이루어졌 다고 할 수는 없다. 그래서 결과를 증명하는 것이 필요하다.

(4) F. Fehr의 문제 해결과정

NCTM의 제21연보에서 fehr은 문제해결 과정은 다음과 같이 그림으로 나타내고 있다.

13) 전게서, p.5

부적응, 갈등, 혼란 등을 지 닌 개인

문제의 형 성

↓ 문제를 정확히 아는 것

목표

연역(부드럽게 함)

Ⅳ 논리적 조화

Ⅰ 문제의 장면 환경

Ⅱ 장면의 진단 동기

Ⅲ 잠정적 가설 장애

Ⅴ 창조적

학습

가설 R1 가설 R2 (분석)

(근사와 정확) 가설 R3 가설 R4

Rn

<그림-1> 문제해결 과정

(5) A. H. Schoenfeld의 문제해결 과정과 전략

Schoenfeld는 「How to solve it」에서 들고 있는 문제해결의 과정을 바탕으로 문제해결에 단계와 전략을 다음과 같이 들고 있다.

(가) 분석 : 문장을 이해한다. 문제를 간단히 한다. 문제를 달리 표현한다.

(나) 계획 : 생각해 가는 방법을 조직한다. 조직적인 분석

(다) 탐구 : 기본적으로 비슷한 문제를 생각한다. 약간 수정된 문제를 생각한 다. 많이 수정된 문제를 생각한다.

(라) 실행 : 한 걸음 한 걸음 실행한다. 부분적인 테스트

(6) 문제 해결 능력을 향상시키기 위한 방안

(가) 모든 문제 상황은 모든 학생들에게 똑같은 기대 효과를 줄 수 없다.

왜냐하면 교수-학습의 이해 정도, 지적인 능력 등이 서로 다르기 때문이다.

따라서 교사는 현재 학생들의 상황을 파악해야 한다.

(나) 교사는 학생들이 문제를 어떤 각도로 보는 지 즉, 문제에 제시되어 있는 정 보들의 관계를 어떠한 방법으로 파악하는 지 알아야 한다.

(다) 교사는 구체적으로 문제 해결 전략을 학생들에게 제시할 때 한 문제를 여 러 전략으로 풀게 하고, 또 여러 문제를 특정한 전략으로 풀게 하도록 하는 것이 바람직하다.

마. 수학적인 생각의 구조화

수학 교과에 대한 학습은 대부분 문제 해결 과정을 의미한다. 따라서 문제 해결 과정의 각 단계를 명확히 하고 각 단계별로 어떤 생각이 주로 이용되는지 검토를 통해 그 생각의 의미를 명확히 하고 구조화가 필요하다.

(1) 방법에 관련된 수학적인 생각의 구조화

문제 해결의 각 단계에서 방법에 관련된 수학적인 생각과 Servais, Sawyer, Freudenthal이 말하는 수학적 활동 및 사고 방법의 의미의 고찰을 바탕으로 방법에 관계된 수학적 사고의 구조화를 다음과 같이 할 수 있다.¹⁵⁾

문제 해결의 과정 쓰이는 주된 사고 방법

(1) 문제의 형성, 파악 (2) 개괄적 구상 (3) 해결의 실행

(4) 해의 논리적 조직화 (5) 검증

추상화, 단순화, 기호화 유추, 특수화, 기호화 연역, 귀납, 유추 일반화, 연역, 귀납 통합, 발전, 일반화

15) 이용률 외 3인, 문제 해결 과정과 발문 분석, (경문사, 1997), p.25

(2) 내용에 관련된 수학적인 생각의 구조화

내용과 사고 방법의 대응관계를 사고 방법 중심으로 다시 간추려 구조화 해보면 다음과 같다.

