A study of gifted students's mathematical process of thinking by connecting algebraic expression and design activities

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대수식과 디자인의 연결과정에서의 영재학생들의 수학적 사고 과정 분석

1) -

권 오 남 (서울대학교)

정 선 아 (고색중학교) ^✝

Ⅰ. 서 론

학생들은 알고 있는 모든 것을 서로 연결시키려는 본 성을 가지고 있으며 수학 내용간의 상호관계를 연결함으 로서 수학적 원리를 자연스럽게 발견하게 된다. 또한 학 생들은 수학적 내용간의 연결성을 통해 교사가 생각하는 것보다 훨씬 많은 것을 이해할 수 있으며 추론 및 통찰 할 수 있다(NCTM, 2000). 뿐만 아니라 수학과 다른 학 문을 연결하여 사고하거나 조작을 경험하면서 수학적 실 용성과 심미성을 찾아내기도 한다.

수학 수업에서 일반 학생이나 영재교육 대상 학생들 을 위한 창의성 신장을 위한 교수-학습 모형을 적용하 여 수학교육에서 창의성을 신장하도록 도울 필요가 있다 (김은혜외, 2011). 특히, 수와 공간적 관계에 대한 상징적 인 사고 능력이나 추상적인 수학적 관계를 시각화 하는 능력 등이 우수한 영재학생들에게는 더욱 수학적 연결성 을 적용한 수업이 필요하다.

교사와 학교 그리고 우리의 교육과정은 학생들에게 수와 모양이 서로 다양한 패턴의 연관 관계가 있거나 독 특한 개성을 지닌 성질 또는 통찰력을 제공하는 원리로 서 사용되는 것이 아니라, 단순한 양으로만 가르쳐지기 도 한다(Michael S. Schuneider, 1994, pp xiv-xxviii).

수학적 연결성을 이용한 수업은 학생들이 표상하는 능력의 발달로 수학적 사고 변화에서의 긍정적 효과가 높아진다. 학습자들의 표상은 수학적으로 정교해짐에 따

* 접수일(2011년 11월 9일), 수정일(2012년 12월 21일), 게재확 정일(2012년 2월 20일)

* ZDM분류 : D33

* MSC2000분류 : 97D30

* 주제어 : 대수식, 디자인활동, 수학적 추측, 추론, 수학적 연 결성

✝ 교신저자 : ccamchi62@hanmail.net

라 다양해지고 그 표상들을 생산적으로 사용하는 방법을 알게 된다. 수학적 개념 또는 정리에 근거한 새로운 변 수들을 사용한 식을 만들어 내고 이를 추론 및 심도 있 는 탐구를 함으로써 시각적으로 표상하고 논리적 사고, 비판적 사고를 통해 공통적인 요소를 찾아 종합하여 분 석하는 과정에서 통합적 사고를 기를 수 있다. 또한 수 학적 발견은 처음부터 완전하게 이루어지는 것이 아니라 추측과 논박 또는 직관과 통찰에 의해 이루어지기도 한 다(유윤재, 2005). 이 과정에서 오개념을 분석하여 탐구 하는 활동을 통해 수학적 원리를 견고히 하며 자신의 사 고를 반성할 기회를 가질 수 있다. 이처럼 학습자들에게 있어 표상하는 기술은 자연스럽게 습득되기도 하지만 교 사에 의해 자극되어져 수학적 개념이 내면화 될 수 있다.

한편 학습자들은 변수들을 바꿈으로서 한 표상 안에서 일정한 변화가 어떻게 일어나는지를 짐작하고 이를 소프 트웨어를 통해 구현할 수 있게 된다(NCTM, 1995B).

수학적 연결성을 위한 수업으로 소프트웨어를 통한 디자인 활동은 학생들에게 매우 효과적이다. 디자인에 있어 기하프로그램을 사용하면 수식을 정확하게 시각적 으로 표현할 수 있고, 시간과 노력을 절약하여 학생들이 의도한 디자인을 손쉽게 그릴 수 있다. 또한 수학적 환 경을 재구성하여 학습자의 학습능력을 높여 줄 수 있고, 추상적인 수학적 개념을 구체적인 사고와 연결 시켜줄 수 있는 장을 제공하여 형식화된 기호 체계에 의한 대수 적 표현을 의미 있게 이해할 수 있게 해준다(김남희 외, 2007). 수학과 다른 학문과의 연결로 디자인을 사용한 예를 살펴보자. Jay. Kappraff(1990, pp.169-173)는 건축 물에서 비율의 적용, 닮음을 이용한 디자인, 같은 연결성 을 가진 도형, 다각형 테셀레이션, 2차원 격자를 이용한 디자인, 플라톤 입체도형을 이용한 디자인을 소개함으로 써 예술과 과학을 연결하는 언어로서 기하가 사용될 수 있음을 보이고, 작도와 응용프로그램을 통하여 학생들에

게 기하를 소개하는 것의 중요성을 강조하였다. 또한 Andrea(1991)와 Arcavi(2003)는 학생들이 자연과 생활에 서의 움직임의 위치, 속력, 가속도를 그래프로 디자인하 는 수업과 사물의 모양을 수학적으로 디자인하는 수업을 시도하였으며 이들의 디자인 패턴을 분석하므로서 수학 과 과학의 연결을 시도하였다..

NCTM(1995A) 는 프랙탈, 테셀레이션 및 다양한 도 형을 이용한 디자인 수업을 소개하고 있다. 디자인을 통 한 학습 전략을 시도한 예로서 김화경(2006)은 컴퓨터와 수학교육과 연계할 수 있는 하나의 대안으로 디자인을 통한 학습을 시도하였으며, 컴퓨터 환경에서의 유창성 개발 측면에서 디자인을 통한 학습 환경을 고려하였다.

