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개념 학습

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Academic year: 2022

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(1)

9. 스켐프

(2)

스켐프의 학습 심리학

피아제의 스키마 개념을 이용, 반복 연습과 암기에 의한 학습에 대한 대 안으로서 관계적 이해를 통한 지적 학습 이론을 전개

 수학학습에서의 곤란 이유

 수학적 개념 본질의 문제



 수학적 개념이 아동의 지식 구조를 형성하도록 하기 위해 어떻게 연결되 어야 하는가

 수학은 실험이나 물리적 증명이 아닌 순수한 사고의 산물이라는 사실

 일차 개념(감지기나 동적 경험에서 얻어진 경험) vs. 이차 개념(다른 개념에서 추상된 개념)

(3)

 개념을 통한 개념적 사고 – 개념의 차원이 높을수록 개념이 미치는 저장된 경험은 많아짐

 개념 학습의 원리

개념 학습

 개념 학습의 원리

 기존 개념보다 더 높은 차원의 개념은 정의에 의해 의사소통할 수 없고, 적절한 예를 함께 모음으로써만 가능

 학습자의 마음 속에 이러한 개념이 형성되어 있는지 확실히 해야 함

 특정 단계를 이해하지 못하면 이후의 추상화 과정은 위태로움

 추상의 단계에서 매번 모든 선행 개념이 사용 가능한 상태이어야

(4)

※스키마

개념의 관계와 관련

행동이나 사고의 양식이나 구조

인간의 행동이나 사고를 반복 가능하게 하고 일반화할 수 있게 하는 심적인 구조

학습에 의해 얻어짐

스키마

• 스키마의 3가지 기능

– 기존 지식을 통합

– 발전학습을 위한 도구 – 이해를 가능

• 스키마의 통합적 기능: 대상을 개념의 예로 인식할 때 개

념 그 자체와 분류된 유목의 원소로 지각

(5)

스키마

• 새로운 학습을 위한 도구로서 스키마의 기능 – 암기식보 다 스키마식 학습이 더 효과적

• 스키마 학습

• 기존의 스키마를 새로운 지식의 획득을 위한 수단으로 사용하는 학

• 기존의 스키마를 새로운 지식의 획득을 위한 수단으로 사용하는 학 습이다. 즉 기존의 스키마를 활용하여 동화와 조절에 의해 새로운 스 키마를 획득하는 방법

– ‘관계적 이해’를 가능하게 하는 것으로 ‘학습의 준비성’과 ‘자료 제시’가 결정적 요인으로 작용

– 의미충실한 학습

– 피아제 심리학의 수학교육적 적용 이론의 하나

– 단점: 독립된 학습 과제에서는 시간이 오래 걸림, 스키마에 맞지 않는 것 은 학습하기 어려움

(6)

도구적 이해 : 어떤 규칙을 기억하고 있으면서 그 규칙 이 왜 그렇게 적용하게 되는지 알지 못하고 그것을 문제 해결에 적용하는 상태

② 관계적 이해 : 방법과 이유를 아는 상태, 곧 일반적인 수 학적 관계로부터 특정한 법칙이나 알고리즘을 연역할 수

관계적 이해와 도구적 이해

학적 관계로부터 특정한 법칙이나 알고리즘을 연역할 수 있는 상태

③ 논리적 이해 : 수학적 기호체계와 표기를 적절한 수학적 아이디어와 관련시키고 그 아이디어를 논리적 추론 고리 와 결합시켜 기술하는 능력. 다른 사람을 확신시킬 수 있 는 수준의 이해

④ 기호적 이해 : 기호 체계와 개념 구조 사이의 상호 동화.

수학 기초 체계와 표기를 적절한 수학적 아이디어와 관

련 짓는 능력

(7)

이해의 종류

도구적 관계적 논리적

사고 활동의

양식

직관적 I1

이유 없는 규칙

R1

사각형의 넓이가 가로와 세로의 길 이에 비례할 때, 부

채꼴의 넓이도 각

L1

공리에 의한 문제가 제시되었을 때 이 공 리로부터 가능한 명제

를 추측 채꼴의 넓이도 각

과 반지름에 비례 를 추측 반성적 I2

Xn(n은 자연수) 의 도함수를 알 때 정수 지수의

적용

R2

분석적으로 증명 한 결과

L2

러셀의 패러독스

(8)

• 도구적 이해의 장점

① 보통 이해하기가 쉬움. 즉, 받아들이기가 관계적 이해보다 수월.

