정답 과 풀이

올 림 포 스 고 난 도 수학

정답 ^과 풀이

해 01-10 올림포스(고난도)_수학_01강-오1.indd 1 2017-11-02 오후 3:51:14

다항식의 연산

01

내신 우수 문항 ^기출

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

본문 8~9쪽

01

=A+2B-2A+B

=(A-2A)+(2B+B)

=-A+3B

=-(xÛ`-2x+5)+3(2xÛ`+3x-4)

=-xÛ`+2x-5+6xÛ`+9x-12

=5xÛ`+11x-17

 ④

02

=A+B-A+B

=(A-A)+(B+B)

=2B

=2(yÛ`-3xy+4)

=2yÛ`-6xy+8

 ④

03

A-B=2xÛ`-xy+3yÛ` yy㉡

㉠+㉡에서

(A+B)+(A-B)=(xÛ`+2xy-yÛ`)+(2xÛ`-xy+3yÛ`) 2A=3xÛ`+xy+2yÛ`

A=;2#;xÛ`+;2!;xy+yÛ` yy㉢

㉢을㉠에대입하면

{;2#;xÛ`+;2!;xy+yÛ`}+B=xÛ`+2xy-yÛ`

B=(xÛ`+2xy-yÛ`)-{;2#;xÛ`+;2!;xy+yÛ`}

=-;2!;xÛ`+;2#;xy-2yÛ`

따라서

2A+3B=2{;2#;xÛ`+;2!;xy+yÛ`}+3{-;2!;xÛ`+;2#;xy-2yÛ`}

=(3xÛ`+xy+2yÛ`)+{-;2#;xÛ`+;2(;xy-6yÛ`}

=;2#;xÛ`+:Á2Á:xy-4yÛ`

이므로xy의계수는:Á2Á:이다.

 ②

04

=3xÝ`+2xÜ`+xÛ`+6xÜ`+4xÛ`+2x+9xÛ`+6x+3

=3xÝ`+(2+6)xÜ`+(1+4+9)xÛ`+(2+6)x+3

=3xÝ`+8xÜ`+14xÛ`+8x+3

이므로xÜ`의계수는8,xÛ`의계수는14이다.

따라서a=8,b=14이므로 a+b=8+14=22

 ③

05

=(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)

={(x-1)(x+2)}{(x-2)(x+3)}

=(xÛ`+x-2)(xÛ`+x-6)

={(xÛ`+x)-2}{(xÛ`+x)-6}

=(xÛ`+x)Û`-8(xÛ`+x)+12

=xÝ`+2xÜ`+xÛ`-8xÛ`-8x+12

=xÝ`+2xÜ`-7xÛ`-8x+12

 ⑤

06

a+b=1-c  b+c=1-a  c+a=1-b 따라서

(a+b)(b+c)(c+a) 

=(1-c)(1-a)(1-b) 

=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc 

=1-1-10-8

=-18

 ①

07

=aÜ`+1+(aÛ`-1)(aÛ`+1)

=aÜ`+1+aÝ`-1

=aÝ`+aÜ`

 ①

08

=(x+y+z)Û`-2(xy+yz+zx) 

=('5)Û`-2_(-1)

=5+2=7

정답과 풀이 3 따라서

2xÛ`+2yÛ`+2zÛ`=2(xÛ`+yÛ`+zÛ`)=2_7=14

 ④

09

ax+b 4xÛ` -8x+7 xÛ`+2x x`+7 x`+

c a_2=4이어야하므로a=2

또한b_2=2이어야하므로b=1 따라서나머지연산을하면다음과같다.

2x-5 2x+1 4xÛ`-8x+7

4xÛ`+2x -10x+7 -10x-5 12 따라서c=12이므로 abc=2_1_12=24

 24

10

이때x,y는모두양수이므로xy=1

 (가)

따라서

xà`y+xyà`=xy(xß`+yß`) 

=xy{(xÛ`+yÛ`)Ü`-3xÛ`yÛ`(xÛ`+yÛ`)} 

=1_{(2'2)Ü`-3_1_2'2}

=16'2-6'2 

=10'2

 (나)

 10'2

단계 채점 기준 비율

(가) xÛ`+yÛ`,xÛ`yÛ`,xy의값을구한경우 40`%

(나) 곱셈공식의변형을이용하여xà`y+xyà`의값을구한

경우 60`%

11

2x+1이므로

A=(xÛ`-x+1)(x+1)+2x+1 

=xÜ`+1+2x+1

=xÜ`+2x+2

 (가)

이때다항식A=xÜ`+2x+2를xÛ`+x+1로나누면다음과같다.

x -1

xÛ`+x+1 xÜ` +2x+2 xÜ`+xÛ`+ x

-xÛ`+ x+2 -xÛ`- x-1 2x+3

 (나)

따라서몫은x-1,나머지는2x+3이므로몫과나머지의합은 (x-1)+(2x+3)=3x+2

 (다)

 3x+2

단계 채점 기준 비율

(가) 다항식A를구한경우 40`%

(나) 다항식A를xÛ`+x+1로나눈경우 40`%

(다) 몫과나머지의합을구한경우 20`%

내신 고득점 문항

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

본문 10~11쪽 7%상위

12

=A-(2B+3C-A) 

=2A-2B-3C 

=2(2xÜ`+axÛ`+3x+1)-2(xÜ`-xÛ`+4)-3(-xÜ`+bx-4) 

=4xÜ`+2axÛ`+6x+2-2xÜ`+2xÛ`-8+3xÜ`-3bx+12 

=5xÜ`+2(a+1)xÛ`+3(2-b)x+6 이때xÛ`의계수가3이므로

2(a+1)=3 a+1=;2#;

a=;2!;

또한x의계수가4이므로

3(2-b)=4 2-b=;3$;

b=2-;3$;=;3@;

따라서ab=;2!;_;3@;=;3!;

 ②

해 01-10 올림포스(고난도)_수학_01강-오1.indd 3 2017-11-02 오후 3:51:15

aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`

=(ab+bc+ca)Û`-2(aÛ`bc+abÛ`c+abcÛ`)

=(ab+bc+ca)Û`-2abc(a+b+c) 에서57=9Û`-2abc_6

따라서abc=2

 ①

17

xy=-;3!;

xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=2Û`-2_{-;3!;}=:Á3¢:

이므로

xÝ`+yÝ`=(xÛ`+yÛ`)Û`-2xÛ`yÛ` 

=(xÛ`+yÛ`)Û`-2(xy)Û` 

={:Á3¢:}Û`-2_{-;3!;}Û` 

= 1949 

 ③

18

=xÜ`+(a+2b+2)xÛ`+(2ab+2a+4b)x+4ab 이때xÛ`의계수가10이므로

a+2b+2=10 a+2b=8

x의계수가20이므로 2ab+2a+4b=20 2ab+2(a+2b)=20 2ab+2_8=20 ab=2

따라서

aÜ`+8bÜ`=a+(2b)Ü`=(a+2b)Ü`-3_a_2b(a+2b) 

=(a+2b)Ü`-6ab(a+2b) 

=8Ü`-6_2_8=512-96 

=416

 ④

19

xÛ`+x-4 xÝ`+xÜ`+xÛ` +x`+1 xÝ`+xÜ`-4xÛ`

5xÛ`+x`+1 5xÛ`+5x-20

-4x+21



즉,xÝ`+xÜ`+xÛ`+x+1=(xÛ`+x-4)(xÛ`+5)-4x+21이고 이차방정식xÛ`+x-4=0의근은근의공식에의하여

13

A-B=xÛ`-3xy+5yÛ` yy㉡

㉠+㉡을하면

2A=(3xÛ`+xy+yÛ`)+(xÛ`-3xy+5yÛ`)

=4xÛ`-2xy+6yÛ`

A=2xÛ`-xy+3yÛ`

㉠-㉡을하면

2B=(3xÛ`+xy+yÛ`)-(xÛ`-3xy+5yÛ`)

=2xÛ`+4xy-4yÛ`

B=xÛ`+2xy-2yÛ`

이때

AB=(2xÛ`-xy+3yÛ`)(xÛ`+2xy-2yÛ`) 이고,AB의전개식에서xÛ`yÛ`항은 2xÛ`_(-2yÛ`)+(-xy)_2xy+3yÛ`_xÛ`

=(-4-2+3)xÛ`yÛ`=-3xÛ`yÛ`

따라서xÛ`yÛ`의계수는-3이다.

