Ⅰ. 삼각비
1. 삼각비
삼각비의 뜻
01
개념
본교재 | 6 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 35 ⑵ 45 ⑶ 34 ⑷ 4
5 ⑸ 35 ⑹ 4 3
2
⑴ '5 ⑵ sin`B= '55 , cos`B=2'5
5 , tan`B= 12
2
⑴ BCÓ="Ã2Û`+1Û`='5
⑵ sin`B= ACÓ BCÓ= 1
'5= '55 cos`B= ABÓ
BCÓ= 2'5= 2'55 tan`B= ACÓ
ABÓ= 12
본교재 | 7 ~ 8 쪽
대표 유형
1 sin`A= 35 , cos`A= 45 , tan`A= 34 1 -1 sin`C= 1213 , cos`C= 513 , tan`C= 125
1 -2 2317
2 2'5 2 -1 5'13 2 -2 ① 3 cos`A= '11
6 , tan`A=5'11 11 3 -1 sin`A= '21
7 , cos`A=2'7
7 3 -2 ⑤ 4 45 4 -1 '6
2 4 -2 513
1 -1
ABÓ="Ã13Û`-5Û`='¶144=12이므로 sin`C= ABÓ
ACÓ= 1213 cos`C= BCÓ
ACÓ= 513 tan`C= ABÓ
BCÓ= 125
sin`C= 1213 , cos`C= 5
13 , tan`C=12 5
1 -2
ABÓ="Ã17Û`-15Û`='64=8이므로 sin`B= ACÓ
BCÓ= 1517 , cos`B=ABÓ BCÓ= 817
∴ sin`B+cos`B= 1517 + 8 17 =23
17 2317
2 -1
tan`A= BCÓ10 =3
2 이므로 BCÓ=15
∴ ACÓ="Ã10Û`+15Û`='¶325=5'13 5'13
2 -2
sin`A= BCÓ6 ='5
3 이므로 BCÓ=2'5(cm) 이때 ACÓ=¿¹6Û`-(2'5)Û`='16=4(cm)이므로
△ABC= 12 _2'5_4=4'5(cmÛ`) ①
3 -1
tan`A= '32 이므로 오른쪽 그림과 같이
∠B=90ù, ABÓ=2, BCÓ='3인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다.
이때 ACÓ=¿¹2Û`+('3)Û`='7이므로 sin`A= BCÓ
ACÓ= '3'7= '217 , cos`A=ABÓ
ACÓ= 2'7= 2'77 sin`A= '21
7 , cos`A=2'7 7
3 -2
cos`B= 13 이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠C=90ù, ABÓ=3, BCÓ=1인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다.
이때 ACÓ="Ã3Û`-1Û`='8=2'2이므로 sin`B= ACÓ
ABÓ=2'2
3 , tan`B=ACÓ BCÓ=2'2
∴ sin`B_tan`B=2'2
3 _2'2=;3*; ⑤
4 -1
△ABC와 △DAC에서
∠C는 공통,
∠BAC=∠ADC=90ù이므로
△ABC»△DAC (AA 닮음)
∴ ∠B=∠CAD=x
△ABC에서 ACÓ=¿¹('10)Û`-2Û`='6이므로 tan`x=tan`B= ACÓ
ABÓ= '62 '6
2
A B
C
2 3
A
B C
3
1
x x
A
B D C
2
10
Ⅰ- 1. 삼각비 4 -2
△ABC와 △EDC에서
∠C는 공통,
∠A=∠DEC=90ù이므로
△ABC»△EDC (AA 닮음)
∴`∠B=∠CDE=x
△ABC에서 BCÓ="Ã5Û`+12Û`='¶169=13이므로 cos`x=cos`B= ABÓ
BCÓ= 513 513
30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값
02
개념
본교재 | 9 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 1 ⑵ '23 ⑶ 12 ⑷ '3 22
⑴ 30ù ⑵ 45ù ⑶ 60ù3
⑴ x=2, y=2'3 ⑵ x=3'2, y=31
⑴ sin`30ù+cos`60ù= 12 +1 2 =1
⑵ tan`60ù-cos`30ù='3- '3 2 ='3
2
⑶ sin`45ù_cos`45ù= '2 2 _'2
2 =1 2
⑷ sin`60ùÖtan`45ù= '3
2 Ö1='3 2
3
⑴ sin`30ù= x4 =1
2 ∴ x=2 cos`30ù=y
4 ='3
2 ∴ y=2'3
⑵ cos`45ù= 3x ='2
2 ∴ x=3'2 tan`45ù=y
3 =1 ∴ y=3
본교재 | 10 쪽
대표 유형
5 ⑴ 3 ⑵ '6-'2 4 5 -1 ⑴ 3'2
4 ⑵ 9
4 5 -2 ㄴ, ㄹ
6 2'3 6 -1 4'3 6 -2 ④ x
A
B C
D
E
x 5 125 -1
⑴ (주어진 식)= '3 2 Ö'3
3 _'2 2 ='3
2 _ 3 '3_ '2
2 =3'2 4
⑵ (주어진 식) ={;2!;+1}{;2!;+1}=;2#;_;2#;= 94
⑴ 3'24 ⑵ 94
5 -2
ㄱ. sinÛ``30ù+cosÛ``60ù={ 12 }2`+{1 2 }2`=1
2 ㄴ. sin`30ù= 12 , cos`30ù_tan`30ù='3
2 _'3 3 =1
2 이므로 sin`30ù=cos`30ù_tan`30ù
ㄷ. 2`sin`45ù=2_ '2
2 ='2, tan`45ù=1이므로 2`sin`45ù+tan`45ù
ㄹ. tan`30ù= '3 3 , 1
tan`60ù = 1 '3= '3
3 이므로 tan`30ù= 1
tan`60ù
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. ㄴ, ㄹ
6 -1
△BCD에서 tan`45ù= BCÓ2'3=1 ∴ BCÓ=2'3
△ABC에서 sin`30ù=2'3
ACÓ= 12 ∴ ACÓ=4'3 4'3
6 -2
△ABD에서 sin`45ù= ADÓ12 ='2
2 ∴ ADÓ=6'2
△ADC에서 sin`60ù=6'2 ACÓ= '3
2 ∴ ACÓ=4'6 ④
본교재 | 11 쪽
01
④02
3403
2'1904
①05
272006
3207
②08
12배운대로
해결하기
01
BCÓ=¿¹4Û`-('7)Û`='9=3
④ sin`C= '7
4 ④
02
y= 34 x+3에 y=0을 대입하면
0= 34 x+3, -;4#;x=3, x=-4 ∴ A(-4, 0) y= 34 x+3에 x=0을 대입하면
y=3 ∴ B(0, 3)
직각삼각형 AOB에서 AOÓ=4, BOÓ=3이므로 tan`a= BOÓ
AOÓ= 34 34
다른 풀이
tan`a= BOÓAOÓ= (y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
=(일차함수의 그래프의 기울기)= 34
03
sin`C= ABÓ10 ='6
5 이므로 ABÓ=2'6
∴ ACÓ=¿¹10Û`-(2'6 )Û`='76=2'19 2'19
04
tan`A= 23 이므로 오른쪽 그림과 같이
∠B=90ù, ABÓ=3, BCÓ=2인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다.
