‘가’형
2008학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 2
1
◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
log log 의 값은? [2점]①
②
③ ④ ⑤
2.
두 행렬
에 대하여 행렬 의 성분은? [2점]
① ② ③ ④ ⑤
3.
수열
의 첫째항부터 제항까지의 합 이 일 때, 의 값은? [2점]
① ② ③ ④ ⑤
4.
수열
의 일반항이
일 때, lim→∞의 값은?[3점]
①
② ③
④ ⑤
수 리 영 역
2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━‘가’형
5.
수열
은 첫째항이 , 공차가 인 등차수열이다.부등식 을 만족시키는 자연수 의 개수는? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
6.
양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 lim
→∞
( 는 유리수)
이 를 만족할 때, 의 값은?
[3점]
① ② ③ ④ ⑤
7.
다음과 같이 홀수를 작은 것부터 차례로 두 번씩 나열한 수열
에 대하여 첫째항부터 제항까지의 합을 이라 하자. ⋯
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]
< 보 기 >
ㄱ.
ㄴ.
ㄷ. 보다 큰 홀수 에 대하여 이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
8.
그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육각형 ABCADE의 변 AD을 지름으로 하는 원 O을 그린다.원 O과 선분 CA의 연장선의 교점을 E라 할 때, 선분 AE 를 한 변으로 하는 정육각형 ABCADE를 그리고 변 AD 를 지름으로 하는 원 O를 그린다.
원 O와 선분 CA의 연장선의 교점을 E이라 할 때, 선분 AE을 한 변으로 하는 정육각형 ABCADE을 그리고 변 AD을 지름으로 하는 원 O을 그린다.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 원 O의 둘레의 길이를
이라 할 때,
∞ 의 값은? [3점]수 리 영 역
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3
‘가’형
9.
다음은 log가 무리수임을 증명한 것이다.< 증명 >
log가 유리수라고 가정하자.
log
(, 은 서로소인 자연수) ⋯ ㉠ 로 놓으면
log 이므로 (가) 이다.
㉠에서
이므로 나 이때, (가) 이므로
나 은 (다) 이고 은 가 되어 모순이다.
따라서 log는 무리수이다.
위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]
(가) (나) (다)
① 짝수
② 홀수
③ 짝수
④ 홀수
⑤ 짝수
10.
양의 실수 에 대하여 연산 ◈을◈ log
로 정의할 때, ◈
◈
의 값은? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]① ② ③ ④ ⑤
11.
이차정사각행렬 에 대하여 의 역행렬이 존재하고 , 일 때, 의 역행렬을 로 나타내는 과정이다.
… ㉠
∴ (가)
또한
(가)
… ㉡㉠, ㉡에서 (나) 또, 이므로
∴ (다)
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? (단, 는 단위행렬이다.) [3점]
(가) (나) (다)
① ≠
②
③
④
⑤ ≠
12.
실수 에 대하여 두 행렬 를
라 하자. 일 때, 의 모든 성분의 합은? (단, 는 단위행렬이다.) [3점]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━‘가’형
13.
그림과 같이 원 밖의 한 점 P에서 원에 한 접선과 한 할선을 그을 때, 접점을 A라 하고 원이 할선과 만나는 두 점을 각각 B C 라 하자. 또, ∠BAC의 이등분선과 할선의 교점을 D 라 하자.네 선분 PA, PB, PC, PD의 길이를 각각 라 할 때,
를 성분으로 하는 이차정사각행렬 를
라 하자.<보기>에서 역행렬이 항상 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 는 단위행렬이다.) [4점]
< 보 기 >
ㄱ. ㄴ. ㄷ.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
14.
그림과 같이 가로의 길이가 m 세로의 길이가 m이고, 깊 이가 단계적으로 m씩 깊어지는 수영장이 있다. 이 수영장의 맨 밑바닥은 가로의 길이가 m 세로의 길이가 m이다.물이 완전히 빠진 상태에서 이 수영장에 시간에 m씩 물을 채울 때, 처음 높이 m를 채우는데 시간, 다음 높이 m를 채우는데 시간, 그 다음 높이 m를 채우는데 시간이 소요 되어 총 시간이 걸렸다. 세 수 , , 가 이 순서대로 등비 수열을 이룰 때, 의 값은? (단, 인접한 면은 서로 수직이고, 가 장 깊은 곳의 깊이는 m이다.) [3점]
15. 수열
에 대하여
(
⋯)
일 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
< 보 기 >
ㄱ. lim
→∞
ㄴ.
ㄷ.
∞ 은 수렴한다.① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
16.
용액의 수소이온 농도 H와 수산화이온 농도 OH에 대하여OH × H
이 성립하고, 용액의 산성도를 나타내는 pH는 pH log H
로 정의된다. 이때, OH 인 용액의 pH의 값은? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
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5
‘가’형
17.
