수 요

2-2. 생산계획과 예측

1. 시계열 분석기법 2. 인과형 모형

3. 예측오차의 측정과 통제

1. 시계열 분석기법

‰ 시계열의 구성요소

- 시계열이란 일정한 시간간격으로 본 일련의 과거 자료(예: 일별, 주별, 월별 판매량)

• 추세(T)

• 순환요인(C)

• 계절적 변동(S)

• 불규칙변동 혹은 우연변동(R)

시계열 추 세

계절적변동

순환요인

불규칙변동

0 1 2 3 4 년

시계열분석모형

• 시계열 분석모형에서는 수요 Y를 시계열의 4가지 구성요소의 함수로 파악

Y =f (T, S, C, R )

• 승법모형：Y = T·S ·C ·R

• 가법모형：Y = T+S+C+R

시계열의 패턴

(a) 추세나 계절적 변동이 없는 경우

(c) 선형추세, 가법적인 계절적 변동

(b) 추세는 없고 계절적 변동만 있는 경우

(d) 선형추세, 승법적인 계절적 변동

추세분석법(trend analysis)

• 추세분석법

- 추세분석법이란 시계열을 잘 관통하는 추세선을 구한 다음 그 추세선상에서 미래수요를 예측하는 방법

- 직선추세선

= a +bt 여기서 t =기간, t =1,2,…,n

Y

=기간 t 의 직선추세선상에서의 수요 예측치

a =t 가 0일 때 의 값(즉, 축 절편)

b = 직선추세선의 기울기 Y ^

Y

^ Y ^

Y ^

6

과거자료와 직선추세선

Y ^

,Y

0 1 2 3 4

Y ^

a

bt

Y ^

Y ^

Y ^

Y ^

Y

Y

Y

Y

기울기=

b

기간(

t

a

직선추세선의 결정

- 최소자승 법에 의해 실제치와 직선추세선상의

예측치와의 오차자승의 합이 최소가 되도록 a와 b의 값을 구함.

n

t b

Y

t t

n

t Y

tY n

n t n

t t

n t n

t

n t n

t t

n

t t

a b

− ∑

∑

− ∑

∑

∑

− ∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

=

1 1

1

2 1

2

1 1

1

) (

) )(

(

예 제

연 도 실제수요

1996 1997 1998 1999 2000

30 40 60 50 80

- 추세선을 구하기 위한 계산표

연 도 기간( t ) 실제수요( Y

) t

tY

1996

1997 1998 1999 2000

1 2 3 4 5

30 40 60 50 80

1 4 9 16 25

30 80 180 200 400

합 계 15 260 55 890

-

a

b

- 직선추세선

- 2001년의 수요 예측치

19

11

5

) 15 ( 11 260

) 15 ( ) 55 ( 5

) 15 ( 260 )

890 ( 5

2

=

=

=

=

−

−

−

a b

t bt

a

Y ˆ _t = + = 19 + 11

85 )

6 ( 11 ˆ 19

6 = + =

Y

성분분해에 의한 중기예측

• 시계열분해 법

- 시계열분해 법에서는 시계열자료를 구성 요소들로 분해 하여 수요를 예측

• 추세와 계절적 변동의 결합형태

1월 7월 1월 7월 1월 7월 1월 7월 1월

수요

- 가법적인 계절적 변동

· 추세와 관계없이 계절적 변동치는 언제나 일정

· FITS＝추세＋계절적 변동

승법적인 계절적 변동

· 추세에 따라 계절적 변동의 폭이 변함.

· FITS＝추세×계절지수

1월 7월 1월 7월 1월 7월 1월 7월 1월

수요

계절적 변동의 예

2000년 2001년 예측치

계절

실제수요 계절변동폭 계절지수 가법적인 경우 승법적인 경우

봄 여름 가을 겨울

90 150 110 50

90-100=-10 150-100= 50 110-100= 10 50-100=-50

90/100=0.9 150/100=1.5 110/100=1.1 50/100=0.5

110-10=100 110+50=160 110+10=120 110-50= 60

110×0.9= 99 110×1.5=165 110×1.1=121 110×0.5= 55

합계 400 440 440

평균 계절 수요치(2000년)=400/4=100 평균 계절 수요 예측치(2001년)=440/4=110

성분분해 예:분기별 TV수상기 판매량

연 도 분 기 판매량(단위*1,000) 1

1 2 3 4

4.8 4.1 6.0 6.5

2

1 2 3 4

5.8 5.2 6.8 7.4

3

1 2 3 4

6.0 5.6 7.5 7.8

4

1 2 3 4

6.3 5.9 8.0 8.4

단순이동평균법(simple moving average)

• 단순이동평균법의 특징

- 시계열에 계절적 변동이나 급속한 증가 또는 감소의 추세가 없고 우연변동만이 크게 작용하는 경우에 유용

- 이동평균을 통하여 우연변동을 제거

- 예측하고자 하는 기간의 직전 일정기간 동안의 실제수요의 단순평균치를 예측 치로 함.

