Ch. 2 2계 선형상미분방정식 ( Second-Order Linear ODEs)

(1)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 ( Second-Order Linear ODEs)

z 자주 접하게 될 공학문제들의 상당수가 2계 미분방정식으로 표현된다.

: 기계적 진동 문제, RLC 전기회로, Laplace 방정식, 열전도 방정식, 파동 방정식 등 z내용 : 2계 선형미분방정식의 해법(제차, 비제차)

(2)

z z

•

2.1 2계 제차 선형상미분방정식

2.1 2계 제차 선형상미분방정식

(Homogeneous Linear ODEs of Second Order)

( )

x y q

( )

x y r

( )

x p

y ''+ '+ = :

선형상미분방정식 2계

(

Standar Form

)

^: y ''^을 ^첫^번째^항으로 ^갖는 ^식 표준형

( ) ( )

:r x =0 제차 Homogeneous

( ) ( )

:r x ≠0

비제차 Nonhomogeneous

(3)

z 제차 선형상미분방정식: 중첩의 원리 또는 선형성의 원리

z제차 선형상미분방정식에 대한 기본 정리

제차 선형미분방정식에 대해, ^{어떤 열린구간} 에서 두 개의 해의 일차결합은 다시 구간 에서 다시 제차 선형미분방정식의 해가 된다. 특히, 그러한 방정식에 대해서 해들의 합과 상수곱도 다시 해가 된다.

단, 이 정리는 비제차 선형방정식 또는 비선형 방정식에서는 성립하지 않는다.

Ex.2 비제차 선형상미분방정식 의 해에 대하여 생각하자.

함수 와 는 위의 방정식의 해이지만, 이들의 합은 해가 아니다.

예를 들어 나 도 해가 아니다.

Ex.3 비선형상미분방정식 의 해에 대하여 생각하자.

함수 와 는 위의 방정식의 해이지만, 이들의 합은 해가 아니다.

예를 들어 도 해가 아니다.

1 ''+ y= y x

y=1+cos y=1+sinx

(¹ ^cos^x)

2 + ⁵(¹+^sin^x)

0 ' ''y− xy= y

x2

y= y=1 x2

−

I I

(4)

•^{초기 조건}(Initial Conditions) :

• ^{초기값 문제}(Initial Value Problems)

: 제차 선형상미분방정식과 두 개의 초기조건으로 구성

( )

x₀ K₀, y'

( )

x₀ K₁

y = =

z ^{초기값 문제}

Ex.4 다음 방정식의 초기값 문제를 풀어라.

Step 1 일반해를 구함(Ex.1에 의하여)

일반해 :

Step 2 초기조건 적용 : 특수해 :

( )⁰ ³^.⁰^, ^'( )⁰ ⁰^.⁵

, 0

''+y= y = y =−

y

x c x c

y= ₁cos + ₂sin

( ) c y( ) c ( y c x c x)

y 0 = ₁=3.0, ' 0 = ₂ =−0.5 Q '=− ₁sin + ₂cos x

x

y=3.0cos −0.5sin

(5)

z 일반해(General Solution):

구간 에서 비례하지 않는 제차방정식의 해 와 임의의 상수 을 갖는 해이다.

z 특수해(Particular Solution) : 일반해의 기본형태에서 에 특정한 값을 지정하면, 구간 에서 제차방정식의 특수해(particular solution)가 얻어진다.

z 기저(Basis of Solution): 를 구간 에서의 제차방정식의 기저(Basis) ^{또는 기본계} (Fundamental System)^{이라고 함}.

z 일차독립(Linearly Independent): ^{구간 에서} ^{일 때} , ^{이 된다} 면 두 함수 와 를 구간 에서 일차 독립(Linearly Independent)^{이라고 한다}.

z 일차종속(Linearly Dependent) : 적어도 하나가0이 아닌 상수 에 대하여 식

이 성립한다면, 이 함수들을 일차 종속(Linearly Dependent)^{이라고 부른다}

2 2 1

1y c y

c

y= +

2 1, y

y c₁, c₂

2 1, c c

2 1, y y

2 0

2 1

1y +k y =

k k₁=0, k₂ =0

2 1, k k

2 0

2 1

1y +k y =

k I

I

(6)

z ^{차수축소법}(Method of Reduction of Order)

: 한 개의 해를 알고 있을 때 1계의 미분방정식으로부터 를 구할 수 있다.