이때 ACÓ="Ã3Û`+2Û`='13이므로 sin`A= BCÓ
ACÓ= 2'13= 2'13 13 cos`A= ABÓ
ACÓ= 3
'13= 3'13 13
∴ sin`A+cos`A=2'13 13 +3'13
13 =5'13
13 ①
05
△ABC와 △ACD에서
∠A는 공통, ∠BCA=∠CDA=90ù이므로
△ABC»△ACD (AA 닮음)
∴`∠B=∠ACD=x 같은 방법으로
△ABC»△CBD (AA 닮음)이므로
∠A=∠BCD=y
△ABC에서 ABÓ="Ã3Û`+4Û`='25=5이므로 cos`x=cos`B= BCÓ
ABÓ= 35 tan`y=tan`A= BCÓ
ACÓ= 34
∴ cos`x+tan`y= 35 +3 4 =27
20 2720
A B
C
2
3
B
D 4
3 C
A
yx y
x
06
(주어진 식) ='2_ '2
2 _;2!;+2_'3 3 _'3
2
= 12 +1=3
2 32
07
△ABC에서 sin`45ù= 2'2 BCÓ= '2
2 ∴ BCÓ=4
△BCD에서 tan`30ù= CDÓ4 ='3
3 ∴ CDÓ=4'3
3 ②
08
△ABC에서 tan`30ù=6'3 BCÓ= '3
3 ∴ BCÓ=18
△ADC에서 tan`60ù=6'3
DCÓ='3 ∴ DCÓ=6
∴ BDÓ=BCÓ-DCÓ=18-6=12 12
예각과 0ù, 90ù의 삼각비의 값
03
개념
본교재 | 12 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 0.6428 ⑵ 0.7660 ⑶ 0.8391 ⑷ 0.7660 ⑸ 0.64282
⑴ 12 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ '3 31
△AOC에서
∠OAC=180ù-(40ù+90ù)=50ù 이므로
⑴ sin`40ù=ACÓOÕAÓ= ACÓ1 =0.6428
⑵ cos`40ù=OCÓ
OÕAÓ= OCÓ1 =0.7660
⑶ tan`40ù=BDÓ
ODÓ= BDÓ1 =0.8391
⑷ sin`50ù=OCÓ
OÕAÓ= OCÓ1 =0.7660
⑸ cos`50ù= ACÓ
OÕAÓ= ACÓ1 =0.6428
2
⑴ sin`0ù+sin`30ù=0+ 12 =1 2
⑵ sin`90ù-cos`0ù=1-1=0
⑶ tan`0ù_cos`90ù=0_0=0
⑷ sin`90ùÖtan`60ù=1Ö'3= 1'3= '3 3
y
O 40
° x50
°A B
1 0.7660 C D 0.8391 1
0.6428
Ⅰ- 1. 삼각비
본교재 | 13 ~ 14 쪽
대표 유형
1 ④ 1 -1 ④ 1 -2 ⑤ 2 1.5355 2 -1 0.3675 2 -2 1.03 3 '63 3 -1'3 3 -2 ⑤ 4 ⑤ 4 -1 ③ 4 -2 ⑤
1 -1
ABÓCDÓ이므로
∠OAB=∠OCD=y
∴ cos`x= OBÓ
OAÓ= OBÓ1 =OBÓ, sin`y= OBÓ
OAÓ= OBÓ1 =OBÓ
④
1 -2
△ADE에서 cos`x= ADÓ AEÓ= 1
AEÓ
∴ AEÓ= 1cos`x ⑤
2 -1
△AOB에서
∠OAB=180ù-(48ù+90ù)=42ù 이므로
tan`48ù= CDÓ
OÕDÓ= CDÓ1 =CDÓ=1.1106 cos`42ù= ABÓ
OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ=0.7431
∴ tan`48ù-cos`42ù=1.1106-0.7431
=0.3675 0.3675
2 -2 sin`x= ABÓ
OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ=0.5150 cos`(90ù-x) =cos`(∠OAB)= ABÓ
OÕAÓ= ABÓ1
=ABÓ=0.5150
∴ sin`x+cos`(90ù-x) =0.5150+0.5150
=1.03 1.03
3 -1
(주어진 식)=0_1+1_'3-0='3 '3
y y
x
A
B C
O D 1
y
O
A
B D C
0.6691
x48
°42
°0.7431 1 1.1106
1
3 -2
① (좌변)=0_ '3 2 =0
② (좌변)=1+0=1
③ (좌변)=(1-1)_'3=0
④ (좌변)=(1-0)_(0+0)=0
⑤ (좌변)={1+ 12 }_(0+1)=3 2
따라서 옳은 것은 ⑤이다. ⑤
4 -1
① sin`0ù=0, cos`90ù=0이므로 sin`0ù=cos`90ù
② 0ùÉxÉ90ù일 때, x의 크기가 커지면 sin`x의 값은 증가하므로 sin`38ù<sin`43ù
③ 0ùÉxÉ90ù일 때, x의 크기가 커지면 cos`x의 값은 감소하므로 cos`20ù>cos`25ù
④ cos`0ù=1, sin`20ù<sin`90ù=1이므로 cos`0ù>sin`20ù
⑤ 0ùÉxÉ90ù일 때, x의 크기가 커지면 tan`x의 값은 증가하므로 tan`62ù<tan`70ù
따라서 대소 관계로 옳지 않은 것은 ③이다. ③
4 -2
① sin`65ù<sin`90ù=1
② cos`0ù=1
③ sin`45ù<sin`65ù
④ tan`46ù>tan`45ù=1
⑤ tan`70ù>tan`46ù
따라서 sin`45ù<sin`65ù<cos`0ù<tan`46ù<tan`70ù이므로 그
값이 가장 큰 것은 ⑤ tan`70ù이다. ⑤
삼각비의 표
04
개념
본교재 | 15 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 0.5150 ⑵ 0.8387 ⑶ 0.6249 ⑷ 0.5736 ⑸ 0.8572 ⑹ 0.67452
⑴ 64ù ⑵ 62ù ⑶ 63ù3
ABÓ, 0.4848, 48.48본교재 | 16 쪽
대표 유형
5 30ù 5 -1 2ù 5 -2 1.0087 6 14.004 6 -1 6.725
5 -1
cos`51ù=0.6293이므로 x=51ù tan`49ù=1.1504이므로 y=49ù
∴ x-y=51ù-49ù=2ù 2ù
5 -2
sin`13ù+cos`12ù-tan`11ù=0.2250+0.9781-0.1944
=1.0087 1.0087
6 -1
cos`63ù= x5 =0.4540 ∴ x=2.27 sin`63ù= y5 =0.8910 ∴ y=4.455
∴ x+y=2.27+4.455=6.725 6.725
본교재 | 17 쪽
01
③, ⑤02
1.3803
-104
③05
⑤06
②07
④08
32.006배운대로
해결하기
01
① sin`x= ABÓ
OAÓ= ABÓ1 =ABÓ
② cos`x= OBÓ
OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ
③ tan`x= CDÓ
ODÓ= CDÓ1 =CDÓ
④ sin`y= OBÓ
OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ
⑤ cos`z=cos`y= ABÓ
OAÓ= ABÓ1 =ABÓ
따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다. ③, ⑤
02
△AOB에서
∠OAB=180ù-(54ù+90ù)=36ù이므로 sin`54ù= ABÓ
OAÓ= ABÓ1 =ABÓ=0.81 cos`36ù= ABÓ
OAÓ= ABÓ1 =ABÓ=0.81
54
°36
°A 1.38 0.81 1
C
B D 1 0.59
yO
xtan`54ù= CDÓ
ODÓ= CDÓ1 =CDÓ=1.38
∴ sin`54ù-cos`36ù+tan`54ù=0.81-0.81+1.38
=1.38 1.38
03
(주어진 식)=0-1_1+0_ '3
2 =-1 -1
04
① (좌변)=0+0=0
② (좌변)= 12 _0=0
③ (좌변)=1+1_1=1+1=2
④ (좌변)= 12 +1_1 2 -1=1
2 +1 2 -1=0
⑤ (좌변)={0+ '3
3 }_{0+'3 3 }='3
3 _'3 3 =1
3
따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③
05
⑤ tan`A의 값 중 가장 작은 값은 tan`0ù=0이지만 tan`90ù의 값 은 정할 수 없으므로 tan`A의 가장 큰 값은 알 수 없다. ⑤
06
① sin`0ù=0
② cos`20ù<cos`0ù=1
③ cos`45ù= '2
2 <cos`20ù
④ sin`35ù<sin`45ù= '2 2
⑤ tan`45ù=1
따라서 sin`0ù<sin`35ù<cos`45ù<cos`20ù<tan`45ù이므로 삼각 비의 값 중 두 번째로 큰 것은 ② cos`20ù이다. ②
07
④ sin`58ù=0.8480이므로 x=58ù ④
08
∠A=180ù-(32ù+90ù)=58ù이므로 tan`58ù= BCÓ20 =1.6003
∴ BCÓ=32.006
32.006
32
°58
°A
B C
20
Ⅰ- 1. 삼각비
본교재 | 18 ~ 20 쪽
01
①02
81503
③04
3605
④06
7907
3'3208
ㄴ, ㄷ09
'310
4'211
⑤12
②13
2'314
③15
①16
1.327017
'5518
4319
1.5520
2-'321
②22
2`sin`x개념 넓히기로
마무리
01
BCÓ=¿¹('3)Û`+1Û`='4=2이므로 sin`B= ACÓ
BCÓ= 12 , cos`B=ABÓ BCÓ= '3
2
∴ sin`B+cos`B= 12 +'3
2 =1+'3
2 ①
02
△ADC에서 ACÓ=¿¹(4'5)Û`-4Û`='64=8
△ABC에서 BCÓ="Ã17Û`-8Û`='¶225=15
∴ tan`B= ACÓ
BCÓ= 815 815
03
△FGH에서 FHÓ="Ã3Û`+3Û`='18=3'2(cm)
△BFH에서 BHÓ=¿¹3Û`+(3'2)Û`='27=3'3(cm)
∴ cos`x= FHÓ BHÓ= 3'2
3'3= '63 ③
04
cos`B= 9
ABÓ= 35 이므로 ABÓ=15
이때 ACÓ="Ã15Û`-9Û`='¶144=12이므로 △ABC의 둘레의 길이는
ABÓ+BCÓ+CAÓ=15+9+12=36 36
05
tan`A='2이므로 오른쪽 그림과 같이
∠B=90ù, ABÓ=1, BCÓ='2인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다.
