Chapter 7 외부 강제유동
본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고 하였습니다.
참고문헌 : Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)" , 4th ed., McGraw-Hill Korea, 2011
<학습목표>
1. 내부유동과 외부유동의 차이를 구별한다.
2. 마찰항력과 압력항력을 직관적으로 이해하고 외부유동에서 평균항력과 대류계수를 평가한다.
3. 층류와 난류 두 가지 경우에서 평판유동과 관련된 항력과 열전달을 평 가한다.
4. 원통과 구를 지나는 유동에서 가해지는 항력과 평균 열전달계수 계산한 다.
5. 일렬과 엇갈린 배열을 갖는 관다발을 가로지르는 유동에서 압력차와 평
균 열전달계수를 결정한다.
7.1 외부유동에서 항력과 열전달
• 자유흐름속도 : 물체로부터 충분히 먼(경계층 밖에) 유체의 속도
• 상류속도(접근속도, V) : 물체의 먼 앞으로부터 접근하는 유체의 속도
※ 평판과 같은 얇은 물체에 대해서는 정확, 큰 원통 같은 뭉뚝한 물체에 대해서는 근사
마찰과 압력항력
일반적으로 표면마찰(벽전단)과 압력은 항력과 양력에 기여
- 유동방향과 평행하게 놓인 얇은 평판의 항력은 벽 전단응력에만 의존하며 압력과 무관하다(그림 7-3(a)).
- 평판이 유동방향과 직각으로 놓여있을 때, 항력은 압력에만 의존하고
벽전단응력과 무관하다(그림 7-3(b)).
이 경우 전단응력은 유동에 직각인 방향으로만 작용한다.
• 항력
: 유동하는 유체가 유동방향으로 물체에 작용하는 순힘항력 는 유체의 밀도
, 상류속도 V, 물체의 크기, 형상, 물체가 놓인 방향등에 의존하는데 물체의 항력특성은 무차원 항력계수 로 다음과 같이 정의된다.Drag Coefficient:
(7-1)
(
: 항력,
:유체의 밀도,
: 상류속도)• 마찰항력계수와 압력항력계수가 알려져 있을 때 총 항력계수
(7-2)
(표면 마찰항력) : 벽전단응력
에 기인하는 항력
(압력항력 또는 형상항력) : 압력 P에 기인하는 항력마찰항력은 벽전단응력의 유체유동방향 성분이므로 마찰 항력은 벽전단응력 의 크기와 물체가 놓여 있는 방향에 의존한다. 마찰 항력은 표면에서의 총 전단력과 같기 때문에 마찰 항력은 유동에 직각으로 놓여 있는 표면에 대해 0이고 유동에 평행한 표면에 대해 최대이 다. 그러므로 평판에 평행한 유동에서의 항력계수는 마찰항력계수(마찰계수)와 같다. 즉,
Flat plate:
(7-3)⟶ 평균 마찰계수 가 알려진 경우, 표면 전체에서의 항력(마찰력)은 (7-1)식에 의해 결정 된다. 이 경우, A는 유체유동에 접하는 판의 표면면적이다.
→ 유체가 물체로부터 박리될 때, 물체와 유체 흐름 사이에 박리된 영역이 만들어 진다.
박리영역 : 물체 뒤의 압력이 낮은 영역, 박리면적이 커질수록 압력항력도 증가
후류(wake) : 물체로 인해 속도가 변화되는, 물체 뒤의 영역
※ 물체의 위와 아래로부터 흘러온 두 개의 유동이 서로 합쳐지면 박리영역이 끝난다.
→ 박리영역은 닫힌 체적, 후류는 후류영역에서 속도를 회복하여 속도분포가 다시 거의 균일하게 될 때까지 물체 뒷부분으로 계속 발달
열전달
항력에 영향을 주는 현상은 열전달에도 영향을 주고 Nusselt수에도 영향을 준다.