<표-4> 내용에 관련된 사고 방법

사고의 방법 문제 해결의 단계

1 2 3 4 5 6 7 8

단위의 생각

표현의 생각

조작의 생각

알고리즘의 생각

개괄적 파악

기본성질의 생각

함수적 생각

식에 대한 생각

(1) 문제의 형성, 파악 ○

(2) 개괄적 구상 ○ ○

(3) 해결의 실행 ○ ○ ○ ○

(4) 해의 논리적 조직화 ○ ○ ○ ○ ○ ○

(5) 검증 ○ ○ ○

(바) 수학적인 생각·태도의 초점을 맞춘 발문

수학적인 생각·태도에 초점을 맞춘 지도는 지식이나 기능을 이끌어 낼 사고 방 법, 나아가 그 사고 방법을 이끌어 낼 태도를 취하는데 도움을 줄 수 있는 것을 마 련해야 한다. 따라서 그런 것은 발문의 형식이 될 것이다. 그러므로 수학적인 생 각·태도에 관한 발문으로서 어떤 발문을 해야하는가에 대한 구상을 해두지 않으 면 안 된다. 이러한 발문을 고안해 본 것이 발문 분석 일람이다.

즉 이 발문 분석 일람은 문제해결의 각 과정의 각 단계에서 주로 사용되는 발문 이다.

수학적인 생각·태도에 관한 발문 분석 일람

가. 문제를 형성하는 단계

(1) 수학적인 태도의 발문

문제를 명확히 하려는 태도, 의문을 눈으로 보려는 태도 (2) 방법에 관련된 수학적인 생각의 발문

추상화의 생각, 이상화의 생각, 도형화, 수량화의 생각, 단순화의 생각, 구체화의 생각

(3) 내용에 관련된 수학적인 생각의 발문 함수적인 생각

나. 개괄적인 해결방안을 구상하는 단계

(1) 수학적인 태도의 발문

해결방안을 개괄적으로 구상하려는 태도 (2) 방법에 관련된 수학적인 생각의 발문

유추적인 생각, 특수화의 생각

(3) 내용에 관련된 수학적인 생각의 발문

단위의 생각, 개괄적인 파악의 생각, 표현 조작 성질의 생각

다. 해결을 실행하는 단계

(1) 수학적인 태도의 발문

줄이 맞게 생각하려는 태도, 정확하게 하려는 태도 (2) 방법에 관련된 수학적인 생각의 발문

일반화의 생각, 연역적인 생각

(3) 내용에 관련된 수학적인 생각의 발문

표현, 성질, 조작의 생각, 도형화 식에 관한 생각, 알고리즘의 생각, 단위 생각

라. 검증하는 단계

(1) 수학적인 태도의 발문

사고 노력을 절약하려는 태도, 보다 나은 방법을 구하려는 태도, 보다 새로운 것 을 구하려는 태도

(2) 방법에 관련된 수학적인 생각의 발문 통합적인 생각, 발전적인 생각

(3) 내용에 관련된 수학적인 생각의 발문

함수적인 생각, 알고리즘의 생각, 어떤 문제를 만들 수 있는가?, 식을 읽으려는 생각

사. 문제 해결 과정

교실 수업에서 문제 해결 지도를 용이하게 하여 학생들로 하여금 문제 해결 과 정을 쉽게 익히게 하기 위하여 문제 해결 과정을 다음의 5단계로 구분되었다.¹⁶⁾

단계 해 결 과 정

문제 의식

1) 문제 제기 2) 어려움의 인식 3) 어려움이 해결될 수 있는지 알아보기 4) 문제를 해결할 의욕을 갖게 하기

문제 이해

1) 활동하기 2) 그림의 해서 3) 핵심 단어 파악

4) 질문하기 5) 조작해보기 6) 자신의 말로 바꾸어 표현하기 7) 구하는 것과 주어진 것의 파악 8) 필요한 정보의 파악

9) 불필요한 정보의 파악 10) 견해의 변경 11) 숨겨진 가정 찾기

단계 해 결 과 정

계획 수립

1) 규칙성 찾기 4) 조작하기 7) 추측과 확인 10) 수학적 조건 확인 13) 정보의 수집 16) 단계의 검토

2) 자료의 수집과 정리 5) 식 세우기

8) 관련성 찾기 11) 단순화된 문제풀기 14) 여러 가능성의 타진

3) 실행해보기

6) 적절한 연산의 선택 9) 그림으로 나타내기 12) 논증 사용 15) 공식 창안

계획 실행

1) 목표 확인 4) 조작의 실행 7) 계획의 해석 10) 순서도 만들기

2) 조직된 자료의 확인 5) 수학적 기호 사용 8) 관련성 파악 11) 도표 만들기

3) 규칙성의 유도 6) 행동해 보기 9) 공식의 해석

반성

1) 분류된 것의 확인 3) 규칙성의 확인 5) 다른 가능성의 탐색 7) 풀이 설명

9) 다른 해결책 찾기

2) 풀이에 대한 논리

4) 풀이를 가지고 문제를 재 진술하기 6) 단순한 문제로 만들어 풀기 8) 풀이 확인

10) 풀이의 일반화 공식의 확인

아. 수학과 학습 지도 모형

한국교육개발원의 수업 과정 일반 모형에 따라 수학과의 특성을 살려 구안한 학 습 지도 모형을 도표로 나타내면 다음과 같다.