 ①

14

f(x+a)=(x+a)Ü`+2(x+a)Û`-2(x+a)+3

   =xÜ`+3axÛ`+3aÛ`x+aÜ`+2xÛ`+4ax+2aÛ`-2x-2a+3

   =xÜ`+(3a+2)xÛ`+(3aÛ`+4a-2)x+aÜ`+2aÛ`-2a+3

   =xÜ`+pxÛ`+qx+r

이므로p=3a+2,q=3aÛ`+4a-2,r=aÜ`+2aÛ`-2a+3 이때pq=r이므로

(3a+2)(3aÛ`+4a-2)=aÜ`+2aÛ`-2a+3 9aÜ`+18aÛ`+2a-4=aÜ`+2aÛ`-2a+3 8aÜ`+16aÛ`+4a=7

따라서4a(2aÛ`+4a+1)=7

 ①

15

=(a-2b+3c)Û`

=aÛ`+(-2b)Û`+(3c)Û`+2a_(-2b)+2_(-2b)_3c+2_3c_a

=aÛ`+4bÛ`+9cÛ`-4ab-12bc+6ca

=aÛ`+4bÛ`+9cÛ`-2(2ab+6bc-3ca)

=44-2_(-4)=52 이때|a-2b+3c|¾0이므로

|a-2b+3c|='5Œ2=2'1Œ3

 ④

16

이므로

ab+bc+ca=9 또한

정답과 풀이 5 x=-1Ñ'1Œ7

2

이때x는양수이므로x=-1+'1Œ7 2 따라서

xÝ`+xÜ`+xÛ`+x+1=(xÛ`+x-4)(xÛ`+5)-4x+21 

=0-4_-1+'1Œ7

2 +21=23-2'¶17

 ②

20

QÁ(x),나머지가RÁ이므로

2xÜ`+4xÛ`+5x-10=(2x-1)QÁ(x)+RÁ 이때

2xÜ`+4xÛ`+5x-10=2{x-;2!;}QÁ(x)+RÁ

={x-;2!;}_2QÁ(x)+RÁ

이므로다항식2xÜ`+4xÛ`+5x-10을x-;2!;로나누었을때의몫Qª(x) 와나머지Rª는

Qª(x)=2QÁ(x),Rª=RÁ 따라서Qª(x)

QÁ(x)=2,Rª

RÁ =1이므로 Qª(x)

QÁ(x)+Rª

RÁ =2+1=3

 ③

21

=aÛ`+(2b)Û`+(2c)Û`+2(a_2b+2b_2c+2c_a) 

=aÛ`+4bÛ`+4cÛ`+4(ab+2bc+ca) 4Û`=8+4(ab+2bc+ca)

ab+2bc+ca=2

 (가)

a+2b+2c=4에서

a+2b=4-2c,2b+2c=4-a,2c+a=4-2b

 (나)

따라서

2(a+2b)(b+c)+2(b+c)(2c+a)+(2c+a)(a+2b)

=(a+2b)(2b+2c)+(2b+2c)(2c+a)+(2c+a)(a+2b)

=(4-2c)(4-a)+(4-a)(4-2b)+(4-2b)(4-2c)

=16-4(a+2c)+2ac+16-4(a+2b)+2ab+16-4(2b+2c)

+4bc

=-8(a+2b+2c)+2(ab+2bc+ca)+48

=-8_4+2_2+48=20

 (다)

 20

단계 채점 기준 비율

(가) ab+2bc+ca의값을구한경우 30`%

(나) a+2b,2b+2c,2c+a를각각한문자로나타낸경

우 20`%

(다) 주어진식의값을구한경우 50`%

22

f(x)=(x-3)Q(x)+3 yy㉠

다항식Q(x)를x-5로나누었을때의몫을P(x)라하면나머지가4 이므로

Q(x)=(x-5)P(x)+4 yy㉡

㉡을㉠에대입하면

f(x)=(x-3){(x-5)P(x)+4}+3

=(x-3)(x-5)P(x)+4(x-3)+3 

=(x-3)(x-5)P(x)+4x-9

이므로 f(x)를(x-3)(x-5)로나누었을때의나머지는 R(x)=4x-9이다.

 (가)

또한

f(x)=(x-3)(x-5)P(x)+4x-9 

=(x-5)(x-3)P(x)+4(x-5)+11 

=(x-5){(x-3)P(x)+4}+11

이므로 f(x)를x-5로나누었을때의나머지는r=11이다.

 (나)

따라서

R(x)+r=(4x-9)+11=4x+2

 (다)

 4x+2

단계 채점 기준 비율

(가) R(x)를구한경우 40`%

(나) r를구한경우 40`%

(다) R(x)+r를구한경우 20`%

내신 변별력 문항

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

본문 12~14쪽 4%상위

해 01-10 올림포스(고난도)_수학_01강-오1.indd 5 2017-11-02 오후 3:51:16

23

두다항식A,B에대하여A▲B를 

  A▲B=AÛ`-AB-BÛ` 

라할때,다항식(xÝ`+x+1)▲(3xÜ`+2xÛ`+x)의전개식에서x의

계수와xÛ`의계수의합을구하시오. -2



A▲B를 이용하여 x의 계수와 xÛ`의 계수를 구한다.

A▲B를 이용하여 전개식 나타내기 (xÝ`+x+1)▲(3xÜ`+2xÛ`+x)

=(xÝ`+x+1)Û`-(xÝ`+x+1)(3xÜ`+2xÛ`+x)-(3xÜ`+2xÛ`+x)Û`

 yy㉠

x의 계수와 xÛ`의 계수를 구하여 그 합 구하기

다항식㉠의전개식에서x의계수와xÛ`의계수는각각다항식

(x+1)Û`-(x+1)(2xÛ`+x)-xÛ`의 전개식에서 x의 계수와 xÛ`의 계 수와같다.

(x+1)Û`-(x+1)(2xÛ`+x)-xÛ`

=(xÛ`+2x+1)-(2xÜ`+3xÛ`+x)-xÛ`

=-2xÜ`-3xÛ`+x+1

따라서다항식㉠의전개식에서x의계수는1,xÛ`의계수는-3이므로

그합은1+(-3)=-2

 -2

24

삼각형ABC의세변의길이a,b,c가등식 

  (a+2b+c)(a+2b-c)=(a+2b)Û`-(a-2b)Û`  을만족시킬때,다음a,b,c의관계중항상성립하는것은?

①a-2b-c=0 ②a-2b+c=0 ③a+2b-c=0

④a+2b-2c=0 ⑤2a+b-2c=0 삼각형의결정조건에의하여 a+b>c,b+c>a,a+c>b

곱셈 공식과 삼각형의 결정조건을 이용하여 a, b, c의 관계식을 구한다.

주어진 등식을 전개하여 a, b, c의 관계식 구하기 (a+2b+c)(a+2b-c)=(a+2b)Û`-(a-2b)Û`에서 {(a+2b)+c}{(a+2b)-c}=(a+2b)Û`-(a-2b)Û`

(a+2b)Û`-cÛ`=(a+2b)Û`-(a-2b)Û`

(a-2b)Û`=cÛ`

a-2b=c또는a-2b=-c

삼각형의 결정조건을 이용하여 a, b, c의 관계식 구하기 a-2b=c일때,

a=2b+c>b+c이고

풀이전략

문제풀이

풀이전략

문제풀이

AÛ`=BÛ`이면A=B또는A=-B

삼각형의결정조건에의하여b+c>a이므로 부등식a>b+c는성립할수없다.

즉,a-2b+c

따라서a-2b=-c,즉a-2b+c=0

 ②

25

A=(102Û`-98Û`)(102Ü`-98Ü`)은n자리의 자연수이다. 자연수A 의모든자리의숫자의합을S라할때,n+S의값은?

①32 ②34 ③36

④38 ⑤40

102=100+2,98=100-2 임을이용한다.



적절한 수를 x로 치환한 후 곱셈 공식을 이용한다.

100을 x로 치환하여 A 구하기

100=x라하면102=x+2,98=x-2이므로 A=(102Û`-98Û`)(102Ü`-98Ü`)

={(x+2)Û`-(x-2)Û`}{(x+2)Ü`-(x-2)Ü`}

={(xÛ`+4x+4)-(xÛ`-4x+4)} 

_{(xÜ`+6xÛ`+12x+8)-(xÜ`-6xÛ`+12x-8)}

=8x_(12xÛ`+16)

=96xÜ`+128x

=96_100Ü`+128_100

=96000000+12800=96012800 n과 S를 구한 후 n+S의 값 구하기

따라서A는8자리의자연수이므로n=8이고,A의모든자리의숫자 의합S는

S=9+6+0+1+2+8+0+0=26 따라서n+S=8+26=34

 ②

26

a+b=4, ab=1일 때, (a+aÛ`+aÜ`+aÝ`)-(b+bÛ`+bÜ`+bÝ`)의

값을구하시오.(단,a>b) 152'3

곱셈 공식의 변형을 이용한다.

곱셈 공식의 변형을 이용하여 a-b, aÛ`-bÛ`, aÜ`-bÜ`, aÝ`-bÝ`의 값 구 하기

(a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=4Û`-4_1=12 이때a>b,즉a-b>0이므로

a-b='1Œ2=2'3

풀이전략

문제풀이

풀이전략

문제풀이

정답과 풀이 7 또한

aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)=4_2'3=8'3 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=4Û`-2_1=14 aÜ`-bÜ`=(a-b)Ü`+3ab(a-b) 

=(2'3)Ü``+3_1_2'3 

=24'3+6'3=30'3

aÝ`-bÝ`=(aÛ`+bÛ`)(aÛ`-bÛ`)=14_8'3=112'3 주어진 식의 값 구하기

따라서

(a+aÛ`+aÜ`+aÝ`)-(b+bÛ`+bÜ`+bÝ`)

=(a-b)+(aÛ`-bÛ`)+(aÜ`-bÜ`)+(aÝ`-bÝ`)

=2'3+8'3+30'3+112'3

=152'3

 152'3

27

넓이가4인직각이등변삼각형ABC의세변의길이a,b,c가등식

  (a+b+c)(b-a-c)=(a+b-c)(a-b-c)

를만족시킬때,abc 의값을구하시오. ⁴ 직각을낀두변의길이가같으므로이변의길이를x라하면

;2!;xÛ`=4



곱셈 공식과 피타고라스 정리를 이용한다.

