Chapter 7. 중요한 확률분포

7. 2

이항 분포

 Bernoulli trial



실험의 결과가 두 가지로 나오는 시행 (확률적 실험)



Ex)

•

동전을 던진다.

•

시험에 붙느냐 떨어지느냐

•

애 낳기

일반적으로 두 결과를 성공

(S, 바람직한 결과)

(F, 바람직하지 못한 결과)

시행은 관심 없다)

(그렇지 않은

Honggie Kim

이항 실험

 Binomial experiment

(이항 실험)



⑴ 번의 독립 시행



⑵ 매 시행의 결과는 성공 또는 실패



⑶ 성공 확률 p는 매 시행에서 같다

 성공 , 실패 ,

 확률 변수 를 이항 실험에서의 성공 횟수라 하면 의 가능한 값들은

n 번의 독립 베르누이 시행

p

P

( 　　

　 )

( 　　

　 )

1

} , ,

2 , 1 , 0

{ 　 　　　n

n

X X

이항 실험

동전을 4번 던지는 실험 p  P

(H )

(T )





TTTT T

HTTT HTTH HTHT HTHH HHTT HHTH

HHHT HHHH S

"

, , , , ,

, , ,





2 3 2 3 3 4





3 2 2

2 2 3

2 2 3 3 4

pq q p

q p

q p

q p

q p

q p

p ₃

p

q p²

q p²

pq2

p2

pq

p





q

prob

= 앞면수

Honggie Kim

동전을 4번 던지는 확률적 실험

 의 확률분포

) (

)

(

p  

x

4 3 2 1 0

4 3

2 2

3 4

4 6 4

p

q p

q p pq q

0 4 3

2 2

3 4 0

4 4 3 4 2 4 1 4 0 4

q p

q p

q p

pq q p



 







 







 







 







 





x xq x p

x

p  ^



 



4 ⁴ )

(

4 , ,

1 , 0

, x  

X

확 률 변 수

 번의 독립 시행에서 번 성공할 확률

위의 확률 함수를 갖는 확률 분포를 이항분포라

하고, 확률변수 가 를 확률함수로 가지면 이항확률변수라 한다. 이때 로 쓴다

( 이 1인 이항분포를 베르누이 분포라 한다)

n x













x n

F F

x S S



n x

q x p

n _{x n x}

, ,

1 , 0

,  



 



 _

) ,

; (

, , 1 , 0 ,

) (

p n x b

n x

q x p

x n X

P ^{x n x}



 



 



 

 ^ 

x n xq p ^

: 　



 



 x

n 가지

확률

X b(x:n, p)

) , (

~

n

Honggie Kim

이 항 분 포

1 )

( 1 ,





 



 















p q

b p

a



 



 



 ⁿ 

x

x n xb x a

n

0

n n

n

n ab b

n b n

n a

a  



 





 

 



 





 ^{1 1}

1

1 

b n

a ) ( 

2

2 2ab b

a  

 )2

(

. a b Note 

라 하면

이항전개

확률 예제

 Ex) 5지 선다형 문제 6개를 모두 짐작으로 답 했을 때, 4개 이상 맞출 확률은?

017 . 0

0 002 .

0 015 .

0 2

. 0 ,

6









 p

n 01696

. 0

000064 .

0 001536 .

0 01536 .

0









6 1

5 2

4 0.8 6 0.2 0.8 0.2 2

. 0

15     













26 . 0

0 6

1 5

2

4 0.2 0.8

6 8 6

. 0 2 . 5 0 8 6

. 0 2 . 4 0

6 

 







 







 



 

) 2 . 0 , 6 : 6 ( )

2 . 0 , 6 : 5 ( )

2 . 0 , 6 : 4 ( )

4

(X b b b

P    

) 2 . 0 ,

6 (

~ b n  p  X

※또한 표 A.2로부터

Honggie Kim

평균과 분산

이항분포의 평균과 분산

x n x n

x

q x p

n x

x n ^

  





)!

(

!

!

0

x n x n

x

q x p

x n ^





 







0







 ⁿ

x

p n x b x X

E

0

) , : ( )



(

) , (

~

 np



 



 



1 ) (

' '

0

'

'









 



 



q n

p

y n y n

y

q y p

np n













 

 ¹

0

) 1 (

]!

) 1 [(

!

)!

1

n (

y

y n yq y p

n y

np n x 1 y ^{로 치환}



 ⁿ p p^x q ^{n x}

x n

x

n

n _{1 ( 1) ( 1)}

)]!

1 (

) 1 [(

)!

1 (

)!

1 (

X=1

평균과 분산

 Ex) 5지 선다형 200문제를 모두 짐작으로 답할 때 맞는 문제수의 기대값은? 표준편차는?

657 .