자연수 에 대하여 log 의 지표를 , log 의 지표를이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점]
< 보 기 >
ㄱ. ㄴ.
ㄷ. 의 자릿수와 의 자릿수의 합은 의 자릿수와 같다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
18.
그림과 같이 좌표평면 위의 점 A , 점 B 과 원점 O를 꼭지점으로 하는 직각이등변삼각형 O AB이 있다.선분 AB을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 ABB을 삼각 형 O AB의 외부에 그린다.
선분 AB를 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 AAB를 삼각 형 ABB의 외부에 그린다.
계속하여 선분 AB를 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 ABB를 삼각형 AAB의 외부에 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 직각이등변삼각형 AAB의 무게중심을 G 라 하자. 상수 의 합 의 값은? [4점]
①
②
③
④
⑤
19.
컴퓨터의 저장장치인 하드디스크에 표시되어 있는 GB(기가 바이트)는 Byte(바이트)를 나타낸다. 그런데 컴퓨터의 운 영체제는 Byte를 GB로 인식하기 때문에 하드디스크에 표시된 용량과 컴퓨터 운영체제가 인식하는 용량이 달라 사용자 를 혼란스럽게 한다.예를 들어 GB로 표시된 하드디스크를 컴퓨터에 설치하면 컴 퓨터는 ×
GB로 인식한다.
어떤 사람이 GB로 표시된 하드디스크를 컴퓨터에 설치했을 때, 컴퓨터가 인식하는 용량을 다음 상용로그표를 이용하여 구한 것은? (단, 바이트는 컴퓨터 저장장치 용량의 기본 단위이다.)
[4점]
수
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
① 약 GB ② 약 GB ③ 약 GB
④ 약 GB ⑤ 약 GB
수 리 영 역
6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━‘가’형
20.
다음 순서도에서 인쇄되는 의 값은? [4점]① ② ③ ④ ⑤
21.
자연수 에 대하여 집합
는 자연수
의 원소들의 총합을 이라 할 때,
의 값은? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]① ② ③ ④ ⑤
단답형(22 ~ 30)
22.
lim→∞
의 값을 구하시오. [3점]
23.
무한급수
∞ 의 합을 구하시오. [3점]수 리 영 역
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7
‘가’형
24.
그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD의 넓이 를 이라 하자.변 AB, BC, CD, DA의 중점을 각각 P, Q, R, T이라 하고, 선분 AQ, BR의 교점을 A, 선분 BR, CT의 교점 을 B, 선분 CT, DP의 교점을 C, 선분 DP, AQ의 교점 을 D라 할 때, 사각형 ABCD의 넓이를 라 하자.
변 AB, BC, CD, DA의 중점을 각각 P, Q, R, T라 하고, 선분 AQ, BR의 교점을 A, 선분 BR, CT의 교점 을 B, 선분 CT, DP의 교점을 C, 선분 DP, AQ의 교점 을 D이라 할 때, 사각형 ABCD의 넓이를 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 얻은 사각형 ABCD의 넓이를
이라 하자. 이때,
∞ 의 값을 구하시오. [3점]⋯
25.
이차정사각행렬 가
를 만족한 다.
가 되는 상수 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, 는 단위행렬이고 는 영행렬이다.) [3점]26.
역행렬을 갖는 행렬
가 를 만족한 다. 이때, 상수 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, 는 영 행렬이다.) [3점]27.
영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 에 대하여 , 일 때, 행렬 를 라 하면
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 단위행렬이고
는 영행렬이다.) [4점]
수 리 영 역
8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━‘가’형
28.
양의 실수 에 대하여 의 네제곱근 중 실수인 것을 ( )라 하고, 의 세제곱근 중 실수인 것을 , 의 세제곱근 중 실수인 것을 라 한다. 이때, log
log
을 만족하는 의 값을 구하시오. [4점]
29.
다음과 같이 분모는 부터 시작하여 까지 씩 증가하고, 분자는 부터 시작하여 까지 씩 감소하는 분수로 이루어진 수열이 있다.
⋯
이 수열에서 자연수인 항들의 총합을 구하시오. [4점]
30.
그림과 같이 반지름의 길이가 인 세 원 C C C의 중심 과 반지름의 길이가 인 두 원 O, O의 중심이 모두 한 직선 위에 있다.두 원 C C는 외접하고, 두 원 C C이 외접한다. 두 원 C C은 만나지 않는다.
원 O은 원 C에 내접하고 원 C에 외접한다. 원 O는 원 C 에 외접하고 원 C와 만나지 않는다.
원 C과 원 O의 중심거리가 이고 원 C과 원 O의 중심거 리가 일 때, , 에 대한 연립일차방정식을 행렬을 이용하여
과 같이 나타낼 수 있다.
의 값을 구하시오. (단, ) [4점]