김남희(2004)는 원과 타원의 방정식, 삼각 함수 등을 이 용한 디자인 활동을 대학수업에 적용하였다.

그러나 이와 같은 디자인 학습은 학생들이 주도적으 로 식을 생성한 것이 아니라, 교사의 안내된 수식의 형 식에 따라, 표현 하고자 하는 디자인의 구성을 위해 어 떤 변수의 값이나 식의 부등호를 결정하여 디자인 활동 을 하는 것이었다. 지금까지의 연구들은 제공된 수식에 서 숫자나 부등호를 바꾸어 수학의 언어적 특성과 수학 의 심미성, 실용성을 활용하여 디자인을 하는 것이 목적 이었고, 연결성 수업에서의 학생들의 수학적 원리를 탐 구하는 동안의 사고과정에 대한 분석은 이루어지지 않았 다. 이와 같이 학생들 스스로 수식을 생성하여 이를 디 자인으로 나타낸 선행연구는 찾기 어렵다.

이에 본 연구는 NCTM에서 제시한 수학의 연결성과 Dewey의 미적 경험을 통한 교육의 이론적 토대에 따라 대수, 함수, 기하 등의 수학적 내용간의 내적 연결성 뿐 아니라, 수학의 실용성과 심미성을 활용하여 수학이 디 자인과 융합되는 외적 연결성을 활용한 수업에서 학생들 의 수학적 사고 과정을 연구하고자 한다.

즉, 디자인을 위한 식의 생성에 어떤 수학적 내용을 활용하였는지 분류하고, 디자인으로부터 수학적 원리를 찾아내고 분석 및 통합하는 과정에서의 영재 학생들의 수학적 사고의 변화를 분석하고자 한다. 따라서 본 연구 는 다음과 같은 문제에 의해 연구를 하고자 한다.

첫째, 디자인을 위한 식의 생성에 어떤 수학적 내용 을 활용하였는가?

둘째, 디자인으로부터 수학적 원리를 탐구하는 활동

을 통한 영재학생들의 수학적 사고의 과정은 어떠한가?

Ⅱ. 이론적 배경

1. 수학적 연결성

수학적 연결(Mathematical Connection)은 NCTM의 Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics에서 제시된 하나의 표준(Standard)으로, 수 학의 서로 다른 내용 사이의 관련인 내적연결성 및 수학 의 내용과 수학을 제외한 다른 학문의 내용 사이의 관련 인 외적연결성을 의미한다(NCTM, 1989). 즉, 수학의 내 적 연결성은 수학의 다른 내용들 사이의 관계와 수학적 아이디어 사이의 연결성을 인식하고 사용하는 것이며 수 학적 아이디어들의 상호관계와 이것들이 어떻게 결합하 여 일관된 전체를 이루는지 이해하는 것이다. 수학의 외 적 연결성은 수학과 다른 교육과정 또는 다른 학문과의 관계의 연결을 말하며 수학 이외의 맥락에서 수학을 인 식하고 적용하는 것을 의미한다.

학생들은 수학의 내적연결성을 통해 수학의 기초적인 개념, 원리, 법칙과 이들 사이의 관계를 이용하여 문제를 해결하거나, 전체적인 수학적 관점을 발전시킬 수 있으 며, 이전의 수학적 지식의 발전에 따라 새로운 개념의 범위를 넓힐 수 있다. 또한, 외적연결성을 통해 수학의 문화적, 역사적, 과학적인 진화와 관련된 다양한 경험들 과 현대사회 발달에서 수학과 관련되는 다른 학문들 즉, 예술, 과학, 건축 등과 수학 사이의 관계를 탐구함으로서 수학적 가치를 학습할 수 있다(NCTM, 1989).

수학적 연결성을 강조함으로써 교사는 학생들이 수학 을 고립된 개념과 기능, 연결되지 않은 것으로써 보기보 다는 문제를 해결하는데 연결성을 사용하는 배열을 세우 도록 도울 수 있다(NCTM, 1995B). 뿐만 아니라 수학 학습은 수학 내부의 활동에서 얻은 지식이나 기능에 머 무르지 않고, 곧 실생활 활용과 타학문에의 적용이라는 활동을 통해 수학의 외부로 연결되어야 한다.

2. 디자인 활동을 통한 수학적 경험

디자인 활동을 통해 수식의 요소 하나하나에 의미를 넣고 디자인으로 만들어 내면서 학생들은 미적 경험을

하게 된다. 듀이는 ‘의미’를 단순한 인식적인 문제가 아 니라, 관련성 속에서 또는 특수한 관계들 속에서 작용하 는 직접적인 성질들의 총합이라고 하였으며, 모든 일상 적인 활동이 그 스스로의 완성을 위해 착수될 때 그것은 의도적으로 개발된 경험이 되고, 이 경험이 미적 경험으 로 불리어질 수 있다고 하였다(Zeltner, 1975; 정순복, 1996). 수학을 한다는 것은 다른 예술 활동과 차이는 있 지만 그 차이는 적용된 매체나 직접적인 질적 경험에 대 한 매체의 연관성에 불과하다. 그러므로 지배적인 질적 유형은 미적 경험으로 불리어질 수 있다(Dewey, 1934;

이재언, 2003). 수학적 활동과 함께 미적 경험을 통합시 킴으로써 그 상이한 유형들을 더욱 깊이 이해할 수 있을 뿐만 아니라, 모든 경험의 연속성을 다시 강화시킬 수 있다. 수학적 경험들은 수학적 내용들 간에 혹은 다른 학문과의 관계에서 경험이라는 형태로 계속 되어 진다.