과제파악활동 1 활동 2

탐색 활동 3

해결 활동 4

음미 활동 5

연습

·동기유발

·과제 제시

·목표인지

· 선 수 학 습 관련

▶

◀

·직관적 사고

·해결방안

·예상과 계획

·선수학습 상기

·관계 고찰

·기호, 용어의 필요성 인식

▶

◀

·논리적 사고 (귀납적 방법)

·선수학습 적용

·구체적 조작

·과제 해결

·원리, 법칙의 발견

·기호, 용어의 정의

▶

◀

·논리적 사고 (연역적 방법)

·해답 검토

·과정 검토

·예상 확인

·원리, 법칙의 확인

·발전문제 탐색

▶ ·원리, 법칙 적용

·기능 숙달 (기본문제

응용)

활동 6정리

·개념정리

·원리, 법칙의 일반화

·학습정리

< 도 입 > < 전 개 > < 정 리 >

자. 교수-학습 자료 개발

일반적으로 학습 자료는 수업 내용의 깊이를 더해 주고, 이해하기 쉽게 하여 학 습효과를 증진시켜 준다.

또한 교수 자료의 보조기능, 통신기능, 학습내용 및 경험의 대상 기능과 교수 기 능을 갖고 있다. 따라서 교수-학습 자료가 가지는 수업 매체로서의 기능은 강조하 고, 체계적 접근을 시도한 한국교육개발원의 자료 개발 절차의 구체적인 모형은 다 음과 같다.

한국교육개발원의 자료 개발 절차 모형

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ

학습 과제의 확인

목표 진술 및

과제분석 수업상태 결정 자료 제작 평가 수정

·학습과제의 배경 내용 적 발전 계 통 및 관련 된 일반적 인 사항 확 인

·학습요소 추출

·출발점 행동 파악

·학습목적 설정

·교수-학습 계열의 결정

·매체의 선정

·수업 상태의 상정

·수업 조건 및 흐름의 결정

·자료 개발 및 제작

·논리적 경험 적인 자료 의 타당도 검증

·제작 단계의 절차적 문 제 평가

·각 단계의 타당도 평 가

·성취도 평가

·자료수정

2. 선행 연구 고찰

본 연구의 추진을 위한 문제 해결상 시사점을 얻고자 선행 연구물 5편을 분석한 내용은 다음과 같다.

연구자 주 제 내 용

김학구 (1995)

교재 유형별 교수-학습 방법이 문제 해결력 신장에 미치는 효 과

·문제 해결력 향상을 위한 교재 유형별 교수-학습 과정안 구안 학습

·교수-학습 과정에 적합한 학습 자료 제작 방침

박용재 (1996)

해법의 다양성 문제 지도를 통 한 문제 해결력 신장

·문제 해결력 향상을 위하여 교육 과정을 분석하여 해법의 다양성 문제를 추출 재구성 방법

·해법의 다양성 문제 지도 방안

김병태 (1997)

수학과 문제 해결력 신장을 위 한 수업 형태의 개발과 그 적용

·단계별 구체적인 문제 해결 전략

·발견적 발문법을 통한 문제 해결 학습 방법

이조웅 (1997)

발문 학습 강화 지도가 수학과 학력 신장에 미치는 영향

·효과적인 발문을 통하여 수학과 학력 신장

·발문 학습 활동을 통한 효과적인 요점 정리

·발문 학습 활동으로 학습자 중심 의 학습으로 전환

김영붕 (1998)

수학과의 문제 해결력 신장을 위한 흥미 학습 자료의 개발 및 활동 방안

·문제 해결 능력을 기르기 위한 학습자료 개발

·교수-학습 과정안 모형

이상의 선행 연구에서 본 연구에 시사 받은 점은 다음과 같다.

