제9장 기 둥 (3) (3)

제9장 기 둥 (3)

B. 세가지 파괴양상에 따라 분류한 해석방법 [1] 평형파괴

① 평형파괴상태(balanced failure)

주어진 단면에 대하여 축력 P와 편심 e를 특정한 값으로 하여 가하면 파괴 시 콘크 리트 변형률이 0.003이 되는 동시에 철근응력이 𝑓_𝑐𝑐 에 달하게 되는 파괴상태.

② 단면의 소성중심(plastic centroid)

콘크리트 전단면이 0.85𝑓_𝑦 의 응력을 받고 철근도 𝑓_𝑦 를 받을 때(즉 소성상태의 응 력), 전응력의 합력의 작용점이다. 대칭단면의 경우에는 도심과 일치한다.

소성중심 𝑦_𝑝 = ^∑Ai𝑓iyi

∑Ai𝑓i 도심 𝑦_𝑐 = ^∑Aiyi

∑Ai

③ 평형상태의 유도 (평형하중𝑃_𝑏 , 평형모멘트𝑀_𝑏 , 평형편심𝑒_𝑏) 변형률도의 삼각형의 닮음으로부터

𝐶_𝑏 = 0.003 0.003 + 𝑓_𝑦

𝐸_𝑠

𝑑 = 6120

6120 + 𝑓_𝑦 𝑑 𝑎_𝑏 = 𝑘₁𝑐_𝑏 = 𝑘₁ 6120

6120 + 𝑓_𝑦 𝑑

축방향력의 힘의 평형(∑V = 0)을 적용하면,

𝑃_𝑏 = 0.85𝑓_𝑐𝑐𝑎_𝑏𝑏 + 𝑓_𝑦𝐴_𝑠^′ − 𝑓_𝑦𝐴_𝑠

소성중심에 대한 모멘트의 평형(∑M = 0)을 적용하면, 𝑀_𝑏 = 𝑃_𝑏𝑒_𝑏

= 0.85𝑓_𝑐𝑐𝑎_𝑏𝑏 𝑑 − 𝑑^′′ − ^𝑎₂^𝑏 + 𝑓_𝑦𝐴_𝑠^′ 𝑑 − 𝑑^′ − 𝑑^′′ + 𝑓_𝑦𝐴_𝑠𝑑𝑑𝑑 𝑒_𝑏 = 𝑀_𝑏

𝑃_𝑏

𝑠𝑠𝑠) 𝐶_𝑏 = 0.003

0.003 + 𝑓_𝑦/𝐸_𝑠𝑑 = 284𝑚𝑚 𝑎_𝑏 = 𝛽₁𝐶_𝑏 = 0.85 × 284 = 241𝑚𝑚

𝜀_𝑠^′ = 284−50284 × 0.003 = 0.0028 > ^𝑓𝐸𝑦𝑠 = 350200000 = 0.0018 따라서, 압축측 철근 yield

𝐶_𝑐 = 0.85𝑓_𝑐𝑐𝑎_𝑏𝑏 = 0.85 × 21 × 241 × 400 = 1720740

𝐶_𝑠 = 𝑓_𝑦 − 0.85𝑓_𝑐𝑐 𝐴^′_𝑠 = 350 − 0.85 × 21 1927 = 332150/𝑉 𝑉

𝑇 = 𝑓_𝑦𝐴_𝑠 = 350 × 1927 = 674450𝑁

𝑃_𝑏 = 𝐶_𝑐 + 𝐶_𝑠 − 𝑇 = 1720740 + 332150 + 674450 = 1378𝑘𝑁 참고

𝜙𝑃_𝑏 = 0.65 × 1378 = 896𝑘𝑁 𝑃_𝑏 × 𝑒_𝑏 − 𝑇 × 200 + 𝐶_𝑐 250 −𝑎_𝑏

2 + 𝐶^𝑠 × 200

∴ 𝑒_𝑏 = 293𝑚𝑚

𝜙𝑀_𝑏 = 0.65 × 1378𝐾𝑁 × 293𝑚𝑚 = 262.5𝑘𝑁 · 𝑚

[예제 9.2] 균형하중 𝑃_𝑏를 구하라. 𝑓_𝑐𝑐 = 21𝑀𝑃𝑎, 𝑓_𝑦 = 350𝑀𝑃𝑎 이고 기둥은 단주이다.

[2] 인장파괴 (𝒆 ＞ 𝒆

일 때)

기둥의 강도가 인장철근의 항복에 지배되는 경우이다.

파괴시 압축측 철근이 항복하였다고 가정하면 단면의 강도는 다음과 같이 구할 수 있다.

𝑃_𝑛 = 0.85𝑓_𝑐𝑐𝑎𝑏 + 𝐴_𝑠𝑑𝑓_𝑦 − 𝐴_𝑠𝑓_𝑦 1 𝑃_𝑛𝑒^′ = 0.85𝑓_𝑐𝑐𝑎𝑏 𝑑 − 𝑎

2 + 𝐴^𝑠𝑑𝑓_𝑦 𝑑 − 𝑑^′ (2)

(1) → (2) 하고 (양변) × _𝑏𝑑¹₂ × _0.85𝑓²

𝑐𝑐 한 후, 2차 방정식을 풀면,

𝑎

𝑑 = 1 − 𝑒^′

𝑑 + 1 − 𝑒^′ 𝑑

2

+ 2 𝑒^′

𝑑 𝜌^𝑛 − 𝜌_𝑚𝑑 + 𝜌^′ 1 − 𝑑^′

𝑑 (3)

여기서, 𝜌 = _𝑏𝑑^𝐴𝑠 , 𝜌^′ = ^𝐴_𝑏𝑑^𝑠′, 𝑚 = _0.85𝑓^𝑓𝑦

𝑐𝑐 이다.