경험의 의미를 더해주는 것은 상호작용의 원리이며, 다음 경험의 방향을 결정할 능력을 증대시키는 것은 연 속성의 원리이다(강흥규 외, 2005). 경험의 연속성의 원 리란 모든 경험은 그것보다 선행하는 경험들로부터 무엇 인가를 받아들이며, 동시에 그것에 후속하는 경험들의 특질을 어떠한 방식으로 변경시킨다는 사실을 의미한다.

사고라는 경험은 그 자체의 미적 성질을 지니고 있으며, 질서 있는 조직적인 운동을 통하여 도달한 내적 융합과 완성을 가진다. 또한 미적 경험은 지적 경험에서 유리될 수 없으며, 가치 있는 경험이란 학습자의 현재의 경험과 상호 작용하여 새로운 차원에서 재구성되거나 성장하는 데에 활용될 수 있어야 한다(Dewey, 1938; 엄태동, 2001). 디자인 활동을 통한 대수적 수식의 시각화 활동 은 학생들에게 지적 경험을 바탕으로 한 미적 경험이 비 로소 가치 있는 경험이 되어 학습자 스스로 성장할 수 있다는 이론을 토대로 한다.

3. 디자인 활동 적용에 관한 선행연구

수학교육의 목표를 설정하는 수학의 가치는 수학을 배우면서 습득한 논리적인 사고력, 추상화하고 형식화하 는 능력, 단순화하고 종합화하는 능력 등은 수학이 아닌 다른 분야에서도 그 위력을 발휘할 수 있다는 도야적 가 치와 수학이 기초학문으로서 중요한 역할을 한다는 실용 적 가치, 수학의 공식이나 방법이 절묘하고 아름답게 적

용될 수 있다는 심미적 가치 및 수학이 많은 사람들의 노력을 거쳐 발전하면서 그 사회 발전에 공헌해 왔다는 문화적 가치가 있다(이강섭 외, 2009). 디자인 활동을 통 한 수학의 연결성교육은 수학의 가치 중 도야적, 실용적, 심미적 가치를 반영하고 이 가치들을 실현하고자 하는 교육이라는데 의미가 있다.

2006개정 수학과 교육과정에서 명시한 수학과 교수․

학습 방향은 학생이 구체적인 경험에 근거하여 여러 가 지 현상을 수학적으로 해석하고 조직하는 활동, 구체적 인 사실이나 추상화 단계로 점진적으로 나가는 과정, 직 관이나 구체적인 조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 적 경험을 통하여 형식이나 관계를 발견하고, 수학적 개 념, 원리, 법칙 등을 이해할 수 있도록 한다는 것이다(이 강섭 외, 2009).

디자인이라는 조작 활동 경험을 통한 교수․학습 방 법은 위의 교수․학습 방향과 일치하는 것이며, 교수․

학습에서 직접 조작하는 것이 학생들에게 흥미를 줄 수 있고 심미적인 호소력이 있으며 탐구가능성을 극대화시 킬 수 있다는 효과가 있다. (계영희 외, 2002).

또한 김선영(2009)는 단순 암기 혹은 수동적인 지식 축적보다는 개인이 소유하고 있는 기존의 지식을 재편성 하고 구조화하는 능력, 해당분야의 깊이 있는 전문지식 을 활용하여 새로운 지식과 정보의 가치를 창출할 수 있 는 사고와 관점의 전환, 주어진 상황과 문제에 따라 과 거의 경험을 기초로 새로운 대안을 구성하거나 과거의 경험을 새로운 상황에 전이시켜 새로운 관계를 형성 하 는데 디자인이 활용될 수 있다고 강조하였다.

Ⅲ. 연구방법 및 절차

본 연구에 있어 수식을 디자인 할 때, 식을 정확하게 시각적으로 표현할 수 있고, 시간과 노력을 절약하여 학 생들이 의도한 디자인을 손쉽게 그릴 수 있도록 하기 위 해 학생들로 하여금 GSP 프로그램을 이용하도록 하였다.

1. 연구대상

연구대상은 영재성검사를 통해 선발된 경기도과학교 육원 부설 전일제 영재교육원 대상자 40명이며 소집단별 로 4명씩 구성하였다. 영재교육원 특성상 초등학교 5학

년부터 중학교 2학년 학생들로 이루어져 있으며, 소집단 은 영재교육원측의 학생고유번호 순서대로 4명씩 한 집 단을 이루도록 구성하였고, 본 연구의 연구자가 직접 담 당하여 지도하였다.

연구대상 초등학교

5학년 초등학교

6학년 중학교

1학년 중학교

2학년

40 1 9 19 11

<표 1> 연구 대상의 구성 현황

2. 연구절차

1차시에는 예시로 제시된 디자인 활동을 하였으며, 2 차시에는 그 디자인을 분석하고 디자인으로부터 수학적 원리를 탐구하도록 하였다. 이후 3차시에는 모둠별로 식 을 생성하고 디자인 규칙을 정하여 GSP를 활용하여 디 자인하였으며, 4차시에는 자신들의 디자인을 분석하고 디자인으로부터 수학적 원리를 탐구하는 활동을 하여 총 4차시로 진행되었다. <그림 Ⅲ-1>은 학생들이 식을 생 성하고 이를 디자인하는 과제에 대한 이해를 돕기 위해 제시된 예시 디자인으로서 1～2차시에 진행된 활동이다 (박종률, 2009).

<그림 Ⅲ-1> 학생들에게 제시된 예시와 학생들의 분석(원 디자인)

3～4차시에는 문자를 사용해 대수적으로 식을 만들고 이를 시각화하는 규칙을 적용해 디자인 활동을 하도록 하였으며, 문자에 들어가는 숫자를 달리해 가면서 디자 인이 어떻게 달라지는지 추측 및 확인해보도록 하였다.

