제 9 장 정규분포
충북대학교 농업생명환경대학 지역건설공학과
실 험 통 계 학
맹 승 진
9.1 정규분포
• 이항분포를 발전시킨 것임.
• 이항분포에서 n을 증가시켜 얻을 수 있는 그 마지막 도수곡선을 정규 도수곡선(Normal frequency curve)
9.1-1 정규분포 (Normal Distribution)
• x가 나타내는 상대도수를 p라 하면 가 되고 위 식의 양변에 를 곱하여 라 하 고 를 수직축의 측정 단위로 하여 도수 대신 확률로 결과를 나타내면 위의 곡선식은
• 이 식이 그리는 곡선을 정규확률곡선이라 한다. 단 조건은 9.1-1 정규분포 (Normal Distribution)
9.1 정규분포
• 평균치와 표준편차가 각각 다른 정규분포를 일반화하여 새로운 하나의 정 규분포를 얻기 위해서는 관측치( ) 값을 변형하여 평균과 표준편차를 통 일시킨다. 따라서 각 관측치에서 그 정규분포의 평균치를 빼고 그 차의 값 을 다시 표준편차로 나누어 얻을 값을 는 항상 평균은 0이고, 표준편차 는 1인 정규분포를 보이게 된다.
=> 표준화 (Standardization) 9.1-1 정규분포 (Normal Distribution)
9.1 정규분포
9.1-1 정규분포 (Normal Distribution)
9.1 정규분포
9.1-1 정규분포 (Normal Distribution)
9.1 정규분포
9.1-1 정규분포 (Normal Distribution)
9.1 정규분포
9.1-2 표본평균의 분포
9.1 정규분포
9.1-2 표본평균의 분포
9.1 정규분포
예제 9.1
• Z값이 1.21 이상일 확률을 구하여라.
9.1 정규분포
Z값이 1.21이상일 확률, 즉, P(Z≥1.21)은 표준정규확률곡선에서 Z값이 1.21이 상인 부분의 면적이다. 이 면적을 구하기 위해서는 표준정규확률 곡선 식에서 Z=1.21부터 Z= 까지 적분하여 구할 수도 있으나 이는 계산이 복잡하므로 각 𝑍𝑖값에 대한 확률을 계산하여 표로 정리한 표준정규확률분포표를 이용하여 (Z≥1.21)의 확률을 구한다. 부표에서 세로의 값은 Z값의 소수점 이하 첫째 자 리 그리고 세로의 값은 소수점 이하 둘째 자리를 나타내는 값이다. 따라서 Z=1.21의 면적은 세로에서 1.2를 찾고 가로에서 0.01을 찾아 두 값이 만나는 점의 값 0.1131이 구하고자 하는 (Z≥1.21)의 확률이다.
• 풀이
예제 9.1
P(Z≥1.21) = 0.1131
9.1 정규분포
• 풀이
예제 9.2
• Z값이 0.39와 1.59 사이에 있을 확률을 구하라.
9.1 정규분포
P(0.39≤ Z≤1.59)는 아래 그림에서 사선을 그은 부분의 면적에 해당한다.
따라서 P(Z≥0.39)와 P(Z≥1.59)를 구하여 P(Z≥1.59)의 면적을 빼면 구하고자 하는 사선부분의 면적이 된다. 즉,
P(0.39≤ Z≤1.59) = P(Z≥0.39) - P(Z≥1.59) = 0.3483 – 0.0559
= 0.2924
• 풀이
예제 9-2
9.1 정규분포
• 풀이
예제 9-3
• 확률변수 X가 N(60, 42)인 정규분포를 따른다고 할 때, P(55≤X≤63)의 확률을 구하라.
9.1 정규분포
X~ N(60, 42)인 정규분포를 따르므로, 이를 표준화하면 다음과 같다.
따라서 P(55≤X≤63)에 대해 표준화하여 이를 정리하면 다음과 같다.
• 풀이
예제 9.4
• 어느 대학의 통계학 점수의 분포가 평균 63점이고, 분산이 100인 정규분포 를 따른다고 하자. 다음을 구하라.
1. 50점 미만의 학생은 몇 %나 되겠는가?
2. 상위 10%의 학생에서 A+의 학점을 주려고 할 때, 몇 점 이상을 받아야 하겠는가?
9.1 정규분포
예제 9.4
학생들의 통계학 점수를 확률변수 X라 할 때, X~N(63, 102)인 정규분포를 따른다. 이러한 사실로부터 다음과 같이 표준화하여 확률을 구할 수 있다.
1. 50점 미만의 학생의 백분율은 다음과 같이 구할 수 있다.
따라서 50점 미만의 학생들은 약 9.7%이다.
9.1 정규분포
• 풀이
예제 9.4
2. x점 이상의 점수를 받은 학생들이게 A+를 준다고 할 때, x는 다음을 만족해야 한다.
이를 위해 우전 표준정규분포표로부터 0.5-P(0≤ Z≤z) = 0.1을 만족하는 z값 을 찾으면, P(0≤ Z≤z) = 0.4 인 값은 1.28이다. 따라서 다음과 같이 구할 수 있다.
결과적으로 학생들이 A+학점을 받기 위해서는 통계학 점수를 75.8이상을 받아야 한다.
9.1 정규분포
• 풀이
