수리 영역
“가”형 정답
1 ④ 2 ① 3 ④ 4 ③ 5 ② 6 ⑤ 7 ② 8 ④ 9 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12 ① 13 ③ 14 ② 15 ④ 16 ② 17 ⑤ 18
19
20
21
22
23
24
25
해설
1. [출제의도] 지수와 로그 계산하기
log ×
×
2. [출제의도] 분수방정식의 근 구하기 양변에 을 곱하여 정리하면
에서 또는
따라서 모든 근의 합은
3. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기
lim
→
lim
→
4. [출제의도] 그래프를 이용하여 무리방정식 의 근의 개수 구하기
의 양변을 제곱하여 풀면 또는
를 만족하는 근 개
을 만족하는 근 개 따라서 근의 개수는 개
5. [출제의도] 연속함수와 주기함수를 활용하여 함수값 계산하기
ⅰ)
ⅱ)
lim
→
lim
→
∴
6.
[출제의도] 정적분의 정리 이해하기 조건Ⅰ의 식을 미분하면 ′
′
∴
조건Ⅱ의 식에 대입하여 풀면
따라서
7. [출제의도] 정규분포에서 확률 계산하기 확률변수
는 정규분포 N 을 따르고 확률변수
는 정규분포 N
을 따른다.P
≧
P
≧
8. [출제의도] 조건부확률을 이용하여 수학외적 문제 해결하기
상품에 대해 긍정적인 평가를 할 사건을
그 사람이 남자인 사건을
라 하면 P
P
P
∩
× ×
×
9. [출제의도] 행렬의 성질 이해하기
ㄱ.
이므로 직선은 이 다. (참)ㄴ.
의 역행렬이 존재할 조건은 ≠ 이므로 원점을 지나지 않는다. (참) ㄷ.
이므로 두 직선의 기울기는 이고 서로 수직이 아니다.
(거짓)
10. [출제의도] 분수방정식을 이용한 수학외적 문제 해결하기
의 속력을 , 순례단이 나아가는 방향과 반대로 움직인 시간을 , 같은 방향으로 움직인 시간을라 하면
전달자가 움직인 시간 는 순례단이 움직 인 시간과 같으므로
이다.
∴
11. [출제의도] 함수의 연속성 이해하기
ㄱ. 그래프에 의하여
lim
→
(참) ㄴ.
lim
→
lim
→
(참) ㄷ. 함수 는 일 때 불연속점 을 가지므로
에서 불연속이다.따라서 3개 존재한다. (참)
12. [출제의도] 행렬을 이용한 연립방정식과 고 차방정식의 수학내적문제 해결하기
행렬
의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.
∴ 이다. 일 때,
이므로
∩
∴ 이고 모든 의 합은 이다.
13. [출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기
ⅰ ⅱ ⅲ
ㄱ. 위 그래프에서 양수 에 대하여 항상
(참)
ㄴ. 일 때 (거짓) ㄷ. 이면 이므로
(참)14. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 부등 식의 귀납적 추론하기
<증명>
(i)
일 때(좌변)
(우변)
이므로 성립한다.
(ii)
일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면
⋯
⋯
㉡㉡의 양변에
를 곱하면
⋯
⋯
㉢㉢의 우변을 정리하면
(우변)
이 때,
따라서
그러므로
일 때도 ㉠이 성립한다.
(i), (ii)에 의하여
≧ 인 모든 자연수 에 대 하여주어진 부등식은 성립한다.
15. [출제의도] 역행렬과 역함수의 수학내적문 제 해결하기
그림과 같이 함수 와 의 그 래프가 원점을 지나는 직선과 교점이 생길 때, 이 를 각각 점 P , 점 Q 라 하면
가 성립하여 행렬
의 역행렬이 존재하 지 않는다. P
Q
따라서 주어진 함수와 그 함수의 역함수가 원점을 지나는 직선과 항상 교점을 갖지 않는 함수는
이다.16. [출제의도] 확률의 연산을 이용하여 수학 외적문제 해결하기
학생이 이기는 경우는 세 가지ⅰ)
:빨강-
:노랑
×
ⅱ)
:노랑-
:파랑
×
ⅲ)
:노랑-
:노랑 →
:노랑-
:파랑
×
×
×
합의 법칙에 의하여
17. [출제의도] 증가함수의 성질 이해하기
ㄱ. 증가함수 (참)ㄴ. 라 하면 는 연속함수
이므로 중간값의 정리에 의해 해가 적어도 한 개 존재한다. (참) ㄷ. 증가함수 (참)
18. [출제의도] 도함수를 활용하여 극솟값 계산하기
′
이므로
에서 극솟값
을 가진다.
19. [출제의도] 도함수를 활용하여 극값과 접선 의 방정식의 성질 이해하기
에서
′ , ′
에서의 접선은
에서의 접선은
에서 이므로
∴
20. [출제의도] 도함수를 활용하여 수학내적문 제 해결하기
초 일 때
□D P BQ □AB C D ∆AP D ∆Q CD
또한 □D P BQ
× □AB C D이므로
에서
∆P B Q
tt t t
∆P B Q의 넓이의 순간변화율은
따라서 ∆P BQ 넓이의 일 때 순간변화율은
21. [출제의도] 같은 것이 있는 경우의 순열 계 산하기ⅰ) 개씩 번 옮기는 경우 :
ⅱ) 개씩 번, 개씩 번 옮기는 경우 :
ⅲ) 개씩 번, 개씩 번 옮기는 경우 :
ⅳ) 개씩 번, 개씩 번 옮기는 경우 :
∴ 가지
22. [출제의도] 고차부등식과 분수부등식의 해 구하기
이고ⅰ) ≦ 이면
∴
⊂
ⅱ) 이면
⊂
가 되려면 ≦ ∴ ≦ 이므로 M
23.