제차 선형상미분방정식 :

y2

( ) ( )

∫

=

∴

⇒

−

=

⎟⎟ ⇒

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

=

⇒

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+

⇒

=

+ = +

⇒

= +

+ +

⇒

= +

+ +

⇒

+ +

=

⇒ +

=

⇒

=

∫

− y uy y Udx

y e U

dx p y

U dx

y p y U

dU

U y p

U y u

U u U

y py u y

u

qy py y

u py y u y u

quy uy

y u p uy

y u y u

uy y u y u y y uy

y u y y uy

y y

dx p

1 1 2

2 1

1 1

1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

2 1

1 2

1 ,

ln 2 ln

2 '

' 0 2 '

'' ' , '

' 0

'2 ''

0 '

'' '

2 ' ''

0 '

' ''

' ' 2 ''

'' '

' 2 ''

'' '' ' '

' '

( 주어진 미분방정식에 대입)

0 '

''

y₁ +py₁ +qy₁ = Q

( 변수분리형)

( )

^'

( )

⁰

''+p x y+q x y = y

(7)

Ex. 7 다음 상미분방정식의 해의 기저를 구하라.

첫 번째 해 :

차수축소법 적용

(

^x²⁻^x

)

^y^''⁻^xy^'⁺^y⁼⁰

x y₁=

∫

⁼ ⁻ ⁼ ^⎜_⎝^⎛ ⁺ ^⎟_⎠^⎞⁼ ⁺

=

⇒

−

− =

=

∫ =

=

− ⇒

−

− =

−

= ⁻ ⁻ ⁻

1 1 ln

1 ln 1

1 1 1 1

1 1

1 2 2

2 2

1 ln 2 1 1 2 2

1 2

x x x

x x x dx x x

Udx y y

x x x e x

e x e x

y x U

x x

p x ^pdx ^x ^dx ^x

(8)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 2.2 상수계수를 갖는 제차 선형상미분방정식

2.2 상수계수를 갖는 제차 선형상미분방정식

(Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients)

z ^{상수계수를 갖는} ²계 제차 선형상미분방정식 :

z 특성방정식(Characteristic Equation 또는 보조방정식^,Auxiliary Eqaution^{) :} z 일반해

특성방정식 에서

• 경우 1 이면 서로 다른 두 실근 일반해 :

• 경우 2 이라면 실 이중근 일반해 :

• 경우 3 이라면 공액복소근

일반해 :

0 '

''+ay+by = y

2 +aλ+b =0 λ

0

2 − b4 >

a λ₁, λ₂ ⇒ y =c₁e^λ¹^x +c₂e^λ²^x

2 ⇒

−

λ = a y=

(

c₁ +c₂x

)

e⁻^ax² 0

2 − b4 = a

0

2 − b4 <

a λ =−a2 ±iω

(

A x B x

)

e

y = ⁻^ax² cosω + sinω

⇒

2 +aλ +b= 0 λ

(9)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 2.2 상수계수를 갖는 제차 선형상미분방정식

Ex. 5 다음의 초기값 무제를 풀어라.

Step 1 일반해

일반해 :

Step 2 특수해

초기조건을 적용

특수해 :

( )⁰ ⁰^, ^'( )⁰ ³

, 0 04 . 9 ' 4 . 0

''+ y+ y= y = y =

y

이므로 근이

의

특성방정식λ²+0.4λ+9.04=0 λ=−0.2±3i

(

A x B x

)

e

y= ⁻⁰^.²^x cos3 + sin3

(A x B x) e ( A x B x)^이므로

e

y'=−0.2 ⁻⁰^.²^x cos3 + sin3 + ⁻⁰^.²^x −3 sin3 +3 cos3

( )⁰ ⁰^, ^'( )⁰ ⁰^.² ³ ³ ⁰^, ¹

= = =− + = ⇒ = =

⇒ y A y A B A B

x e

y= ⁻⁰^.²^xsin3

Euler 공식 : e^it =cost+isint

( x i x)

e e

a iω ^x ^ax ω ω

λ ^λ cos sin

2± ⇒ = ² ±

−

= ⁻

(10)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 2.3 미분연산자

2.3 미분연산자(Differential Operators)

z 연산자(Operators) : 함수를 다른 함수로 변형하는 변환을 의미

z 연산자법(Operational Calculus) : 연산자와 그에 해당하는 기법을 가르친다.