이때 ACÓ=¿¹1Û`+('2)Û`='3이므로 sin`A= BCÓ
ACÓ= '2'3= '63 cos`A= ABÓ
ACÓ= 1 '3= '33
∴ sin`A cos`A ='6
3 Ö'3 3 ='6
3 _ 3
'3='2 ④
A B
C
1 2
06
△ABD와 △HAD에서
∠D는 공통,
∠BAD=∠AHD=90ù이므로
△ABD»△HAD (AA 닮음)
∴ ∠ABD=∠HAD=x
△ABD에서 BDÓ=¿¹(4'2)Û`+7Û`='81=9이므로 cos`x=cos`(∠ABD)= ABÓ
BDÓ= 4'29 tan`x=tan`(∠ABD)= ADÓ
ABÓ= 74'2= 7'28
∴ cos`x_tan`x=4'2 9 _7'2
8 =7
9 79
07
△ABC와 △ADE에서
∠A는 공통, ∠C=∠AED=90ù이므로
△ABC»△ADE (AA 닮음)
∴`∠ADE=∠B=x
△AED에서 AEÓ="Ã4Û`-2Û`='12=2'3이므로 sin`x=sin`(∠ADE)= AEÓ
ADÓ= 2'34 ='3 2 tan`x=tan`(∠ADE)= AEÓ
DEÓ= 2'32 ='3
∴ sin`x+tan`x= '3
2 +'3=3'3
2 3'3
2
08
ㄱ. sin`60ù_tan`30ù= '3 2 _'3
3 =1 2 ㄴ. cos`30ù_tan`60ù= '3
2 _'3=3
2 , 3`sin`30ù=3_1 2 =3
2 이 므로 cos`30ù_tan`60ù=3`sin`30ù
ㄷ. sin`30ù-cos`60ù+tan`45ù= 12 -1 2 +1=1 ㄹ. '2`sin`45ù_cos`60ù+'3`tan`60ù
='2_ '2 2 _1
2 +'3_'3=1 2 +3=7
2
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ㄴ, ㄷ
09
sin`45ù= '22 이므로 x+15ù=45ù ∴ x=30ù
∴ cos`x+sin`2x=cos`30ù+sin`60ù= '3 2 +'3
2 ='3 '3
10
△ABD에서 cos`60ù= 4
BDÓ= 12 ∴ BDÓ=8
△BCD에서 sin`45ù= BCÓ8 ='2
2 ∴ BCÓ=4'2 4'2 x
x
B
H C
A 7 D
4 2
A
B C
D E
x x
4
2
11
구하는 직선의 방정식을 y=ax+b라고 하면 a=(직선의 기울기)=tan`60ù='3
y='3x+b에 x=-3, y=0을 대입하면 0=-3'3+b ∴ b=3'3
따라서 구하는 직선의 방정식은 y='3x+3'3 ⑤
12
sin`a= ABÓ
OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ, cos`a=OBÓ
OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ
따라서 점 A의 좌표는 (cos`a, sin`a)이다. ②
13
(주어진 식) =0_ '3
3 +'3_1+1_'3
='3+'3=2'3 2'3
14
45ù<A<90ù일 때,
'22 =sin`45ù<sin`A<sin`90ù=1
0=cos`90ù<cos`A<cos`45ù= '2 2 1=tan`45ù<tan`A
∴ cos`A<sin`A<tan`A ③
15
ㄱ, ㄹ. sin`45ù<sin`75ù<sin`90ù=1 ㄴ. cos`0ù=1
ㄷ, ㅁ. 1=tan`45ù<tan`50ù<tan`65ù
따라서 sin`45ù<sin`75ù<cos`0ù<tan`50ù<tan`65ù이므로 작은 것부터 차례대로 나열하면 ㄱ－ㄹ－ㄴ－ㅁ－ㄷ이다. ①
16
OBÓ=ODÓ-BDÓ=1-0.3982=0.6018 cos`x= OBÓ
OÕAÓ= OBÓ1 =OÕBÓ=0.6018이므로 x=53ù 이때 tan`53ù=CDÓ
ODÓ= CDÓ1 =CDÓ이므로 CDÓ=1.3270 1.3270
17
ABÓ`:`BCÓ=1`:`2이므로 ABÓ=a, BCÓ=2a(a>0)라고 하면 ACÓ=¿¹aÛ`+(2a)Û`='5a yy 40%
이때 cos`C= BCÓ ACÓ= 2a
'5a= 2'55 , tan`C= ABÓ
BCÓ= a2a =1
2 이므로 yy 40%
cos`C_tan`C= 2'55 _1 2 ='5
5 yy 20%
'5
5
18
5`sin`A-4=0에서
5`sin`A=4 ∴ sin`A= 45 yy 20%
sin`A= 45 이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù, ACÓ=5, BCÓ=4인 직각삼각형 ABC를 그릴 수
있다. yy 40%
이때 ABÓ="Ã5Û`-4Û`='9=3이므로 tan`A= BCÓ
ABÓ= 43 yy 40%
43
19
△AOB에서
∠OAB=180ù-(37ù+90ù)=53ù이므로 yy 20%
sin`53ù= OBÓ
OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ=0.8 yy 30%
tan`37ù= CDÓ
ODÓ= CDÓ1 =CDÓ=0.75 yy 30%
∴ sin`53ù+tan`37ù=0.8+0.75=1.55 yy 20%
1.55
20
△CDB에서 sin`30ù= 2
CDÓ= 12 ∴ CDÓ=4 tan`30ù= 2
DBÓ= '33 ∴ DBÓ=2'3 이때 ∠DCA=∠CAD=15ù이므로 ADÓ=CDÓ=4 ∴ ABÓ=4+2'3 따라서 △ABC에서
tan`15ù= CBÓ ABÓ= 2
4+2'3=2-'3 2-'3
21
∠A=180ù_ 1
1+2+3 =30ù이므로 tan`A_cos`A+sin`A
sin`A+cos`A =tan`30ù_cos`30ù+sin`30ù sin`30ù+cos`30ù
={ '3 3 _'3
2 +1 2 }Ö{1
2 +'3 2 }
=1Ö 1+'32
= 21+'3='3-1 ②
22
0ù<x<90ù일 때, 0<sin`x<1이므로 sin`x+1>0, sin`x-1<0
∴ "Ã(sin`x+1)Û`-"Ã(sin`x-1)Û` =sin`x+1-{-(sin`x-1)}
=sin`x+1+sin`x-1
=2`sin`x 2`sin`x
A B
C
5 4
Ⅰ- 2. 삼각비의 활용
Ⅰ. 삼각비
2. 삼각비의 활용
직각삼각형의 변의 길이
01
개념
본교재 | 22 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 10, 10, 10, 5.7 ⑵ 10, 10, 10, 8.22
⑴ 20, 20, 20, 15 ⑵ 20, 20, 20, 25본교재 | 23 쪽
대표 유형
1 11.28 1 -1 2.04 1 -2 ④
2 ② 2 -1 ④ 2 -2 23.1`m
1 -1
x=6`cos`31ù=6_0.86=5.16 y=6`sin`31ù=6_0.52=3.12
∴ x-y=5.16-3.12=2.04 2.04
1 -2
∠A=180ù-(33ù+90ù)=57ù이므로 BCÓ= 12
tan`33ù=12`tan`57ù
④
2 -1
(나무의 높이)=20`tan`50ù=20_1.2=24(m) ④
2 -2
손에서 연까지의 높이는 30`sin`46ù=30_0.72=21.6(m) 따라서 지면에서 연까지의 높이는 1.5+21.6=23.1(m)