곱셈 공식을 이용하여 a, b, c 사이의 관계식 구하기 (a+b+c)(b-a-c)=(a+b-c)(a-b-c)에서 {b+(a+c)}{b-(a+c)}={(a-c)+b}{(a-c)-b}

bÛ`-(a+c)Û`=(a-c)Û`-bÛ`

2bÛ`=(a+c)Û`+(a-c)Û` 

=(aÛ`+2ac+cÛ`)+(aÛ`-2ac+cÛ`) 

=2aÛ`+2cÛ`

bÛ`=aÛ`+cÛ`

삼각형의 넓이 공식과 피타고라스 정리를 이용하여 a, b, c의 값 구하기 따라서삼각형ABC는빗변의길이가b이고a=c인직각이등변삼각 형이므로삼각형ABC의넓이는

;2!;_a_a=4 aÛ`=8

a>0이므로a=c=2'2이고 bÛ`=aÛ`+cÛ`=(2'2)Û`+(2'2)Û`=16 b>0이므로b=4

따라서 abc = 2'2_4

2'2 =4

 4

풀이전략

문제풀이

a

a b

28

a+b+c=1,aÛ`+bÛ`+cÛ`=3,;a!;+;b!;+;c!;=1일때, 1

aÛ`+ 1 bÛ`+ 1

cÛ`의값을구하시오. 3

곱셈 공식의 변형을 이용한다.

곱셈 공식의 변형을 이용하여 abc의 값 구하기

a+b+c=1 yy㉠

aÛ`+bÛ`+cÛ`=3` yy㉡

;a!;+;b!;+;c!;=1 yy㉢

㉠,㉡에서

aÛ`+bÛ`+cÛ`=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) 3=1Û`-2(ab+bc+ca)

ab+bc+ca=-1

㉢에서

ab+bc+ca abc =1 abc=ab+bc+ca=-1

곱셈 공식의 변형을 이용하여 주어진 식의 값 구하기 따라서

1

aÛ`+ 1bÛ`+ 1cÛ`

={;a!;+;b!;+;c!;}Û`-2¦ 1ab+ 1 bc+ 1

ca }

={;a!;+;b!;+;c!;}Û`-2_ a+b+cabc

=1Û`-2_ 1-1=3

 3

29

그림과 같은 직육면체 ABCD-EFGH가 있다. 이 직육면체의

모든모서리의길이의합이24이고,삼각형AEG의모든변의길 이의제곱의합이28일때,이직육면체의겉넓이를구하시오.

A

B C

D

E H

F G



2_(ABCD+ABFE +AEHD)

22 

주어진 조건에 맞게 식을 세운 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

풀이전략

문제풀이

xÛ`+yÛ`+zÛ`

=(x+y+z)Û`-2(xy+yz+zx)

풀이전략

해 01-10 올림포스(고난도)_수학_01강-오1.indd 7 2017-11-02 오후 3:51:18

ABÓ, ADÓ, AEÓ의 길이에 대한 식 세우기 A

B C

D

E H

F G

a

b c

AB¸=a,AD¸=b,AE¸=c라하면

직육면체ABCD-EFGH의모든모서리의길이의합이24이므로 4(a+b+c)=24

a+b+c=6 이때EG¸="ÃaÛ`+bÛ`,

AG¸=AE ¿EG¸ Û`+AE¸¸ Û`="ÃaÛ`+bÛ`+cÛ`

삼각형AEG의모든변의길이의제곱의합이28이므로

AE¸ Û`+EG¸ Û`+AG¸ Û`=cÛ`+(aÛ`+bÛ`)+(aÛ`+bÛ`+cÛ`) 

=2(aÛ`+bÛ`+cÛ`)=28 aÛ`+bÛ`+cÛ`=14`

곱셈 공식의 변형을 이용하여 직육면체의 겉넓이 구하기 이때직육면체의겉넓이는2(ab+bc+ca)이므로 2(ab+bc+ca)=(a+b+c)Û`-(aÛ`+bÛ`+cÛ`) 

=6Û`-14=22

 22

30

a+b+c=0,aÛ`+bÛ`+cÛ`=4일때,aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`의값은?

①1 ②2 ③3

④4 ⑤5

곱셈 공식의 변형을 이용한다.

ab+bc+ca의 값 구하기

aÛ`+bÛ`+cÛ`=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)  4=0-2(ab+bc+ca)

ab+bc+ca=-2

aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`의 값 구하기 (ab+bc+ca)Û`

=(ab)Û`+(bc)Û`+(ca)Û`+2(ab_bc+bc_ca+ca_ab)

=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2abc(a+b+c) (-2)Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2abc_0 따라서aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`=4

 ④

문제풀이

(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)

풀이전략

문제풀이

31

(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(2Ü`Û`+2Ú`ß`+1)

(3Ü`-1)(3ß`+1)(3Û`Ý`+3Ú`Û`+1) =p_ 2Þ`â`-q3Ü`à`-r일때,

세자연수p,q,r에대하여p+q+r의값은?

①14 ②15 ③16

④17 ⑤18

분모, 분자에 적당한 값을 곱하고 나누어 곱셈 공식을 이용한다.

곱셈 공식을 이용하여 주어진 식을 간단히 나타내기 (2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(2Ü`Û`+2Ú`ß`+1)

(3Ü`-1)(3ß`+1)(3Û`Ý`+3Ú`Û`+1)

= 3Ü`+1

2Û`-1_ 2Û`-1

3Ü`+1_(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(2Ü`Û`+2Ú`ß`+1) (3Ü`-1)(3ß`+1)(3Û`Ý`+3Ú`Û`+1)

= 3Ü`+12Û`-1_(2Û`-1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(2Ü`Û`+2Ú`ß`+1) (3Ü`+1)(3Ü`-1)(3ß`+1)(3Û`Ý`+3Ú`Û`+1)

= 3Ü`+12Û`-1_(2Ý`-1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(2Ü`Û`+2Ú`ß`+1) (3ß`-1)(3ß`+1)(3Û`Ý`+3Ú`Û`+1)

=:ª3¥:_(2¡`-1)(2¡`+1)(2Ü`Û`+2Ú`ß`+1) (3Ú`Û`-1)(3Û`Ý`+3Ú`Û`+1)

=:ª3¥:_(2Ú`ß`-1)(2Ü`Û`+2Ú`ß`+1) 3Ü`ß`-1

=:ª3¥:_2Ý`¡`-1

3Ü`ß`-1=7_2Þ`â`-4

3Ü`à`-3=p_2Þ`â`-q 3Ü`à`-r p+q+r의 값 구하기

따라서p=7,q=4,r=3이므로 p+q+r=14

 ①

32

자연수n에대하여가로의길이와세로의길이가각각nÛ`+4n+5,

nÜ`+4nÛ`+4n+2인직사각형ABCD가있다.이직사각형을한

변의길이가n+2인정사각형으로조각낼때,정사각형의최대개 수를 f(n)이라하자. f(3)+f(4)+f(5)의값을구하시오. 464

nÛ`+4n+5 A

B C

D

nÜ`+4nÛ`+4n+2 n+2

nÛ`+4n+5와 n+2 nÜ`+4nÛ`+4n+2를

n + 2 로 나누었을

때의몫을각각구한 다.

다항식의 나눗셈을 이용하여 f(n)을 구한다.

f(n) 구하기

풀이전략

문제풀이

(a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`임을

이용하기 위해 2Û`-1 3Û`+1을 곱 하고나눈다.

풀이전략

문제풀이

정답과 풀이 9 직사각형ABCD의가로의길이nÛ`+4n+5를n+2로나누면몫이

n+2이고나머지가1이므로 nÛ`+4n+5=(n+2)(n+2)+1

nÛ`+2n

n+2 nÜ`+4nÛ`+4n+2 nÜ`+2nÛ`

2nÛ`+4n 2nÛ`+4n

2

또한세로의길이nÜ`+4nÛ`+4n+2를n+2로나누면몫이nÛ`+2n이 고나머지가2이므로

nÜ`+4nÛ`+4n+2=(n+2)(nÛ`+2n)+2

따라서직사각형ABCD를한변의길이가n+2인정사각형으로조각 낼때,최대(n+2)(nÛ`+2n)개얻을수있다.

즉,f(n)=(n+2)(nÛ`+2n)=n(n+2)Û`

f(3)+ f(4)+ f(5)의 값 구하기 따라서

f(3)=3_5Û`=75

f(4)=4_6Û`=144

f(5)=5_7Û`=245 이므로

f(3)+f(4)+f(5)=75+144+245=464

 464

33

두다항식A=xÜ`-x+1,B=x-1에대하여다항식AÜ`+BÜ`을

xÞ`으로나누었을때의몫을Q(x),나머지를R(x)라할때,

Q(-1)+R(1)의값은?

①-6 ②-5 ③-4

④-3 ⑤-2



곱셈 공식의 변형과 다항식의 나눗셈을 이용한다.