가. 개념, 원리, 법칙을 확고히 이해시키도록 하는 것이 문제 해결력을 향상시 키는데 중요한 요인이 된다.

나. 문제 해결 학습 문항을 제작 지도하는 것이 수학과 학력을 향상시키는데 효과적이다.

다. 학습 내용을 구조화, 단순화시켜 지도해야 학습 효과를 극대화 할 수 있다.

라. 문제 해결력을 신장시키는 방안으로는 학습 동기, 학습 의지, 자아 개념을 연계하여 지도하여야 한다.

마. 발견적 발문법을 통하여 수학 내적, 외적 연관성과 속성 찾기 등 문제 해결 력을 향상시키는 교수-학습 지도 방법이어야 한다.

또한 선행연구와 본 연구의 차이점으로는

가. 학습 단계별로 교과서에서 부족한 다양한 문제 해결 중심의 학습 자료를 개발한다.

나. 매 시간 교수-학습 지도에서 학습 단계별로 개발된 문제 해결 중심의 학습 자료의 투입으로 스스로 문제 해결력을 신장시키도록 한다.

다. 매 시간 다양한 문제 해결력 중심의 자기 형성 평가 문항을 제작 투입하여 학생 스스로 평가할 수 있도록 활용한다.

라. 교수-학습 지도 과정상 학습 단계별로 적절한 내용으로 발문법을 통하여 학생 스스로 사고하고 일반화 할 수 있도록 개발 적용할 계획이다.

Ⅲ. 실행목표 설정

1. 실행목표 [1]

미분법 학습 내용 중 문제 해결 수업 과정에 알 맞는 기본적 개념, 원리, 법칙 및 상호 관련성의 문제를 구조화한다.

실 천 내 용

가. 미분법 내용 분석

나. 미분법의 기본이 되는 필수 학습 요소 추출 다. 필수 학습 요소의 구조화

2. 실행목표 [2]

학습 내용의 구조화된 자료를 적용한 단계별 문 제해결 학습을 전개한다.

실 천 내 용

가. 문제 헤결 학습의 주안점 나. 교수-학습 모형 정립

다. 문제 해결 교수-학습 과정안 작성 활용

3. 실행목표 [3]

문제 해결 중심의 다양한 학습 자료를 선정하여 수학과 문제 해결력을 기른다 .

실 천 내 용

가. 문제 해결 중심의 필수 학습요소 체계화

나. 문제 해결 중심이 학습 문항 제작 모형 정립

다. 문제 해결 중심의 단계별 학습문항 제작 활용

Ⅳ. 연구의 설계

1. 연구의 대상

가. 본 연구에서 연구반의 경우 원주시 J고등학교 2학년 1반 40명을 연구반으 로 하며 연구자가 직접 수업을 지도한다.

나. 본 연구에서 2학년 2반 40명을 비교반으로 하며 비교반은 다른 수학교사의 통상적인 수업 방법으로 수업한다.

다. 문제 해결 중심의 평가 및 검증 자료는 외부 기관에서 제작한 평가 자료와 전문가의 조언을 얻어 본 연구자가 자체 제작한 자료를 투입하여 효과를 확인한다.

2. 연구의 기간

2000년 11월 1일 ∼ 2002년 2월 28일 (약 16개월간)

3. 연구의 절차

연구 절차 방 법 기 간

연구 주제 선정 ·연구 주제를 위한 실태 분석 및 조사

·연구 주제 선정

2000. 11. 1 ∼ 2000. 11. 15 문헌 연구 ·문헌 자료를 통한 연구 조사

·선행 연구 조사

2000. 11. 6 ∼ 2000. 11. 30 기초 조사 ·학생 교사 실태 분석

·실험 학급 선정

2001. 2. 1 ∼ 2001. 3. 31 연구 계획서

작성 ·연구 계획 수립 및 연구 계획서 작성 2001. 3. 1 ∼ 2001. 3. 20

연구 절차 방 법 기 간

연구의 실행

·문제 해결 중심의 학습 내용의 구조화

·문제 해결 중심의 교수-학습 과정안 작 성 투입

·문제 해결 중심의 학습 자료 제작 투입

2001. 3. 3 ∼ 2001. 11. 30

실험의 결과 측정 및 자료

처리

·흥미도 검사

·학습 실태 조사

·문제 해결력 신장도 조사

·결과 처리 및 통계 분석

2001. 10. 1 ∼ 2001. 11. 10

연구 보고서 작성

·자료 정리

·보고서 작성

2001. 11. 1 ∼ 2002. 1. 15

4. 자료 처리 내용과 방법

가. 교과별 흥미 변화 : 조사법(사전, 사후 검사) 나. 학습 실태 변화 : 관찰법(사전, 사후 검사)

