복습: 유도용량

 솔레노이드의 유도용량

L

N _{ B}

i

 단위는 헨리(H)이다.

 길이

l

A

n

복습: 유도용량

[ ] 1 T m

[ ] 1 H

[ ] 1 A

L

i

   

2

L  

n l A

N 

 L i

복습: RL 회로

L d i d t

 iR  0

i ( t )  i

0

e

i

 V

e m f

/ R L d i

d t

 iR  V

e m f

 





( )

1

V

i t e

R

 



= L/R

emf 연결 emf 제거

전자기짂동

 지금까지는 전류가 일정하게 흐르는 회로 또는 전류가 일정한 값으로 증가하거나 감소하는 회로를 탐구했다.

 이제 저항기, 축전기, 유도기, 구동기전력 등으로 구성되어 전류와 전압이 사인함수로 진동하는 회로를 탐구한다.

 이 회로에서는 이전 회로에는 없는 현상들이 나타난다.

•

공명 , 변압기

 저항기

R

C

•

전류는 시간상수 

⁼ RC 에 따라 지수함수적으로 변한다.

 유도기

L

R

•

전류는 시간상수 

⁼ L / R 에 따라 지수함수적으로 변한다.

 유도기

L

C

•

전류와 전압이 주기적으로(사인모양으로) 시간에 따라 변한다.

•

전류와 전압의 이러한 변화를

유도기의 에너지

 축전기의 전기장에 저장된 에너지

 유도기의 자기장에 저장된 에너지

 전자기진동을 이해하기 위하여 유도기와 축전기 하나씩으로 구성된 단일고리 회로, 즉 LC 회로를 생각해 보자.

 LC 회로에서 이들 에너지가 시간에 따라 어떻게 변하는가를 살펴 보자.

1

2

U q

C



1

2

U  L i

LC 회로 (1)

 축전기는 초기에 완전히 충전되어 회로에 연결된다.

 이때 회로의 에너지는 축전기의 전기장에 저장된 전기에너지뿐이다.

 회로에 흐르는 전류는 0이다.

 축전기가 방전을 시작한다. 회로의 전기에너지, 전류, 자기에너지의 시간 변화를 조사한다.

LC 회로 (2)

LC 회로 (3)

 축전기의 전하는 시간에 따라 변한다.

•

최대 양수값→ 0 → 최대 음수값 → 0

→ 최대 양수값

 유도기의 전류도 시간에 따라 변한다.

•

→ 최대 음수값 → 0

 축전기의 전하는 전하량의 제곱에 따라 변하고, 유도기의 에너지는 전류의 제곱에 따라 변한다.

•

0 → 최대 값 → 0

LC 짂동 (1)

 축전기

C

L

 회로의 에너지

U

 전기 및 자기에너지를 전하와 전류로 표기하면 다음과 같다.

 저항이 없으므로 전기장과 자기장은 보존되고, 회로의 에너지는 일정하다.

 따라서 에너지의 시간미분은 0이다.

E B

U  U  U

2

1 1

2 2

E B

U U U q L i

C

   

LC 짂동 (2)

 에너지의 시간미분



i

dq

dt

 미분방정식

2

1 1

0

2 2

d U d q q d q d i

L i L i

d t d t C C d t d t

 

      

 

2

2

d i d d q d q

d t d t d t d t

 

   

 

2 2

2 2

0

q d q d q d q q d q

L L

C d t d t d t C d t

   

LC 짂동 (3)

 미분방정식

 .전하의 시간변화







 ₀

2

2

0

d q q

d t L C

 

2

0

d x k

x

d t m

 

 용수철에 매단 질량

 미분방정식의 해







 ₀

x  x

m a x

c o s 

0

t  

 

0

k m

 

q  q

m a x

c o s 

0

t  

 



 1 L C

 1

L C

LC 짂동 (4)

 전류의 시간변화

 회로에 흐르는 최대 전류가

i _max

 ₀ q _max

 전기에너지의 시간변화

i  d q d t

 d d t

q

c o s 

0

t  

 

  ^{  }

^q

^{s in  }

^{t   }

i   i

m a x

s in ( 

0

t   )

U

 1 2

q

C

 1 2

q

c o s 

0

t  

 

 

C

 q

m a x 2

2 C

c o s



0

t  

 

LC 짂동 (5)

 자기에너지의 시간변화

 각진동수 …

 다음을 얻는다.

