이 항 정 리

이 항 정 리

  ^_{  }



^{ }

^

^{ }_{  }



^{ }

^

^{ }

이항계수의 성질

① _



_ _



_{ } , _



_{ }





 



_{  }

② _



_ _



_{  }_



_

③ _



__



_⋯_



_ ^

④ _



__



_⋯ _



__



_⋯ ^{ }

⑤ _



_ _



_⋯ _



_  ∙ ^{ }

파스칼의 삼각형

① _



__



__



_⋯_



__



_

② _



__



__



_⋯_



_ _



_

기 출 1

월 평가원 04. 6

다음은 두 자연수 과 에 대하여

의 값을 이항정리를 이용하여 구하는 과정이다.

는 이 아닌 실수라 하자.

은 다항식 에서 의 계수이다.

은 다항식 에서 의 계수이다.

⋮

은 다항식 에서 의 계수이다.

따라서

은 다항식 ( )가 에서 의 계수이다.

그러므로

나 ( ) 이다.

위의 과정에서 가 와 나 에 알맞은 것을 차례로( ) ( ) 나열한 것은? [4 ]점

가 나

( ) ( )



  ^{  }   ^

  



_{  }



  ^{  }   ^

  



_

  ^{  }   ^ _{  }



_



  ^{  } 

  



_{  }



  ^{  } 

  



_

기 출 2 월 평가원 05. 9

다항식   ^  ^{의 전개식에서} ^의

계수는? [3 ]점

① ② ③ ④ ⑤

기 출 3

월 평가원 05. 9

자연수 ^{에 대하여}

   

  





_



_



_



_



_



_

 ⋯ 

_



_{  }



일 때,  의 값을 구하시오. [4 ]점

기 출 4

월 수 능 05. 11

다항식 의 전개식에서 의 계수와

다항식 의 전개식에서 의

계수가 같게 되는 모든 순서쌍 에 대하여

의 최댓값을 구하시오 ( ,단 는 자연수이고, 은 인 자연수이다.) [4 ]

기 출 5

월 평가원 06. 9

다항식   ^{의 전개식에서 의 계수가 일}

때, ^의 계수를 구하시오 단. ( , 는 상수이다.) [4 ]점

기 출 6

월 전국연합 06. 10



^{  }





^



^{  }





^



^{  }





^





^{  }





^



^{  }





^

을 전개한 식에서 ^항의 계수는? [4 ]점

①  ②  ③  ④  ⑤ 

기 출 7

월 전국연합 07. 4

, 에 대한 식



^{ }

 



^{을 전개할 때,}

^의 계수를 구하시오. [3 ]점

기 출 8 월 전국연합 07. 7

그림과 같은 수의 배열을 파스칼의 삼각형이라고 한다.

어두운 부분의 모든 수들의 합은? [^점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

기 출 9

월 전국연합 07. 9

다항식   ^의 전개식에서 ^의 계수가 ^의 계수의 배일 때 양의 상수, 의 값을 구하시오. [3 ]점

기 출 10 월 학업성취도 08. 5



^{ }





^{의 전개식에서 의 계수를 구하시오. [3 ]점}

기 출 11 월 평가원 08. 9

다항식   ^  ^{의 전개식에서} ^{의 계수를}

구하시오. [3 ]점

기출문제 답

1 ① 2 ⑤ 3 682 4 12 5 84

예 상 1

^ 

 ^의 전개식에서 ^의 계수가 180일 때,

양수 의 값은?

8 9 10 11 12

① ② ③ ④ ⑤

예 상 2

  ^( ,단  ≥  정수 를 전개했을 때) , ^의 계수 를 _^{이라 하자,}

lim

→∞_

  _

 ⋯ _

 의 값은?

① 

 ② 

 ③ 1 ④ 2 ⑤ 4

예 상 3

자연수 에 대하여



^{ }^





^를 전개할 때 상수항, 이 나오는 의 최솟값은 이고 이 때의 상수항을, 라 한다 이 때.    의 값은?

-448 -440 440 448 456

① ② ③ ④ ⑤

예 상 4

    ^^의 전개식에서 ^^^의 계수를 라 하면  

 의 값은?

예 상 5

    ^^의 전개식에서 ^의 계수가 최소가 되도록 하는 의 값은?

-3 -2 -1 4 5

① ② ③ ④ ⑤

예 상 6

집합



 ⋯에 대해여 다음 두 조건을 만족 시키는



^{의 부분집합}



의 개수를 구하시오.

1) ∩



 

집합

2)



의 원소의 개수는 6개 이상

예 상 7

첫째항이 이고 공차가 인 등차수열3 2



^



^{에 대해서}

_ _∙_



_ _∙_



_⋯ _∙_



_의 값은?

① ^ ② ^ ③  ∙ ^ ④  ∙ ^ ⑤  ∙ ^

예 상 8

        ^⋯   ^{의 전개식을}

이용해서 _{ }



^{ }

^

^{의 값을 구하시오.}

예 상 9

  ^ _ _  _^⋯ _^에 대해서

__  _ ⋯ _의 값은?

3 6 9 12 15

① ② ③ ④ ⑤

예 상 10

_ _



__



_⋯_



_ ( ≥ )에 대해서

파스칼의 삼각형을 이용하여 무한급수 _{ }



^{∞ }_^_^{의 합은?}

예 상 11

개의 원소로 된 집합

10







^_⋯_



^{에 대하여}



의 부분집합 중 _을 포함하고 원소의 개수가 개 인 부분집합의 개수를 이라고 하자 이 때. ,

        의 값은?

예 상 12

원주위의 서로 다른   ≥ 개의 점을 이어서 만들

수 있는 직선의 개수를 _이라고 하자.



 



_의 값을 구하시오.

예 상 13

두 다항식   ^과   ^{ }의 전개식에서

^의 계수가 같을 때 다음 중 옳은 것은, ? 단

( , ^의 계수는 이 아니다0 .)

①   

  ≠  ②    ≠ 

③ ≠    

④ ≠    

⑤  

  ≠ 

예 상 14

개의 축구팀이 다른 모든 축구팀과 각각 번씩 경기를1 치르는 리그전을 벌일 때 전체 경기수를 이라 하자.

예를 들면,  ,  이다 다음 보기 중 옳은. 것을 모두 고른 것은?

보 기

< >

.

ㄱ  

.

ㄴ     ^

.

ㄷ _{ }



^{  }

^

^

, , , ,

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ ④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ

예 상 15

보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

보 기

< >

.

ㄱ

∙

_



_

  ∙

_



_{  }( ,단

 ≤  ≤ 

) .

ㄴ _



_



_



_



_



_

⋯

_



_

 

^

.

ㄷ _



_

  ∙

_



_

⋯ ∙

_



_

  ∙

^

, , ,

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ ④ ㄱ ㄷ ⑤ ㄴ ㄷ

예 상 16



^{  }  





^{   }

_

 ^

_

⋯ ^

_

에 대하여

_의 값을 구하시오.

예 상 17

^을 으로 나누었을 때의 나머지는?

4 11 19 21 25

① ② ③ ④ ⑤

예상문제 답

1 ⑤ 2 ③ 3 ② 4 672 5 ②

6 64 7 ⑤ 8 165 9 ③ 10 4.5 11 256 12 165 13 ① 14 ⑤ 15 ④ 16 160 17 ④