A+B, AB를 구하여 AÜ`+BÜ` 구하기 두다항식A=xÜ`-x+1,B=x-1에서 A+B=(xÜ`-x+1)+(x-1)=xÜ`

AB=(xÜ`-x+1)(x-1) 

=xÝ`-xÜ`-xÛ`+x+x-1 

=xÝ`-xÜ`-xÛ`+2x-1 이므로

AÜ`+BÜ`=(A+B)Ü`-3AB(A+B)

=(xÜ`)Ü`-3(xÝ`-xÜ`-xÛ`+2x-1)_xÜ` 

=xá`-3xà`+3xß`+3xÞ`-6xÝ`+3xÜ`

풀이전략

문제풀이

Q(x), R(x)를 구한 후 Q(-1)+R(1)의 값 구하기

AÜ`+BÜ`=xÞ`(xÝ`-3xÛ`+3x+3)-6xÝ`+3xÜ`이므로다항식AÜ`+BÜ`을

xÞ`으로나누었을때의몫Q(x)와나머지R(x)는 Q(x)=xÝ`-3xÛ`+3x+3

R(x)=-6xÝ`+3xÜ`

따라서

Q(-1)+R(1)=(1-3-3+3)+(-6+3)=-5

 ②

34

두다항식 f(x),`g(x)에대하여다항식 f(x)+g(x)를h(x)로

나누었을 때의 나머지가 2이고,다항식 f(x)-g(x)를h(x)로

나누었을때의나머지가5이다.서로소인두자연수m,`n에대하 여다항식mf(x)+ng(x)를h(x)로나누었을때의나머지가0

일때,m+n의값을구하시오. 10

f(x),g(x)를각각h(x)로나누었을때의

나머지를구한다.



다항식의 나눗셈과 다항식의 덧셈을 이용한다.

f(x), g(x)를 h(x)로 나누었을 때의 몫과 나머지 구하기 다항식 f(x)+g(x)를h(x)로나누었을때의몫을P(x)라하면

나머지가2이므로

f(x)+g(x)=h(x)P(x)+2 yy㉠

다항식 f(x)-g(x)를h(x)로나누었을때의몫을Q(x)라하면

나머지가5이므로

f(x)-g(x)=h(x)Q(x)+5 yy㉡

㉠+㉡을하면

2f(x)=h(x){P(x)+Q(x)}+7

f(x)=h(x)_;2!;{P(x)+Q(x)}+;2&;

㉠-㉡을하면

2g(x)=h(x){P(x)-Q(x)}-3 g(x)=h(x)_;2!;{P(x)-Q(x)}-;2#;

m f(x)+n g(x)를 h(x)로 나누었을 때의 나머지 구하기 따라서

mf(x)=h(x)_ m

2{P(x)+Q(x)}+;2&;m ng(x)=h(x)_n

2{P(x)-Q(x)}-;2#;n 이므로

mf(x)+ng(x)

=h(x)_[ m2 {P(x)+Q(x)}+ n2{P(x)-Q(x)}]

+;2&;m-;2#;n

풀이전략

문제풀이

해 01-10 올림포스(고난도)_수학_01강-오1.indd 9 2017-11-02 오후 3:51:19

내신 상위 4%

4%

35

일차이상의두다항식 f(x),g(x)에대하여 f(x)를g(x)로나 누었을때의몫이Q(x),나머지가R(x)이고,g(x)를Q(x)로

나누었을때의나머지도R(x)일때,<보기>에서옳은것만을있 는대로고른것은?

보기

ㄱ.f(x)를Q(x)로나누었을때의나머지는R(x)이다.

ㄴ.f(x)+3g(x)를 Q(x)로 나누었을 때의 나머지는 4R(x)

이다.

ㄷ.{f(x)-1}{g(x)-1}을Q(x)로나누었을때의나머지는

{R(x)-1}Û`이다.

4R(x)의차수가Q(x)의차수보다작은지를확인한다.

①ㄱ ②ㄷ ③ㄱ,ㄴ

④ㄴ,ㄷ ⑤ㄱ,ㄴ,ㄷ

f(x)=g(x)Q(x)+R(x)이고

R(x)의차수는g(x)의차수보다작다.



다항식 f(x)를 다항식 g(x)로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R(x) 이면 f(x)= g(x)Q(x)+R(x)임을 이용하여 다항식을 나누었을 때의 나머 지 구하기

f(x)=g(x)Q(x)+R(x)에서 나머지 R(x)의 차수는 g(x)의 차수보다 작다. 다항식 A=BQ+R가 성립한다고 하여 A를 B로 나누었을 때의 나머 지가 R라고 할 수 없다. 반드시 B의 차수와 나머지 R의 차수를 비교해 보아 야 한다.

다항식의 나눗셈을 이용한다.

다항식의 나눗셈을 이용하여 식 세우기

f(x)를g(x)로나누었을때의몫이Q(x),나머지가R(x)이므로

f(x)=g(x)Q(x)+R(x)(단,(R(x)의차수)<(g(x)의차수))

 yy㉠

파헤치기

문항

point

찾기

실수

풀이전략

문제풀이

또한g(x)를Q(x)로나누었을때의나머지도R(x)이므로몫을

P(x)라하면

g(x)=Q(x)P(x)+R(x)(단,(R(x)의차수)<(Q(x)의차수))

 yy㉡

R(x)와 Q(x)의 차수를 비교하여 옳은지 판단하기

ㄱ.f(x)=g(x)Q(x)+R(x)이고(R(x)의차수)<(Q(x)의차수)

이므로f(x)를Q(x)로나누었을때의나머지는R(x)이다.

식을 정리한 후 ㄱ을 이용하여 옳은지 판단하기 ㄴ.㉠+3_㉡을하면

f(x)+3g(x)

={g(x)Q(x)+R(x)}+3{Q(x)P(x)+R(x)}

=Q(x){g(x)+3P(x)}+4R(x)

이때(R(x)의차수)<(Q(x)의차수)이므로

f(x)+3g(x)를Q(x)로나누었을때의나머지는4R(x)이다.

식을 정리한 후 차수를 비교하여 옳은지 판단하기 ㄷ.㉠_㉡에서

f(x)g(x)

={g(x)Q(x)+R(x)}{Q(x)P(x)+R(x)}

=Q(x){g(x)P(x)Q(x)+g(x)R(x)+P(x)R(x)}

+{R(x)}Û`

이므로

{f(x)-1}{g(x)-1}

=f(x)g(x)-f(x)-g(x)+1

=Q(x){g(x)P(x)Q(x)+g(x)R(x)+P(x)R(x)}  +{R(x)}Û`-Q(x)g(x)-R(x)-Q(x)P(x)-R(x)+1

=Q(x){g(x)P(x)Q(x)+g(x)R(x)+P(x)R(x)

-g(x)-P(x)}+{R(x)}Û`-2R(x)+1

=Q(x){g(x)P(x)Q(x)+g(x)R(x)+P(x)R(x)

-g(x)-P(x)}+{R(x)-1}Û`

이때(Q(x)의차수)>(R(x)의차수)이더라도항상  (Q(x)의차수)>({R(x)-1}Û`의차수)인것은아니다.

즉, {f(x)-1}{g(x)-1}을 Q(x)로 나누었을 때의 나머지가

항상{R(x)-1}Û`인것은아니다.

따라서옳은것은ㄱ,ㄴ이다.

③

다른풀이ㄷ.f(x)=xÞ`+xÜ`+x,g(x)=xÜ`+x라하면 Q(x)=xÛ`,R(x)=x이므로

{f(x)-1}{g(x)-1}

=(xÞ`+xÜ`+x-1)(xÜ`+x-1) 

=x¡`+2xß`-xÞ`+2xÝ`-2xÜ`+xÛ`-2x+1 

=xÛ`(xß`+2xÝ`-xÜ`+2xÛ`-2x+1)-2x+1 

=Q(x)(xß`+2xÝ`-xÜ`+2xÛ`-2x+1)-2x+1

따라서 {f(x)-1}{g(x)-1}을 Q(x)로 나누었을 때의 나머지는

-2x+1이다.

즉,나머지가{R(x)-1}Û`=(x-1)Û`=xÛ`-2x+1이아니다.

Q(x)의 차수가 2, R(x)의

차수가1이면Q(x)의차수가

{R(x)-1}Û`의차수와같다.

m+n의 값 구하기

다항식mf(x)+ng(x)를h(x)로나누었을때의나머지가0,즉나 누어떨어지므로

;2&;m-;2#;n=0 7m=3n

이때m,`n이서로소인자연수이므로m=3,n=7 따라서m+n=10

 10

정답과 풀이 11

나머지정리

02

내신 우수 문항 ^기출

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

본문 18~19쪽

01

aÛ`-1=0, bÛ`-9=0, cÛ`+dÛ`=0 a, b, c, d가 모두 실수이므로 a=Ñ1, b=Ñ3, c=0, d=0

따라서 a=-1, b=-3, c=0, d=0일 때 a+b+c+d는 최솟값을 갖고, 그 값은

a+b+c+d=-1+(-3)+0+0=-4

 ②

02

2xÛ`+3x+3 =axÛ`-2ax+a+bx-b+c

=axÛ`+(-2a+b)x+a-b+c 이 등식이 x에 대한 항등식이므로

a=2, -2a+b=3, a-b+c=3 a=2, b=7, c=8

따라서 abc=2_7_8=112

 ②

03

x=0을 대입하면 -4c=8, c=-2 x=2를 대입하면 8b=16, b=2 x=-2를 대입하면 8a=-16, a=-2 따라서

aÛ`+bÛ`+cÛ`=(-2)Û`+2Û`+(-2)Û`=12

 ③

04

 ①

05

RÁ= f(2)=2Ý`+2Ü`+2Û`+2+1

다항식 f(x)를 4x-2로 나누었을 때의 나머지 Rª는 Rª=f {;2!;}= 12Ý`+ 12Ü`+ 12Û`+ 12 +1

따라서 RÁ

Rª = 2Ý`+2Ü`+2Û`+2+1 1

2Ý`+ 12Ü`+ 12Û`+ 12 +1 =2Ý`(2Ý`+2Ü`+2Û`+2+1)

1+2+2Û`+2Ü`+2Ý` =2Ý`=16

 ①

06

다항식 f(x)가 xÛ`-x-2=(x+1)(x-2)로 나누어떨어지므로 f(-1)=0, f(2) =0이다.