A

A

A

F

= N

여기서

F

t

A

t

N

예제

- 실제수요

월(t) 1 2 3 4 5

실제수요(A

) 4 3 4 5 ?

- 이동평균기간：4개월

- 5월의 수요예측치：

F

이동평균에 의한 6월의 수요예측치

F

F

4

16 4

5+5+4+3 4

이동평균기간의 결정

-이동평균기간을 길게 할수록 우연요인이 더 많이

상쇄되어 예측선은 고르게 되나 수요의 실제변화에는 늦게 반응

-이동평균기간은 예측의 안정성과 수요변화에 반응 하는 반응도간의 상충관계를 적절히 고려하여 선택

3주 및 6주 단순이동평균법에 의한 수요예측

기간 실제수요

3주 단순이동 평균에 의한

예측치

6주 단순이동 평균에 의한

예측치

1 10

2 18

3 29

4 15 19.0

5 30 20.7

6 12 24.7

7 16 19.0 19.0

8 8 19.3 20.0

9 22 12.0 18.3

10 14 15.3 17.2

11 15 14.7 17.0

12 27 17.0 14.5

13 30 18.7 17.0

14 23 24.0 19.3

15 15 26.7 21.8

0 5 10 15 20 25 30 35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 기 간(주)

수 요

실제수요

3주 단순이동평균에 의한 예측치 6주 단순이동평균에 의한 예측치

가중이동평균법(weighted moving average)

• 산식

- 직전

N

F

W

A

W

A

W

A

F

t

A

t

W

t

∑

−

= N

=

t

t i

W

1

예제

- 실제수요

월( t ) 1 2 3 4 5

실제수요( A

) 100 90 105 95 ?

- 가중치를 예측하고자 하는 달의 직전 달에 0.4, 2개월 전에 0.3, 3개월 전에 0.2, 4개월 전에 0.1로 둘 때 4개월 가중 이동평균에 의한 5월의 수요 예측치

F

F

성분분해 예

연 도 분 기 판매량 4분기별 이동평균 중심이동평균

1

1 2 3 4

4.8 4.1 6.0 6.5

5.35 5.60 5.875

5.475 5.738

2

1 2 3 4

5.8 5.2 6.8 7.4

1. 이동평균= 4.8+4.1+6.0+6.5/4=21.4/4=5.35 2. 이동평균= 4.1+6.0+6.5+5.8/4=22.4/4=5.60 3. 이동평균= 6.0+6.5+5.8+5.2/4=23.5/4=5.875