역으로 디자인을 분석하며 수학적 개념 또는 정리에 대

하여 추론 및 심도 있는 탐구를 하도록 하였으며 이 과 정에서 공통적인 요소를 찾아 종합하여 수학적 정리를 유도하고 수학적 원리를 탐구하는 활동을 하도록 하였 다. <표 2>는 3～4차시에 학생들에게 부여된 과제이다.

과제 1 디자인을 위한 대수적 수식 세우기 과제 2 규칙을 만들고 이를 적용하여 디자인하기 과제 3 디자인으로부터 수학적 원리 탐구하기

<표 2> 학생들에게 부여된 과제

<그림 Ⅲ-2>는 3～4차시에 활용된 학생 활동지 이다.

<그림 Ⅲ-2> 학생활동지

연구자는 학생들이 식을 만들고 이를 디자인하거나 디자인을 분석하는 활동을 하는 동안 구체적 안내는 하 지 않았으며 교실을 순회하면서 학생들이 스스로 수학적 개념과 원리를 탐구할 수 있는 분위기를 만들어주었다.

학생 주도의 대수적 수식을 시각화하는 패턴을 알아보고 수학 교과서에서 독립적으로 배웠던 내용들을 통합적으 로 고려하면서 학습한 지식을 총체적으로 활용하고 적용 하는 과정에서의 수학적 사고 변화를 알아보기 위하여 연구자의 개입을 최소화하였다.

3. 자료 분석 방법

학생들은 소집단 별로 한 개의 식을 생성하였으나, 변수의 값을 달리하면서 디자인하는 활동을 개인 별로 하였으므로 개인별 디자인은 같은 소집단이라도 달랐다.

또한 이 디자인들을 분석하고 수학적 원리를 탐구함에 있어서도 개인적 활동을 하였기 때문에 결과물이 모두 달랐다. 연구자는 3차시와 4차시에 작성한 개인 활동지 를 걷어 소집단 내 다른 학생들과 비교하며 분석하였으 며, 특히 4차시에 이루어진 디자인을 통한 수학적 원리 탐구에서 학생들이 디자인을 추측하고 확인하는 과정, 알고 있는 수학적 지식을 정리하고 추론하면서 이를 일 반화하는 과정, 잘못된 수식의 표현 및 오 개념을 바로 잡아 가는 과정을 심층적으로 분석하였다. 이후 활동지 에서 드러나지 않은 사고 과정에 대해 알아보기 위해 소 집단에서 수식을 생성함에 있어 주도적으로 참여한 학생 과 이메일을 통한 1:1 인터뷰를 하였다.

Ⅳ. 결과 분석 및 토의

1. 디자인 활동

학생들은 식을 만들어 디자인한다는 생소한 과제 수 행에 대해 어려움을 느꼈지만 토론을 통해 곧 식을 만들 고 디자인하는 모습을 보였다. 어떤 식을 만들어내고 그 식에 규칙을 적용하는 것은 디자인을 염두에 두고 이루 어져야 했으며, 변수의 값을 달리하면서 디자인하는 역 할 분담을 해야만 했다.

<표 3>은 소집단별 구성원과 제목 및 디자인 특징을 정리한 것이다.

반 소집단 구성원 제목 디자인 특징

1반

A A1(중1남), A2(중1남)

A3(중1남), A4(중2남) 데칼코마 니

좌 표 평 면 에 점을 찍어 디 자인 B B1(중2여), B2(중1여)

B3(중2남), B4(중1여) 새싹 정 삼 각 형 의 변에 점을 찍 어 디자인 C C1(중2남), C2(중2남)

C3(중2남), C4(중1여)

가우스기 호에 따 른 n각형 의 디자 인

가우스 함수 를 이용한 원 디자인

D D1(중2남), D2(중2남)

D3(중1남), D4(중2여) hg 디자 인

모래 시계 모 양에 나머지 를 이용한 디 자인

<표 3> 구성원 및 디자인 특징

E E1(중1남), E2(중2여) E3(중1남), E4(중2남) 거미줄

정 다 각 형 에 나머지를 이 용한 디자인

2반

F F1(중1남), F2(초6남)

F3(중1남), F4(중1여) 도형 안 의 도형

정 다 각 형 의 대각선에 의 해 만들어지 는 도형을 디 자인 G G1(초6남), G2(중1남)

G3(중1남), G4(초6여) 유토피아 일 차 함 수 를 이용한 디자 인

H H1(초6여), H2(초6남) H3(초6여), H4(초6남)

나 만 의 수학디자인

평행선과 나 머지를 이용 한 디자인 I I1(중1남), I2(중1남)

I3(초6남), I4(초5여) 정피

정 육 각 형 에 피보나치수열 을 적용한 디 자인 J J1(초6남), J2(중1남),

J3(중1남), J4(중1남) 도형 밖 의 도형

정 다 각 형 의 변에 도형을 그 림 으 로 서 디자인

2. 수식의 생성에 활용된 수학적 내용 분류

학생들이 수식을 정하고 이를 시각화 하는 규칙을 적 용한 디자인 방법과 그 방법을 선택한 이유는 <표 4>와 같았다. 10개의 소집단 중 함수를 이용한 디자인 4개, 나 머지를 이용한 디자인 4개, 도형을 이용한 디자인 2개로 분류가 되었다. 학생들은 숫자를 한정하고 디자인의 반 복을 유도하기 위한 나머지 이용한 디자인, 수학적 연결 성을 만드는 데 토양과 같은 역할을 하는 함수를 사용한 디자인, 도형 그 자체의 변화를 이용한 디자인, 이렇게 세 가지 수학적 내용을 활용한 디자인을 생성하였다.