• 경계층 방정식의 무차원화에 의한 국소 Nusselt수
∗ Pr
(7-4a)• 경계층 방정식의 무차원화에 의한 평균 Nusselt수
Pr
(7-4b)• 열전달 실험으로 도출된 데이터를 멱승의 관계로 나타낸 식
Pr
(7-5)(여기서, m,n은 0~1의 지수상수, C는 형상에 의존하는값)
열경계층에서 유체가 표면온도
로부터 경계의 바깥쪽 끝 ∞
까지 변화할 때 유체 물 성치 또한 온도, 위치에 따라 변화하기 때문에 온도에 따른 물성치 변화를 설명하기 위해, 유체의 물성치는 막온도(
)에 의해 평가된다.
∞
(7-6)
( : 표면온도,
∞: 경계의 바깥쪽 끝 온도)※ 이때 유체 물성치는 전체의 유동에서 그 값이 일정하다고 가정
유동 방향에 따라 속도경계층이 변화하므로 국소 항력계수와 국소 대류계수는 표면에 따라 변화한다. 전체 표면에서 항력과 열전달률을 구하려면 평균 마찰
계수와 평균 대류계수를 사용해 결정할 수 있다.
• 국소 마찰계수와 국소 대류계수에 대한 관계식이 알려져 있을 때, 전체표면에 대한 평균 마찰계수와 평균 대류계수
- 평균 마찰계수
- 평균 대류계수
• 평균 항력계수와 평균 대류계수가 알려져 있을 때 등온표면과 유체사이의 열전달률
∞
(7-9)(
:표면적)7.2 평판에 평행한 유동
그림 7-6에서 속도경계층에서 유동은 처음에는 층류이지만, 평판이 충분히 길다면 Reynolds 수가 천이의 임계값에 이르는 거리 에서 유동이 난류가 될 것이다.
평판의 전연으로부터 거리 x에서의 Reynolds 수는 다음과 같다.
(7-10)
마찰계수
평판 층류유동에 대하여 위치 x에서의 경계층 두께와 국소 마찰계수는
and
× (7-12a,b)
and
× ≤
≤ (7-12a,b)위 식들을 식 7-7에 대입하고 적분을 수행함으로써 평판전체에서의 평균 마찰계수가 결정 된다.
× (7-14)
× ≤
≤ (7-15)여기서 첫 번째 관계식은 유동이 전체 평판에서 층류일 때 전체 평판의 평균 마찰계수를 나타낸다. 두 번째 관계식은 유동이 전체 평판에서 난류이거나 평판의 층류영역이 난류영역 에 비해 극히 작을 때 평균 마찰계수를 말한다.
위식은 천이영역에서 다음과 같이 나타난다.
× ≤
≤ (7-17)열전달계수
평판 위의 층류유동에서 위치 x에서의 국소 Nusselt 수
P rP r
× (7-19)
P r ≤ P r ≤ × ≤
(7-20)
그림 7-9는 단열 평판에 따른 경계층 두께의 변화와 마찰계수 및 열전달계수의 변화를 나타 난다. 여기서 국소 열전달계수는 층류에서보다 난류에서 더 높다.
전체 평판에 대한 평균 Nusselt 수는
P rP r
× (7-21)
P r ≤ P r ≤ × ≤
(7-22)
첫 번째 관계식은 층류일 때, 두 번째 관계식은 난류이거나 층류영역이 난류영역에 비해 상대적으로 극히 작을 때 전체 평판에 대한 평균 열전달계수를 제공한다.
천이영역에서 위식은 다음과 같다.
P r ≤ P r ≤ × ≤
(7-24)
가열되지 않은 시작길이를 지닌 평판
실제의 많은 경우에서 그림 7-12에서처럼 가열되지 않은 길이 ξ를 가진 표면을 고려하게 되는데 0 < x < ξ까지는 열전달이 없다. 이런 경우에 속도경계층은 전연(x=0)에서 발달되기 시작하고 열경계층은 가열이 시작되는 위치(x=ξ) 부터 발달되기 시작한다.
가열되는 부분이 일정한 온도로 유지되는 평판에서(x >
ξ일 때
로 일정), x > ξ일 때 층류와 난류에서 국소 Nusselt 수는 다음과 같다.
for
P r(7-27)
for
P r(7-28)
평균 대류계수는 Thomas(1977)에 의해 수치 적분의 결과로 다음과 같이 얻어진다.
(7-29)
(7-30)
첫 번째 식은 유동이 평판 전체에 걸쳐 층류일 때, 두 번째 관계식은 유동이 전체 평판에 서 난류일 경우 평균 대류계수를 제공한다.