다. 연구반, 비교반 수학 성적 : 조사법(사전, 사후 검사) 라. 학습 실태 분석 : 조사법(사전, 사후 검사)

5. 조건 통제

가. 시간 : 학습 지도 시간은 본교 수학 교과 배정 기준에 의함 나. 문제 해결 중심의 학습 문항을 매 시간 투입한다.

다. 교수-학습 과정안은 본교에서 사용하는 교과서를 중심으로 작성 활용함

Ⅴ. 연구의 실행

1. 실행목표 [1]의 실천

미분법 학습 내용 중 문제 해결 수업 과정에 알 맞는 기본적 개념, 원리, 법칙 및 상호 관련성의 문제를 구조화한다.

실 천 과 제

가. 미분법 교과내용 분석

나. 미분법의 기본이 되는 필수 학습 요소 추출 다. 필수 학습 요소의 구조화

가. 미분법 교과 내용 분석

문제해결 수업 과정에 알맞은 교수-학습 과정안을 구안하기 위하여 수학과 각 영역의 학습 내용을 Bloom의 교수 목표 분류방법, Gagne의 학습과제 분석 방법 등 을 참고하여 학습 내용을 분석하고 선수 학습 요소를 추출한다. 또한 효과적인 교 수-학습 지도가 이루어지도록 학습 내용과 선수 학습 요소를 도식화하였다.

선수 학습 요소

★ 일·이차함수와 그 그래프

★ 방정식과 부등식, 함수, 직선의 방정식

★ 수열의 극한, 함수의 극한

★ 함수의 연속성

다항함수의 미분법

평균 변화율 순간 변화율

미분계수 미분계수의 기하학적 의미

함수의 미분 가능성과 연속성 접선의 기울기

도함수

미분법의 공식

도함수의 응용

곡선의 접선

함수의 증가, 감소

함수의 극대, 극소

함수의 그래프

함수의 최대, 최소

속도, 가속도 방정식, 부등식에의 응용

나. 미분법의 기본이 되는 필수 학습 요소 추출

미분법의 각 영역을 중심으로 수학과 교육과정에 제시된 학습요소를 추출하고 학습 목표를 구체적으로 세워 적용하였다.

<표-5> 필수 학습 요소 분석표

대단원 중단원 소단원 필수 학습 요소 학 습 목 표 시간

미

분

법 다 항 함 수 의

미 분 법

(1) 도함수

·평균 변화율, 증분

·순간 변화율, 미분 계수

·미분계수의 기하 학적 의미

·미분계수에 의한 접선의 기울기

·미분 가능성과 연 속성

·도함수의 정의

·평균 변화율, 순간 변화율을 알게 한다.

·미분계수의 뜻과 기하학적 의미를 알게 한다.

·미분계수로써 접선의 기울 기를 구할 수 있게 한다.

·미분 가능성과 연속성의 관 계를 알게 한다.

·도함수의 정의를 알게 한다.

·도함수에 관한 용어를 알게 한다.

4

(2) 미분법

·미분법의 공식

·미분법의 이용

·미분법의 공식을 이용하여 미분할 수 있게 한다.

·미분법의 기본 성질을 이해 하고 적용할 수 있게 한다.

2

도 함 수 의

활 용

(1) 접선

·접선

·미분계수를 이용 한 접선의 방정식

·법선

·미분계수를 이용하여 접선 의 방정식을 구할 수 있게

한다. 1

(2) 함수의 증가, 감소

·증가와 감소

·한 점에서의 증가, 감소 상태

·한 구간에서의 함 수의 증가와 감소

·함수의 뜻과 정의를 알게 한다.

·함수의 증가 상태, 감소 상 태를 알게 한다.

대단원 중단원 소단원 필수 학습 요소 학 습 목 표 시간

미

분

법 도 함 수 의

활 용

(3) 함수의 극대, 극소

·극대, 극대점, 극대값

·극소, 극소점, 극소값

·함수의 극대와 극소

·함수의 증가와 감소의 뜻을 알게 한다.