U

 1 2

L i

 L 2

 i

m a x

s in ( 

0

t   )

 

^{ L}

2

i

2

s in

( 

0

t   )

m a x 0 m a x

i   q

0

1 L C

 

2

2 2 2 m a x

m a x 0 m a x

2 2 2

q

L L

i q

C



 

LC 짂동 (6)

 자기에너지의 시간변화

 회로의 전체 에너지

 따라서 회로의 전체 에너지는 일정하고 축전기에 쌓인 최대 전하량의 제곱에 비례한다.

U

 q

m a x 2

2 C

s in

( 

0

t   )

U  U

E

 U

B

 q

m a x 2

2 C

c o s



0

t  

  ^{ q}

2 C

s in

( 

0

t   )

U  q

m a x 2

2 C

s in

( 

0

t   )  c o s



0

t  

 

 

2 q

C



보기문제 30.1: LC 회로의 특성 (1)

축전기

C



L

V _emf

문제 :

회로의 각진동수는 얼마인가?

회로의 총에너지는 얼마인가?



t

답:

 회로의 각진동수는 다음과 같다.



 1 L C

 1

3 .5 0  1 0

H

   ^{1 .5 0  1 0}

^F 

4

0

1 .3 8 1 0 H z

  

보기문제 30.1: LC 회로의 특성 (2)

 축전기의 최대 전하량

 회로에 저장된 에너지는 다음과 같다.

2 m a x

2 U q

C



m a x e m f

q  C V   1 .5 0  1 0

F  ^{ 1 2 .0 V }

q

m a x

 1 .8 0  1 0

C

  1 .8 0  1 0

C 

2  1 .5 0  1 0

F

 1 .0 8  1 0

J

보기문제 30.1: LC 회로의 특성 (3)

 전하의 시간변화

 

m a x

c o s

q  q  t  

q   1 .2 1  1 0

C

m a x

a t t  0 , q  q    0

 

m a x

c o s

q  q  t

5

m a x

1 .8 0 1 0 C

q  

4

0

1 .3 8 1 0 H z

  



 

^{ } 

a t 2 .5 0 s , w e h a v e

1 .8 0 1 0 C c o s 1 .3 8 1 0 H z 2 .5 0 s t

q



 

    

보기문제 30.1: LC 회로의 특성 (5)

 축전기 전하의 시간변화

 유도기 전류의 시간변화

 각진동수

 전기에너지

 자기에너지

 총에너지

q  q

m a x

c o s 

0

t  

 

0

1 1

L C L C

  

i   i

m a x

s in 

0

t  

 

U

 q

m a x 2

2 C

c o s



0

t  

 

U

 L 2

i

2

s in



0

t  

 

U  U

E

 U

B

 q

m a x 2

2 C

RLC 회로 (1)

 이번에는 축전기와 유도기는 물론 저항기도 포함된 단일고리 회로, RLC 회로를 살펴보자.

 앞 절에서 축전기와 유도기 회로의 에너지가 상수이고, 에너지가 전기에서 자기,

자기에서 전기 에너지로 변환되면서 손실이 없었다.

 그러나 회로에 저항기가 있으면 전류가 흐르면서 저항손실이 발생하여 열에너지로 흩어진다.

 따라서 회로의 에너지는 감소하고, 에너지의 손실율은 다음과 같이 주어진다.

d U

i R d t

 

RLC 회로 (2)

 에너지의 시간미분 …



i

dq

dt

di

dt

d ² q

dt ²

 미분방정식

 미분방정식의 해

d U

d t

 d d t

U

 U



 ^{ q}

C

d q d t

 L i d i d t

  i

R

q C

d q d t

 L i d i d t

 i

R  q C

d q d t

 L d q d t

d

q d t

 d q d t









2

R  0

L d

q d t

 d q d t

R  q C

 0

q  q

m a x

e

 R t

2 L

c o s   t   

  

0

2

 R

2 L









2

RLC 회로 (3)

 축전기를 충전시킨 다음에 회로에 연결하면 축전기의 전하가 시간에 따라 사인함수로 진동하면서 진폭이 지수함수적으로 감소한다⇒감쇠진동

 아래 그림 참조

RLC 회로 (4)

 결과:

•

전하는 사인함수로 변하지만 진폭은 지구함수적으로 감쇠한다.