23.1`m
일반 삼각형의 변의 길이
02
개념
본교재 | 24 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 3'3 ⑵ 6 ⑶ 3'72
⑴ 60ù ⑵ 4'2` ⑶ 8'6 333
°57
°A
B C
12
1
⑴ △ABH에서 AÕHÓ=6`sin`60ù=6_ '32 =3'3
⑵ △ABH에서 BÕHÓ=6`cos`60ù=6_ 12 =3 ∴ CHÓ=BCÓ-BHÓ=9-3=6
⑶ △AHC에서 ACÓ=¿¹(3'3)Û`+6Û`='63=3'7
2
⑴ ∠A=180ù-(45ù+75ù)=60ù
⑵ △BCH에서 CHÓ=8`sin`45ù=8_ '22 =4'2
⑶ △AHC에서 ACÓ= 4'2
sin`60ù=4'2_ 2'3= 8'63
본교재 | 25 쪽
대표 유형
3 '7 3 -1 3'5 3 -2 14`km
4 2'6 4 -1 10'2 4 -2 ④
3 -1
꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 고 하면 △ABH에서
AHÓ=6'2`sin`45ù=6'2_ '2 2 =6 BHÓ=6'2`cos`45ù=6'2_ '2
2 =6
이때 CHÓ=BCÓ-BHÓ=9-6=3이므로 △AHC에서
ACÓ=¿¹6Û`+3Û`='45=3'5 3'5
3 -2
꼭짓점 A에서BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △AHC에서
AÕHÓ=10`sin`60ù
=10_ '32 =5'3(km)
CHÓ=10`cos`60ù=10_ 12 =5(km)
이때 BHÓ=BCÓ-CHÓ=16-5=11(km)이므로 △ABH에서 ABÓ=¿¹11Û`+(5'3)Û`='¶196=14(km)
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 14`km이다. 14`km
4 -1
∠A=180ù-(30ù+105ù)=45ù
꼭짓점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 고 하면 △BCH에서
CÕHÓ=20`sin`30ù=20_ 12 =10
A
B H C
6 2 45
°9
60
°H
A
B C
16`km 10`km
30
°105
°45
°A
C H
B 20
따라서 △AHC에서
ACÓ= 10sin`45ù=10_ 2'2=10'2 10'2
4 -2
∠A=180ù-(60ù+75ù)=45ù
꼭짓점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 고 하면 △BHC에서
BÕHÓ=12`sin`60ù=12_ '32 =6'3(m)
△AHB에서 ABÓ= 6'3
sin`45ù=6'3_ 2'2=6'6(m)
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 6'6`m이다. ④
삼각형의 높이
03
개념
본교재 | 26 쪽
개념 콕콕
1
tan`60ù,'3h, tan`45ù,h, '3h, h, '3, 1, '3+1, 5('3-1)2
⑴ ∠BAH=60ù, ∠CAH=30ù ⑵ BHÓ='3h, CHÓ= '3 3 h ⑶ 4'32
⑴ △ABH에서 ∠BAH=180ù-(30ù+90ù)=60ù △ACH에서 ∠CAH=120ù-90ù=30ù
⑵ △ABH에서 BHÓ=h`tan`60ù='3h △ACH에서 CHÓ=h`tan`30ù= '33 h
⑶ BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 8='3h- '3
3 h, 2'3
3 h=8 ∴ h=4'3
본교재 | 27 쪽
대표 유형
5 6(3-'3) 5 -1 2'3 5 -2 20('3-1)`m 6 3('3+1) 6 -1 5(3+'3) 6 -2 50'3`m
5 -1
AHÓ=h라고 하면
△ABH에서 ∠BAH=60ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù='3h
△AHC에서 ∠CAH=30ù이므로 CHÓ=h`tan`30ù= '33 h 75
° 75
° 45° 45
°A
C H
B
60
°12`m
이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 8='3h+ '3
3 h, 4'3
3 h=8 ∴ h=2'3
∴ AHÓ=2'3 2'3
5 -2
꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고 AHÓ=h`m라고 하면
△ABH에서 ∠BAH=45ù이므로 BÕHÓ=h`tan`45ù=h(m)
△AHC에서 ∠CAH=60ù이므로 CHÓ=h`tan`60ù='3h(m) 이때 BCÓ=BÕHÓ+CÕHÓ이므로
40=h+'3h, (1+'3)h=40 ∴ h= 401+'3=20('3-1) 따라서 지면으로부터 기구까지의 높이는 20('3-1)`m이다.
20('3-1)`m
6 -1
AHÓ=h라고 하면
△ABH에서 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h
△ACH에서 ∠CAH=30ù이므로 CHÓ=h`tan`30ù= '33 h 이때 BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로
10=h- '3
3 h, 3-'3
3 h=10 ∴ h= 30
3-'3=5(3+'3)
∴ AHÓ=5(3+'3) 5(3+'3)
6 -2
ADÓ=h`m라고 하면
△ABD에서 ∠BAD=60ù이므로 BDÓ=h`tan`60ù='3h(m)
△ACD에서 ∠CAD=30ù이므로 CDÓ=h`tan`30ù= '33 h(m) 이때 BCÓ=BDÓ-CDÓ이므로
100='3h- '3 3 h, 2'3
3 h=100 ∴ h=50'3
따라서 산의 높이는 50'3`m이다. 50'3`m
본교재 | 28 쪽
01
②, ⑤02
150'3`cmÜ`03
③04
(30+10'3)`m05
②06
9'607
30(3-'3)`m08
4('3+1)`cmÛ`배운대로
해결하기
h`m
H 30
°45
°40`m
B
A
C
Ⅰ- 2. 삼각비의 활용
01
② tan`B= ba 이므로 a= b tan`B
⑤ cos`A= bc 이므로 c= b
cos`A ②, ⑤
02
CGÓ=10`sin`60ù=10_ '32 =5'3(cm) FGÓ=10`cos`60ù=10_ 12 =5(cm) 따라서 직육면체의 부피는
6_5_5'3=150'3(cmÜ`) 150'3`cmÜ`
03
ABÓ=8`tan`32ù=8_0.6=4.8(m) ACÓ= 8
cos`32ù = 8
0.8 =10(m)
∴ (부러지기 전의 나무의 높이) =ABÓ+ACÓ
=4.8+10=14.8(m) ③
04
△CHD에서
DÕHÓ=30`tan`30ù=30_ '33 =10'3(m)
△CEH에서
EHÓ=30`tan`45ù=30_1=30(m)
∴ DEÓ=DÕHÓ+EHÓ=10'3+30(m)
따라서 건물 B의 높이는 (30+10'3)`m이다. (30+10'3)`m