따라서

f(-1)=1-a+b=0 f(2)=16+2a+b=0

두 식을 연립하여 풀면 a=-5, b=-6 이므로 f(x)=xÝ`-5x-6

따라서 다항식 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 f(3)=3Ý`-15-6=60

 ④

07

f(1)=3+a+b+2=0

a+b=-5 yy ㉠

또 다항식 f(x)가 x-2를 인수로 가지므로 f(2)=24+4a+2b+2=0

2a+b=-13 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-8, b=3 따라서 ab=-24

 ③

08

즉, f(x)=(x-1)Q(x)이고 f(1)=0이므로 f(1)=1+1+1+1+a=0

에서 a=-4

1 1 1 1 1 -4

1 2 3 4

1 2 3 4 0

조립제법을 이용하면 f(x)=(x-1)(xÜ`+2xÛ`+3x+4)이므로 Q(x)=xÜ`+2xÛ`+3x+4이다.

따라서 Q(x)를 x-a, 즉 x+4로 나누었을 때의 나머지는 Q(-4)=-64+32-12+4=-40

 ①

해 11-19 올림포스(고난도)_수학_02강-오3.indd 11 2017-11-06 오후 2:47:22

09

-2 1 0 -1 2

-2 4 -6

1 -2 3 -4

즉, a=-2, b=3, c=2, d=-4이므로 abcd=(-2)_3_2_(-4)=48

 ⑤

10

P(xÛ`+1)의 차수는 2n이고 x{P(x)+1}의 차수는 n+1이다.

이때 두 다항식의 차수가 같아야 하므로 2n=n+1

n=1

(가) 따라서 두 상수 a, b에 대하여 P(x)=ax+b(a+0)라 하면

P(xÛ`+1)=x{P(x)+1}에서 a(xÛ`+1)+b=x{(ax+b)+1}

axÛ`+a+b=axÛ`+(b+1)x

이 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 b+1=0, a+b=0

즉, b=-1, a=1이므로 P(x)=x-1

(나) 따라서 P(10)=10-1=9

(다)

 9

단계 채점 기준 비율

(가) P(x)의 차수 구하기 40`%

(나) P(x) 구하기 40`%

(다) P(10)의 값 구하기 20`%

11

f(-1)+2g(-1)-2=0

f(-1)+2g(-1)=2 yy ㉠

조건 (나)에서 다항식 f(2x)+g(2x)-2x는 2x+1로 나누어떨어지므로 f {2_{-;2!;}}+g {2_{-;2!;}}-2_{-;2!;}=0

f(-1)+g(-1)=-1 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 f(-1)=-4, g(-1)=3

(가)

내신 고득점 문항

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

본문 20~21쪽 7%상위

12

2ß`=a+b+c+d+e+f+g 2ß`=(a+c+e+g)+(b+d+f )

2ß`=A+B yy ㉠

양변에 x=-1을 대입하면 0=a-b+c-d+e-f+g a+c+e+g=b+d+f

A=B yy ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 A=B=2Þ`

따라서

AÛ`B+ABÛ`=AB(A+B)=2Þ`_2Þ`_(2Þ`+2Þ`)=2Ú`ß`

 ③

13

f(2)=1+a+b+c a+b+c=f(2)-1

이때 f(x)=xÜ`-3xÛ`-5x+12에서 f(2)=8-12-10+12=-2이므로 a+b+c=f(2)-1=-2-1=-3

따라서 f(a+b+c)=f(-3)=-27-27+15+12=-27

 ① 이때 다항식 f(3x)+3g(3x)를 3x+1로 나누었을 때의 나머지는 f {3_{-;3!;}}+3g {3_{-;3!;}}

=f(-1)+3g(-1)

=-4+3_3=5

(나)

 5

단계 채점 기준 비율

(가) f(-1), g(-1)의 값 구하기 60`%

(나) f(3x)+3g(3x)를 3x+1로 나누었을 때의 나머지

구하기 40`%

정답과 풀이 13

다른풀이 f(x) =(x-1)Ü`+a(x-1)Û`+b(x-1)+c

=xÜ`-3xÛ`+3x-1+axÛ`-2ax+a+bx-b+c

=xÜ`+(a-3)xÛ`-(2a-b-3)x+a-b+c-1

=xÜ`-3xÛ`-5x+12 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a-3=-3에서 a=0

2a-b-3=5에서 b=2a-8=0-8=-8

a-b+c-1=12에서 c=-a+b+13=0+(-8)+13=5 따라서

a+b+c=0+(-8)+5=-3 이므로

f(a+b+c)=f(-3)=-27-27+15+12=-27

14

f(x+k) =(x+k)Ü`+10(x+k)Û`-5(x+k)+17

=xÜ`+3kxÛ`+3kÛ`x+kÜ`+10xÛ`+20kx+10kÛ`-5x-5k+17

=xÜ`+(3k+10)xÛ`+(3kÛ`+20k-5)x+kÜ`+10kÛ`-5k+17

=xÜ`-7kxÛ`+ax+b 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 3k+10=-7k에서 k=-1 a=3kÛ`+20k-5=3-20-5=-22

b=kÜ`+10kÛ`-5k+17=-1+10+5+17=31 따라서

k+a+b=-1+(-22)+31=8

 ②

15

3k+14=2 k=-4이므로

(x-3) f(x) =x(xÛ`-4x+5)-6

=xÜ`-4xÛ`+5x-6

이고 xÜ`-4xÛ`+5x-6을 x-3으로 나누면 다음과 같다.

xÛ`-x +2 x-3 xÜ`-4xÛ`+5x-6

xÜ`-3xÛ`

-xÛ` +5x -xÛ` +3x

2x-6 2x-6 0 따라서 (x-3) f(x)=(x-3)(xÛ`-x+2)이므로 f(x)=xÛ`-x+2

그러므로 f(k)=f(-4)=16-(-4)+2=22

 ①

16

`f(1)=10

또한 다항식 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 20이므로

`f(2)=20

따라서 다항식 f(5-x)_ f(x-2)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 f(5-3)_f(3-2) =f(2)_f(1)=20_10=200

 ④

17

f(x)=(x-1)Q(x)+5 yy ㉠

다항식 (x+1)Q(x+1)을 x-2로 나누었을 때의 나머지가 10이므로 (2+1)Q(2+1)=10

3Q(3)=10 즉, Q(3)=;Á3¼;

다항식 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 f(3)이므로

㉠에 x=3을 대입하면

f(3)=2Q(3)+5=2_;;Á3¼;;+5=;;£3°;;

 ②

18

f(x)+2x는 xÛ`+2로 나누어떨어지므로 f(x)+2x =(xÛ`+2)(ax+b)

={(xÛ`+1)+1}(ax+b)

=(xÛ`+1)(ax+b)+(ax+b) f(x)=(xÛ`+1)(ax+b)+(a-2)x+b f(x)-1=(xÛ`+1)(ax+b)+(a-2)x+b-1

이때 f(x)-1은 xÛ`+1로 나누어떨어지므로 등식 (a-2)x+b-1=0은 x에 대한 항등식이어야 한다. 즉,

a-2=0, b-1=0 a=2, b=1

따라서 f(x)-1=(xÛ`+1)(2x+1)이므로 2x+1은 f(x)-1의 인수 다.

 ④

19

f(x)-3=a(x-1)(x-2)(x-3) f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+3

이때 f(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지가 27이므로 f(4)=6a+3=27

즉, a=4

해 11-19 올림포스(고난도)_수학_02강-오3.indd 13 2017-11-06 오후 2:47:23

따라서 f(x)=4(x-1)(x-2)(x-3)+3이므로 f(x)를 x-5로 나누었을 때의 나머지는

f(5)=4_4_3_2+3=99

 ⑤

20

Q(x)=2xÜ`+6xÛ`+18x+14이고 a=3이다.

다항식 Q(x)를 x+a, 즉 x+3으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립 제법을 이용하여 구하면 다음과 같다.