•

얼마간 시간이 지나면 회로에서 전류가 사라진다.

 축전기에 저장된 전기에너지를 계산하면 회로 에너지의 시간변화를 알 수 있다.

 축전기에 저장된 전기에너지는 지수함수적으로 감소하면서 진동한다.

 q

m a x 2

2 C e

 R t

L

c o s

  t   

 1 2

q

e

 R t

2 L

c o s   t   



 



 

2

C

U

 1 2

q

C

교류 (1)

 이번에는 축전기, 유도기, 저항기와

기전력장치를 포함한 단일고리 회로를 생각해 보자.

 기전력장치는 시간에 따라 변하는 전압을 회로에 공급한다.

 기전력장치가 공급하는 사인모양의 전압을 다음과 같은

구동기전력

•

 = 구동기전력의 각진동수

•

V

구동기전력의 최대진폭

m a x

s i n

e m f

v  V  t

교류 (2)

 회로에 유도되는 전류 또한 시간에 따라 사인모양으로 변한다.

 이 전류를 교류(AC)라고 부른다.

 그러나 교류가 항상 구동기전력과 위상이 맞는 것이 아니기 때문에 전류의 시간함수를 다음과 같이 표기한다.

 교류의 각진동수는 구동기전력과 같지만 위상상수



⇒ 결국 전압과 전류의 위상이 반드시 맞는 것이 아니다.

 한편 관례에 따라 위상상수 앞에 음의 부호가 나온다.

 순간 값은 소문자 (

v

i

V

I

i  I s in   t   



RLC

구동기전력만 포함한 저항기 회로를 조사해 보자.

 키르히호프의 고리규칙을 적용하면 다음을 얻는다.



v _R

 전압강하의 시간변화

 옴의 법칙

V

iR

저항기 회로 (1)

0

e m f R e m f R

v  v   v  v

R R

s in

v  V  t

s i n

R

R R

i v I t

R



 

 결국 전류진폭과 전압은 다음과 같다.

 시간함수인 전류와 전압을 아래 그림처럼 각각 위상자

I _R

V _R

 위상차=0

저항기 회로 (2) : 위상자

R R

V  I R

위상자는 (꼬리가 원점에 있으며)

반시계방향으로 회전하는 벡터이다.

축전기 회로 (1)

 축전기와 구동기전력만 포함한 저항기 회로를 조사해 보자.

 키르히호프의 고리규칙을 적용하면 다음을 얻는다.



q

CV

 전류의 시간변화

C C

s in

v  V  t

q  C v

C

 C V

C

s in  t

i

 d q d t

 d C V

C

s in  t

 

d t

  C V

C

c o s  t

축전기 회로 (2): 용량형 반응저항

 저항처럼 용량형 반응저항을 정의하면…

 전류 …

 전류의 시간변화

 전류와 구동기전력의 위상차 = 90



1 X

 C



c o s

C C

C

i V t

X





i

C

 I

C

c o s  t  I

C

s in   t  9 0  

축전기 회로 (3): 위상자

 전류 위상자 =

I _C

 구동기전력 위상자 =

V _C



 따라서 축전기만 있는 회로에 흐르는 전류의 표현식은 저항기만 있는 회로에 흐르는 전류의 표현식과 비슷하다. 다만 전류와

전압의 위상이 90



축전기 회로 (4)

 축전기에 걸리는 전압의 진폭과 축전기를 지나는 전류의 진폭은 다음과 같이 연결된다.

 이 결과에서 용량형 반응저항을 저항으로 대체하면 바로 옴의 법칙과 같은 형태를 얻는다.

 용량형 반응저항과 저항의 근본적인 차이는 시간의존성이다.

 저항은 일정하지만 용량형 반응저항은 구동기전력의 각진동수에 의존한다.

C C C

V  I X

유도기 회로 (1)

 끝으로 유도기와 구동기전력만 포함한 회로를 조사해 보자.

 역시 키르히호프의 고리규칙을 적용하여 유도기에 걸리는 전압으로 다음을 얻는다.