5 32

8 . 0 2

. 0

200



 npq



40 2

. 0 200

)

(X  np    E

) 2 . 0 ,

200 (

~

npq

npq 

 

²

^,

비슷한 과정을 통해

Honggie Kim

7. 3 포아송 분포

(Poisson distribution)

포아송 분포



일반적으로 주어진 시간 (또는 정해진 영역) 내에서 발생하는 사건의 수 (이산 확률 변수) 가 다음의 세 조건을 만족할 때 포아송 확률 변수라 한다

•

주어진 시간

내에서 일어나는 사건의 수는 중복되지 않는 다른 시간

내에서 일어나는 사건의 수와 독립

•

짧은 시간

내에서 사건이 한번 발생할 확률은 시간의 길이에 비례

•

짧은 시간

내에서 사건이 두 번 이상 발생할 확률은 매우 작아 무시 할 수 있다

X

사건의 임의성

사건의 회귀성

포아송 분포의 예

포아송 분포를 따르는 예



지갑 잃어 버리기 (1년간 잃어버린 횟수)



교통 사고 수



우주공간의 일정 부분 (1만 광년 ) 내의 항성 수

포아송 분포를 따르지 않는 예



밥 먹기 (하루에 먹은 밥 공기 수)

3

Honggie Kim

확 률 함 수

포아송 확률 변수가 갖는 분포를 포아송 분포라 하며 확률 함수는

 , 2 , 1 ,

! 0 )

: ( )

(

x e p x

X P

x

 ^

 7318 .

 2 e



주어진 시간(또는 영역) 내에서

발생하는 사건의 평균값

확률 예제

Ex) A군은 1년에 평균 3번 지갑을 분실한다.

내년에 지갑을 분실 할 횟수를 라 하면,

~Poisson( =3)이다. 그러므로,

내년에 지갑을 2번 이하로 잃어버릴 확률은

X



, 2 , 1 , 0

! , ) 3

3 :

( )

(

3 







 ^ x

x x e

p x

X P

x

 　

X

4232 .

0 )

5 . 8 ( 2 )

3 9 1

(

3    

 e^ e^

! 2

3

! 1

3

! 0

3

3 e e

e^  ^  ^



) 3 : 2 ( )

3 : 1 ( )

3 : 0 ( )

2

(

P    

4232 .

0 2240

. 0 1494

. 0 0498

.

0

※또한 표 A. 1로부터

Honggie Kim

평균과 분산

포아송 분포의 평균







 











0

0

( : ) !

) (

x

x

x x

x e x

xp X

E  



 

 ^ 









0 !

y

y

y e

) !

! 3

! 1 2

( 1

! 3

! 1 2

0 3

2 3 2

e x e

e

x

x





 



 





































 

. 

Note

y

x 1 ^{로 치환}





( 1 )!

1

x e ^x

 ^

X=1

평균과 분산

포아송 분포의 분산

)]

( ) [

( ))

1 (

(

)]

( ) [

(

)]

( ) [

(

2 2 2

2 2 2

X X E

E X

X E

X X E

X X E

X X E

E



















 





 







0 ( 1) !

)) 1 (

(

x

x

x x e

x X

X

E ^ 





 

 













 ^{2 2 2}

²



y

x  2  ^{로 치환}



 ( 2)!

2 2

x e ^x

 ^

X=2

Honggie Kim

이항변수와 포아송변수의 근사성

Ex) A군은 1년에 평균 3번 지갑을 분실한다.

내년에 지갑을 분실 할 횟수를 라 하면,

~Poisson( =3)이다

위의 A군이 내년에 1년동안 지갑을 잃어버린 날을 라 하면

X



X

Y

) 365 /

3 ,

365 (

~ b n  p  Y

시행횟수

특정한 날에 지갑을 분실한 확률

X

Y 

단, 하루에 두번 분실 확률이 무시할 만큼 작음

이항분포의 포아송 근사

 이 크고 가 작은 이항 확률 변수는 인 포아송 확률 변수로 근사 가능

 Ex) 어떤 특정 암에 걸려있을 확률이 0.002이다.

1000명중 암 환자가 3명 이하일 확률은?

 np

n ^p



) 002 .

0 ,

1000 (

~ b n  p  X

“1000명에 2명 꼴로 암”

8571 .

0

1804 .