z 미분연산자(Differential Operator) : z 항등연산자(Identity Opterator) : z 2계 미분연산자의 도입

' y Dy =

y Iy =

( )

^D ^D ^aD ^bI ^Ly ^P

( )

^D ^y ^y ^ay ^by

P

L= = ² + + ⇒ = = ''+ '+

(11)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 2.4 모델화 : 자유진동(질량-용수철 시스템)

2.4 모델화 : 자유진동(질량-용수철 시스템)

(Modeling : Free Oscillations(Mass-Spring System))

• 기초적인 역학계인 용수철에 매달린 질량의 운동에 대해 논의한다.

• 계의 모형화(수식화) 및 해를 구하고 운동의 유형에 대해 논의한다.

z ^{비감쇠 시스템}

역학적 질량 – 용수철 시스템

z

^{물리적 법칙}

• Newton의 제 2법칙 : 질량 가속도 = 힘

• Hook의 법칙 : 용수철에 작용하는 힘은 용수철 의 길이의 변화에 비례한다

×

(12)

z ^모델화

• 정적 평형 상태에 있는 시스템

• 동정인 시스템

(

:

)

0

0 ks k

F =− 용수철 상수

물체의 무게 : W =mg

0 0

0 +W =−ks +mg = F

복원력 :

(Newton의 제 2법칙)

ky

F₁ = − ^{(Hook의 법칙)} '' F1

my =

0 ''+ky = my

조화진동 :

( ) ( )

m t k

C t B

t A

t

y = cosω₀ + sinω₀ = cos ω₀ −δ , ω₀² =

2.4 모델화 : 자유진동(질량-용수철 시스템)

(13)

z ^{감쇠 시스템}

• 과감쇠

감쇠력 : F₂ = −cy'(c:감쇠 상수(Damping Constant) )

2

'' F1 F

my = + (Newton의 제 2법칙)

0 '

''+cy+ky = my

( ) ^{( )}

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

m mk c

m e c

c e

c t y mk

c ^t ^t

2 4

2 , ,

: 4

2 2

1

2 > = ⁻^α⁻^β + ⁻^α⁺^β α = β = −

(14)

• 임계감쇠

• 저감쇠

( ) ( ) ( ) ( )

m t k

Ce t

B t A

e t y mk

c² <4 : = ⁻^α^t cosω* + sinω* = ⁻^α^t cos ω* −δ , ω₀² =

( ) ( ) ( )

m e c

t c c t y mk

c ^t

2 ,

:

4 ₁ ₂

2 = = + ⁻^α α =

(15)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 2.5 오일러-코시 방정식

2.5 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equations)

z ^오일러^-^{코시 방정식}(Euler-Cauchy Equations) : z 보조방정식 :

z 일반해

보조방정식 에서

• 경우 1 서로 다른 두 실근 일반해 :

• 경우 2 이중근 일반해 :

• 경우 3 공액복소근 일반해 :

0 '

2y ''+axy+by = x

(

¹

)

⁰

2 + a− m+b=

m

(

1

)

0

2 + a− m+b =

m

, ₂

1 m ⇒

m y =c₁x^m¹ +c₂x^m²

( )

2

1− ⇒

= a

m y =

(

c +c x

)

x^m m=

(

1−a

)

2 1 ,

2ln

1

⇒

±

= μ iυ

m ^y = ^x^μ

[

^A^cos

(

^υ^ln^x

)

+ ^B^sin

(

^υ^ln^x

) ]

(16)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 2.6 해의 존재성과 유일성. Wronskian

2.6 해의 존재성과 유일성. Wronskian

(Existence and Uniqueness of Solutions. Wronskian)

z 초기값 문제에 대한 존재성과 유일성 정리

초기값 문제 에서

와 가 어떤 열린 구간 (_1.1절 참조)에서 연속함수이고, 가 구간 내에 있다면, 초기값 문제는 구간 에서 유일한 해를 갖는다.