-3 2 6 18 14

-6 0 -54

2 0 18 -40

따라서 구하는 몫은 2xÛ`+18이고 나머지는 -40이므로 몫과 나머지의 합은

(2xÛ`+18)+(-40)=2xÛ`-22

 ④

21

(x+1)Ý` = a+bx+cx(x-1) +dx(x-1)(x-2) +ex(x-1)(x-2)(x-3) 이 등식이 x에 대한 항등식이므로

x=0을 대입하면 1=a x=1을 대입하면 2Ý`=a+b b=2Ý`-a=16-1=15

x=2를 대입하면 3Ý`=a+2b+2c

c=;2!;(3Ý`-a-2b)=;2!;(81-1-30)=25 x=3을 대입하면 4Ý`=a+3b+6c+6d d=;6!;(4Ý`-a-3b-6c)

=;6!;(256-1-45-150)=10 한편 e는 사차항의 계수이므로 e=1

(가) 따라서

a-b+c-d+e=1-15+25-10+1=2

(나)

 2

단계 채점 기준 비율

(가) a, b, c, d, e의 값을 구한 경우 90`%

(나) a-b+c-d+e의 값을 구한 경우 10`%

22

f(x)=(x-3)(xÛ`+4x+3)+a=(x-3)(x+1)(x+3)+a (가) 이때 g(x)=x f(x)+2x-1이라 하면 다항식 g(x)를 x+1로 나누었 을 때의 나머지는

g(-1)=-f(-1)-2-1=-a-3 이고, x+3으로 나누었을 때의 나머지는 g(-3)=-3 f(-3)-6-1=-3a-7 두 나머지의 곱이 176이므로

(-a-3)(-3a-7)=176 3aÛ`+16a-155=0 (3a+31)(a-5)=0 이때 a는 자연수이므로 a=5

(나) 따라서 f(x)를 x-a, 즉 x-5로 나누었을 때의 나머지는

f(5)=2_6_8+5=101

(다)

 101

단계 채점 기준 비율

(가) f(x)를 식으로 나타낸 경우 30`%

(나) a의 값을 구한 경우 50`%

(다) f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지를 구한 경우 20`%

내신 변별력 문항

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

본문 22~24쪽 4%상위

23

x+y=2를 만족시키는 모든 실수 x,`y에 대하여 등식 (aÛ`-21)xÛ`+(ab+2bÛ`-1)x+yÛ`+cy-bÛ`xy+2c=0 이 성립할 때, (ac+bc)Û`의 값은? (단, a, b, c는 상수이다.)

① 24 ② 25 ③ 26

④ 27 ⑤ 28

y=2-x를 주어진 등식에 대입한다.

미정계수법과 곱셈 공식을 이용한다.

미정계수법을 이용하여 aÛ`+bÛ`, ab, c의 값 구하기 x+y=2에서 y=2-x이므로 이를 주어진 등식

풀이전략

문제풀이

정답과 풀이 15

25

최고차항의 계수가 3인 삼차다항식 f(x)와 최고차항의 계수가 2인 이차다항식 g(x)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 x에 대하여 f(-x)+ f(x)=0이다.

(나) 모든 실수 x에 대하여 g(-x)=g(x)이다.

(다) 다항식 f(x)+g(x)는 x-2로 나누어떨어진다.

f(2)+g(2)=0

f(4)+2g(2)의 값을 구하시오. ¹⁴⁴

항등식의 뜻과 나머지정리를 이용한다.

두 조건 (가), (나)를 이용하여 f(x), g(x) 구하기 최고차항의 계수가 3인 삼차다항식 f(x)를

f(x)=3xÜ`+axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면 조건 (가)에서 모든 실수 x에 대하여 f(-x)+ f(x)=0이므로

{3(-x)Ü`+a(-x)Û`+b(-x)+c}+(3xÜ`+axÛ`+bx+c)=0 axÛ`+c=0

이 식이 x에 대한 항등식이므로 a=0, c=0 따라서 f(x)=3xÜ`+bx

최고차항의 계수가 2인 이차다항식 g(x)를

g(x)=2xÛ`+dx+e (d, e는 상수)라 하면 조건 (나)에서 모든 실수 x 에 대하여 g(-x)=g(x)이므로

2(-x)Û`+d(-x)+e=2xÛ`+dx+e, 2dx=0 이 식이 x에 대한 항등식이므로 d=0

따라서 g(x)=2xÛ`+e

조건 (다)를 이용하여 2b+e의 값 구하기

조건 (다)에서 다항식 f(x)+g(x)가 x-2로 나누어떨어지므로 f(2)+g(2)=0

(24+2b)+(8+e)=0, 2b+e=-32 f(4)+2g(2)의 값 구하기 따라서

f(4)+2g(2) =(192+4b)+2(8+e)=208+2(2b+e)

=208-64=144

 144

\

26

일차다항식 f(x)에 대하여 등식 f(x)+f(kx)=f(2x)+4

가 x의 값에 관계없이 항상 성립할 때, f(0)+k의 값은?

(단, k는 상수이다.)

① 1 ② 3 ③ 5

④ 7 ⑤ 9

f(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면 a+0이다.

풀이전략

문제풀이

(aÛ`-21)xÛ`+(ab+2bÛ`-1)x+yÛ`+cy-bÛ`xy+2c=0에 대입하면 (aÛ`-21)xÛ` +(ab+2bÛ`-1)x+(2-x)Û`+c(2-x)-bÛ`x(2-x)

+2c=0 (aÛ`-21)xÛ`+(ab+2bÛ`-1)x+xÛ`-4x+4+2c-cx-2bÛ`x+bÛ`xÛ`

+2c=0 (aÛ`+bÛ`-20)xÛ`+(ab-c-5)x+4c+4=0

이 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 한다.

즉, x에 대한 항등식이므로

aÛ`+bÛ`-20=0, ab-c-5=0, 4c+4=0 aÛ`+bÛ`=20, ab=4, c=-1

곱셈 공식을 이용하여 (ac+bc)Û`의 값 구하기 따라서

(ac+bc)Û` =cÛ`(a+b)Û`=cÛ`(aÛ`+2ab+bÛ`)

=cÛ`(aÛ`+bÛ`+2ab)=(-1)Û`_(20+2_4)=28

 ⑤

24

x에 대한 다항식 xÇ` (xÛ`+ax+b)를 (x-3)Û`으로 나누었을 때의 나머지가 3Ç` (x-3)일 때, 두 상수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구

하시오. (단, n은 자연수이다.) 1

다항식의 나눗셈과 수치대입법을 이용하여 두 상수 a, b의 값을 구한다.

a, b 사이의 관계식 구하기

다항식 xÇ` (xÛ`+ax+b)를 (x-3)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 3Ç` (x-3)이므로

xÇ` (xÛ`+ax+b)=(x-3)Û`Q(x)+3Ç` (x-3) yy ㉠

㉠에 x=3을 대입하면 3Ç` (9+3a+b)=0

자연수 n에 대하여 3Ç`>0이므로

9+3a+b=0, b=-3(a+3) yy ㉡

a, b의 값 구하기

㉡을 ㉠에 대입하면

xÇ` {xÛ`+ax-3(a+3)}=(x-3)Û` Q(x)+3Ç` (x-3) xÇ` (x-3)(x+a+3)=(x-3)Û` Q(x)+3Ç` (x-3)

xÇ` (x+a+3)=(x-3)Q(x)+3Ç`  yy ㉢

㉢에 x=3을 대입하면 3Ç` (a+6)=3Ç`

a+6=1, a=-5

a=-5를 ㉡에 대입하면 b=(-3)_(-2)=6 a+b의 값 구하기

따라서 a+b=-5+6=1

 1 pxÛ`+qx+r=0 이 x에 대한 항등식이면

p=q=r=0이다.

풀이전략

문제풀이

x에 대한 항등식이므로 x=3을 대입해도

㉠이 성립한다.

해 11-19 올림포스(고난도)_수학_02강-오3.indd 15 2017-11-06 오후 2:47:24

계수비교법과 일차다항식 f(x)를 이용하여 f(0)+k의 값을 구한다.

계수비교법을 이용하여 식 세우기

두 상수 a, b에 대하여 f(x)=ax+b(a+0)라 하면 f(kx)=akx+b, f(2x)=2ax+b이므로

f(x)+f(kx)=f(2x)+4에서 (ax+b)+(akx+b)=(2ax+b)+4 a(k+1)x+2b=2ax+b+4 이 등식이 x에 대한 항등식이므로

a(k+1)=2a yy ㉠

2b=b+4 yy ㉡

f(0)+k의 값 구하기 a+0이므로 ㉠에서 k+1=2

k=1

㉡에서 b=4

따라서 f(x)=ax+4이므로 f(0)+k=4+1=5

 ③

27

다항식 P(x)에 대하여 두 다항식 xÜ`-x+2,

(xÛ`-x+1)P(x)+12를 x-a로 나누었을 때의 나머지가 각각 1, 2일 때, 다항식 P(x)

(a+1)Û`(a-1)를 x-a로 나누었을 때의 나 머지는? (단, aÛ`+1)

① 8 ② 9 ③ 10

④ 11 ⑤ 12

곱셈 공식과 나머지정리를 이용한다.