™ (5.35+5.60)/2=5.475, (5.60+5.875)/2=5.738

성분분해 예

연도 분기 판매량Yt 4분기별 이동평균TtCt 계절,불규칙StRt=Yt/ TtCt

1

1 2 3 4

4.8 4.1 6.0 6.5

5.475 5.738

1.096 1.133

2

1 2 3 4

5.8 5.2 6.8 7.4

5.975 6.188 6.325 6.400

0.971 0.840 1.075 1.156

3

1 2 3 4

6.0 5.6 7.5 7.8

6.538 6.675 6.763 6.838

0.918 0.839 1.109 1.141

4

1 2 3 4

6.3 5.9 8.0 8.4

6.938 7.075

0.908 0.834

성분분해 예

™ Y

= T

C

S

R

™ S

R

=Y

/ T

C

• 3분기별 계절요인=1.096+1.075+1.109/3=1.09

TV 판매량의 계절요인

분 기 계절 및 불규칙 요인 S^t Rt 계절요인 S^t

1 2 3 4

0.971, 0.918, 0.908 0.840, 0.839, 0.834 1.096, 1.075, 1.109 1.133, 1.156, 1.141

0.93 0.84 1.09 1.14

성분분해 예

연도 분기 판매량Yt 계절요인 St 계절요인 제거TtCtRt=Yt/St

1

1 2 3 4

4.8 4.1 6.0 6.5

0.93 0.84 1.09 1.14

5.16 4.88 5.50 5.70

2

1 2 3 4

5.8 5.2 6.8 7.4

0.93 0.84 1.09 1.14

6.24 6.19 6.24 6.49

3

1 2 3 4

6.0 5.6 7.5 7.8

0.93 0.84 1.09 1.14

6.45 6.67 6.88 6.84

4

1 2 3 4

6.3 5.9 8.0 8.4

0.93 0.84 1.09 1.14

6.77 7.02 7.34 7.37

성분분해 예

t Yt (계절요인 제거판매량) t *Yt t*t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

5.16 4.88 5.50 5.70 6.24 6.19 6.24 6.49 6.45 6.67 6.88 6.84 6.77 7.02 7.34 7.37

5.16 9.76 16.50 22.80 31.20 37.14 43.68 51.92 58.05 66.70 76.68 82.08 88.01 98.28 110.10 117.92

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256

총합계 136 914.93 1,496

성분분해 예

™ T

= a +bt

™ T

= 5.101 +0.148t

™ T

= 5.101 +0.148*17=7.617

TV 판매량에 관한 분기별 중기예측치

연도 분기 추세요인 계절요인 분기별 예측치

제 5차 연도

1 2 3 4

7,617 7,765 7,913 8,061

0.93 0.84 1.09 1.14

7,617* 0.93 7,765*0.84 7,913* 1.09 8,061* 1.14

지수평활 법(exponential smoothing)

• 지수평활 법의 특징

- 지수적으로 감소하는 가중치를 이용하여 최근의 자료

일수록 더 큰 비중을, 오래된 자료일수록 더 작은 비중을 두어 미래수요를 예측

- 지수평활 법에는 단순지수평활 법과 추세나 계절적 변동을 보정해 나가는 고차적인 지수평활 법이 있음.

- 단순지수평활 법은 이동평균법과 마찬가지로 시계열에 계절적 변동, 추세 및 순환요인이 크게 작용하지 않을 때 유용

단순지수평활 법의 예측 산식

-

F _t

α A _{t -1}

α

F _{t -1}

여기서

α

α

F _t

α A _{t -1}

α

F _{t -1}

=

α A _{t -1}

F _{t -1}

α F _{t -1}

=

F _{t -1}

α

A _{t -1}

F _{t -1}

신 예측치 = 구 예측치+

α

예 제

- 지난 달의 수요 예측치(

F _{t －1}

실제수요(

A _{t －1}

α

F _t

F _t

F _{t -1}

α

A _{t -1}

F _{t -1}

= 100 + 0.3(110-100)

= 103

단순지수평활 법의 예측 산식 전개

F _t

α A _{t -1}

α

α

A _{t -2}

α

α

² A _{t -3}

+ ··· +

α

α

^{t -2} A ₁

α

^{t -1} F ₁

- 이 식에서 각 가중치는 모든

α

α

α

α

α

α

α

²

α

α

^{t -2}

두어 수요를 예측하며,

α

• 평활상수

α

- 평활의 정도와 예측치와 실제치와의 차이에 반응하는 속도 결정

-

α

α

• 평활상수

α

- 제품의 수요특성과 관리자가 좋은 반응률을 나타낸다고 생각하는 값에 의해 결정

- 여러 개의

α

α

2. 인과형 모형

• 인과형 모형

- 인과형 모형에서는 수요를 종속변수로, 수요에 영향을 미치는 요인들을 독립변수로 놓고 양자의 관계를 여러 가지 모형으로 파악하여 수요를 예측

• 회귀분석(regression analysis) - 독립변수의 수

· 1개 → 단순회귀분석

· 2개 이상 → 다중회귀분석 - 종속변수와 독립변수의 관계

· 선형 → 선형회귀분석

· 비선형 → 비선형 회귀분석

단순선형회귀분석

• 회귀식

= a + bX

= 종속변수(수요)

Y

X

a

X

b

•

a

b

Yˆ

X b

Y

X X

n

Y X

Y X n

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i i

a b

− ∑

∑

− ∑

∑

∑

− ∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

=

1 1

1

2 1

2

1 1

1

) (

) )(

( Yˆ

Yˆ Yˆ

상관계수(correlation coefficient)