( )

'

( )

0,

( )

0 ₀, '

( )

0 ₁

'' p x y q x y y K y K

y + + = = =

( )

x

p q

( )

x I x₀ I

I

(17)

z Wronskian 또는Wronski 행렬식

( )

' '

'

, ' ₁ ₂ ₂ ₁

2 1

2 1 2

1 y y y y

y y

y y y

y

W = = −

z 해의 일차종속과 일차독립

상미분방정식이 열린 구간 에서 연속인 계수 와 를 갖는다고 가정하자. 그러면 구간 에서 제차 선형상미분방정식의 두 개의 해 가 구간 에서 일차종속이 되는 필요충분조건은 그들의 Wronskian이 구간 내의 어떤 에서 0이 되는 것이다. 더욱이, 에서 이라면, 구간 에서 이다. 그러므로, 만약 가 0이 아닌 이 구간 내에 존재하면, 구간 에서 는 일차독립이다.

( )

x

p q

( )

x

2 1, y y

x0

x= W =0 W ≡0 W x1

2 1, y y I

I I

(18)

z ^{일반해의 존재성}

와 가 어떤 열린 구간 에서 연속이면, 제차 선형상미분방정식은 구간 에서 일반해를 갖는다.

( )

x

p ^q

( )

^x

z 일반해는 모든 해를 포함한다_.

제차 선형상미분방정식이 어떤 열린 구간 에서 연속인 계수 와 를 갖는다 면, 구간 에서 제차 선형상미분방정식의 모든 해 는

의 형태인데, 여기서 는 구간 에서 제차 선형상미분방정식의 해의 어떤 기저 를 형성하고, 는 적당한 상수이다.

그러므로, 제차 선형상미분방정식은 특이해(Singular Solution, 즉 일반해로부터 얻을 수 없는 해)를 갖지 않는다.

( )

x

p q

( )

x

( )

^x

Y y =

( )

x C y

( )

x C y

( )

x Y = ₁ ₁ + ₂ ₂

2 1, y y

2 1, C C

I I

I

(19)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 2.7 비제차 상미분방정식

z 비제차 선형상미분방정식 :

z 제차방정식과 비제차방정식의 해 사이의 관계

• 어떤 열린구간 에서 비제차방정식의 두 해의 차는 구간 에서 제차방정식의 해이다.

• 구간 에서의 비제차방정식의 해와 구간 에서의 제차방정식의 해의 합은 구간 에 서 비제차방정식의 해이다.

z 일반해 :

여기서 는 구간 에서의 제차 상미분방정식의 일반해이고 는 구

간 에서의 임의의 상수를 포함하지 않는 비제차방정식의 어떤 해이다.

2.7 비제차 상미분방정식(Nonhomogeneous ODEs) ( )

^'

( ) ( ) ( )

^, ⁰

''+p x y+q x y =r x r x ≠ y

( )

^x ^y

( )

^x ^y

( )

^x

y = _h + _p

2 2 1

1y c y

c

y_h = + y_p

I I

I I I

I I

(20)

z 미정계수법(Method of Undetermined Coefficients) z 표 2.1 미정계수방법

의 항 에 대한 선택

( )

x

r y_p

( )

x ke

x k

n kx ke

x x n

x

ω ω ω

ω

α α γ

sin cos sin cos

, 1 , 0

= L

(

K x M x

)

e

x M

x K

K x K x

K x K Ce

x

n n n n

x

ω ω

α γ

sin cos

0 1

1 1

+ +

+

+ ₋ ⁻ L

2.7 비제차 상미분방정식

(21)

z 미정계수법에 대한 선택규칙

•

( )

선택한다.