0 2707

. 0 2707

. 0 1353

. 0

) 2 : 3 ( )

2 : 2 ( )

2 : 1 ( )

2 : 0 ( )

3 (



















 p p p p

X P

) 2 (  

 Poisson  np

Honggie Kim

이항분포의 포아송 근사

 이항분포에서 이면

즉, 평균



  np  np(1 p)  ²

 0 p

7. 4 음이항 분포 및 기하 분포

성공확률 인 베르누이 시행을 독립적으로 성공때까지 시행하는 실험

 를 시행 횟수라 하면

p S

P( ) 

X

} 3 )

1 (

2 )

1 (

1 {

2







p p

FFS

p p

FS

p S

S







q x p

x p x p

x X

P

1

, 2 , 1 ) ,

1

( 1

) (

 



 







이와 같은 확률함수를 갖는 분포를

기하분포

(Geometric `distribution)

라 한다

)

(

~

차사순 할머니 이야기

Honggie Kim

기하분포의 확률함수

) :

( )

(X x q ¹ p g x p P   ^x 

1 1 1

) 1

( ²

1

1 1

1

 



















 





p q

q q

p q

p p

q

x

x x

x 

기하분포의 확률함수

: ,

, ,

:

2 2



 p

q qp p

p q qp

p   

.

Note

^기하급수

기하수열

확률 예제

 Ex) 어느 사람이 운전 면허 시험에 합격할 확률은 0.6이다. 매 시험 후 실력에 변화가 없다고 가정하고 5번 만에 붙을 확률은?

 X

는 응시횟수,

096 .

0 6

. 0 ) 4 . 0 ( )

5

(X   q⁴ p  ⁴  P

Honggie Kim

k번째 성공할 때까지 계속하는 실험

베르누이 시행을 k번째 성공할 때까지 계속하는 실험





















SFS SSFF

FS SSS

S SFS

S FSS

S SS

S 







k k x

k k k k

p q

qp qp qp

p



prob







x k k k k

1 1 1







(시행횟수) X

무한집합

k번째 성공할 때까지 계속하는 실험

 x번째 시행에서 번째 성공이 이루어질 확률은?

k k x k

k

x p p q p

q ^  ^1  ^

 , 1 ,

1 , ) 1

(   

 







 

 q ^ p x k k

k x x

X

P ^{x k k}

번째 시행

prob

k

SFS SSFF 

번째 성공

k

• 번의 시행 중 개의 성공이 있어야 함

• 이 경우 실패의 개수는

k x k

x 1)( 1)   (

1 k

1 x

이 경우 가짓수는 



 







 1 1 k

x

Honggie Kim

k번째 성공할 때까지 계속하는 실험

위와 같은 확률 함수를 갖는 분포를 음이항 분포

(negative binomial distribution)



인 음이항 분포가 기하분포이다

 , 1 ,

1 , ) 1

(   



 







 

 q ^ p x k k

k x x

X

P ^{x k k}

) , (

~

1 k

) : ( )

(X x q ¹p g x p P   ^x 

p q

p x q

x X

P ^{x 1 1 x 1}

1 1 ) 1

(  ^  ^



 







 



기하분포

음이항 분포 k=1인 경우

b k

a 

)

( ( 의 전개를 음이항 전개라고 함)

확률 예제

 Ex) 어느 복권에 당첨 확률은 0.2이다. 10장째가 3번째 당첨 복권일 확률은?

 _X

는 3번째 당첨까지 산 복권 수,

0604 .

0 2

. 0 302 .

0  



2 . 0 2 . 0 8 . 2 0

9 _{7 2}



 



 



 

3 7 0.2 8

. 1 0 3

1

10  

 







 

1 10 ) 1

(  

 







 

 q ^ p x

k x x

X

P ^{x k k}

) 2 . 0 ,

9 :

2 (

8 . 0 2 . 2 0

9 _{2 7}







 



 





p n

b

Honggie Kim

확률 예제

 Ex) A , B 두 팀이 7전 4승의 야구 시합.

A 팀의 승률이 0.6



A) A 팀이 7전째에 4승을 할 확률

= A팀이 4승 때까지의 시합 수

X

) 6 . 0 ,

4 (

~ b^1 k  p 

k k

x p

k q x

p k x b







 







 

1 1

) , :

1(

4 4

7 0.6 4

. 1 0 4

1 ) 7

7

(  ^

 







 

 X P

6 . 0 6 . 0 4 . 3 0

6



 



 

1656 .

0 6

. 0 276 .

0

) 

6 . 0 ,

6 :

3 (

4 . 0 6 . 3 0

6 _{3 3}







 



 





p n

b

확률 예제



B) B팀이 7전째에 4승을 할 확률

= B팀이 4승 때까지의 시합 수



C) 시리즈가 7차전까지 갈 확률

) 4 . 0 ,

4 (

~

4 4

7 0.4 6

. 1 0 4

1 ) 7

7

(  ^



 







 

 Y P

1104 .

0 4 . 0 276 .