05
∠B=180ù-135ù=45ù
꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서
AHÓ=3'2`sin`45ù=3'2_ '2 2 =3 BHÓ=3'2`cos`45ù=3'2_ '2
2 =3
이때 CHÓ=BCÓ-BHÓ=7-3=4이므로 △AHC에서
ACÓ="Ã3Û`+4Û`='25=5 ②
06
∠A=180ù-(75ù+60ù)=45ù
꼭짓점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하 면 △BCH에서
BHÓ=18`sin`60ù=18_ '32 =9'3
따라서 △ABH에서 ABÓ= 9'3sin`45ù =9'3_ 2 '2=9'6
9'6
30
°45
°C
D
30`m A
B H
E
135
°45
°C D H
A
B 7
3 2
75
°45
°60
°H A
C
B 18
07
꼭짓점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H 라 하고 CHÓ=h`m라고 하면
△CAH에서 ∠ACH=45ù이므로 AHÓ=h`tan`45ù=h(m)
△CHB에서 ∠BCH=30ù이므로 BHÓ=h`tan`30ù= '33 h(m) 이때 ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로 60=h+ '3
3 h, 3+'3
3 h=60 ∴ h= 180
3+'3=30(3-'3) 따라서 나무의 높이는 30(3-'3)`m이다. 30(3-'3)`m
08
AHÓ=h`cm라고 하면
△ABH에서 ∠BAH=60ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù='3h(cm)
△ACH에서 ∠CAH=45ù이므로 CHÓ=h`tan`45ù=h(cm) 이때 BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로
4='3h-h, ('3-1)h=4 ∴ h= 4'3-1=2('3+1)
∴ △ABC= 12_4_2('3+1)
=4('3+1)(cmÛ`) 4('3+1)`cmÛ`
삼각형의 넓이
04
개념
본교재 | 29 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 12`cmÛ` ⑵ 15'3`cmÛ` ⑶ 6'2`cmÛ` ⑷ 14`cmÛ`2
⑴ 21'2`cmÛ` ⑵ 9'32 `cmÛ` ⑶ 10`cmÛ` ⑷ 35'3 2 `cmÛ`
1
⑴ △ABC= 12 _6_8_sin`30ù
= 12 _6_8_1
2 =12(cmÛ`)
⑵ △ABC= 12 _5_12_sin`60ù
= 12 _5_12_'3
2 =15'3(cmÛ`)
⑶ △ABC= 12 _6_4_sin`45ù
= 12 _6_4_'2
2 =6'2(cmÛ`)
⑷ △ABC= 12 _8_7_sin`30ù
= 12 _8_7_1
2 =14(cmÛ`)
45
°60
°H C
A
h`mB
60`m
2
⑴ △ABC= 12 _14_6_sin`(180ù-135ù)
= 12 _14_6_'2
2 =21'2(cmÛ`)
⑵ △ABC= 12 _6_3_sin`(180ù-120ù)
= 12 _6_3_'3 2 =9'3
2 (cmÛ`)
⑶ △ABC= 12 _8_5_sin`(180ù-150ù)
= 12 _8_5_1
2 =10(cmÛ`)
⑷ △ABC= 12 _7_10_sin`(180ù-120ù)
= 12 _7_10_'3 2 =35'3
2 (cmÛ`)
본교재 | 30 쪽
대표 유형
1 60ù 1 -1 30ù 1 -2 ①
2 ② 2 -1 ③ 2 -2 49'3`cmÛ`
1 -1
12 _11_12_sin`C=33이므로 sin`C=1 2
이때 sin`30ù= 12 이므로 ∠C=30ù 30ù
1 -2
∠C=∠B=75ù이므로
∠A=180ù-(75ù+75ù)=30ù
∴ △ABC= 12 _6_6_sin`30ù
= 12 _6_6_1
2 =9(cmÛ`) ①
2 -1
12 _ABÓ_10_sin`(180ù-120ù)=15'3이므로
12 _ABÓ_10_'3
2 =15'3,5'3
2 ABÓ=15'3
∴ ABÓ=6(cm) ③
2 -2
∠C=180ù-(30ù+120ù)=30ù이므로 △ABC는 ABÓ=BCÓ인 이 등변삼각형이다.
∴ △ABC = 12 _14_14_sin`(180ù-120ù)
= 12 _14_14_'3
2 =49'3(cmÛ`) 49'3`cmÛ`
사각형의 넓이
05
개념
본교재 | 31 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 24'3`cmÛ` ⑵ 21'2`cmÛ` ⑶ 60'3`cmÛ` ⑷ 12`cmÛ`2
⑴ 20'3`cmÛ` ⑵ 63'2 4 `cmÛ`1
⑴ ABCD=6_8_sin`60ù
=6_8_ '32 =24'3(cmÛ`)
⑵ ABCD=7_6_sin`45ù
=7_6_ '22 =21'2(cmÛ`)
⑶ ABCD=10_12_sin`(180ù-120ù)
=10_12_ '32 =60'3(cmÛ`)
⑷ ABCD=4_6_sin`(180ù-150ù)
=4_6_ 12 =12(cmÛ`)
2
⑴ ABCD= 12 _10_8_sin`60ù
= 12 _10_8_'3
2 =20'3(cmÛ`)
⑵ ABCD= 12 _7_9_sin`(180ù-135ù)
= 12 _7_9_'2 2 =63'2
4 (cmÛ`)
본교재 | 32 쪽
대표 유형
3 10`cm 3 -1 7`cm 3 -2 ② 4 35'3`cmÛ` 4 -1 ② 4 -2 30ù
3 -1
12_DCÓ_sin`(180ù-135ù)=42'2이므로 12_DCÓ_ '2
2 =42'2, 6'2 DCÓ=42'2
∴ DCÓ=7(cm) 7`cm
Ⅰ- 2. 삼각비의 활용 3 -2
BCÓ=ADÓ=6(cm)이므로
△APD= 14ABCD=1
4 _(4_6_sin`60ù)
= 14_{4_6_'3
2 }=3'3(cmÛ`) ②
4 -1
△AOD에서 ∠AOD=180ù-(30ù+15ù)=135ù
∴ ABCD= 12 _7_8_sin`(180ù-135ù)
= 12 _7_8_'2
2 =14'2(cmÛ`) ②
4 -2
12 _12_10_sin`x=30이므로 sin`x=1 2
이때 sin`30ù= 12 이므로 ∠x=30ù 30ù
본교재 | 33 쪽
01
④02
4'2`cmÛ``03
32'2`cmÛ`04
135ù05
14'3`cmÛ`06
50`cmÛ`07
③08
③배운대로
해결하기
01
12 _5'3_ACÓ_sin`60ù=30이므로
12 _5'3_ACÓ_'3
2 =30, 15
4 ACÓ=30
∴ ACÓ=8(cm) ④
02
점 G가 △ABC의 무게중심이므로
△GBC= 13△ABC= 13 _{12 _6_8_sin`45ù}
= 13 _{1
2 _6_8_'2 2 }
=4'2(cmÛ`) 4'2`cmÛ`
03
점 O를 지나는 정팔각형의 대각선을 모두 그으 면 정팔각형은 두 변의 길이가 각각 4`cm이고 그 끼인각의 크기가 45ù인 8개의 합동인 이등변 삼각형으로 나누어진다.