 유도기에서 시간에 따라 변하는 전류가 유도하는 기전력은 다음과 같다.

 따라서 …

L L

s in

v  V  t

L L

v L d i d t



s i n

L

L

L d i V t

d t



 d i

V

s i n

t

d t L



 

유도기 회로 (2)

 전류의 시간미분이 아니라 전류 자체를 원하므로, 위 식을 적분하여 다음을 얻는다.

 용량형 반응저항처럼 유도형 반응저항으로 정의하면 …

 옴의 법칙과 비슷하게 다음을 얻는다.

(역시 일정한 저항과 달리 각진동수에 의존한다.)

s i n c o s

L L L

L

d i V V

i d t t d t t

d t L L

 

      

X

  L

v

 i

X

유도기 회로 (3)

 유도기에 흐르는 전류의 시간변화

 전류와 구동기전력은 위상이 -90



 전류진폭과 전압진폭의 관계

 

c o s c o s s i n 9 0

L

L L L

L

i v t I t I t

X

  

      

L L L

V  I X

요약: RLC 회로



RLC

각진동수

 축전기에 저장된 전기에너지의 시간변화

q  q

m a x

e

 R t

2 L

c o s   t   

2 2

0

2

R L

     ^{ } 

 

1 L C

 

U

 q

m a x 2

2 C e

 R t

L

c o s

  t   

s i n

R

R R

i V I t

R



 

R

1 X

 C



s i n ( 9 0 )

C

i V t

X



  

용량형 반응저항

X

 

s i n 9 0

L L

L

i V t

X



  

X

  L

유도형 반응저항

X

요약: 저항과 반응저항

 구동기전력

 저항기 회로:

V _R

 축전기 회로:

V _C

 유도기 회로:

V _L

V

e m f

 V

m a x

s in  t

요약: 위상과 위상자

직렬 RLC 회로 (1)

 이제는 세 회로요소와 함께 구동기전력으로 구성된 단일고리 회로인 직렬 RLC 회로를 살펴보자.

 전류의 시간변화를 위상자

I

 위상자

I

•

위상자 각도는  t -  ^이다.

 또한 전압을 위상자

V

 시간에 따라 변하는 전류와 전압은 위상차가 있을 수 있다.

V

직렬 RLC 회로 (2)

 저항기

• 전압 v _R 과 전류 i _R 은 위상이 맞고, 전압위상자 V _R 과 전류위상자 I 는 위상이 맞는다.

 축전기

• 전류 i _C 가 전압 v _C 를 90  앞서므로, 전압위상자 V _C 의 각도는 전류위상자 I 보다 90  작다.

 유도기

• 전류 i _L 이 전압 v _L 에 90  뒤처지므로, 전압위상자 V _L 의 각도는 전류위상자 I 보다 90  크다.

V

V

i

i

V

i

직렬 RLC 회로 (3)



RLC

 각 회로요소에 걸리는 순간전압은 해당하는 위상자의 수직축에 대한 투영으로 기술한다.

직렬 RLC 회로 (4)

 키르히호프의 고리규칙에 따르면 모든 요소에서 생긴 전압강하의 합은 반드시 0이므로 다음을 얻는다.

0

R C L R C L

V  v  v  v   V  v  v  v

 전압위상자의 수직축 투영값은 구동기전력의 전압위상자 V

_max

 그림에서 두 전압위상자 V

_L

V _C

_L

_C

직렬 RLC 회로 (5): 온저항

 두 위상자

V _L

V _C

V _R

V _max

 전압을 저항과 반응저항으로 표기하면 …



 회로에 흐르는 전류로 다음을 얻는다.

 분모를 온저항이라고 부른다.

 직렬 RLC 회로의 온저항은 구동기전력의 진동수에 의존한다.

V

m a x

2

 V

R

2

 V

L

 V





V

m a x

2

   IR

^{ IX}

 IX





I  V

m a x

R

 X

L

 X





Z  R

 X

L

 X





직렬 RLC 회로 (6): 위상

 교류회로에 흐르는 전류는 용량형 반응저항과 유도형 반응저항 의 차이, 즉 전체 반응저항에 의존한다.