디자인 이용방식 소집단 명 디자인 방법의 이유 나머지를 이용한

디자인 D, E, H, I

숫자가 커지거나 분수가 나 올 수 있기 때문에 나머지 를 이용하면 계산이 간단해 지므로

함수를 이용한

디자인 A, B, C,

G 좌표를 이용하면 값을 나타

내기 쉬우므로 도형을 이용한

디자인 F, J 도형 안에 도형을 또는 도

형 밖에 도형을 그리면 일 정한 패턴이 생기므로

<표 4> 소집단 별 시각화 경향

(1) 나머지를 이용한 디자인

① 소집단 D (hg 디자인)

           

           

<그림 Ⅳ-1> 소집단 D

모래시계의 각 변의 중점에 1부터 6까지 번호를 적어 각각을 값으로 하여    ×  을 7로 나 눈 나머지와  (단, 는 7미만의 자연수)를 연결하였다.

② 소집단 E (거미줄 디자인)

           일 때 삼각형의 세변을 지움

           

<그림 Ⅳ-2> 소집단 E

정다각형을 각 변을 n등분하여 1에서 n까지의 자연수 를 적고, n이하의 자연수의 각 원소와 그 원소에 k를 더 한 수를 n으로 나눈 나머지를 연결하여 거미줄처럼 디 자인하였다. 나머지가 0일 때는 n으로 연결하였다.

③ 소집단 H (나만의 수학디자인)

n보다 작은 자연수 a 1 2 3 4 5 6 a×k를 n으로 나눈 나머지 2 4 1 2 4 1

     

n보다 작은 자연수 a 1 2 3 4 5 a×k를 n으로 나눈 나머지 3 4 2 1 3

     

<그림 Ⅳ-3> 소집단 H

n보다 작은 자연수와 그 원소에 k를 곱하여 n으로 나 눈 나머지를 두 평행선을 두고 연결한 디자인이다.

     일 때는 1-2-4-1-2-4-1로 계속 반복되고

     일 때는 1-3-4-2-1-3로 계속 반복되는 디 자인을 보여주었다.

④ 소집단 I (정피)

n=6, k=4, t=5 n=6, k=3, t=5

<그림 Ⅳ-4> 소집단 I

정 각형의 각 변을 등분하여 피보나치수열을 이용 한 식 t, t+1, 2t+1, 3t+2, 5t+3, 8t+5, 13t+8, 21t+13, … 을 만들고 이를 k로 나누었을 때의 나머지만큼씩 이동 하여 디자인 하였다.

(2) 함수를 이용한 디자인

① 소집단 A (데칼코마니)

(a,b)가 (2,3) (a,b)가 (1,2)

(a,b)가 (3,4) (a,b)가 (1, 4)

<그림 Ⅳ-5> 소집단 A

 와 (

^

^

^

^

로 나눈 나머지)를 연결하는 방법을 중복되는 점이 생길 때까지 계속하였다. 이 후 제 1사분면에 그려진 디 자인을 축 대칭하여 단조롭지 않게 하였다.

② 소집단 B (새싹)

<그림 Ⅳ-6> 소집단 B

정삼각형의 무게중심과 꼭짓점을 연결한 후 생기는 밑변을 제외한 모든 변에 1부터 40까지 숫자를 매겼다.

두 점의 합이 41이 되도록 연결하면 곡선이 됨을 이용하

여 새싹이라는 작품을 만들었다.

③ 소집단 C (가우스기호에 따른 n각형의 디자인 )

    ≤  ≤      ≤  ≤ 

    ≤  ≤ 

<그림 Ⅳ-7> 소집단 C

원주를 의 최댓값만큼 등분하여 와







, 는 임의의 자연수)를 선분으로 연결하여 디자인하 였다.

④ 소집단 G (유토피아)

두 절편의 합이 10 두 절편의 합이 5

<그림 Ⅳ-8> 소집단 G

일차함수의 절편과 절편의 합을 고정하여(단 ,  절편은 자연수)그래프를 그리고 이를 축, 축으로 대 칭시켜 디자인을 완성하였다.

(3) 도형을 이용한 디자인

① 소집단 F (도형 안의 도형)

     

  

<그림 Ⅳ-9> 소집단 F

정 n각형의 대각선에 의해 정 n각형이 나타남을 이용 한 디자인으로 정 n각형에서 n이 8 이상일 경우에 n이 1만큼 늘어나면 내부에 생기는 도형도 한 개씩 늘어나는 규칙을 이용하였다.

② 소집단 J (도형 밖의 도형)

           

           

<그림 Ⅳ-10> 소집단 J

정 각형의 각 변을 한 변으로 하는 정 각형을 그

린 후, 정 각형들 사이에 또 다른 정 각형을 그려 디자인하였다.

3. 디자인으로부터 수학적 원리 탐구 과정 분석

소집단별로 시각화된 디자인으로부터 수학적 원리를 탐구하는 과정에서 수학적 사고 과정을 분석하였다. 디 자인으로부터 수학적 원리를 탐구하는 동안 학생들은 수 학적 추측을 통한 디자인의 일반화, 추론을 통한 일반화, 수학적 개념과 디자인 규칙의 정교화 등의 의미 있는 수 학적 사고 과정의 변화를 보였다

(1) 추측을 통한 디자인의 일반화

디자인 활동을 통해 시각적으로 추측 및 결과물의 확 인 과정을 거쳐 이를 일반화하고자 하는 시도가 자연스 럽게 이루어졌다. 삼각형의 변에 번호를 매겨 두 번호의 합을 일정하게 연결함으로서 새싹이라는 디자인을 한 소 집단 B에서 B1학생은 디자인의 원리를 이용해 결과물을 추측하였다.

<그림 Ⅳ-11> 디자인의 추측

<그림 Ⅳ-11>에서와 같이 직선들이 만나서 이루는 각에 의해 곡선처럼 보인다는 시각적 추측을 통해 디자 인의 원리를 설명하였다. 뿐만 아니라 이 학생은

    의 디자인을 해 봄으로써   일 때의 디자인이 어떠할 것이라는 추측을 하고 간략한 그림으로 나타내기도 했다. <그림 Ⅳ-12>에서와 같이   

은 점의 개수가 적어질 뿐 모양은 같을 것이라 추측하였 다.