4`cm O 45
°∴ (정팔각형의 넓이) =8_{ 12 _4_4_sin`45ù}
=8_{ 12 _4_4_'2 2 }
=32'2(cmÛ`) 32'2`cmÛ`
04
12 _13_12_sin`(180ù-B)=39'2이므로
sin`(180ù-B)= '22 이때 sin`45ù= '2
2 이므로
180ù-∠B=45ù ∴ ∠B=135ù 135ù
05
BDÓ를 그으면 ABCD
=△ABD+△BCD
= 12 _2'3_4_sin`(180ù-150ù)
+ 12 _6_8_sin`60ù
= 12 _2'3_4_1 2 +1
2 _6_8_'3 2
=2'3+12'3=14'3(cmÛ`) 14'3`cmÛ`
06
마름모 ABCD는 네 변의 길이가 같은 평행사변형이므로
ABCD =10_10_sin`30ù
=10_10_ 12 =50(cmÛ`) 50`cmÛ`
07
△AMC= 14 ABCD=1
4 _(14_16_sin`45ù)
= 14 _{14_16_'2
2 }=28'2(cmÛ`) ③
08
BDÓ=x`cm라고 하면 ABCD는 등변사다리꼴이므로 ACÓ=BDÓ=x(cm)
이때 12 _x_x_sin`(180ù-120ù)=16'3이므로 12 _x_x_'3
2 =16'3, '3
4 xÛ`=16'3 xÛ`=64 ∴ x=8 (∵ x>0)
∴ BDÓ=8(cm) ③
60
°150
°C D A
B 8`cm
6`cm 4`cm
2 3 cm
본교재 | 34 ~ 36 쪽
01
②, ③02
8'33 p`cmÜ`03
③04
(12-6'3)`cm05
50'3`m06
④07
8'608
③09
10(3+'3)`m10
9'3`cmÛ`11
②12
126`cmÛ`13
③14
16`cm15
4'2`cmÛ`16
④17
10('3-1)`m18
'3719
(12p-9'3)`cmÛ`20
253'3`cmÛ`21
125'322
③개념 넓히기로
마무리
01
∠A=180ù-(90ù+51ù)
=39ù 이므로
ABÓ=7`sin`51ù=7`cos`39ù
②, ③
02
△ABO에서
AOÓ=4`sin`60ù=4_ '32 =2'3(cm) BOÓ=4`cos`60ù=4_ 12 =2(cm)
∴ (부피)= 13 _p_2Û`_2'3=8'3
3 p(cmÜ`) 8'3 3 p`cmÜ`
03
△ACB에서 BCÓ=10`tan`50ù=10_1.2=12(m)
∴ BDÓ=BCÓ+CDÓ=12+1.6=13.6(m)
따라서 나무의 높이는 13.6`m이다. ③
04
점 B에서OÕAÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △OBH에서
OHÓ=12`cos`30ù=12_ '32 =6'3(cm)
∴ AÕHÓ=OÕAÓ-OÕHÓ=12-6'3(cm) 따라서 B 지점은 A 지점을 기준으로
(12-6'3)`cm의 높이에 있다. (12-6'3)`cm
05
△ABH에서 AÕHÓ=100`cos`30ù=100_ '32 =50'3(m)
△AHC에서 CÕHÓ=50'3`tan`45ù=50'3_1=50'3(m)
따라서 산의 높이는 50'3`m이다. 50'3`m
51
°39
°A
B C
7
30
° 12`cmB A B'
O
H
06
꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서
AHÓ=15`sin`B=15_ 35 =9 BHÓ=15`cos`B=15_ 45 =12
이때 CHÓ=BCÓ-BHÓ=18-12=6이므로 △AHC에서
ACÓ="Ã9Û`+6Û`='¶117=3'13 ④
07
∠A=180ù-(60ù+75ù)=45ù
꼭짓점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △AHC에서
CÕHÓ=24`sin`45ù=24_ '22 =12'2 따라서 △BCH에서
BCÓ= 12'2
sin`60ù =12'2_ 2
'3=8'6 8'6
08
AÕHÓ=h라고 하면
△ABH에서 ∠BAH=40ù이므로 BHÓ=h`tan`40ù
△AHC에서 ∠CAH=50ù이므로 CHÓ=h`tan`50ù
이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 12=h`tan`40ù+h`tan`50ù h(tan`40ù+tan`50ù)=12
∴ h= 12
tan`40ù+tan`50ù
따라서 AHÓ의 길이를 구하는 식은 ③이다. ③
09
AÕHÓ=h`m라고 하면
△ABH에서 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h(m)
△ACH에서 ∠CAH=45ù-15ù=30ù이므로 CHÓ=h`tan`30ù= '33 h(m)
이때 BCÓ=BÕHÓ-CHÓ이므로 20=h- '3
3 h, 3-'3 3 h=20
∴ h= 603-'3=10(3+'3)
따라서 건물의 높이는 10(3+'3)`m이다. 10(3+'3)`m
H A
C B
15
18
A
B C
H 60
°24
75
°45
°Ⅰ- 2. 삼각비의 활용
10
AEÓDCÓ이므로 △AED=△AEC
∴ ABED=△ABE+△AED
=△ABE+△AEC
=△ABC
= 12 _4_9_sin`60ù
= 12 _4_9_'3
2 =9'3(cmÛ`) 9'3`cmÛ`
11
△ABD는 직각이등변삼각형이므로 AÕDÓ=ABÓ=3'2(cm) 또, BDÓ= 3'2
sin`45ù=3'2_ 2'2=6(cm)
∴ ABCD=△ABD+△BCD
= 12 _3'2_3'2+1
2 _6_5_sin`30ù
= 12 _3'2_3'2+1
2 _6_5_1
2
=9+ 152 =33
2 (cmÛ`) ②
12
BDÓ를 그으면
ABCD
=△ABD+△BCD
=12_6_6'2_sin`(180ù-135ù)
+ 12 _12'2_18_sin`45ù
= 12_6_6'2_'2 2 +1
2 _12'2_18_'2 2
=18+108=126(cmÛ`) 126`cmÛ`
13
ABCD는 정사각형이므로 ABÓ=ADÓ=8(cm)
△ADE에서 AEÓ=8`sin`60ù=8_ '32 =4'3(cm) 이때 ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90ù+30ù=120ù이므로
△ABE= 12 _8_4'3_sin`(180ù-120ù)
= 12 _8_4'3_'3
2 =24(cmÛ`) ③
14
마름모 ABCD의 한 변의 길이를 x`cm라고 하면 x_x_sin`(180ù-120ù)=8'3이므로
x_x_ '3 2 =8'3
'32 xÛ`=8'3, xÛ`=16 ∴ x=4(∵ x>0)
45
°135
°C D
A
B 18`cm 6`cm
6 2 cm
12 2 cm
따라서 마름모 ABCD의 둘레의 길이는
4_4=16(cm) 16`cm
15
∠A`:`∠B=3`:`1이므로
∠B=180ù_ 13+1 =45ù
∴ △ABO = 14 ABCD
= 14 _(4_8_sin`45ù)
= 14 _{4_8_'2 2 }
=4'2(cmÛ`) 4'2`cmÛ`
16
BÕDÓ=x`cm라고 하면 ACÓ= 12 x(cm) 12 _1
2 x_x_sin`60ù=18'3이므로 12 _1
2 x_x_'3 2 =18'3
'38 xÛ`=18'3, xÛ`=144 ∴ x=12(∵ x>0)
∴ BDÓ=12(cm) ④
17
△ADB에서 BDÓ=10`tan`60ù=10'3(m) yy 35%
△ADC에서 CDÓ=10`tan`45ù=10(m) yy 35%
따라서 국기 게양대의 높이는 BCÓ =BDÓ-CDÓ=10'3-10
=10('3-1)(m) yy 30%
10('3-1)`m
18
꼭짓점 A에서 BCÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 하면
∠ACH=180ù-120ù=60ù yy 20%
△ACH에서
AÕHÓ=4`sin`60ù=4_ '32 =2'3
CHÓ=4`cos`60ù=4_ 12 =2 yy 40%
이때 BHÓ=BCÓ+CHÓ=3+2=5이므로
△ABH에서 ABÓ=¿¹5Û`+(2'3)Û`='37 yy 40%
'37
120
°H A
B
3C
4
19
OCÓ를 그으면 OAÓ=OCÓ이므로
∠OCA=∠OAC=30ù
∴ ∠AOC=180ù-(30ù+30ù)
=120ù yy 40%
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC
=p_6Û`_ 120360 -1
2 _6_6_sin`(180ù-120ù)
=p_6Û`_ 13- 12 _6_6_'3 2