 용량형 반응저항과 유도형 반응저항의 차이를 위상상수



 위상상수는 전압위상자

V _R

V _L

V _C

1 1

t a n

t a n

R

V V X X

V R

 

^  ^{ }  

^  ^{ } 

 

 

직렬 RLC 회로 (7)

교류회로의 가능한 세 조건

 X _L > X _C , ,

•

 >0 이고, 회로의 전류는 전압에 뒤처진다 .

•

이 회로는 유도기만 포함된 회로와 비슷하게 거동하지만 위상상수가 반드시 90  는 아니다 .

 X _L < X _C ,

•

 <0이고, 회로의 전류는 전압을 앞선다 .

•

이 회로는 축전기만 포함된 회로와 비슷하게 거동하지만 위상상수가 반드시 -90  는 아니다 .

 X _L = X _C ,

•



• 이 회로는 저항기만 포함된 회로와 비슷하게 거동하며, 특히 공명회로라고 부른다.

직렬 RLC 회로 (8)

X _L

X _C X _L

X _C X _L

X _C



X _L = X _C 및 

0

1 1

0 L

C L C

 

    

실제 RLC 회로

 실제 RLC 회로

R



L

C



V _max

 최대전류를 각진동수의 비율로 측정한다.

 기대한대로 최대값은 공명진동수 에서 생긴다.(



 ₀

•

L 과 C 는 실제와 계산이 일치한다.

 그러나

R



계산결과(초록색)와 측정결과가 일치하지 않는다.

•

R = 15.4  을 사용하면 일치한다.

•

유도기가 저항을 가지기 때문이다.

RLC 회로의 공명거동



RLC



V _max

L

C



 저항이 작아지면 공명각진동수의 최대전류가 증가하여 봉우리가 날카로워진다.

RLC 회로의 에너지와 일률 (1)

 RLC 회로가 작동하면 에너지의 일부는 축전기의 전기장에, 일부는 유도기의 자기장에 저장되고, 일부는 저항기에서 열의 형태로 흩어진다.

 축전기와 유도기에 저장된 에너지는 정상상태에서는 변하지 않는다.

 따라서 기전력이 회로에 공급하는 에너지는 저항기로 전달된다.

 저항기에서 흩어지는 에너지 비율, 즉 전력

P

 평균 전력 …

P  i

R

P  1 2

I

R

 I

R s in

  t   

  I s in   t    

^R

 I

2









2

R

RLC 회로의 에너지와 일률 (2)

 평균제곱제곱근 (rms) 전류는 다음과 같이 정의한다.

 평균전력:

 비슷한 방법으로 역시 시간에 따라 변하는 전압과 구동기전력을 다음과 같이 정의할 수 있다.

• rms 전압: rms 구동기전력:

 전류계와 전압계로 측정한 값, 즉 교류의 전류와 전압은 통상 rms 값으로 표기한다.

 110 V를 공급하는 경우에 rms 전압은 최대전압에 해당한다.

2

r m s

I  I

2 r m s

P  I R

2

r m s

V  V

2

r m s

V  V

2 1 1 0 V   1 5 6 V

RLC 회로의 에너지와 일률 (3)

 rms 전류공식

 회로에서 흩어지는 평균전력을 다시 표기하면 …

 위상상수의 코사인이 …평균전력은 …





 cos(



m a x , r m s r m s

V I

Z



2

2

1

r m s

V

R L

C

 



 

   

 

2 r m s

P  I R _{r m s m a x ,r m s} R

I V

Z



m a x , r m s r m s

V

I R Z



m a x

c o s V

V

  I R

I Z

 R

Z

  P  I

V

c o s 

변압기 (1)

 회로에 공급하는 전력은 응용에 따라 고전류 또는 고전압을 선택하여 사용한다.

 예컨대 컴퓨터나 진공청소기를 작동시키기 위해서는 저전압, 고전류가 유리하다.

 그러나 전력송전에서는 반대 조건인 고전압, 저전류를 요구한다.

•

송전선에서 흩어지는 전력: P = I

R

•

500 MW 를 생산

•

750 kV로 송전 ⇒ 전류= 500 MW/ 750 kV =667 A

•

송전선의 저항=200  ⇒

•

흩어지는 전력=(667A)

(200  )=89 MW

• 18% 손실

•

375 kV 로 송전 ⇒ 75% 손실

 안전한 저전압으로 전력을 생산하고 실용적인 고전압으로 송전하려면

전압을 손쉽게 바꿀 수 있어야 한다.