·함수의 증가상태, 감소 상태 를 알게 한다.

2

(4) 함수의 그래프

·함수의 그래프 개 형

·다항함수의 최대 와 최소

·도함수의 방정식, 부등식에의 응용

·도함수를 이용하여 함수의 그래프 개형을 그릴 수 있 게 한다.

·다항함수의 최대값, 최소값 을 구할 수 있게 한다.

·도함수를 방정식, 부등식에 이용할 수 있게 한다.

3

(5) 속도와 가속도

·속도, 속력

·가속도

·속도, 가속도의 응 용

·도함수를 이용한 속도와 가 속도의 정의를 알게 한다.

·속도, 가속도에 대한 문제에 도함수를 활용할 수 있게 한다.

1

다. 필수 학습 요소의 구조화

문제 해결 과정을 G. polya의 문제 해결 학습 과정과 제이론 선행연구 등을 참고 하여 본 연구에서는 4단계로 구분하여 각 단계별로 필수 학습 요소를 구조화하였다.

필수 학습 요소 구조화의 적용 영역은 수학의 정의, 공리, 정리, 기본 공식, 용어, 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙의 상호 연관성 등을 대상으로 한다.

Ⅰ단계 : 문제 파악 단계

·이미 학습한 단원과 앞으로 학습할 단원과의 연관된 선수 학습 내용을 제시 하여 학습할 과제의 이해도를 높이고 보충지도를 통하여 본시에 형성될 기 본개념에 대한 인식을 가지게 한다.

·문제 해결에 필요한 기초지식(기호, 용어, 공식)을 인식시킨다.

·무엇을 배우며 어떤 결과를 요구하며 중요한 내용은 무엇인지를 알기 위하 여 먼저 학습 과제를 제시한다.

·학습 목표를 제시하여 공부할 문제를 구체화하여 인식하게 한다.

·학습자의 동기 유발을 위하여 교사가 노력한다.

Ⅱ단계 : 연관성 및 속성 찾기

·문제 해결에 필요한 문제 장면, 예제 등 기본개념을 일반화하는데 중점을 두어 구체적이고 다양한 지도자료를 통하여 제시하며 내적, 외적 연관성 및 속성을 찾을 수 있게 한다.

·내적, 외적 연관성 및 속성의 예시 분석과 종합적 사고 활동을 통해 공통적 인 연관성을 찾는다.

·본질적으로 다른 연관성을 분류할 수 있는 준거를 찾게 한다.

·개별학습과 이웃끼리의 토의를 거친 후 전체 학습에서 임의의 학생이 발표 케 하며 최종적으로 교사는 적절한 발문법을 통하여 의견을 제시하며 일반 화하도록 도와준다.

Ⅲ단계 : 구조화 단계

·앞에의 단계에서 발견된 내적, 외적 연관성 및 속성, 용어를 사용하여 설명 할 수 있도록 한다.

·학습과제의 개념 정의를 진술케 한다.

·수학의 내적, 외적 연관성 및 속성을 수학적인 용어나 기호로 언어화, 기호 화, 공식화하게 한다.

·학습한 내용의 관련된 개념을 구조화시킨 것을 지도자료를 통하여 제시한 다.

Ⅳ단계 : 적용 발전 단계

·학습한 새 개념에 대한 예시 문제를 학생과 같이 다루어 확인한다.

·문제 해결 예시 문제를 지도자료로 제시하여 개별 학습케 한다.

·새 개념을 기존 개념 속에 편입시키도록 한다.

·형성평가를 통하여 문제 해결력 향상 여부를 확인케하여 보충 심화학습이 되도록 한다.

·지도자료 및 교과서의 연습문제를 통하여 문제 해결력 향상을 도모케 한다.

<그림-3> 필수 학습 요소의 구조화

2. 실행목표 [2]의 실천

학습 내용의 구조화된 자료를 적용한 단계별 문 제해결 학습을 전개한다.

실 천 과 제

가. 문제 해결 학습의 주안점 나. 교수-학습 모형 정립

다. 문제 해결 교수-학습 과정안 작성 활용

가. 문제 해결 학습의 주안점

학생들의 문제해결 학습 능력을 신장시키기 위해 이미 추출된 필수 학습 요소를 학생들의 관심과 참여를 이끌어낼 수 있도록 적용하고 투입 영역은 수학의 정의, 공리, 기본 공식, 용어, 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙의 상호 연관성 등을 주 내용으로 적용하였다.