<그림 Ⅳ-12>   일 때의 디자인의 추측

이와 같이 의 값에 따라 달라지는 디자인을 시 각적으로 추측하고 이를 일반화고자 하였다.

소집단 C의 가우스함수를 이용한 디자인에서 값과

값에 따라서 디자인이 어떻게 달라지는지 몇 개의 디 자인 비교를 통해 추측하고 이를 일반화하려는 시도가 이루어졌다.

<그림 Ⅳ-13>   일 때 의 범위에 따른 분석 C2 학생은   와   의 디자인을 비교한 후 다 른 값들의 디자인에 대한 추측과정을 거쳐 값이 커질 수록 같은 함숫값을 갖는 경우가 적고 이에 따라 겹치는 부분이 적어 원 안의 선들이 단순해진다고 디자인을 특 징을 일반화 시켰다. 또한 같은 값에서도 의 값 즉, 정의역의 범위가 커질수록 선분 수가 늘어날 것이라고 디자인의 특징을 일반화 하였다. 이는 공통적인 규칙이 나 원리를 추측해 내고 그 추측한 사실을 디자인을 해 봄으로서 다른 디자인에서도 그러한 규칙이 적용된다는 일반화 과정이 이루어진 것이다.

한편, <그림 Ⅳ-14>와 같이 C3 학생도 값이 커질수 록 선분수가 늘어난다는 것과 값이 클수록 같은 함숫 값을 갖는 경우가 적을 것이라고 디자인의 특징을 기술 하였으며 디자인이 대칭구조를 갖는 이유도 함께 설명하 였다.

<그림 Ⅳ-14> 값과 의 범위에 따른 디자인 분석 C3 학생은 <그림 Ⅳ-15>와 같이 대칭과 한붓그리기 가 안 되고 한 점에 여러 선이 연결되는 디자인의 이유

를 대수적 근거에 의해 분석하였다. 즉,   



<그림 Ⅳ-15> 한붓그리기가 안 되는 이유 설명 소집단 G의 일차함수를 이용한 디자인에서는 <그림

Ⅳ-16>와 같이 절편의 합이 달라짐에 따른 디자인을 모 양의 변화를 관찰 및 추측을 통해 절댓값들의 합이 커질 수록 곡선에 가까워지거나 입체감이 느껴지는 디자인이 된다고 시각적으로 디자인의 특징을 일반화하려하였다.

<그림 Ⅳ-16> 일차함수 디자인을 추측 소집단 E의 거미줄 디자인에서도 시각적으로 추측하 고 이를 디자인해봄으로서 디자인의 특징을 일반화하는 과정이 이루어졌다. <그림 Ⅳ-17>와 같이 과 의 차 가 1인 경우와 6인 경우를 두 명의 학생이 역할을 분담 해 직접 그려본 후 이를 통해  의 차가 클수록 디자 인이 복잡해진다는 디자인의 특징을 일반화하였다. 또한 같은  라 할지라도 정삼각형에서보다는 정사각형에서 디자인이 복잡해진다는 것을 이용해 다각형에 따른 디자 인의 특징을 시각적으로 추측하고 이를 일반화하였다.

           

  에 따른 디자인의 복잡성

다각형에 따른 디자인의 복잡성

<그림 Ⅳ-17> 거미줄 디자인의 조건에 따른 복잡성 즉, <그림 Ⅳ-17>의 디자인 활동을 통해 다음과 같 이 이 디자인이 갖는 특징을 정리하여 기술하였다.

<그림 Ⅳ-18> 거미줄 디자인의 특징을 정리

(2) 추론을 통한 수식의 일반화

소집단 G의 일차함수를 이용한 디자인에서 초등학생 인 G1은 두 절편의 합이 달라짐에 따라 함수의 그래프 에 의해서 1사분면을 나누는 다각형의 개수가 달라진다 고 추론하였으며 절편의 합에 따른 칸의 수를 구하고 규 칙성을 발견하여 이를 일반화하는 과정을 보였다.

<그림 Ⅳ-19> G1의 칸의 수의 추론과정 G1의 경우   일 때, 1사분면에서 칸의 수를 직접 세어 봄으로서 시각적으로 접근하여 규칙을 찾으려 하였 다. 즉 가로방향으로 맨 아랫단부터 3-2-1 순서로 칸이 구성된다는 것을 찾아내어 한 사분면당 칸의 수의 합은 1에서  까지의 합이라는 것을 추론한 것이다. <표 5>은 G1이 값을 달리하면서 특수한 경우에서 발견한 규칙을 일반화하려는 추론과정을 보여준 표이다.

절편의 합 칸의 수 칸의 수의 합

   3-2-1 6

   4-3-2-1 10

   5-4-3-2-1 15

… … 1에서

  까지의 합

<표 5> G1의 추론 과정

이와 같이 G1학생은 두절편의 합이 일 때는 1부터

  까지의 자연수를 더하면 될 것이라고 추론하였으 며 모든 사분면은 4를 곱해주면 되므로 다각형의 개수는

  일 때는 84개,   일 때는 112개가 된다고 설명 하였다. 이 학생은 등차수열의 일반항과 합을 구하는 것 을 배우지 않았음에도 불구하고 시각화된 디자인에서 규 칙성을 발견하여 두 절편의 합에 따른 칸의 수를 구할 수 있게 되었다. 이는 대수와 기하를 수학적으로 연결하 는 과정에서 규칙성을 발견하여 대수적으로 일반화 시키 는 사고가 일어났음을 확인할 수 있다. 그렇다면 다른 모둠원에게는 이 디자인 활동을 통해 어떤 수학적 사고 의 변화가 일어났을까? 다음은 중학교 1학년인 G2에게 디자인에서 다각형의 개수를 구하는 방법에 대해 이메일 로 인터뷰 했을 때의 답변이다.