변압기 (2)

 교류와 교류전압은 변압기라고 부르는 장치로 전압을 쉽게 바꿀 수 있다.

 변압기는 그림처럼 철심 주위에 전선을 감은 두 코일로 구성된다.

 감은 수가

N _P

 일차코일은 유도기처럼 거동한다.

 일차코일에서 전압과 전류의 위상이 90˚어긋나므로 전력인자는 0이다.

 따라서 변압기에 일차코일만 연결되어 있으면 전원은 변압기에 전력을 공급하지 못한다.

m a x

s i n

e m f

V  V  t

변압기 (3)

 저전압을 고전압으로 바꾸는 변압기를

승압변압기

강압변압기

 변압기 이차코일의 감은 수를

N _S

 일차코일의 시간에 따라 변하는 기전력은 시간에 따라 변하는 자기장을 철심에 유도하고,

 철심이 이차코일을 통과하므로

이차코일에 전압을 유도하게 된다.

변압기 (4)

 이차코일에 유도되는 시간에 따라 변하는 전압은 페러데이의 유도법칙에 따라 다음과 같다.

 철심, 일차 및 이차코일 모두 같은 자기다발이 지나므로 다음과 같다.

 결국 변압기는 이차코일의 감은 수를 일차코일의 감은 수로 나눈 비율로

일차코일의 전압을 이차코일의 전압으로 바꿔준다.

B e m f

V N d

d t

  

S S

P

S P

P S P

V N

V V V

N N N

  

변압기 (5)

 저항기

R

I _S

P _S

I _S V _S

 이 전류 또한 시간에 따라 변하는 자기장을 유도하여 일차코일에 전압을 유도한다.

 전원에 원래의 전압을 유지하기에 충분한 전류

I _P

 전류 는 전압과 위상이 맞는다. 따라서 저항기의 전압, 즉 전력이 변압기로 송전된다.

 한편 에너지 보존에 따라 일차코일에 공급된 전력은 이차코일로 전달되어야 하므로, 이차코일의 전류를 다음과 같이 표기할 수 있다.

P P P S S S S P P

S S

V N

P I V P I V I I I

V N

     

변압기 (6)

 이차회로에 전류가 흐르기 시작하면 일차코일에 전력을 공급해야 한다.

 이차회로에서

V _S

I _S R

 일차회로의 전류는 …

 일차회로의 전압을

V _P

I _P R _P

R _P

2

S S S S S

1

P S P

P P P P P

N N V N N N V

I I V

N N R N N R N R

   

       

   

2 2

P P P

P P

P S P S

V N R N

R V R

I N V N

   

      

   

변압기 (7)

 지금까지 변압기에서 에너지손실이 없고, 일차코일이 유일한 유도기이고, 일차 및 이차코일 사이의 자기장에서 손실이 없고, 이차회로에만 저항이 있다고 가정했다.

 그러나 실제 변압기에는 손실이 있다.

•

일부 손실은 코일의 교류자기장이 변압기의 철심에 맴돌이 전류를 유도하기 때문에 생긴다 .

•

이 효과를 막기 위하여 변압기의 철심을 박판 층으로 구성한다 .

 변압기의 또 다른 중요한 응용은 온저항 맞춤이다.

•

전원과 전기기기의 온저항이 서로 일치할 때 최대비율로 전력을 전달할 수 있다 .

•

증폭기와 스피커 사이에 설치한 변압기가 두 장치의 온저항을 맞춰서

전력전달을 효율적으로 만든다 .

문제: 변압기

모형기차의 변압기를 120 V의 교류전원에 연결하면 0.35 A의 전류가 흐르면서 기차에 7.5 A 를 공급한다.

문제:

A) 기차선로에 걸리는 전압은 얼마인가?

B) 승압변압기인가, 감압변압기인가?

답:

A)

B) 감압변압기

I

 I

P

V

V

V

 I

P

I

V

 0 .3 5 A 7 .5 A

1 2 0 V

  ^{ 5 .6 V}