② 보상은 더욱 즉각적이고 더욱 명백

③ 지식의 덜 포함되어 있다.

관계적 이해와 도구적 이해

• 관계적 이해의 장점

① 관계적으로 이해된 수학은 새로운 과제에 더 잘 적응

② 관계적으로 이해된 수학은 기억하기에 더 쉬움

③ 관계적으로 이해된 지식은 그 자체가 효과적인 목적

④ 관계적 스키마는 질적으로 유기적

(9)

- 인간 행동이 목표 지향적이라는 것을 가정하여, 이러한 가정 아래 지휘체계 라는 개념을 도입

- - 외부 환경을 기준으로 현재 상태와 목표 상태를 비교하고, 현재 상태와 목 표 상태가 일치할 때까지 그 차이를 줄이기 위해 지휘 행동 계획을 수립

• 지휘체계: 생존 지향적인 능력을 실행하는 체계

• 지휘 체계의 구성요소

① 감지기 : 아동의 현재 상태에 대한 정보를 얻고, 그것을 내적으로 표현함.

지능 모델

① 감지기 : 아동의 현재 상태에 대한 정보를 얻고, 그것을 내적으로 표현함.

② 비교자 : 현재 상태와 목표 상태를 비교.

③ 행동 계획 : 현재 상태에서 목표 상태로 아동의 상태를 바꾸기 위하여 실제 로 할 수 있는 것

(10)

• 목표 지향적 학습으로서의 지능은 ‘델타-1’과 ‘델타-2’라 는 지휘 체계가 필요

① 델타-1 : 물리적 환경에 대하여 작동하는 지휘 체계

② 델타-2 : 델타-1을 피동자로 하는 이차적인 지휘 체계.

델타-1이 보다 잘 작동되도록 델타-1을 바꾸는 역할.

목표는 스키마의 구성

지능 모델

목표는 스키마의 구성

• 지능은 목표 지향적인 행동을 위한 지휘 체계, 가장 중요

한 기능은 스키마의 구성

(11)

직관적 지능: 지각된 실제적 대상 사이의 관계나 아동 자신의 행동 사이의 관계를 인식하는 능력.

외부에서 얻은 자료를 수용기를 통하여 인식하며, 이 자료는 개념 구조에 의해 자동적으로 분류되고 다른 자료와 연결됨. 중재 사고 활동이 없음

반영적 지능: 개념이나 개념 사이의 관계의 인식 능력. 중재 사고 활동이 자기 반성적 인식의 대상.

직관적 지능과 반영적 지능

중재 사고 활동

수용기 반응기

능력. 중재 사고 활동이 자기 반성적 인식의 대상.

의식의 대상이 델타1 내에 있고 의식은 델타2에 집중

중재 사고 활동

수용기 반응기

중재 사고 활동

수용기 반응기

(12)

• 반성적 지능의 특징

(직관적 지능  반성적 지능이 되기 위한 조건)

– 속도의 증가 : 단시적으로 연결되어 있는 활동에 대한 지식을 동시적인 전체로 융합할 수 있다

직관적 지능과 반성적 지능

동시적인 전체로 융합할 수 있다

– 의식화 : 활동의 실제적인 메커니즘을 의식

– 거리의 확대 : 현실과 관련된 활동을 표상과 관련된 상징적

활동으로 넓힐 수 있다

(13)

직관적 지능과 반영적 지능

• 수학에서의 반성적 지능

– 논리적 사고와 증명을 포함하는 추론 과정

– 일관성이 없고 잘못된 추론에 대한 개념과 스 키마를 조사하고 옳게 바꾸려는 시도

키마를 조사하고 옳게 바꾸려는 시도

– 잘 되었는지 점검하고 잘못된 점 고치기

– 이미 알고 있는 지식을 증진하고 체계화하기 – 반성적 탐구

– 반성적 계획 – 문제 해결

(14)

10. 디너스

(15)

놀이를 통한 학습

※ 디너스 -

수학 학습을 ‘놀이’를 통한 구성적 활동이라고 보 고 구체적인 수학 자료를 이용한 놀이를 중요시하고 이에 기 초하여 학습 원리를 제시.