절편의 합을 m으로 가정했을 때, 다각형의 개수는 m-1+m-2+m-3...+m-(m-1)까지입니다. 여기 *4씩 곱 해주면 총 다각형의 개수가 나옵니다. 또, 1사분면에 총 m-1개의 삼각형이 생기고, m-2+m-3+....m-(m-2) 까지 더한 사각형의 개수가 나옵니다.

G2는 절편의 합이 m일 때, 맨 아랫줄부터 만들어지 는 다각형의 개수를 <표 6>과 같이 추론하였다.

줄 줄에 따른 다각형의

개수 삼각형의

개수

1번째 줄 m-1 1

2번째 줄 m-2 1

3번째 줄 m-3 1

… … …

m-1번째 줄 m-(m-1) 1 합 1~(m-1)까지의 합 m-1

<표 6> G2의 추론과정

G1은 절편의 합에 따른 다갹형의 개수를 각각 구해 일반화하였으나, G2는 절편의 합을 m으로 놓고 디자인 의 아랫줄부터 m-1번째 줄까지의 칸의 수를 m을 사용 하여 표현하여 모든 칸의 수를 구하였다. 또한 삼각형이 한 줄에 한 개씩 만들어진다고 추론함으로써 삼각형의 개수의 합과 사각형의 개수의 합을 따로 구하였다. G1과 G2의 추론과정이 달랐으나 1사분면에서의 만들어지는 다각형의 개수를 구한 결과는 같았으며 G2는 삼각형과 사각형의 개수를 따로 구하는 과정에서도 수학적 추론을 사용하였다.

나머지를 이용해 모래시계 디자인을 한 소집단 D의 디자인과 그 분석과정에서도 추론을 통한 일반화를 하였 다. D2는 <그림Ⅳ-20>에서와 같이  와 ( ±  ± )의 디자인이 같음을 이용하여  

의 값이 같으면 디자인도 같다는 추론을 하였다.

           

           

<그림 Ⅳ-20> 모양이 같은 디자인

D2는  의 값을 달리하며 여러 번의 디자인을 하 는 과정에서 디자인이 동일한 변수의 값들을 분리하고 특징을 탐구하여 디자인이 같은 이유를 다음과 같이 정 리하였다.

<그림 Ⅳ-21>  와 (±  ± )의 디자인이 같은 이유

       와      

이  와 같기 때문에  와 ( ±  ± ) 의 디자인이 같은 디자인이 나왔음을 정확히 이해하고 있다.

그런데 같은 식을 디자인한 D3 학생은  가 2일 때, 짝수일 때, 홀수일 때로 디자인의 종류가 <그림 Ⅳ -22>와 같이 3가지로 분류됨을 시각적으로 추론 하고 이를 일반화하였다. 같은 디자인에서 수학적 원리를 발 견하였음에도 D2는  의 값이 같으면 같은 디 자인이 나오는 것으로, D3는  가 2, 짝수, 홀수 일 때 각각 같은 디자인이 나오는 것으로 방향을 달리해 분 석하였다.

<그림 Ⅳ-22> 디자인의 세 가지 종류 연구자는  가 2, 짝수, 홀수일 때의 디자인을 분 류한 D3학생의 사고과정을 알아보기 위해 이메일로 인 터뷰하였다.

T :  가 2, 짝수, 홀수 일 때 각각 디자인이 같은 데, 이것은 왜 그러니? 하다 보니 알게 되었니?

아니면 처음부터 계획하고 그런 디자인을 만든 거니?

D3 : 디자인 구성 도중 우연히 알게 된 사실로, 이유 는 이렇습니다.

((n+1)-(k+1+1))=(n+1-k-2)=(n-k-1)=(n-(k+1)) ((n-1)-(k+1-1))=(n-1-k)=(n-k-1)=(n-(k+1)) 인터뷰 결과 D3학생은 D2학생과 같은 사고 과정을 거친 후   값이 2, 짝수, 홀수일 때의 디자인이 같

음을 분류하여 좀 더 디자인을 단순하게 일반화하려 한 것으로 보인다.

(3) 수학적 개념과 디자인 규칙의 정교화

소집단 C의 가우스함수를 이용한 디자인에서 학생들 은 값을 결정한 후 의 범위에 따라 디자인 하였다.

그러나 학생들은 ‘변하는 두 양  에 대하여 의 값 이 변함에 따라 의 값이 하나씩 정해질 때, 를 의 함수라고 한다(강신덕 외, 2009)’ 는 함수의 정의에서와 는 달리 식을 생성했을 당시 정의역의 원소로서 변수  를 사용하였으나 







<그림 Ⅳ-23> 가우스함수 디자인을 위해 생성한 식 이와 같이 





<그림 Ⅳ-24> 상수의 사용

함수를 이해하기 위한 비와 비례는 일상적으로 다양 하게 사용되고 있음에도 불구하고 획득하기 어려운 개념 이며, 두 양 또는 두 수를 다루면서 하나의 대상으로 파 악하는 것은 쉽지 않다(권오남 외, 2007). 그러나 학생들 은 함수를 이해하기 위한 비와 비례의 개념을 디자인 활 동을 통해 스스로 이해하게 되었으며, 정확하게 함수식 을 사용할 수 있게 되었다. 이는 변수를 달리한 여러 번 의 디자인과정에서 정의역의 한 원소에 대응하는 함숫값

을 표현하는 방법을 알아내었으며, 함수에 대한 정확한 개념과 종속관계로서의 함수를 이해하게 된 것이다. 또 한 독립변수, 매개변수, 종속변수의 관계를 이해하게 되 었으며 각 변수들의 역할에 대한 개념이 정교화 되었음 을 알 수 있다.