=12p-9'3(cmÛ`) yy 60%
(12p-9'3)`cmÛ`
20
BEÓ를 그으면 △BEA와 △BEC'에서
∠BAE=∠BC'E=90ù, BEÓ는 공통, BÕAÓ=BÕC'Ó이므로
△BEAª△BEC' (RHS 합동)
∴ ∠ABE=∠C'BE
= 12 _(90ù-30ù)=30ù 이때 △BC'E에서
EÕC'Ó=5`tan`30ù=5_ '33 =5'3 3 (cm)
∴ ABC'E=2△BC'E
=2_{ 12_5_5'3
3 }=25'3
3 (cmÛ`) 25'3 3 `cmÛ`
21
∠BAD=∠CAD= 12 ∠BAC=1
2 _60ù=30ù 이때 △ABC=△ABD+△ADC이므로
12 _4_6_sin`60ù
= 12 _4_AÕDÓ_sin`30ù+1
2 _AÕDÓ_6_sin`30ù 12 _4_6_'3
2 =1
2 _4_AÕDÓ_1 2 +1
2 _AÕDÓ_6_1 2 6'3=AÕDÓ+ 32 AÕDÓ, 5
2 AÕDÓ=6'3
∴ AÕDÓ=12'3
5 12'3
5
22
두 대각선이 이루는 예각의 크기를 ∠x라고 하면
ABCD= 12 _7_10_sin`x=35`sin`x
이때 sin`x의 값 중 가장 큰 값은 1이므로 ABCD의 넓이 중 가
장 큰 값은 35`cmÛ`이다. ③
30
°C
A 6`cm O B
30
°C C'
D D' A E A'
B 5`cm
Ⅱ. 원의 성질
1. 원과 직선
현의 수직이등분선
01
개념
본교재 | 38 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 2 ⑵ '3 ⑶ 14 ⑷ 2'5 ⑸ 6 ⑹ 4'21
⑶ x=2AÕMÓ=2_7=14
⑷ x=2MòBÓ=2_'5=2'5
⑸ x= 12 ABÓ=12 _12=6
⑹ x= 12 ABÓ=1
2 _8'2=4'2
본교재 | 39 ~ 40 쪽
대표 유형
1 6`cm 1 -1 4`cm 1 -2 ⑤ 2 5`cm 2 -1 253 `cm 2 -2 ③ 3 15`cm 3 -1 10`cm 3 -2 ② 4 8'3`cm 4 -1 4'6`cm 4 -2 ②
1 -1
직각삼각형 OMB에서
BÕMÓ=¿¹(2'2)Û`-2Û`='4=2(cm)
∴ ABÓ=2BÕMÓ=2_2=4(cm) 4`cm
1 -2
AÕMÓ= 12 ABÓ=1
2 _30=15(cm) OÕAÓ를 그으면 직각삼각형 OAM에서 OÕAÓ="Ã15Û`+8Û`='¶289=17(cm) 따라서 원 O의 둘레의 길이는
2p_17=34p(cm) ⑤
2 -1
OÕBÓ=r`cm라고 하면 OCÓ=OBÓ=r(cm)이므로 OÕMÓ=r-6(cm)
BÕMÓ=AÕMÓ=8(cm)이므로 직각삼각형 OMB에서 rÛ`=(r-6)Û`+8Û`, rÛ`=rÛ`-12r+36+64
12r=100 ∴ r= 253 ∴ OBÓ=25
3 (cm) 253 `cm
A M B
O
8`cm
30`cm
Ⅱ- 1. 원과 직선 2 -2
OCÓ=OBÓ=6(cm)이므로 OÕMÓ=6-3=3(cm) 직각삼각형 OMB에서
MòBÓ="Ã6Û`-3Û`='¶27=3'3(cm)
∴ ABÓ=2MòBÓ=2_3'3=6'3(cm) ③
3 -1
현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r`cm라고 하면
OÕAÓ=r`cm, ODÓ=r-4(cm) 직각삼각형 AOD에서
rÛ`=8Û`+(r-4)Û`, rÛ`=64+rÛ`-8r+16 8r=80 ∴ r=10
따라서 원의 반지름의 길이는 10`cm이다. 10`cm
3 -2
AÕDÓ= 12 ABÓ=1
2 _24=12(cm)
현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 O라고 하면 직각삼각형 AOD 에서
OÕDÓ="Ã13Û`-12Û`='¶25=5(cm)
∴ CÕDÓ=OCÓ-OÕDÓ=13-5=8(cm) ②
4 -1
OÕAÓ를 긋고 점 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발 을 M이라고 하면
OÕAÓ=4'2`cm OÕMÓ= 12 OÕAÓ=1
2 _4'2=2'2(cm) 직각삼각형 AOM에서
AÕMÓ=¿¹(4'2)Û`-(2'2)Û`='¶24=2'6(cm)
∴ ABÓ=2AÕMÓ=2_2'6=4'6(cm) 4'6`cm
4 -2
OÕAÓ를 긋고 점 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발 을 M이라고 하자.
원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OÕAÓ=r`cm
OÕMÓ= 12 OÕAÓ=1 2 r(cm)
A B
C
O
4`cm 8`cmD
r`cm (r-4)`cm
D 12`cm 13`cm
A B
C
O
A M B
O
B
A O
M 14 3 cm
AÕMÓ= 12 ABÓ=1
2 _14'3=7'3(cm)이므로 직각삼각형 OAM에서
rÛ`=(7'3)Û`+{ 12 r}2`, rÛ`=147+1 4 rÛ`
34 rÛ`=147, rÛ`=196
∴ r=14 (∵ r>0)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 14`cm이다. ②
현의 길이
02
개념
본교재 | 41 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 5 ⑵ 7 ⑶ 8 ⑷ 62
⑴ 5 ⑵ 61
⑶ OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CBÓ ∴ x= 12 CBÓ=1
2 ABÓ=1
2 _16=8
⑷ OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ ∴ x=CDÓ=2CNÓ=2_3=6
2
⑵ ABÓ=2BÕMÓ=2_7=14 즉, ABÓ=CDÓ이므로 x=OÕNÓ=6
본교재 | 42 쪽
대표 유형
5 6`cm 5 -1 8`cm 5 -2 ③
6 65ù 6 -1 58ù 6 -2 ⑤
5 -1
직각삼각형 OND에서
DÕNÓ=¿¹(2'5)Û`-2Û`='¶16=4(cm)
∴ CDÓ=2DÕNÓ=2_4=8(cm) 이때 OÕMÓ=ONÓ이므로
ABÓ=CDÓ=8(cm) 8`cm
5 -2
CNÓ= 12 CDÓ=1
2 _12=6(cm)이므로 직각삼각형 OCN에서
OÕNÓ="Ã10Û`-6Û`='¶64=8(cm)
이때 ABÓ=2AÕMÓ=2_6=12(cm)이므로 ABÓ=CDÓ
∴ OÕMÓ=ONÓ=8(cm) ③
6 -1
OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠ACB= 12 _(180ù-64ù)=58ù 58ù
6 -2
OÕDÓ=OÕEÓ=OÕFÓ이므로 AÕBÓ=BCÓ=CÕAÓ
따라서 △ABC는 정삼각형이므로 △ABC의 둘레의 길이는
3_12=36(cm) ⑤
본교재 | 43 쪽
01
③02
④03
16p`cmÛ`04
13`cm05
4'3`cm06
4'2`cm07
③08
40ù배운대로
해결하기
01
오른쪽 그림과 같은 원 O에서 AÕMÓ= 12 ABÓ=1
2 _6=3(cm) 직각삼각형 OAM에서
OÕMÓ="Ã4Û`-3Û`='7(cm)
따라서 구하는 거리는 '7`cm이다. ③
02
원 O의 반지름의 길이가 10`cm이므로 OCÓ=10`cm
∴ OÕMÓ= 12 `OCÓ=1
2 _10=5(cm) 직각삼각형 OMB에서
MòBÓ="Ã10Û`-5Û`='¶75=5'3(cm)
∴ AÕMÓ=MòBÓ=5'3(cm) ④
03
직각삼각형 MCB에서
MòBÓ=¿¹(2'6 )Û`-3Û`='15(cm)
OBÓ를 긋고 원 O의 반지름의 길이를 r`cm 라고 하면
OBÓ=r`cm, OÕMÓ=r-3(cm)
O
A M B
4`cm 6`cm
O
A B
C 3`cm M
2 6 cm
직각삼각형 OMB에서 rÛ`=(r-3)Û`+('15)Û`
rÛ`=rÛ`-6r+9+15, 6r=24 ∴ r=4
∴ (원 O의 넓이)=p_4Û`=16p(cmÛ`) 16p`cmÛ`
04
현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므 로 원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r`cm라고 하면
OÕAÓ=r`cm, ODÓ=r-4(cm) ADÓ= 12 ABÓ=1
2 _12=6(cm)이므로 직각삼각형 AOD에서
rÛ`=6Û`+(r-4)Û`
rÛ`=36+rÛ`-8r+16 8r=52 ∴ r= 132