[출제의도] 무한등비급수의 합 계산하기
⋯
∞
∴ 이므로 따라서
24. [출제의도] 회전체의 부피에 대한 수학외적 문제 해결하기
컵의 바닥으로부터의 물의 높이가 일 때 공명주 파수가 이므로 공명주파수 를 얻기 위해서 물의 높이는 이어야 한다. 더 부어야 하는 물의 양
∴
25. [출제의도] 등비수열을 이용한 수학외적문제 해결하기수열 의 공비를 이라고 하면
그러므로 은 이고 두 수열의 공비가 같으므로
즉, … ㉠
∴
∵ ≠ … ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
∴
미분과 적분
26
④27
①28
⑤29
②30
해설
26. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기
lim
→
27.
[출제의도] 연속함수의 정의를 이해하기
에서 연속이므로
lim
→
sin
lim
→
sin 이므로
lim
→
sin
에서
라 하면
lim
→
sin
lim
→
cos
∴ 따라서
28. [출제의도] 원점대칭과
축 대칭인 함수의 성질 이해하기
에서
ㄱ. 는 원점 대칭이므로 (참) ㄴ. 을 미분하면
′ ′
′ ′ (참)
ㄷ. ′′ ′′ 이므로 ′′는 원점대 칭, ′′가 에서 극댓값 을 가지면
에서 극솟값 을 가진다.
따라서 ′′ 는 적어도 개의 실근 을 가진다. (참)
29. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하 여 수학내적문제 해결하기
두 직선
와 축이 만나는 점을 각각 A B 라 하고 ∠O AP 라 하면 tan 이므로 이다.
따라서 ∠AO P 이다
같은 방법으로 ∠O BP , tan 이고
BP 이다. tan
에 의해서∴ tan
30, [출제의도] 도함수를 활용하여 수학내적문 제 해결하기
이고
에서
확률과 통계
26
③27
①28
②29
③30
해설
26. [출제의도] 자료의 분포와 특성 이해하기
각 계급의 상대도수 전체도수
각 계급의 도수
시간 이상 시간 미만의 계급의 도수가 로 가 장 크므로 상대도수가 가장 큰 계급의 계급값은
27. [출제의도] 이산확률분포의 평균과 분산 계 산하기
∴
․
․
․
28.
[출제의도] 가중평균을 이용하여 수학외적 문제 해결하기
× ×
× ×
× ×
∴
29.
[출제의도] 이항분포의 성질 이해하기
확률변수
는 이항분포 B
을 따르고 P
≦ P
≦
C
(단, 은 을 넘지 않은 최대정수) ㄱ.
(참)ㄴ. ≦ 이면 ≦ 이므로
C
≦
C
(참)ㄷ. ≦ ≦ 인 임의의 에 대하여,
P
≦
C
≧
C
≧
C
C
(거짓) 예를 들어
(ⅰ) 인 경우
P
≦
C
C
C
C
(ⅱ) 인 경우
P
≦
C
C
C
C
30. [출제의도] 조건부 확률을 이용하여 수학외 적문제 해결하기
에서
까지 운항하는 경우는 가지 경우이다.ⅰ) Ⅰ축 주엔진, Ⅱ축 주엔진: ×
ⅱ) Ⅰ축 주엔진, Ⅱ축 보조엔진: × ×
ⅲ) Ⅰ축 보조엔진, Ⅱ축 주엔진: × ×
ⅳ) Ⅰ축 보조엔진, Ⅱ축 보조엔진
: × × ×
에서
까지 운항할 사건을
라고 하면 P
× × × × × × ×
보조엔진이 사용되는 사건을
라고 하면 P
P
P
∩
이산수학
26
①27
⑤28
③29
④30
해설
26. [출제의도] 순열의 수 계산하기
C
구하는 경우의 수는
(A 에서 B 까지 최단거리로 가는 경우의 수) - (A 에서 C 를 거쳐서 B 까지 최단거리로 가는 경 우의 수) 이므로,
×
×
27. [출제의도] 비둘기집의 원리 이해하기 두 수의 합이 이 되는 경우는
의 가지 이다. 최대한 많이 꺼내면서 합이 이 되지 않는 경우가 위의 가지 경우에서 하나씩 꺼내는 경우 (예를 들면, ) 이므로 이보다 하 나를 더 꺼내면 두 수의 합이 이 되는 경우가 항상 존재한다.
따라서 적어도 개의 공을 꺼내야 한다.
28. [출제의도] 그래프의 성질 이해하기
ㄱ. 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수를 모두 더하면
(참)
ㄴ. 모든 꼭짓점의 차수가 짝수가 아니므로 오일 러 회로가 존재하지 않음 (거짓)
ㄷ. 수형도의 변의 개수는 꼭짓점의 개수보다 한 개 더 적으므로 개를 삭제 (참)
29. [출제의도] 수의 규칙성을 이용하여 수학외 적문제 해결하기
의 배수가 되기 위해서는 의 배수도 되고
의 배수도 되어야 하므로
ⅰ) 의 배수가 될 조건 : 가 의 배수
는 이 될 수 있다.
ⅱ) 의 배수가 될 조건: 이 의 배수이다.
이 될 수 있다.
위의 조건에서 의 값이 될 수 있는 경우를 순서쌍으로 나타내면
이므로,
의 최댓값은 이다.
30. [출제의도] 두 항 사이의 관계를 이용하여 수학내적문제 해결하기
일 때 가지
일 때 가지
×
× 따라서