a의 식 구하기

다항식 xÜ`-x+2를 x-a로 나누었을 때의 몫을 QÁ(x)라 하면 나머 지가 1이므로

xÜ`-x+2=(x-a)QÁ(x)+1 이 등식에 x=a를 대입하면

aÜ`-a+2=1, aÜ`-a+1=0 yy ㉠

P(a) 구하기

다항식 (xÛ`-x+1)P(x)+12를 x-a로 나누었을 때의 몫을 Qª(x) 라 하면 나머지가 2이므로

(xÛ`-x+1)P(x)+12=(x-a)Qª(x)+2 이 등식에 x=a를 대입하면

풀이전략

문제풀이

풀이전략

문제풀이

(aÛ`-a+1)P(a)+12=2 (aÛ`-a+1)P(a)=-10

이때 aÛ`-a+1={a-;2!;}Û`+;4#;+0이므로 P(a)=- 10

aÛ`-a+1

또한 ㉠에서 aÜ`-a=-1, aÜ`+1=a이므로 P(a)=- 10

aÛ`-a+1 =- 10(a+1) (aÛ`-a+1)(a+1)

=-10(a+1)

aÜ`+1 =-10(a+1) a

=-10(a+1)(aÛ`-1) a(aÛ`-1)

=-10(a+1)(aÛ`-1) aÜ`-a

=10(a+1)(aÛ`-1)

=10(a+1)Û`(a-1) P(a)

(a+1)Û`(a-1)의 값 구하기 따라서 다항식 P(x)

(a+1)Û`(a-1)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 P(a)

(a+1)Û`(a-1)=10(a+1)Û`(a-1) (a+1)Û`(a-1) =10

 ③

28

삼차다항식 f(x)를 2x-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지 를 R라 하고, 다항식 f(x)를 4Q(x)-2로 나누었을 때의 몫과 나머지의 합을 g(x)라 할 때, 다항식 g(x)-R를 x-10으로 나

누었을 때의 나머지를 구하시오.  12

f(x)가 삼차다항식이므로 Q(x)는 이차다항식이다.

R=f(2)

다항식의 나눗셈과 나머지정리를 이용한다.

다항식의 나눗셈을 이용하여 f(x)의 식 구하기

삼차다항식 f(x)를 2x-4로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R 이므로

f(x)=(2x-4)Q(x)+R

=(x-2)_2Q(x)+R

=;2!;(x-2)_4Q(x)+R

=;2!;(x-2)_{4Q(x)-2+2}+R

=;2!;(x-2)_{4Q(x)-2}+x-2+R

={4Q(x)-2}_;2!;(x-2)+x-2+R

풀이전략

문제풀이

정답과 풀이 17

g(x) 구하기

이때 f(x)가 삼차식이므로 Q(x)는 이차식이다.

따라서 f(x)를 4Q(x)-2로 나누었을 때의 몫은 ;2!;(x-2)이고, 나머지는 x-2+R이므로 몫과 나머지의 합 g(x)는

g(x)=;2!;(x-2)+(x-2+R)

=;2#;(x-2)+R g(10)-R의 값 구하기

따라서 다항식 g(x)-R를 x-10으로 나누었을 때의 나머지는 g(10)-R={;2#;_8+R}-R

=12

 12

29

다항식 f(x)를 (x-1)Ý`으로 나누었을 때의 나머지가 2xÜ`-x+4 이고, 다항식 f(x)를 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 나머지를 R(x) 라 할 때, R(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. 10

다항식의 나눗셈과 나머지정리를 이용한다.

f(x)의 식 구하기

다항식 f(x)를 (x-1)Ý`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머 지가 2xÜ`-x+4이므로

f(x)=(x-1)Ý` Q(x)+2xÜ`-x+4 R(x)의 식 구하기

이때 (x-1)Ý` Q(x)는 (x-1)Û`으로 나누어떨어지므로 다항식 f(x)를 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 나머지 R(x)는 2xÜ`-x+4를

(x-1)Û`, 즉 xÛ`-2x+1로 나누었을 때의 나머지와 같다.

2x +4

xÛ`-2x+1 2xÜ` -x``+4 2xÜ`-4xÛ`+2x

4xÛ`-3x+4 4xÛ`-8x+4

5x 즉, 2xÜ`-x+4=(x-1)Û`(2x+4)+5x이므로 R(x)=5x

R(2)의 값 구하기

따라서 R(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 R(2)=10

 10

풀이전략

문제풀이

30

다항식 f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 나머지가 2x+1 이고, (x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 나머지가 3x-1이다.

다항식 f(x)를 (x-1)(x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 나머 지를 R(x)라 할 때, R(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지는?

① 10 ② 12 ③ 14

④ 16 ⑤ 18

R(4)

다항식의 나눗셈과 나머지정리를 이용한다.

R(x)의 식과 f(3)의 값 구하기

다항식 f(x)를 (x-1)(x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지 R(x)를 R(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+axÛ`+bx+c

다항식 f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 나머지가 2x+1이므 로 R(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 나머지도 2x+1이다.

즉, R(x)=a(x-1)(x-2)+2x+1

이때 f(x)를 (x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 P(x)라 하면 나머지가 3x-1이므로

f(x)=(x-2)(x-3)P(x)+3x-1 에서 f(3)=8

a의 값 구하기 따라서

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+a(x-1)(x-2)+2x+1 에서 f(3)=2a+7=8

a=;2!;

R(x)를 구한 후 R(4)의 값 구하기

따라서 R(x)= ;2!;(x-1)(x-2)+2x+1이므로 R(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지는 R(4)=;2!;_3_2+8+1=12

 ②

31

차수가 3 이상인 다항식 P(x)를 xÛ`+2로 나누었을 때의 나머지 가 x+1이고, x-2로 나누었을 때의 나머지가 9이다. 다항식 P(x)를 (xÛ`+2)(x-2)로 나누었을 때의 나머지를 R(x)라 할 때, R(3)의 값을 구하시오.  P(2)=9 15

다항식의 나눗셈과 나머지정리를 이용한다.

P(x)의 식 구하기

풀이전략

문제풀이

풀이전략

문제풀이

해 11-19 올림포스(고난도)_수학_02강-오3.indd 17 2017-11-06 오후 2:47:25

다항식 P(x)를 (xÛ`+2)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 R(x)(2차 이하의 다항식)이므로

P(x)=(xÛ`+2)(x-2)Q(x)+R(x)

이때 다항식 P(x)를 xÛ`+2로 나누었을 때의 나머지가 x+1이고, (xÛ`+2)(x-2)Q(x)는 xÛ`+2로 나누어떨어지므로 R(x)를 xÛ`+2로 나누었을 때의 나머지도 x+1이다. R(x)는 2차 이하의 다항식이므로 R(x)=a(xÛ`+2)+x+1 (a는 상수)

로 놓으면

P(x)=(xÛ`+2)(x-2)Q(x)+a(xÛ`+2)+x+1 yy ㉠ P(2)=9임을 이용하여 a의 값 구하기

또한 다항식 P(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 9이므로 P(2)=9이다.

㉠에 x=2를 대입하면 P(2)=6a+3=9, a=1

R(3)의 값 구하기

따라서 R(x)=(xÛ`+2)+x+1=xÛ`+x+3이므로

R(3)=9+3+3=15  15

32

다항식 f(x)=2xÜ`+axÛ`+bx-3이 (x+1)Û`으로 나누어떨어질 때, 다항식 f(x)를 -x+a+b로 나누었을 때의 나머지는?

(단, a,`b는 상수이다.)

① -36 ② -32 ③ -28

④ -24 ⑤ -20

f(-1)=0

항등식의 뜻과 나머지정리를 이용한다.

a, b 사이의 관계식 구하기

f(x)=2xÜ`+axÛ`+bx-3을 (x+1)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x) 라 하면 나누어떨어지므로

2xÜ`+axÛ`+bx-3=(x+1)Û``Q(x) yy ㉠ 등식 ㉠은 x에 대한 항등식이므로 x=-1을 대입하면

-2+a-b-3=0, b=a-5 yy ㉡

a, b의 값 구하기

이때 f(x)=2xÜ`+axÛ`+(a-5)x-3을 (x+1)Û`, 즉 xÛ`+2x+1로 나누면 다음과 같다.

2x +(a-4)

xÛ`+2x+1 2xÜ`+ axÛ`+ (a-5)x-3 2xÜ`+ 4xÛ`+ 2x

(a-4)xÛ`+ (a-7)x-3 (a-4)xÛ`+ (2a-8)x+a-4

(-a+1)x-a+1 다항식 f(x)가 (x+1)Û`으로 나누어떨어지므로 나머지는 0이다.

풀이전략

문제풀이

즉, (-a+1)x-a+1=0이 x에 대한 항등식이어야 하므로 a=1이 고, 이 값을 ㉡에 대입하면 b=-4이다.

f(-3)의 값 구하기

따라서 f(x)=2xÜ`+xÛ`-4x-3이므로

다항식 f(x)를 -x+a+b=-x+1+(-4)=-x-3으로 나누었을 때의 나머지는 f(-3)=-54+9+12-3=-36  ①

33

두 다항식 xÜ`+2xÛ`+ax-2와 xÜ`-2xÛ`+bx+2가 모두 일차항의 계수가 1이고 상수항이 0이 아닌 두 일차다항식 f(x), g(x)를 인 수로 가질 때, 두 상수 a, b에 대하여 aÛ`+bÛ`의 값은?

(단, f(x)+g(x))

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

나머지정리와 인수정리를 이용한다.