따라서 원래의 접시의 지름의 길이는
132 _2=13(cm) 13`cm
05
OÕAÓ를 그으면
OÕAÓ=2OÕMÓ=2_2=4(cm) 직각삼각형 OAM에서
AÕMÓ="Ã4Û`-2Û`='12=2'3(cm)
∴ ABÓ=2AÕMÓ=2_2'3=4'3(cm) 4'3`cm
06
OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ=8(cm) 이때 AÕMÓ= 12 ABÓ=1
2 _8=4(cm)이므로 직각삼각형 OAM에서 OÕAÓ="Ã4Û`+4Û`='¶32=4'2(cm) 4'2`cm
07
점 O에서 CDÓ에 내린 수선의 발을 N이라고 하 면 ABÓ=CDÓ이므로
ONÓ=OÕMÓ=2'6(cm) 직각삼각형 OND에서
DNÓ=¿¹7Û`-(2'6)Û`='¶25=5(cm) 따라서 CDÓ=2DÕNÓ=2_5=10(cm)이므로
△OCD= 12 _10_2'6=10'6(cmÛ`) ③
08
OÕMÓ=OÕNÓ이므로 ABÓ=ACÓ
따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠BAC=180ù-2_70ù=40ù 40ù
A C D B
O 6`cm
(r-4)`cm
4`cm
r`cm (r-4)`cm r`cm
A M B
O 2 cm
O
M N
A B
D C 7`cm
2 6 cm
Ⅱ- 1. 원과 직선
원의 접선
03
개념
본교재 | 44 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 60 ⑵ 42
⑴ 130ù ⑵ 65ù3
⑴ 9 ⑵ 701
⑴ ∠PTO=90ù이므로 직각삼각형 OPT에서 ∠POT=180ù-(30ù+90ù)=60ù
∴ x=60
⑵ ∠PTO=90ù이므로 직각삼각형 POT에서
PTÓ="Ã5Û`-3Û`='¶16=4(cm) ∴ x=4
2
⑴ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서 ∠x=360ù-(90ù+50ù+90ù)
=130ù
⑵ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 AOBP에서 ∠x=360ù-(90ù+115ù+90ù)
=65ù
3
⑵ PÕAÓ=PBÓ이므로 △PAB에서 ∠PBA=∠PAB=70ù
∴ x=70
본교재 | 45 ~ 46 쪽
대표 유형
1 4`cm 1 -1 3`cm 1 -2 5`cm 2 5'3`cm 2 -1 2'10`cm 2 -2 ③ 3 5`cm 3 -1 10`cm 3 -2 5`cm 4 12`cm 4 -1 8'6`cm 4 -2 14p`cmÛ`
1 -1
∠PTO=90ù이므로 직각삼각형 PTO에서 POÓ=¿¹(3'3)Û`+3Û`='¶36=6(cm)
∴ PÕAÓ=POÓ-AOÓ=6-3=3(cm) 3`cm
1 -2
원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OÕAÓ=OTÓ=r(cm), OPÓ=r+8(cm) 이때 ∠OTP=90ù이므로 직각삼각형 OTP에서 (r+8)Û`=rÛ`+12Û`, rÛ`+16r+64=rÛ`+144 16r=80 ∴ r=5
따라서 원 O의 반지름의 길이는 5`cm이다. 5`cm
2 -1
OQÓ=OÕAÓ=3(cm)이므로 POÓ=4+3=7(cm)
∠PAO=90ù이므로 직각삼각형 POA에서 PÕAÓ="Ã7Û`-3Û`='¶40=2'¶10(cm)
∴ PBÓ=PÕAÓ=2'¶10(cm) 2'¶10`cm
2 -2
∠PAO=90ù이므로 ∠PAB=90ù-22ù=68ù 이때 △PBA는 PÕAÓ=PBÓ인 이등변삼각형이므로
∠APB=180ù-2_68ù=44ù ③
3 -1
ADÓ=AFÓ=20(cm)이므로 BEÓ=BDÓ=20-16=4(cm) CEÓ=CFÓ=20-14=6(cm)
∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=4+6=10(cm) 10`cm
3 -2
BDÓ=BEÓ, CFÓ=CEÓ이므로
ADÓ+AFÓ=(ABÓ+BDÓ)+(ACÓ+CFÓ)
=(ABÓ+BEÓ)+(ACÓ+CEÓ)
=ABÓ+(BEÓ+CEÓ)+ACÓ
=ABÓ+BCÓ+ACÓ
=7+8+9=24(cm)
이때 ADÓ=AFÓ이므로 2ADÓ=24 ∴ ADÓ=12(cm)
∴ BDÓ=12-7=5(cm) 5`cm
4 -1
CEÓ=CÕAÓ=8(cm), DEÓ=DBÓ=12(cm) 이므로 CDÓ=8+12=20(cm)
꼭짓점 C에서 BDÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 HBÓ=CÕAÓ=8(cm)이므로
DÕHÓ=12-8=4(cm) 직각삼각형 CDH에서
CHÓ="Ã20Û`-4Û`='¶384=8'6(cm)
∴ ABÓ=CHÓ=8'6(cm) 8'6`cm
8`cm
A
12`cm B
C
O
D H
E
4 -2
CEÓ=CÕAÓ=7(cm)
DBÓ=DEÓ=11-7=4(cm)
꼭짓점 D에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H 라고 하면 HÕAÓ=DBÓ=4(cm)이므로 CÕHÓ=7-4=3(cm)
직각삼각형 CHD에서
HDÓ="Ã11Û`-3Û`='¶112=4'7(cm)
이때 ABÓ=HDÓ=4'7(cm)이므로 반원 O의 반지름의 길이는 12 _4'7=2'7(cm)
∴ (반원 O의 넓이)= 12 _p_(2'7)Û`=14p(cmÛ`) 14p`cmÛ`
삼각형의 내접원
04
개념
본교재 | 47 쪽
개념 콕콕
1
⑴ x=3, y=8, z=7 ⑵ x=5, y=4, z=62
⑴ 4 ⑵ 111
⑵ AFÓ=ADÓ=5 ∴ x=5 CEÓ=CFÓ=11-5=6 ∴ z=6 BDÓ=BEÓ=10-6=4 ∴ y=4
2
⑴ BEÓ=BDÓ=5이므로
CFÓ=CEÓ=9-5=4 ∴ x=4
⑵ AFÓ=ADÓ=10-6=4이므로
CFÓ=15-4=11 ∴ x=11
본교재 | 48 쪽
대표 유형
5 3`cm 5 -1 12`cm 5 -2 36`cm 6 1`cm 6 -1 2`cm 6 -2 9p`cmÛ`
5 -1
BDÓ=x`cm라고 하면 BEÓ=BDÓ=x(cm)
AFÓ=ADÓ=22-x(cm), CFÓ=CEÓ=17-x(cm) 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로
15=(22-x)+(17-x), 2x=24 ∴ x=12
∴ BDÓ=12(cm) 12`cm
H
O
7`cm11`cm
A B
D
C E
5 -2
ADÓ=AFÓ,BEÓ=BDÓ, CFÓ=CEÓ이므로 (△ABC의 둘레의 길이) =2(AFÓ+BDÓ+CEÓ)
=2_(4+6+8)=36(cm) 36`cm
6 -1
ODÓ, OEÓ를 긋고 원 O의 반지름의 길 이를 r`cm라고 하면 DBEO는 정 사각형이므로
BDÓ=BEÓ=OEÓ=r(cm),
AFÓ=ADÓ=5-r(cm), CFÓ=CEÓ=12-r(cm)
이때 직각삼각형 ABC에서 ACÓ="Ã5Û`+12Û`='¶169=13(cm)이고 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로
13=(5-r)+(12-r) 2r=4 ∴ r=2
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2`cm이다. 2`cm
6 -2
ODÓ, OFÓ를 긋고 원 O의 반지름의 길이 를 r`cm라고 하면 ADOF는 정사각 형이므로 ADÓ=AFÓ=OFÓ=r(cm) 또, BDÓ=BEÓ=6(cm),
CFÓ=CEÓ=9(cm)이므로
ABÓ=r+6(cm), ACÓ=r+9(cm) 이때 직각삼각형 ABC에서
(6+9)Û`=(r+6)Û`+(r+9)Û`
225=rÛ`+12r+36+rÛ`+18r+81 2rÛ`+30r-108=0, rÛ`+15r-54=0 (r-3)(r+18)=0 ∴ r=3 (∵ r>0)
∴ (원 O의 넓이)=p_3Û`=9p(cmÛ`) 9p`cmÛ`
원에 외접하는 사각형
05
개념
본교재 | 49 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 13`cm ⑵ 16`cm2
⑴ 3 ⑵ 7 ⑶ 8 ⑷ 151
⑴ ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ
=5+8=13(cm)
⑵ ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ
=10+6=16(cm)