를 합으로 합수들의

있는 줄에 응하는

대 열의 두번째 합이라면,

함수들의 있는

열에 번째 첫 가 만약

yp

x r

: Rule) 합규칙(Sum

( ) ( )

결정한다.

미정계수를 써

도입함으로 비제차방정식에

도함수를 그

와 선택하고, 를

함수 대응하는 하나라면,

중의 함수 있는 열에 미정계수법의 가

비제차방정식에서 만약

:

p

p y

y

x r Rule

Basic 기본규칙

곱한다.

를 해당한다면

에

이중근 방정식의

특성 방정식의 제차

이해가 만약

또는 에

선택된 된다면,

해가 식의

제차방정 대응하는

비제차방정식에 항이

선택된 로

만약

)

( x2

x y

y

p

: Rule) ion

(Modificat 변형규칙

(22)

Ex. 1 다음의 초기값 문제를 풀어라.

Step 1 제차 상미분방정식의 일반해

제차 상미분방정식 : 일반해 :

Step 2 비제차 상미분방정식의 특수해

Step 3 초기조건 적용

이므로

( )⁰ ⁰^, ^'( )⁰ ¹^.⁵

, 001 . 0

''+y= x² y = y = y

0 ''+ y= y

x B x A

y= cos + sin

( )

002 . 0 001 . 0 sin cos

002 . 0 001 . 0

002 . 0

, 0 , 001 . 0

001 . 0 2

2 '' , 2

' ,

001 . 0

2 2

0 1

2

2 0

1 2 2 2

2 1

2 0

1 2 2 2

− +

+

=

⇒

−

=

⇒

−

=

⇒

= + + +

⇒

= +

+

=

⇒

=

x x

B x A y

x y

K K

K

x K

x K x K K

K y

K x K y

K x K x K y x

x r

p

p p

p

x x

B x A y

y

y'= _h'+ _p'=− sin + cos +0.02

( )0 = A−0.002=0, y'( )0 =B=1.5 ⇒ y=0.002cosx+1.5sinx+0.001x²−0.002 y

(23)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 2.8 모델화 : 강제진동. 공진

2.8 모델화 : 강제진동. 공진

(Modeling : Forced Oscillations. Resonance)

z 자유운동(Free Motion) : 외력이 없는 경우의 운동 지배방정식 :

z 강제운동(Forced Motion) : 외부로부터의 힘이 물체에 작용하는 경우의 운동 지배방정식 :

• 입력이나 구동력(Driving Force) :

• 출력 또는 구동력에 대한 시스템의 응답(Response) : 0

' ''+cy+ky= my

( )

^t

r ky cy

my ''+ '+ =

( )

t r

( )

^t

y

(24)

z주기적인 외력을 포함하는 경우 :

z 미정계수법에 의한 결정

t F

ky cy

my ''+ '+ = ₀cosω

yp

( )

( ) (

0² ²

)

² ² ²

0 2 2

2 2 2 2

0 2

2 2 0

0 ,

sin cos

c m

F c b c

m F m a

t b

t a

y_p

ω ω

ω ω ω

ω ω

+

= − +

−

= −

+

=

(25)

z ^{비감쇠 강제진동}

z 이 출력은 두 개의 조화진동의 중첩을 나타낸다.

• 고유주파수 :

• 구동력의 주파수 :

z 공진(Resonance) : 입력주파수와 고유주파수가 정합됨으로써( ) 발생하는 큰 진동의 여기현상

( )

^t ^y ^C

⁽

^t

⁾

^m

(

^F

)

^t

m y F

c _p ω

ω δ ω

ω ω ω

ω ^cos ^cos ^cos

0 ₂ ₂

0 0 2 0

2 0

0

+ −

−

=

− ⇒

=

⇒

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

sec cycles 2

π0

ω

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

sec cycles 2π

ω

ω0

ω =

t m t

y_p F ₀

0

0 sin

2 ω

= ω

(26)

z 맥놀이(Beats) : 입력주파수와 고유주파수의 차가 적을 때의 강제 비감쇠진동

( ) ⁽ ⁾ ( )

^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= −

− −

= t t

m t F m t

y F

sin 2 sin 2

cos 2

cos ⁰ ⁰

2 2 0

0 2 0

2 0

0 ω ω ω ω

ω ω ω

(27)

z ^{감쇠강제진동}

• 과도해(Transient Solution) : 비제차 방정식의 일반해( )

• 정상상태해(Steady-State Solution) : 비제차 방정식의 특수해( )

과도해는 정상상태해로 접근한다.

z 실제적 공진 : 비감쇠의 경우 가 에 접근할 때 의 진폭이 무한대로 접근 하는 반면에, 감쇠의 경우에는 이와 같은 현상은 발생하지 않는다.