나. 교수-학습 모형 정립

문제 해결 교수-학습 수업 모형을 정립하기 위하여 G. polya의 문제해결 학습 과 정과 한국교육개발원이 제시한 수학과 학습지도 모형과 교육청에서 제시한 개념학 습 과정과 각 학교 선행연구 결과를 단계별로 참고하였다.

문제

파악 ▶ 해결방안 모색

▶

◀ 과제 해결

▶

◀

결과

음미 ▶ 정리

한국교육개발원 수학과 학습지도

모형

문제

제시 ▶ 과제

의식 ▶ 제시 ▶ 개념화 ▶ 적용

발전 ▶ 형성 평가

안성여고 개념 학습

과정

예시단계 ▶ 개념추구 ▶ 적용발전 강원도 교육위원회

개념 학습 과정

문제

이해 ▶ 계획

수립 ▶ 실행 ▶ 검증 폴리아의

문제 해결 과정

문제

제시 ▶ 이해 ▶ 계획 ▶ 해결 ▶ 반성 및 검토

대전여고 문제해결 방안

반 복 학 습

<그림-4> 교수-학습 과정의 단계별 비교

위와 같은 단계별 문제해결 과정을 참고하여 4단계 교수-학습 과정을 다음과 같 이 구안, 정립 활용하였다.

Ⅰ단계 Ⅱ단계 Ⅲ단계 Ⅳ단계

문제파악 ▶ 연관성 및 속성 찾기 ▶ 구조화 ▶ 적용 발전

반 복 학 습

구안 정리된 4단계 학습 과정에 대한 각 단계별 특징은 다음과 같다.

문제 파악 연관성 및

속성 찾기 구조화 적용 발전

·선수학습 제시

·본시 학습 내 용 제시

·용어, 기호

·학습과제 제시

·학습목표 제시

·동기 유발

·학습 장면의 설정

·연관성 및 속 성 찾기

·관련 준거 찾 기

·위계적 관계 찾기

·단계별 토의

·내적, 외적 연 관성 및 속성 을 용어화, 기 호화, 문자화, 일반화

·새 개념의 사 실 문제에 적 용하여 확인

·새 개념을 기 존 개념 속에 편입

·새 개념의 정 착 연습

·형성 평가

·과제 및 해결 방법 안내

반 복 학 습

<그림-6> 문제해결 교수-학습 모형도

다. 문제 해결 교수-학습 과정안 작성 활용

문제 해결력 향상을 위한 정립된 교수-학습 과정에 따라 교수-학습 과정안을 작 성하고 각 단계별로 다음과 같은 원칙 하에 실행하였다.

(1) 교수-학습 과정안 작성 활용

(가) 각 단원에서 기본 개념의 발견과 일반화에 바탕을 두고 문제 해결력의 제 고에 중점을 두고 학습 단계별 지도 자료를 제시하여 최종적으로 수학과 문제 해결력을 향상시키도록 하였다.

(나) 전반적으로 학습 목표와 교수-학습 과정을 관련짓고 학생활동이 중심이 되어 단계별 학습(개별-이웃-전체 토의 학습)이 되도록 함으로써 스스로 기 본 개념을 발견하도록 하고 교사는 학생활동을 돕는 방향으로 작성 활용하 였다.

(다) 교수-학습 과정의 계획 수립 시 학습 내용을 분석하여 추출된 필수 요소 의 학습목표 도달점을 정확히 확인하여 단계별, 계통적으로 조직 활용하였 다.

(라) 구조화 단계에서는 새 개념을 언어화, 기호화, 공식화시킨 내용을 지도자 료를 통하여 구조화하여 제시함으로써 학생들이 새 개념에 대한 인식을 명 확히 시켰다.

(마) 적용 발전 단계에서는 학습 목표에 도달 여부를 확인하여 보충 심화 학습 이 되도록 함으로써 개념이 확고한 정착과 지도자료를 통하여 문제 해결력 을 높일 수 있음으로써 수학과에서 추구하는 수학과 학력 향상의 방향으로 추진할 수 있게 하였다.