균일한 열 플럭스
• 평판에 균일한 온도 대신에 균일한 열 플럭스가 주어질 때 국소 Nusselt 수
P r P r
× (7-31)
P r ≤ P r ≤ × ≤
(7-32)• 열 유속 가 주어졌을 때 평판에서의 열전달률
(7-33)• 위치 x에서의 표면온도
∞ →
∞
7-34)
(
: 열전달 면적)7.3 원통과 구를 가로지르는 유동
원형 단면의 실린더나 구의 바깥지름인 D를 특성길이로 정할 경우,
(
≤ ×
일때 층류, ≥ ×
일 때 난류)원통을 가로지르는 흐름은 그림과 같이 복잡한 유동형태를 나타낸다. 원통에 접근하는 유체는 갈라져 흐르며, 원통 주위를 감싸는 경 계층을 형성하면서 원통 주위를 둘러 싼다.
중간 면을 흐르는 유체입자는 정체점에서 원통에 부딪히고, 그 지점에서 유체는 완전히 정지하게되어 압력은 증가하게 될 것이다.
유동 방향에 따라 유체의 속도가 증가하는 동안 압력은 감소한다.
• 매끄러운 실린더나 구 에서의 항력계수
☞매끄러운 실린더나 구에서의 항력계수는 레이놀즈의 함수이다(
)• ≤ 일 때, 느린 유동. Reynolds 수 증가에 따라 항력계수 감소
•
근처에서, 물체의 뒷부분에서 박리 발생.
≃ 일 때 와류의 교대 발생 Reynolds 수가 약
까지 증가함에 따라 박리영역 증가Reynolds 수가 약
인 영역에서 Reynolds 수 증가에 따라 항력계수 감소 • 중간영역인
에서, 항력계수는 비료적 일정하게 유지•
(일반적으로 약 × ) 의 영역에서 항력계수 급감
(7-1) 표면 거칠기 효과
⟶표면거칠기가 유동을 난류로 만들 게 되면 물체 뒷부분에서 유체가 서 로 접근하게 되고, 후류부분이 좁아 지고, 압력항력이 상당히 감소하게 된다.
이것은 Reynolds 수의 일정 영역에 서 같은 속도에 대하여 거친 표면의 원통이나 구가 동일한 크기의 매끄 러운 원통이나 구에 비해 훨씬 더 작은 항력계수와 항력을 갖는다는 결과를 의미한다.
ex)
움푹 패인 골프공은 매끈한 골프공보다 더 먼 거리를 날아간다.• 항력계수가 알려져 있을 경우, 가로지르는 유동 속에 놓여있는 물체에 작용하는 항력
(길이가 L인 원통에 대하여
, 구에 대하여
)열전달계수
일반적으로 원통과 구를 지나는 흐름에서는 해석적으로 연구하기 어려운 유동박리가 발생 하기 때문에 그러한 유동은 실험적이나 수치해석적으로 연구되었고, 열전달계수에 대한 많 은 경험적 관계식이 개발되었다.
• Churchill과 Bernstein에 의해 제안된 식 Ν cyl=
hD
k
= 0.3 + 0.62R e
1/2P r 1/3[ 1 + 0.4/ P r 2/3] 1/4 [ 1 + (
R e
28200 ) 5/8] 4/5 (7-35) 이 관계식은 RePr＞0.2 인 경우의 모든 유효한 데이터를 서로 연관시켰다는 점에서 매우 포괄적인 식이다.
• Whitaker의 식
Nu
sph=h D
k
= 2 + [ 0 .4R e
1/ 2+ 0. 06R e
2 /3] P r 0 .4 ( μ ∞ μ s )1 / 4
이 식은 ≤ ≤ × 과 ≤ P r ≤ 에서 사용 가능하다.
• 원통을 지나는 흐름에 대한 평균 Nusselt 수
Nu
cyl=hD
k
=C R e
m P r n (7-37)여기서
이고, 실험적으로 결정되는 상수 C와 m의 값이 원형 뿐만 아니라 다양한
비원형 실린더에 대해서도 표 7-1에 나타나 있다.