P(x)+Q(x), P(x)-Q(x)의 식 구하기

P(x)=xÜ`+2xÛ`+ax-2, Q(x)=xÜ`-2xÛ`+bx+2라 하면 두 다항 식 P(x), Q(x)가 모두 두 일차다항식 f(x), g(x)를 인수로 가지므 로 두 일차다항식 PÁ(x), QÁ(x)에 대하여

P(x)= f(x)g(x)PÁ(x), Q(x)=f(x)g(x)QÁ(x) 으로 나타낼 수 있다. 이때

P(x)+Q(x) = f(x)g(x)PÁ(x)+ f(x)g(x)QÁ(x)

= f(x)g(x){PÁ(x)+QÁ(x)}

P(x)-Q(x) = f(x)g(x)PÁ(x)- f(x)g(x)QÁ(x)

= f(x)g(x){PÁ(x)-QÁ(x)}

이므로 두 다항식 P(x)+Q(x), P(x)-Q(x)도 모두 두 일차다항 식 f(x), g(x)를 인수로 갖는다.

P(x)+Q(x)=(xÜ`+2xÛ`+ax-2)+(xÜ`-2xÛ`+bx+2)

=2xÜ`+(a+b)x=2x{xÛ`+a+b 2 } P(x)-Q(x)=(xÜ`+2xÛ`+ax-2)-(xÜ`-2xÛ`+bx+2)

=4xÛ`+(a-b)x-4=4{xÛ`+a-b 4 x-1} aÛ`+bÛ`의 값 구하기

이때 f(x), g(x)가 모두 일차항의 계수가 1이고 상수항이 0이 아닌 일차다항식이므로 f(x)+x, g(x)+x이다. 따라서

f(x) g(x)=xÛ`+a+b

2 =xÛ`+a-b 4 x-1 이고 이 식은 x에 대한 항등식이므로 a-b

4 =0, a+b 2 =-1 두 식을 연립하여 풀면 a=b=-1

따라서 aÛ`+bÛ`=(-1)Û`+(-1)Û`=2

 ②

풀이전략

문제풀이

P(x), Q(x)가 삼차식이고 , f(x), g(x)가 모두 일차식이므로 PÁ(x), QÁ(x)도 모두 일차식이다.

정답과 풀이 19

34

다음은 다항식 axÜ`+bxÛ`+cx+d를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫 Q(x)와 나머지 R(x)를 구하기 위해 조립제법을 2번 이 용하는 과정이다. Q(b)+R(c)의 값을 구하시오.  32 (단, a, b, c, d는 상수이다.)

1 a b c d  

2 3 -2  

  3 -1 5    

조립제법과 다항식의 연산을 이용한다.

a, b, c, d 및 빈칸에 알맞은 수 구하기

조립제법의 방법을 이용하여 a, b, c, d 및 빈칸에 알맞은 수를 구하면 다음과 같다.

1 3 -10 14 -9

3 -7 7

2 3 -7 7 -2

6 -2

3 -1 5

따라서 a=3, b=-10, c=14, d=-9

Q(x), R(x)를 구한 후 Q(b)+R(c)의 값 구하기 이때

axÜ`+bxÛ`+cx+d

=3xÜ`-10xÛ`+14x-9

=(x-1)(3xÛ`-7x+7)-2

= (x-1){(x-2)(3x-1)+5}-2

=(x-1)(x-2)(3x-1)+5(x-1)-2

=(x-1)(x-2)(3x-1)+5x-7 이므로 Q(x)=3x-1, R(x)=5x-7

따라서 Q(b)+R(c) =Q(-10)+R(14)=-31+63=32  32

풀이전략

문제풀이

35

구차다항식 f(x)가 1부터 10까지의 모든 자연수 n에 대하여 f(n)= n+1n 을 만족시키고 f(11)=1일 때,

f(-1)+f(12)= ;pQ;이다. p+q의 값을 구하시오. ⁷³ (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.) f(1)=;1@;, f(2)=;2#;, f(3)=;3$;, y, f(10)=;1!0!;

내신 상위 4%

4%

방정식 nf(n)-(n+1)=0의 해가 n=1, 2, 3, y, 10이므로 다항식 nf(n)-(n+1)은 n-1, n-2, n-3, y, n-10을 인수로 갖는다. 이를 이 용하여 다항식 f(n) 구하기

다항식 f(x)가 구차다항식이므로 f(x)의 최고차항인 xá`의 계수는 0이 아니고 다항식 xf(x)-(x+1)은 x에 대한 십차다항식이다.

인수정리와 항등식의 뜻을 이용한다.

주어진 조건을 이용하여 1부터 10까지의 모든 자연수를 근으로 하는 식 세우기

구차다항식 f(x)는 1부터 10까지의 모든 자연수 n에 대하여 f(n)= n+1n , 즉 n f(n)-(n+1)=0을 만족시킨다.

g(x)=x f(x)-(x+1) 이라 하면 g(x)는 십차다항식이고 g(1)=g(2)=g(3)=…=g(10)=0

이므로 인수정리에 의해 0이 아닌 상수 a에 대하여 g(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)…(x-10) 으로 나타낼 수 있다.

a의 값 구하기 따라서

x f(x)-(x+1)=a(x-1)(x-2)(x-3)…(x-10)

x f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)…(x-10)+(x+1) yy ㉠

㉠의 양변에 x=11을 대입하면 f(11)=1이므로 11 f(11)=a_10_9_8_y_1+12 11=a_10_9_8_y_1+12 1_2_3_…_10_a=-1

a=- 1

1_2_3_…_10

f(-1)+f(12)의 값 구하기 따라서

f(x)=-(x-1)(x-2)(x-3)…(x-10) 1_2_3_…_10_x + x+1x 이므로

f(-1)=-(-2)_(-3)_(-4)_…_(-11) 1_2_3_…_10_(-1) +0=11 f(12)=- 11_10_9_…_2

1_2_3_…_10_12 +;1!2#;=;6!;

따라서 f(-1)+f(12)=11+;6!;=:¤6¦:이므로 p=6, q=67이고

p+q=6+67=73

 73

파헤치기

문항

point

찾기

실수

풀이전략

문제풀이

f(x)가 구차다항식이므로 g(x)는 십차다항식이다.

해 11-19 올림포스(고난도)_수학_02강-오3.indd 19 2017-11-06 오후 2:47:27

03 인수분해

내신 우수 문항 ^기출

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

본문 28~29쪽

01

=xÛ`+(-2y)Û`+(-3z)Û`+2_x_(-2y)­­+2_(-2y)_(-3z)­ ­ +2_(-3z)_x

=(x-2y-3z)Û`

­ ­①

02

=(2x)Ü`-3_(2x)Û`_3y+3_2x_(3y)Û`-(3y)Ü`

=(2x-3y)Ü`

이므로­a=2,­b=-3 따라서­ab=-6

­ ­①

03

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­=(3y-2x){(3y)Û`+3y_2x+(2x)Û`}

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­=(3y-2x)(9yÛ`+6xy+4xÛ`)

­ ­⑤

04

=(X+2)(X-11)-14

=XÛ`-9X-36

=(X+3)(X-12)

=(xÛ`+4x+3)(xÛ`+4x-12)

=(x+1)(x+3)(x+6)(x-2)

=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)

이므로­a,­b,­c,­d의­값은­각각­1,­3,­6,­-2­중­하나이다.

이때­abc-d의­값은­a,­b,­c의­값이­각각­1,­3,­6­중­하나이고­

d=-2일­때­최대이고­그­값은­ ­ 1_3_6-(-2)=20

­ ­④

05

(2x+1)Ü`-6(2x+1)Û`+24x+4

=(2x+1)Ü`-6(2x+1)Û`+12(2x+1)-8

=XÜ`-6XÛ`+12X-8

=XÜ`-3_XÛ`_2+3_X_2Û`-2Ü`

=(X-2)Ü`

={(2x+1)-2}Ü`=(2x-1)Ü`

­ ­②

06

=xÝ`+6xÛ`+9-xÛ`=(xÛ`+3)Û`-xÛ`

={(xÛ`+3)+x}{(xÛ`+3)-x}

=(xÛ`+x+3)(xÛ`-x+3)

따라서­다항식­xÝ`+5xÛ`+9의­인수인­것은­xÛ`+x+3이다.

­ ­②

07

다항식­xÜ`+8xÛ`+11x+k의­한­인수가­x-1이므로­인수정리에­의해 f(1)=1+8+11+k=0,­k=-20

다항식 f(x)를­x-1로­나누었을­때의­몫을­조립제법을­이용하여­구하면­

다음과­같다.

1 1 8 11 -20

1 9 20

1 9 20 0

­f(x)­­=(x-1)(xÛ`+9x+20)­ ­

=(x-1)(x+4)(x+5)

따라서­a=4,­b=5­또는­a=5,­b=4이므로­

k+a+b=-20+4+5=-11

­ ­③

08

­f­{;2!;}=8_{;2!;}Ü`-4_{;2!;}Û`-2_;2!;+1=0이므로­인수정리에­의해

­f(x)는­x-;2!;­을­인수로­갖는다.

다항식 f(x)를­x-­;2!;로­나누었을­때의­몫을­조립제법을­이용하여­구 하면­

;2!; 8 -4 -2 1

4 0 -1

8 0 -2 0

­f(x)­­={x-;2!;}(8xÛ`-2)­ ­

=(2x-1)(4xÛ`-1)­­ ­

=(2x-1)Û`­(2x+1)

따라서­다항식 f(x)의­인수인­것은­2x+1이다.

­ ­③