(2) 지도상의 주안점

(가) 수학은 단계별 계통 학습이다.

지난 시간의 학습 내용이 오늘 학습할 내용의 기초가 되고, 또한 오늘 학습 내용

에 첨가되어 다음 시간의 학습 내용에 기초가 된다. 따라서 그날 그날 배운 것을 완전히 자기 것으로 완성하면 수학과 학력을 높일 수 있다. 결과적으로 학습 결손 이 누적되지 않도록 공부하는 습관을 배양하도록 지도하는 것이 중요하다.

(나) 수학의 특성 중에서 가장 중요한 것은 일반화라고 볼 수 있다.

일반화란 어떤 사상이 있을 때 각 사상이 가지는 속성 중에서 이질적인 것을 제 거하여 나가면 결국 내적 외적 연관성과 속성만 남게 되고 각 사상이 지니는 연관 성, 속성을 끄집어내는 것을 말하는데 바로 이를 위하여 학생들에게 내적 외적 연 관성, 속성 등을 찾는 습관을 길러서 수학적 사고력을 향상시키도록 지도한다.

(다) 일반화된 수학 개념을 통합시키도록 지도한다.

(라) 여러 가지 내적 외적 연관성, 속성을 연구하여 그 유사성을 인 식하도록 지도한다.

(마) 통합 교과적인 여러 가지 사회현상을 수학적인 학습과제로 이 해할 수 있도록 지도한다.

이와 같은 관점에서 교수-학습 과정안을 부록-3과 같이 작성 활용

하였다.

다음은 부록-3의 한 예이다.

<표-6> 교수-학습 과정안(예)

단원명 Ⅳ. 미분법 자료번호 Ⅳ-1

학습목표

1. 평균 변화율의 정의를 밝히고 함수의 평균 변화율을 구할 수 있다.

2. 평균 변화율의 기하학적 의미를 안다.

차 시 1 15

교수-학습 과정

교수-학습 활동 내용 문항

번호

지도상의

교 사 학 생 유의점

문제파악

·학습 분위기 조성

·선수학습

함수

y = x - 4

·위에서 x의 변화량과 y의 변화량의 비율은 얼마인가?

·지명된 학생은 대답한 다.

·전체 학생 대답

·발문

·발문

·본시 학습목표 제시 ·본시 학습목표를 다같 이 읽어본다.

·학습자료 배부

(문항번호 제시) 학생 지명

·제시된 자료 해결 후 지명된 학생 대답

1) · 학 습 목 표 를 숙지시킨다.

연관성 및 속성 찾기

·물체가 자유낙하할 때 시간 을 x, 낙하거리를 y라 할 때 x와 y의 사이의 관계

y = 4.9x

· 그 래 프 를 그리며 설 명

평균 변화율

함수 y=f(x)가

a

b

△y

△x = f( b) - f( a)

b - a = f( a + △x) - f( a)

△x

교수-학습 과정

교수-학습 활동 내용 문항

번호

지도상의

교 사 학 생 유의점

구조화

·그래프를 사용하여 설명할 수 있는가?

·그래프를 이용하여 설명한 다.

·그래프를 보고 평균 변화율 의 기하학적 의미는 무엇인 가?

·각자 생각해 보고, 대 답한다.

·필기를 하면서 확인한 다.

·전체 대답 : 두 점을 지나는 직선의 기울 기

·발문

·발문

·학습자료 제시 (문항번호 제시)

·제시된 자료를 개별 학습한다.

2)

적용

· 발전

<예제1> 함수

y = x

x

a

a + h

변화율을 구하여라.(

h ≠ 0

·같이 준다.

·학습자료 제시

<문제1><문제2><문제3>을 제시한다.

·지명된 학생이 나와서 풀어본다.

3) ·순회지도

·오류 지적과 설명

·학습목표를 다시 한번 발문 을 통하여 확인

·평균 변화율의 정의는?

·평균 변화율의 기하학적 의 미는?

·지명된 학생이 반복하 여 풀어본다.

·지명된 학생이 나와서 풀어본다.

·전체 대답

·전체 대답

·발문

·발문

·학습자료 문항 제시 ·단계별 학습(개별, 이 웃, 전체)을 한다.

4) ·단계별 학습 을 위한 약간 의 소음은 제 지하지 않는 다.

·최종적으로 확인

·과제 제시

·차시 예고