<표 7-1>
m ax =
V
=
(7-38)
m ax =
V (7-41)
m ax =
V (7-40)
7-4 관다발을 가로지르는 유동
어떤 유체가 관 외부를 직각방향으로 흐르는 동안 다른 유체가 관 내부를 흐르게 될 경우
ⅰ) 유동방향에 일렬로 배열된 경우
관 사이의 유동 면적이 가장 작은 곳에서 최대속도 발생
ρV
=ρ
m ax
→ V
=
m ax(
-D)
ⅱ) 유동방향에 엇갈리게 배열된 경우
(
: 가로방향 간격 ,
: 세로방향 간격,
: 관 중심들 사이의 대각선 길이)일렬로 배열된 경우와 같은 곳에서 최대속도 발생
만약 2
<
일 경우 대각 단면에서 최대속도 발생• 관다발 위를 지나는 직교류에 대한 평균 Nu수 =
= C
P r(Pr/P r)(7-42)
(상수 C, m, n의 값은 Reynolds 수에 의존한다)
• 16개 또는 그 이상의 열을 가진 관다발의 경우 평균 Nu수
( , P r ,
× )• 16개보다 적은 관 열의 개수
= F
(7-44)
(F = 보정계수)
• 보정계수 F (
일 경우, 보정계수는 Reynolds 수에 무관)• 내부유동에 대한 적절한 온도차이, 대수평균 온도차 △
△
= ln
= ln ∆
∆
∆
∆
(7-45)
• 유체의 출구온도
=
exp
(7-45)
(
, =
)• 열전달률
= hA△
= (T-T)(7-47)
∆
∆
(7-49) 압력강하(∆
) : 관다발의 입구와 출구에서의 압력 차이를 나타내는 물리량 관 주위를 흐르는 유동에 관다발이 제공하는 저항의 척도∆
m ax(7-48)
( 는 마찰계수, 는 보정계수)
⟶ 최대속도
m ax를 바탕으로 한 Reynolds 수펌프동력 압력강하가 알려져 있을 때 유동 저항을 극복하기 위해 필요
(
: 체적흐름률) (
: 관다발을 통과하는 유체의 질량흐름률)예제 7-1 ) 평판 위의 뜨거운 기름의 흐름
60℃의 엔진오일이 2m/s의 속도로 20℃이며 5m인 평판 위를 흐를 때, 단위 폭당 전체 판의 항력과 열전달률
가정 ① 유동은 정상이고 비압축성이다.
② 임계 Reynolds 수는 Re= 5X10이다.
물성치
T =
∞ ℃ 의 막온도에서의 엔진오일 = 876kg/m, Pr = 2962, k = 0.1444W/m· K, = 2.485X10 m/s
풀이 Re =
Re>Re이므로 층류유동이다.
= 1.33Re = 1.33 X (4.024X10) = 0.00663압력항력 0이므로 C=
F =
= 0.00663(5X1m)
·
= 58.1N
이 힘은 약 6kg의 질량의 무게에 해당한다. 그러므로 판이 움직이는 것을 방지하기 위하여 크기는 같으나 반대방향으로 힘을 가하는 사람은 6kg의 물체를 떨어지지 않도록 잡기 위해 필요한 힘만큼이나 많은 힘을 쓰고 있다는 것을 알 수 있다.
유사하게, Nusselt 수는 평판의 층류유동 관계식을 사용하여 구해진다.
Nu =
= 0.664RePr = 0.664X(4.024X10)X2962 = 1913
=
=
·
= 55.25W/m· K
=
∞
= (55.25W/m· K)(5X1m)(60-20)℃ = 11050W
예제 7.2 ) 자동차 전면유리에서 성에 제거
내부온도가 25℃이고 외부온도 ℃ 일 때,
높이h=0.5m, 두께t=5mm,
·
인 전면유리의 온도를 0℃로 만들기 위한 공 기의 대류열절달계수는?가정 ① 정상작동 상태이다.
② 유리를 통과하는 열전달은 1차원이다.
③ 열물성치들은 일정하다.
④ 복사에 의한 열전달은 무시한다.
⑤ 바깥 공기의 압력은 1atm이다.
⑥ 임계 Reynolds 수는
× 이다.물성치
℃ ℃ ℃ 의 막온도에서
·
, × , P r 이다.풀이
유리 바깥 표면 L=0.5m에서 Reynolds 수는 아래와 같다.