- 종속변수인 수요

Y

X

r

- 상관계수

r

r

r

- 상관계수의 부호가 양(＋)이면 두 변수

X

Y

X

Y

r

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ ∑ − ∑

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ ∑ − ∑

∑

− ∑

∑

=

=

=

=

=

=

= = _n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i i

Y Y

n X

X n

Y X

Y X n

r

1

2 1

2 1

2 1

2

1 1

1

) (

) (

) )(

(

결정계수(coefficient of determination)

- 상관계수

r

r

- 결정계수는 종속변수

Y

X

• 예; 화물차들의 총운행 거리와 타이어 사용량

월( i ) 타이어 사용량 총운행거리

(단위：만 ㎞) 1

2 3 4 5 6

10 15 12 8 9 18

24

32

27

18

20

43

회귀선의 추정을 위한 계산

i X

Y

X

Y

X

Y

1 2 3 4 5 6

24 32 27 18 20 43

10 15 12 8 9 18

240 480 324 144 180 774

576 1,024 729 324 400 1,849

100 225 144 64 81 324

합 계 164 72 2,142 4,902 938

79 . 0

41 . 0

6

) 164 ( 41 . 0 72

) 164 ( ) 902 , 4 ( 6

) 72 ( 164 )

142 , 2 ( 6

2

=

=

=

=

−

−

−

a b

-회귀방정식 = 0.79+0.41X -

a

b

Yˆ

3. 예측오차의 측정과 통제

• 예측오차의 유형

- 편의(偏倚：bias)：예측치가 실제치에 비해 전반적으로 높거나 낮음을 나타냄.

- 절대편차：예측치 와 실제 치와의 차이

™ 예측오차의 측정

• 평균오차(ME：mean error)

- 평균 오차란 매기간의 오차를 모두 더하여 기간수로 나눈 값임.

n

F A

n t

t

∑ t −

= 1 ( )

ME =

여기서

A _t

t

F _t

t

n

-예측모형이 수요를 일관되게 과대 또는 과소예측을 하지 않는다면(즉, 편의가 없다면) 양의 오차와 음의

오차가 상쇄되어 ME는 0에 근접.

-ME는 양의 오차와 음의 오차가 상쇄되기 때문에 ME

가 0에 가깝다고 하더라도 절대편차는 클 수가 있음.

평균자승오차(MSE：mean squared error)

-평균자승오차는 오차자승의 합을 기간수로 나눈 값.

n

F A

n t

t t

2

1

)

∑ ( −

MSE ⁼

=

-평균자승오차에서는 양의 오차와 음의 오차가 상쇄 되지는 않으나 개개의 오차의 제곱을 취하기 때문에

오차가 클수록 부여되는 가중치가 커지는 결과를 초래.

평균절대편차(MAD：mean absolute deviation)

- MAD는 오차의 절대치, 즉 절대편차를 모두 더한 다음 이를 기간수로 나눈 값임

n

F A

n t

t

∑ t −

=1 | |

MAD =

- MAD와 예측오차의 표준편차 σ와의 관계 1σ≒1.25MAD 또는 1MAD≒0.8σ

평균절대비율오차(MAPE：mean absolute percent error)

- 평균절대비율오차는 실제수요에 대한 상대오차의 비율을 모두 더한 다음 기간수로 나눈 값임

- 평균절대비율오차는 기간에 따라 수요의 크기가 크게 달라질 때 유용한 예측오차의 측정 방법임.

n n

t A t

F t A t

% 100 1

|

| ×

∑ =

−

예측오차의 통제

• 예측기법의 적합 여부 판단방법

- 실제치를 예측치와 시각적으로 비교 - 추적지표(TS：tracking signal) 이용

• 추적지표(TS)

- 추적 지표란 누적예측오차를 MAD로 나눈 값으로 측정단위는 MAD임.

MAD

) (

1

∑ −

= n

t A t F t

TS =

추적지표의 관리도

- TS가 합리적인 관리한계 내에서 정상적으로 움직 이면 예측치가 실제치를 잘 따라가고 있다고 판단 - TS가 관리한계를 벗어나거나 관리한계 내에서도

비정상적으로 움직이면 그 원인을 조사하여 조치를 취해야 함.

- 추적지표의 관리한계로는 보통 ±4(MAD)를 사용

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6

기 간

추적지표

중심선

관리하한선

관리상한선