단면의 설계강도 𝑃_𝑑 는 (3) → (1) 하면,

𝑃_𝑑 = 𝜙𝑃_𝑛 = 𝜙[0.85𝑓_𝑐𝑐𝑏𝑑 𝜌^′𝑚 − 𝜌𝑚 + 1 − 𝑒^′

𝑑 + 1 − 𝑒^′ 𝑑

2

+ 2𝜌^′𝑚 1 − 𝑑^′ 𝑑 ] 압축철근을 두지 않을 때는 p'=0이므로

𝑃_𝑑 = 𝜙𝑃_𝑛

= 𝜙[0.85𝑓_𝑐𝑐𝑏𝑑 −𝜌𝑚 + 1 − 𝑒^′

𝑑 + 1 − 𝑒^′ 𝑑

2

+ 2𝜌𝑚 1 − 𝑑^′ 𝑑 ]

만일, 압축측 철근이 항복하지 않았다면 “A. 변형율의 적합조건을 이용한 방법”을 따라야 한다.

[3] 압축파괴 (𝒆 < 𝒆

일 때)

콘크리트가 압축강도에 먼저 도달하여 항복을 야기하는 경우이다.

𝜀_𝑐𝑐 = 0.003일 때, 𝑓_𝑠 < 𝑓_𝑦 이다.

주어진 편심거리 e에 대한 공칭 축하중 𝑃_𝑛 은 다음의 두 방법중에서 하나를 사용하 여 구하면 된다.

1) 시행착오법(Trial and error method)을 이용한 적합조건 해석방법 중립축까지의 거리는 삼각형의 닮음으로부터

𝑐 =

𝐸𝑠+𝜀_𝑐𝑐

𝑑

철근의 응력은

𝑓_𝑠𝑑 = 𝐸_𝑠^{0.003(𝑐−𝑑}_𝑐 ^′) = 𝐸_𝑠^{0.003(𝑎/𝑐}_𝑎/𝑐 ^1−𝑑′)

1 < 𝑓_𝑦 ………② 𝑓_𝑠 = 𝐸_𝑠𝑓_𝑐𝑐^𝑑−𝑐_𝑐 = 𝐸_𝑠0.003^{𝑑−𝑎/𝑐}_𝑎/𝑐 ¹

1

한편

𝑃_𝑛 = 0.85𝑓_𝑐𝑐𝑎𝑏 + 𝐴_𝑠𝑑𝑓_𝑠𝑑 − 𝐴_𝑠𝑓_𝑠 ………③

𝑃_𝑛𝑒 = 0.85𝑓_𝑐𝑐𝑎𝑏 𝑦 − ^𝑎₂ + 𝐴_𝑠𝑑𝑓_𝑠𝑑 𝑦 − 𝑑𝑑 + 𝐴_𝑠𝑓_𝑠 𝑑 − 𝑦 ………④

이 식들을 이용하여 다음과 같은 과정으로 해를 구한다.

(1) ②로부터 c를 가정하여 철근들의 응력을 구한다.

(2) ③에 대입하여 𝑃_𝑛을 구한다.

(3) ④로부터 편심 e를 구한 후 주어진 e와 비교하여 같아질 때까지 이 과정을 반복 한다.

이때, 계산된 편심이 주어진 편심보다 클 경우에는 가정한 c의 값(a 값)이 실제 값보다 작다는 뜻이므로 더 큰 c값을 가정하여 반복한다.

2) Whitney의 약산식

𝑃_𝑛이 𝑃₀과 𝑃_𝑏사이에서 직선적이라고 가정하고, 𝑃_𝑛 = 𝑃₀ − 𝑃₀ − 𝑃_𝑏

𝑀_𝑏 𝑀_𝑛 𝑀_𝑛 = 𝑃_𝑛𝑒, 𝑀_𝑏 = 𝑃_𝑏𝑒_𝑏

𝑃_𝑛 = ^𝑃0

1+_𝑒𝑏^{𝑒 𝑃0}_𝑃𝑏−1 대입 여기서, 𝑃₀ = 0.85𝑓_𝑐𝑐 𝐴_𝑔 − 𝐴_𝑠𝑠 + 𝑓_𝑦𝐴_𝑠𝑠

이 방법은 철근이 대칭이고 단층으로 배근 된 직사각형 단면에 사용할 수 있으며 압축측 철근은 항복하였다고 가정할 경우 사용할 수 있다.

[예제] 9-3

압축파괴 양상의 편심에 대하여 약산식을 이용하여 공칭 축방향 강도 𝑃_𝑛 구하기.

풀이과정은 교재 참조.

[예제] 9-4

주어진 기둥 단면에 대한 P-M 상관도 그리기.

풀이과정은 교재 참조.