Chap. 6
Newton 역학과 벡터방정식Ⅱ
벡터의 내적
l 내적(dot product) – 두 벡터 a와 b의 내적은 a∙b로 나타내며
벡터들의 성분들의 항으로 정의된 실수 또는 스칼라이다.
l 2-공간에서 두 벡터 a=< , >와 b=< , >의 내적은
l 3-공간에서 두 벡터 a=< , , >와 b=< , , >의 내적은 a∙b= +
a∙b= + +
벡터의 내적
l 내적의 성질
I. a∙b=0 if a=0, b=0
II. a∙b= b∙a
교환법칙III. a∙(b+c)= a∙b+ a∙c
분배법칙IV. a∙ = (a)∙b= a∙b
는 스칼라V. a∙a≥ 0
VI. a∙a= a
두 벡터 a와 b의 내적은
이다. 여기서 θ는 구 벡터 사이의 각이다.
벡터의 내적
l 내적의 성질
a∙b= a b cosθ
a
b
θl 직교벡터의 판정
영벡터가 아닌 두 벡터 a와b가 직교하기 위한 필요충분조건은
a∙b=0
이다벡터의 내적
l 방향 코사인
3-공간에서 0이 아닌 벡터 a= + + 에 대하여 a와 각각의 단위벡터 i, j, k 사이의 각 , , 를 a의 방향각이라 한다.
cos=
, cos=
, cos=
cos, cos, cos를 a의
방향 코사인(direction cosine)이라 한다.
벡터의 내적
l b에서의 a의 성분
comp
ba=llallcosθ=a∙
b =
l b위로의 a의 사영
벡터 a의 사영은 주어진 방향의 단위벡터와 주어진 방향의 a성분을 곱하여 얻어진다.
Proj
ba= comp
ba
b =
벡터의 내적
l 내적의 물리적 해석
크기가
F
인 일정한 힘이 한 물체를 이 힘과 같은 방향으로 거리 d만큼 움직일 때 , 행한 일은 간단히W=Fd
이다.그러나 물체에 작용한 일정한 힘 F와 움직인 방향과의 각이 θ이면,
F가 한일은 변위 방향으로의 F의 성분과 물체가 움직인 거리 와 의 곱이다.
W =( cosθ) = cosθ
벡터의 내적
예제) 6-1
그림에서 수평힘 F에 의해 20kg의 블록이 경 사진 면을 밀려 올라가고 있다. 만약 F=200N 이고 블록과 경사진 면의 동마찰계수()가 0.1이라면 블록에 한 일을 구하여라.
a. 블록이 경사를 따라 에서 로 이동하였다. 수평 힘이 한 일
b. 블록이 경사를 따라 에서 로 이동하였다. 중력 이 한 일
F
(3, 1)
(9, 3)
벡터의 내적
풀이
a. 수평힘이 한일
수평힘과 거리를 벡터로 표현 F=200i d==6i+2j
수평힘이 한 일을 구하기 위해 F와 d를 내적을 해준다.
W=F∙d=(200)(6)+(0)(2)=1200J
(3, ) (9, )
F
(3, 1)
F
(9, 3)
벡터의 내적
풀이(계속)
b. 중력이 한 일 w=-20(9.8)j=-196jN
중력이 한 일을 구하기 위해서 w와 d를 내적을 해준다 W=w∙d=(0)(6)+(-196)(2)=-392J
(3, 1)
(9, 3)
w
w
(, 1)
(, 3)
벡터의 외적
l 두 벡터의 외적
- 두 벡터 a=<, , >와 b=<, , >의 외적은
이다.
- 외적은 형식상 1형의 각 항목이 단위벡터 i, j, k이고, 2행의 항목이 벡터 a의 구서 성분이며, 3형의 항목이 벡터 b의 구성성분인 위수 3인 행렬식으로 표현될 수 있다.
a×b=(
−
)i−(
−
)j+(
−
)k
a×b=
벡터의 외적
l 외적의 성질
I. a=0 또는b=0이면 a×b=0 II. a×b=-b×a
III. a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
분배법칙IV. a×(b)=(a)×b= a × b
는 스칼라V. a×a=0
VI. a∙(a×b)=0
VII. b∙(a×b)=0
벡터의 외적
l 외적의 크기
영벡터가 아닌 벡터 a와 b에 대하여, 만약 θ는 a와 b의 사이각(0≤θ≤ )라면
× = sinθ
이다.l 오른속 법칙
벡터 a, b, a×b는 오른손 체계을 형성한다. 이는 a×b가 오른손 법칙에 의해 주어진 방향을 가리킨다는 것을 의미한다.
오른손 손가락들이 벡터 a를 향한 다음 벡터 b쪽으로 감아쥘 때, 엄지는 a×b의 방향을 나 타낸다.