×
×
×
사이 유동이기 때문에 층류와 난류가 병행되는 유동이다. ≤ P r ≤ 이므로 식 7-24를 사용하여 Nusselt 수를 계산하면,
P r ×
·
·
에너지 평형으로부터 유리를 통과하는 열전달은 아래와 같다.
∞
∞ 유리의 바깥 표면온도(
)를 0℃로 만들기 위한 내부 공기의 대류열전달계수는
∞
∞
℃
℃
·
·
·
예제 7-3 ) 강제대류에 의한 플라스틱판의 냉각
플라스틱 공장의 성형 부분에서 9
min
속도로 넓이가 1.2m이고 두께가 0.1cm인 플라스 틱판을 연속적으로 사출한다. 주위의 공기에 노출되었을 때 플라스틱판의 온도는 95℃이다.그리고 그림 7-15와 같이 플라스틱판에서 길이가 0.6m인 부분이 판의 운동방향에 직각방향 으로 판의 양쪽 면 위를 3
의 속도로 흐르는 25℃인 공기 유동 하에 놓여있다. (a) 강제 대류와 복사에 의한 플라스틱판에서 공기로의 열전달률을 구하라. (b) 냉각부분의 끝에서 플 라스틱판의 온도를 구하라. 밀도, 비열, 그리고 플라스틱판의 방사율은 각각 =1200
,=1.7
·℃,
=0.9로 계산한다.문제정리 강제대류와 복사에 의한 열전달률과 플라스틱판 끝의 온도를 구하는 문제이다.
물성치 막온도
=
∞ ℃
1atm에서 공기의 물성치
·℃, P r , ×
가정 ① 정상작동조건
② 임계 Reynolds 수는
×
이다.③ 공기는 이상기체이다.
④ 국소 대기압은 1atm이다.
⑤ 주위 표면온도는 작업장 공기의 온도와 같다.
풀이 (a)
플라스틱판이 길이 0.6m인 냉각부분을 지날 때 플라스틱판의 온도하강 크기를 모르므로 플라스틱판의 온도가 95℃로 균일하다 가정
L=1.2m일 때 플라스틱판을 지나는 공기유동의 끝에서 Reynolds수는
×
×
임계 Reynolds 수보다 작으므로 전체 판에 대해서 층류유동으로 생각할 수 있다. 그리고 평판에 대한 층류유동 관계식을 이용해서 Nu 수는 결정된다.
Pr
× ×
×
이때,
·℃
·℃
그리고
∞
·℃
℃
×
·
그러므로 대류와 복사가 결합된 플라스틱판의 냉각률은
(b)
냉각부분의 끝에서 플라스틱판의 온도를 구하기 위해서 우리는 단위 시간당의 플라스틱판의 질량(즉 질량유동률)을 알아야 한다. 그것은 다음과 같이 결정된다.
×
그러면, 플라스틱판의 냉각되는 부분에 대한 에너지 평형으로부터
→
는 플라스틱판에 대해 음의 값(열손실)이고 이를 대입하면, 냉각되는 부분을 빠져 나올 때 플라스틱판의 온도는 다음과 같이 구해진다.
℃
·℃
℃
예제 7-4 ) 강 속에 있는 파이프에 작용하는 항력
외경이 2.2cm인 파이프가 강을 가로질러 30m의 구간이 물에 와전히 잠겨있다. 물의 평균 유속은 4m/s이고 물의 온도는 15℃이다. 강물이 파이프에 작용하는 항력을 구하여라.
문제요약 강물이 파이프를 흐르고 있을 때 파이프에 작용하는 항력을 구하라.
가정 ① 물의 유동은 정상상태이다.
② 물의 유동방향은 파이프의 직각이다.
③ 난류를 고려하지 않는다.
물성치 외경D=2.2cm= 0.022m , L= 30m
V(유속)= 4m/s , T= 15℃ , ρ= 999.1kg/㎥
μ= 1.138 × 10⁽⁻³⁾kg/m⦁s
풀이
예제 7-5 ) 바람 부는 상황에서 증기 파이프로부터의 열 손실
외부 표면의 온도가 110℃이고, 직경이 10cm 인 긴 파이프가 바람막이가 없는 열린 공간 에 노출되어 있다. 압력이 1atm이고, 온도가 10℃인 공기가 파이프를 가로질러 8m/s의 속 도로 불 때, 단위길이 당 파이프로부터 열 손실률을 결정하라.