수학학습

 아동의 내발적 동기에 근거한 학습

 수학적 상황에서의 ‘놀이’ 로써 조직된 수학 학습

 수학적 구조를 내포한 학습 상황에서의 수학적 구조의 구

성 및 그 응용 학습을 통해 통합적 인격 형성에 기여하는

학습

(16)

• 개념 형성 3단계

– 예비 놀이 : 방향이 없고 목적이 없는 듯한 그 자체를 위해 수행 되고 즐기는 활동

– 구조화된 놀이 : 놀이 경험의 구조화가 필요한 것을 이해하기 시 작하여, 개념의 부분적 구성이 이루어지며, 목적 지향적인 단계

개념 형성 단계

– 실습 놀이: 개념이 형성된다. 형성된 개념을 정착시키고 적용하 기 위한 적절한 연습을 제공하여야 한다.

• 개폐연속체

개념 형성의 3단계를 거쳐 일단 형성된 수학적 개념은 닫힌 상태(폐) 가 되지만, 분석과 적용 과정에서 열린 상태(개)로 변하여 보다 객관 적이고 보다 높은 수준의 재구성이 이루어진다.

Cf) 피아제의 반영적 추상화

(17)

1단 계

자유놀 이

구조화되어 있지 않은 조작이니 실험 활동 등 많은 구체 적인 자료를 자유롭게 대하는 시기

2단 계

게임

자유롭게 놀이를 하는 가운데 점차로 어떤 규칙성이 있 다는 느낌을 갖게 되는 시기

3단 공통성

놀이의 소재가 되는 여러 구체물 속에 공통적으로 들어

수학 개념의 학습 지도 단계

3단 계

공통성 탐구

놀이의 소재가 되는 여러 구체물 속에 공통적으로 들어 있는 특정 개념의 수학적인 구조를 파악하기 시작. 게임 단계에서 감지되는 규칙성이 보다 명확해지는 단계

4단 계

표현

추상화 과정을 통하여 파악한 개념의 공통성을 적절한 방법으로 표현하는 시기

5단 계

기호화

자신만의 적절한 수단으로 개념을 수학적 기호를 이용 하여 표현

6단 계

형식화

추상한 개념의 수학적인 구조를 파악하고 이 개념이 갖 고 있는 여러 성질을 체계화

(18)

• 자유놀이: dot paper에 그림 그리기

• 게임: 여러 크기의 직각삼각형을 그리고 세 변의 길이를 구하시오

• 공통성 탐구: 세 변의 길이 사이의 관계식 탐구

• 공통성 탐구: 세 변의 길이 사이의 관계식 탐구

• 표현: 관계를 표현

• 기호화: a2+b2=c2

• 형식화: 활동 정리. 피타고라스의 정리 소개, 증 명

(19)

역동적 원리 ① 예비 놀이단계

② 구조화된 놀이단계

③ 실습 놀이 단계

⇒ 순차적으로 적절한 시기에 필수적인 경험으로 제공

구성의 원리 아동은 분석적 사고를 하기 훨씬 이전에 구성적 사고를 발달 시키므로 아동에게 제시하는 수학적 상황은 분석보다는 구성

수학 학습 원리

을 요구하는 것이 우선되어야 함 지각적 다양

성의 원리

동일한 개념 형성에 존재하는 가능한 모든 개인차를 고려하 는 방법. 동일한 개념적 주제에 대한 다양한 수단을 사용하여 가능한 한 많은 변화를 주자는 것

수학적 다양 성의 원리

개념의 성장을 돕기 위해 구조화된 경험을 제공하려면, 개념 은 변하지 않게 유지하면서 가능한 한 많은 변인을 변화시켜 야 한다는 것.

(20)

• 직육면체 개념 학습의 예

– 역동적 원리: 구체물을 이용하여 3단계의 놀이 경험 – 구성의 원리 : 쌓기나무나 마분지에 그린 전개도 등

– 수학적 다양성의 원리: 밑면이 정사각형인 경우와 아닌 경우, 가 로보다 높이가 큰 경우 등

– 지각적 다양성의 원리: 쌓기나무로 만든 직육면체, 플라스틱 빨

개념 학습

– 지각적 다양성의 원리: 쌓기나무로 만든 직육면체, 플라스틱 빨 대를 연결한 직육면체 등

• 디너스의 개념 학습 원리에는 반성의 과정이 포함되었다

기 어려움  경험적 추상화의 수준

(21)

• 수학학습심리학에서 다룬 9가지의 특징을 표로 정리하시오.

명칭 대표 학자 /옹호자

일반적인 주 장

수학학습에 대한 관점

다른 심리학 과의 비교 연합주

과제

연합주 의 형태주

디너스

참조

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