벡터의 외적
예제) 6-2
그림의 블록이 350kg의 질량을 갖는다. 블록과 수평면 사이의 동마찰계수는 0.15이다. 750N의 힘P가 블록에 작용할 때 블록의 가속도와 접점 A와 B에서의 반작용력을 구하라
(가로 길이 800mm, 높이 600mm)
P
CG
A B
100mm
200mm 200mm
벡터의 외적
풀이
1) 모든 힘을 벡터로 나타낸다.
u=
(4i+-3j) P=750u=600i-450j w=(350)(-9.8j)=-3430j
A=− + B=− +
2) 각 축에 대한 힘의 합력과 모멘트를 나타낸다 i: 600− − =350ax
j: + − 450 − 3430=0
P w
−
−
A B
벡터의 외적
풀이(계속)
3) 마찰계수를 이용하여 가속도를 구한다.
+ = 3880j N
--=(0.15)(3880)=-582i N
600-582=350ax ax=0.0514m/s 4) A, B의 반력
모멘트 방정식을 통하여
0.2(-)=0.4(+ )=0.4(582)=232.8 N (+), (-)
두 항에 대하여 2차 연립 방정식을 풀면
+ =3880, − =1164 두 항에 대하여 2차 연립 방정 식을 풀면
A=-203i+1358j B=-378i+2522j
벡터의 외적
l 면적
0이 아니고 평행하지 않은 두 벡터 a와 b는 평행사변형의 변들이라고 생각할 수 있다.
평행사변형의 면적
A는
(밑변)(높이)이다.또한, 삼각형의 면적은
이다.
A = ×
A =
×
벡터의 외적
l 평행육면체의 부피
만약 벡터 a, b와 c가 같은 평면에 있지 않으면, 그림에 나와 있는 것처럼 a, b와 c를 모서리로 갖는 평행육면체의 체적은
이다.
또는
이다.
마지막 결과 때문에 3중 스칼라곱은 때때로 a, b와 c의 상자곱 이라고도 한다.
V=(밑면의 넓이)(높이)
= × comp×
= ×
× ×
V = ( × )
벡터의 외적
예제) 6-3
주어진 벡터가 세 모서리인 평행육면체의 체적을 구하라.
a=i+j
b=-1i+4j
c=2i+2j+2k
벡터의 외적
풀이
× =
−1 4 0 2 2 2
= 8 + 2 − 10
V = ( × )
= ( + ) (8 + 2 − 10)
= 8 + 2 + 0 = 10
벡터의 외적
l 외적에 대한 물리적 해석
물리학에서 위치벡터 r의 끝에 작용하는 힘 F는 T=r× 로 정의한 토크 T를 산출한다고 한다.
벡터공간
l 벡터공간
- 벡터와 스칼라인 두 가지 대상과
a+b=<
+ , + , + , + ,….., + >그리고 a=< , ,……., > 와 유사한 두 개의 대수적인 연산이다.
l 만족해야 하는 10가지 성질
를 벡터 덧셈, 스칼라곱이라 하는 두 연산들이 정의된 집합이라 하자. 이때 다음 10갱,; 성질들을 만족시키는 를 벡터공간이라 한다.
벡터 덧셉에 대한 공리
I. 와 가 안에 있으면 + 는 안에 있다.
II. 안에 있는 모든 , 에 대하여 + = + 이다.
III. 안에 있는 모든 , , 에 대하여, + + = + + 이다.
IV. 안에 있는 모든 에 대하여, + = + = 인 유일한 벡터 0인 안에 존재한다.
V. 안에 있는 각 에 대하여, + − = − + = 인 벡터 −가 존재한다.
벡터공간
스칼라곱에 대한 공리
VI. 가 임의의 스칼라이고 가 안에 있으면, 는 안에 있다.
VII. + = +
VIII. + = +
IX. =
X. 1 = l 일차 독립
-다음 조건을 만족 시키는 벡터 x, x, x, ….. ,x으로 된 집합을 일차독립이라 한다.
방정식
을 만족시키는 유일한 상수들은 = = 이다. 벡터들의 집합이 일차 독립이 아니면, l 만족해야 하는 10가지 성질
+ + + + = 0
Gram-Schmit 직교화 과정
l Gram-Schmit 직교화 과정
-R의 주어진 기저 = , , …., }으로부터 직교기저 = , , …., }을 형성하는 알고리즘이다. 그리고 직교기저 에 있는 벡터들을 정규화 하여 정규직교기저 = , , …., }을 만들게 된다.
= , , …., }, ≤ n이 의 부분공간 의 기저라 하자. 그러면 , , …., }
=
= −
= −
−
⋮
Gram-Schmit 직교화 과정
l Gram-Schmit 직교화 과정(계속)
⋮
= −
−
− ⋯ −
은 의 직교기저이다. 의 정규직교기저는 다음과 같다.
= , , …., } = 1
, 1
, … , 1