문제요약 파이프의 표면으로 공기가 흐를 때 단위길이 당 파이프로부터의 열 손실률을 결정 하라.
가정 ① 정상상태이다.
② 복사효과는 무시한다.
③ 공기는 이상기체이다.
물성치 =110℃, 직경(D)= 10cm= 0.1m , p= 1atm, T=10℃, 바람의 속도= 8m/s, 막온도
k=0.02808 W/m⦁K , Pr= 0.7202 , ν = 1.896 × 10⁽⁻⁵⁾ ㎥/s 풀이
그리고
단위길이 당 파이프로 부터의 열전달률
예제 7-6 ) 강제된 공기이동에 의한 금속공의 냉각
직경이 25cm인 스테인리스 금속공이 300℃의 균일한 온도의 오븐으로부터 꺼내졌다. 그 다음은, 공근 속도가 3m/s인 1atm, 25℃의 공기의 흐름에 노출되어져 있다. 결국 공의 표면 온도는 200℃로 떨어졌다. 이 냉각과정 동안 대류열전달계수를 결정하고, 위의 냉각과정이 일어나는 시간을 구하라.
문제요약 오븐에 있던 금속공을 공기에 내어놨을 때의 냉각 과정동안 평균 열전달계수와 냉 각과정의 시간을 구하라.
가정 ① 정상작동이다.
② 복사는 무시한다.
③ 공기는 이상기체이다.
④ 공의 표면온도는 항상 일정하다.
⑤ 냉각과정 동안 변하는 표면온도는 평균온도로 하여 열전달계수를 정한다.
물성치 직경(D)=25cm 금속공(ρ=8055kg/㎥, Cp=480J/kg⦁℃)
T(오븐)=300℃, 공기의 흐름(V=3/m/s, P=1atm, T=25℃), Ts(공의 표면)=200℃
μs=μavg,250℃=2.76×10⁽⁻⁵⁾kg/m⦁s
k=0.02551W/m⦁K , ν=1.562× 10⁽⁻⁵⁾ ㎡/s ,μ=1.849 ×10⁽⁻⁵⁾kg/m⦁s, Pr=0.7296 풀이
위의 Nu와 Re를 이용해
Newton의 냉각법칙을 이용하면
300℃에서 200℃로 냉각 시 에너지 변화량은
예제 7-7 ) 지열에 의해 가열되어 관다발 안을 흐르는 물로 공기를 예열하기
산업시설에서 공기는 오에 들어가기 전에 덕트 내부에 위치한 관다발 관속을 흐르는 12 0℃의 물로 예열된다. 공기는 1기압, 20℃ 상태에서 평균속도는 4.5m/s로 덕트에 유입되어 관다발과 직교하여 흐른다. 관의 외부직경은 1.5cm이고 관은 일렬로 배열되어 있고, 가로방 향 간격과 세로방향 간격은 5cm이다. 그림과 같이 유동방향으로 6개의 열이 있는데, 각 열 마다 10관등이 있다. 관다발의 단위길이 당 열전달률과 관다발 입출구 사이에서의 압력강하 를 구하라.
문제요약 관다발의 단위길이 당 열전달률과 관다발 입출구 사이의 압력강하를 구하라.
가정 ① 정상상태이다.
② 관표면 온도는 물이 지열에 의해 가열된 온도와 동일
물성치 [60℃(가정된 평균온도), 1atm]
k=0.02808W/m⦁K , ρ= 1.059kg/㎥ , Cp=1.007kJ/kg⦁
K
Pr=0.702, μ=2.008× 10⁽⁻⁵⁾ kg/m⦁s Prs=Pr120℃=0.7073
[20℃(입구온도)]
ρ1=1.204kg/㎥
풀이)
위 값들로 F=0.945가 도출되어 다음을 계산하면
위의 값들로 출구온도, 대수평균 온도차, 열전달률을 계산한다.
다른 방법으로 열전달률을 계산하면
이결과 압력강하는