0



4 . 0 4 . 0 6 . 3 0

6



 



 

) (

4 . 0 6 . 3 0

) 6 7 (

) 7

(X P Y ^{3 3} P

P  



 



 





 6차전까지 3승3패

) 4 . 0 ,

6 :

3 (

6 . 0 4 . 3 0

6 _{3 3}







 



 





p n

b Y

이산형

분포들

Honggie Kim

베르누이 시행

1번 시행

n번

(고정)

처음 성공시 까지 반복

K번 성공시 까지 반복

베르누이 분포

이항 분포 (관심사는 성공횟수)

포아송 분포 (관심사는 성공횟수)

p가 아주 작고 n이 큼

기하 분포 (관심사는 시행횟수)

음이항 분포 (관심사는 시행횟수)

Honggie Kim

7. 5 정규 분포

(normal distribution)

정규 곡선(normal curve)



연속 확률 변수가 갖는 확률밀도함수의 한 종류로써 종 모양의 부드러운 곡선이며 많은 확률 현상을

묘사하는 데 쓰임



정규 곡선은 평균 와 표준편차 로 결정



Ex) 1kg 커피병의 용량의 오차 충대 남학생 전체의 키

160 170 180 190

(그림 7.1 참조)

 

(그림 7.2, 7.3 참조)

정규곡선

그림 7. 1 얼굴 크기의 정규분포 예시

Honggie Kim

정규곡선

그림 7. 2

정규곡선

그림 7. 3

Honggie Kim

확률밀도함수

 평균 와 표준편차 (혹은 분산 )을 갖는 정규분포의 확률 밀도 함수는

가 위의 를 확률 밀도 함수를 가질 때 으로 쓴다



 













 

x e

x f

x

2 2

2 ) (

2 ) 1

( ^







) (x X f

) ,

(

~ N   ²

X

표준정규분포

표준정규분포(standard normal distribution)



인 정규 분포를 표준 정규 분포라

한다



이면

(표준 변환, standardization) 일 때,

) 1 (

1 ,

0  ² 

  



) ,

(

~ N   ²

X





 X  Z

) 1 , 0 (

~ N Z

Honggie Kim

정규분포의 확률 계산

 Gosset

(1900년 초기 통계학자)







 ^1.73

0

( )

) 73 . 1 0

(

P

) (?)

?,

( ^{2 ' 2}

2

2 z

z

e dz

e^   ^



dz e

z 73 2

. 1 0

2

2

1



 

(no analytic sol.)

(only numerical sol.)

정규분포의 확률 계산

표 A.3 은

4582 .

0 7

. 1

4484 .

0 6

. 1

0517 .

0 1

. 0

0120 .

0 0

. 0

03 . 0



































 Z



(

)

1.73 0

Honggie Kim

정규분포의 확률 계산

 Ex)

0972 .

0 3849

. 0 4821

. 0

) 20 . 1 0

( )

10 . 2 0

( )

10 . 2 20

. 1 (





















 Z P Z P Z

P

7803 .

0 2881

. 0 4922

. 0

) 80 . 0 0

( )

42 . 2 0

(

) 80 . 0 0

( )

0 42

. 2 ( )

80 . 0 42

. 2 (







































Z P

Z P

Z P

Z P

Z P

25 . 1 3944

. 0 )

0

(

P

인

4750 .

0 )

96 . 1 0

(

4778 .

0 )

01 . 2 0

(

정규분포의 표준화





 )

(a X b

P

)

( 





 



 

 b

a Z P

dz e

z b

a

2

2

2

1 ^





 ^



 

dz dx

dx x dz

z

dx e

b x

a

 







 ^





 



 



1 , ,

2

1 ²

2

2 ) (

) ,

(

~ N   ²

X

CH 7 - 41 Honggie Kim

정규분포의 표준화

) ,

(

~ N   ²

X

0 1 2 3 -1

-2 -3

a b

 ^{ }



  2





 a





 b

2 2

2 ) (

2 ) 1

(







 



x

e x

f





 x  z

) 1 , 0 (

~ N ²

Z

2

2

2 ) 1

(

z

e z

f  ^



정규분포의 표준화

 Ex) 일 때

9876 .

0 4938

. 0

2 



) 5 . 2 5

. 2

(

 P Z

4 ) 20 30

4 20 (10

) 30 10

(  X   P   Z  

P

4772 .

0 )

2 0

(

 P Z

4 ) 20 28

4 20 (20

) 28 20

( 



 





 X P Z

P

) 16 ,

20 (

~ N    ²  X

) 5 . 2 0

(

2

 P Z

 Ex) 일 때

Honggie Kim

정규분포의 확률값

) 3 0

( 2

) 3 3

(   X     P  Z 

P    

) 2 0

( 2

) 2 2

(   X    P  Z 

P    

) 1 1

(  

 P Z

)

( 













      

 P Z

) (   X    P

) ,

(

~ N   ²

X

) 1 0

(

2  

 P Z

6826 .

0 3413

. 0

2 



9544 .

0 4772

. 0

2 



9974 .

0 4987

. 0

2 