한편, <그림 Ⅳ-25>와 같이 정의역의 원소와 함숫값 을 연결하는데 있어 특수한 경우를 고려하여 규칙을 만 들기도 하였다.

<그림 Ⅳ-25> 규칙의 정교화

정의역의 범위를 한정시켜 디자인함에 있어 이 범위 외의 숫자들에 대해서는 디자인을 하지 않겠다는 의도가 있다. 그러나 의 값에 따라서는 



일차함수를 이용해 디자인 한 소집단 G의 경우도  절편과 절편의 합이 5일 때의 디자인에서  의 관계 를 구해      라는 일차함수를

    

    라는 식으로 바꾼 후 절편이 1, 2, 3, 4임에 따라 네 개의 함수식을 구하였다.

<그림 Ⅳ-26>     

   일 때의 네 개의 함수식

이는 두 절편의 합에 의해 디자인되는 특징을 이용하 여 절편의 합을 먼저 결정해 놓고 각 일차함수 그래프의 식을 얻어내는데 있어 절편과 기울기의 개념이 좀 더 구체적이고 정교화 되었다고 판단된다.

Ⅴ. 결론 및 제언

본 수업에서 영재학생들은 디자인을 위해 수식을 생 성함에 있어 나머지와 함수 및 도형을 이용하였다, 이는 디자인의 방법에 있어 나머지를 이용한 대수, 그래프를 이용한 함수 그리고 도형을 이용한 기하라는 수학적 내 용들을 디자인과 연결하려는 의도가 있었음을 의미한다.

한편, 디자인으로부터 수학적 원리를 탐구하는 활동 을 통해 몇 가지 수학적 사고의 과정을 볼 수 있었다.

첫째, 변수에 들어갈 숫자를 달리하며 여러 번의 디 자인 활동과 디자인으로부터 수학적 원리를 발견하는 과 정을 통해 디자인을 수학적으로 추측하고 이 디자인이 추측한데로 그려짐을 확인하여 디자인을 일반화 시키는

‘추측을 통한 디자인의 일반화’ 과정을 보였다.

둘째, 그래프에 의해 1사분면을 나누는 다각형의 개 수를 구하는데 있어 다양한 추론을 통해 규칙성을 발견 하여 이를 일반화하는 과정을 보였으며, 디자인이 같은 변수를 분류하여 ‘추론을 통한 수식의 일반화’ 과정을 보 였다.

셋째, 수식을 생성하고 디자인함에 있어 처음에는 수 학적 개념과 표현에 있어 정확하거나 정교하지 못했었 다. 그러나 디자인 활동을 하고 이를 분석하는 과정에서 수식의 표현에 있어 정확해졌으며 수학적 개념을 스스로 습득하게 되었다. 또한 정의역의 원소와 함숫값을 연결 하는데 있어 특수한 경우를 고려하여 규칙을 정교화시키 는 등 ‘수학적 개념과 디자인 규칙의 정교화’ 가 되어 감 을 보였다.

이와 같이 수식의 생성과 그 수식을 디자인하는 사이 에서 유연한 전환을 경험하고 그림으로 표현된 내용을 대수적으로 정리하며, 대수와 기하의 연결 고리를 형성 하였다.

교사는 수업을 설계하고 진행하는 과정에서 학생들이 자신의 추론을 설명하고 정당화 할 수 있는 학습 환경을 만들어 가도록 하겠다는 명백한 의도를 가지고 있어야

한다(권오남 외, 2005). 이러한 학습 환경에서 진행된 수 학 디자인 수업은 학습자들이 수식을 생성하고 이를 디 자인하고 다시 분석하는 과정에서 수학적 개념과 원리를 스스로 찾아내고 자신의 추론을 설명하고 정당화하는 과 정으로 진행되었다. 이와 같은 수업은 그동안 교과서 순 서에 따라 수동적으로 진행되던 수업을 좀 더 의미 있게 만들어 줄 수 있는 기회가 될 것이라 기대할 수 있다.

이에 본 연구는 수학과 디자인 뿐 아니라 수학과 음 악, 수학과 건축 등 학생들에게 다양한 수학적 연결성 과제를 부여함으로서 학생 스스로 수학적 내용간의 연결 성 및 타 학문과의 연결성 수업을 통해 수학적 원리를 발견하고, 수학의 심미성 및 실용성를 체험할 수 있는 수업을 제언한다.

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A study of gifted students's mathematical process of thinking by connecting algebraic expression and design activities ²⁾

Kwon, Oh Nam

Department of Mathematics Education, Seoul National University, Gwanak_1 Gwanak-ro, Gwanak-gu, Seoul 151-742 E-mail : onkwon@snu.ac.kr

Jung, Sun A

Students can infer mathematical principles in a very natural way by connecting mutual relations between mathematical fields. These process can be revealed by taking tasks that can derive mathematical connections.

The task of this study is to make expression and design it and derive mathematical principles from the design.

This study classifies the mathematical field of expression for design and analyzes mathematical thinking process by connecting mathematical fields.

To complete this study, 40 gifted students from 5 to 8 grade were divided into two classes and given 4 hours of instruction. This study analyzes their personal worksheets and e-mail interview.

The students make expressions using a functional formula, remainder and figure.

While investing mathematical principles, they generalized design by mathematical guesses, generalized principles by inference and accurized concept and design rules.

This study proposes the class that can give the chance to infer mathematical principles by connecting mathematical fields by designing.

* ZDM classification : D33

* 2000 Mathematics Subject Classification : 97D30

* Key Words : algebraic expression, design activities, mathematical guesses, inference, connect mathematical fields