제 5 절 러셀의 패러독스
러셀(Russell)이 1902년 유명한 패러독스(paradox)를 만들어 냄으로써, Cantor가 제안한 집합의 개념에 문제가 있음을 지적하였고, 이런 모순을 제 거하기 위하여 공리적 집합론(axiomatic set theory)에 대한 연구가 시작되 었다.
정 리 3.49 [러셀의 패러독스(Russell Paradox)]
모든 집합을 모아 놓은 집합이 존재한다고 하면 모순이 생긴다.
증명. 위 주장이 성립하지 않는다고 가정하자.
그러면 모든 집합을 모아놓은 집합 U가 존재한다.
이제 R = {S ∈ U | S /∈ S}인 집합을 생각하자.
그러면 다음과 같은 두 가지 사실이 성립한다.
(1) R /∈ R
(∵) 만일 R ∈ R이면
R의 정의에 의해 R /∈ R이다.
이것은 모순이다.
따라서 R /∈ R이다.
(2) R∈ R
(∵) 만일 R /∈ R이면
R의 정의에 의해 R ∈ R이다.
이것은 모순이다.
따라서 R ∈ R이다.
모든 집합을 모아놓은 집합 U가 존재하면 (1) 과 (2) 모두 성립한다. 이것은 모순이다. 따라서 모든 집합을 모아 놓은 집합 U는 존재하지 않는다.
제 6 절 공리적 집합론
앞 절에서 살펴본 바와 같이 Cantor의 집합의 정의는 “모든 집합들의 모 임”이라는 집합의 존재성을 부인하지 않기 때문에 모순을 유도한다.
이러한 모순을 없애기 위해 많은 수학자들이 노력을 한 결과 공리계의 도입이 필요하다는 것을 알게 되었다.
공리계(axiomatic system)란 모두가 알고 있다고 가정하는 몇 개의 무정 의 용어(undefined term)와 기본 규칙이 되는 몇 개의공리(axiom)로 이루 어진 수학적 체계를 말한다.
대표적인 공리적 집합론은 1908년 Zermelo가 제안한 공리계로서 1922년 이를 Skolem 과 Fraenkel이 개선한 ZF공리계와, 1925년 von Neumann이 제안하고 Bernays 와 G¨odel이 개선한 NBG 공리계가 있다.
NBG공리계에 대한 소개는 Dugundji의 ‘Topology’ 1장 8절이나, Hamil-
ton의 ‘Numbers, Sets and Axioms’의 4장 4절을 참조하기 바라며, 여기 서는 ZF공리계에 대해 소개하기로 한다.
ZF 공리계에서는 “집합”, “속한다”, “원소가 같다”라는 세 가지 개념을 무정의 용어로 받아들이고 몇 개의 공리를 가지고 집합론을 구성한다. 실제로 ZF공리계는 논리식으로 주어졌지만 이들 공리를 알기 쉬운 형태로 나타내면 아래와 같다.
(ZF1) 확장의 공리(axiom of extension): 두 집합의 원소가 모두 같으면 두 집합은 같다.
(ZF2) 공집합의 공리(axiom of the empty set): 원소를 하나도 가지지 않는 집합이 존재한다.
(ZF3) 쌍의 공리(axiom of pairing): A와 B가 집합이면 {A, B}도 집합이 다.
(ZF4) 합집합의 공리(axiom of union): F가 집합족이면 ∪F도 집합이다.
(ZF5) 멱의 공리(axiom of power): A가 집합이면 멱집합 P (A)도 집합이다.
(ZF6) 분류공리(axiom of specification): A가 집합이고 p(x)가 명제함수이 면 p(x)가 참이 되는 A의 원소 x를 모두 모아 놓은 집합
{x ∈ A | p(x)}가 존재한다.
(ZF7) 무한 공리(axiom of infinity): 무한집합이 존재한다.
(ZF8) 정칙성의 공리(axiom of regularity): 공집합이 아닌 집합 X는 X와 서로소인 원소를 포함한다.
(AC) 선택공리(axiom of choice): 공집합이 아닌 모든 집합은 선택함수를 가진다.
예를 들어 공집합의 공리(ZF2)에 의해 공집합 ϕ이 집합이라는 사실을 알 수 있다.
멱의 공리(ZF5)를 사용하면 공집합의 멱집합 P (ϕ) = {ϕ}가 집합이 된다.
멱의 공리(ZF5)를 사용하면 {ϕ}의 멱집합 {ϕ, {ϕ}}가 집합이 된다.
멱의 공리(ZF5)를 사용하면 {ϕ, {ϕ}}의 멱집합 {ϕ, {ϕ}, {{ϕ}}, {ϕ, {ϕ}}}가 집합이 된다.
분류공리(ZF6)를 사용하면 A = {ϕ, {ϕ}, {{ϕ}}, {ϕ, {ϕ}}}가 집합이므로 {x ∈ A | x ̸= ϕ} = {{ϕ}, {{ϕ}}, {ϕ, {ϕ}}}도 집합이 된다.
이와 같은 과정을 계속하면 원소가 0개인 집합, 1개인 집합, 2개인 집합, 3개인 집합, ... 등 모든 유한한 개수의 원소를 가지는 집합을 만들 수 있다.
또한 쌍의 공리(ZF3)를 사용하면 {ϕ}와 {ϕ}가 집합이므로 이를 쌍으로 하는 {{ϕ}, {ϕ}}가 집합이고 또 확장의 공리(ZF1)에 의해 {{ϕ}, {ϕ}} = {{ϕ}}이 된다. 그런데 이 집합은 원소가 1개이지만 {ϕ}와 다른 집합이다.
마찬가지로 원소가 2개이면서 {ϕ, {ϕ}}와 다른 집합을 구성할 수 있다. 즉, 원소의 개수가 같지만 다른 집합이 얼마든지 존재한다.
이와 같은 과정에 의해서 모든 유한한 개수의 원소를 가지는 다양한 집합 을 구성할 수 있지만 이와 같은 과정은 어디까지나 유한한 과정이다. 따라서 무한 집합을 구성할 수는 없다. 그래서 무한 집합의 존재를 보장해주는 것이 무한 공리(ZF7)이다.
무한 공리(ZF7)에 의해 하나의 무한 집합이 있으므로 (그것을 자연수의 집합이라 생각할 수 있다), 이를 사용해서 다른 종류의 무한 집합을 구성할 수 있다. 자연수의 집합에서 유리수의 집합을 구성하고, 유리수의 집합에서 실수 의 집합을 구성하고, ... 따라서 수학에서 다루는 모든 종류의 집합을 구성할 수 있다.
다시 말하면 집합론의 공리에서부터 수학의 모든 체계가 구성되는 것이다.
ZF 공리계에 의하면 Russell의 패러독스가 일어나지 않게 된다. 이를 보
장해 주는 것이 정칙성의 공리(ZF8)이다. 이를 보이면 다음과 같다.
A를 임의의 집합이라 하자. 쌍의 공리를 사용하면 {A, A}가 집합이 되 고 확장의 공리에 의해 {A}는 집합이다. 이제 집합 {A}를 생각하면, 공리 (ZF8)에 의해
∃B ∈ {A}, B ∩ {A} = ϕ 가 되고, 따라서
∃B = A, B ∩ {A} = ϕ
이다. 즉 A ∩ {A} = ϕ이다. 그러므로 A /∈ A가 된다. 따라서 어떤 집합도 자기 자신을 원소로 가지지 않게 된다.
선택공리(AC)를 이해하기 위해서는 3장과 5장에서 다루는 집합족과 함수 에 대한 이해가 필요하므로 부록에 간단히 소개하였다.