이 경우에는 진폭은 항상 유한하나, 에 의존하는 어떤 에 대해 최대값을 가질 수 있다.

z 의 진폭( 의 함수로 표현) : z 의미

• 일 때 는 유한하다는 것을 알 수 있다.

• 일 때 이기 때문에, 의 값은 가 감소함에 따 라 증가하고 가 0에 접근함에 따라 무한대로 접근한다.

y

yp

ω ω₀ yp

c ω

yp ω

( )

2 2 0 2

0

max 4

* 2

c m

c C mF

= − ω ω

>0

c C*

(

ω_max

)

mk

c² <2 *

(

_max

)

<₀ dc

dC ω C*

(

ω_max

)

c

(28)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 2.9 모델화 : 전기회로

2.9 모델화 : 전기회로(Modeling : Electric Circuits)

< 저항, 유도기, 축전기를 이용한 RLC 회로>

< RLC 회로의 각 구성요소를 통한 전압강하>

(29)

z Kirchhoff의 전압법칙(KVL): 폐루프 위에 부여된 전압(기전력)은 루프의 다른 요 소들 양단의 전압 강하의 합과 같다.

z 전압법칙을 적용한 모델화

z 형태의 기전력 :

( )

I E

( )

t

C dt RdI dt

I Ld t

E C Idt

dt RI

LdI 1 '

1

2

2 + + =

⇒

= +

+

∫

( )

^t ^E ^t

E = ₀sinω I E t

C dt RdI dt

I

Ld 1 ωcosω

2 0

2 + + =

( )

R S b a S

R b E

a S I

R R b E

S R

S a E

t I

t b

t a

I_p

=

− + =

= + + =

= − +

= −

−

= +

=

θ θ

ω ω

ω

tan ,

,

sin

sin cos

2 2 2 0

2 2 0

2 0 2

2 0

0

• ^리액턴스(Reactance) :

• 임피던스(Impedance) :

L C S =ω −ω¹

0 2 0 2

I S E R + =

2.9 모델화 : 전기회로

(30)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 2.9 모델화 : 전기회로

z 전기량과 역학량의 상사성

• 완전히 다른 물리적 시스템이나 서로 다른 시스템이 같은 수학적인 모델을 가질 수 있다.

• 상사성의 실제적 중요성 : 전기회로를 조립하기 쉽고, 전기적인 양은 기계적인 것에 비하여 훨씬 빠르고 정확하게 측정될 수 있다.

< 전기량과 역학량의 상사성>

전기 시스템 역학 시스템

인덕턴스 L 저항 R

커패시턴스의 역수 기전력의 미분값 전류

질량 m 감쇠계수 c 용수철 상수 k 구동력

변위 1C

t E₀ωcosω

( )

t I

t F₀cosω

( )

^t

y

(31)

Ch. 2 2계 선형상미분방정식 2.10 매개변수의 변환에 의한 풀이

z 매개변수 변환법(Method of Variation of Parameter)

• 매개변수 변환법은 단지 특별한 우변을 가지는 상계수 방정식에만 적용된다.

• 일반적이나 복잡하다.

• 어떤 구간 에서 연속인 임의의 변수 을 갖는 미분방정식

에 적용된다

• 반드시 표준형으로 쓰여진 미분방정식에 적용한다. 만약 방정식이 으로 시작한다면 로 나누어라.

z 공식 :

2.10 매개변수의 변환에 의한 풀이

(Solution by Variation of Parameters)

I p

( )

x , q

( ) ( )

x , r x

( )

x y q

( )

x y r

( )

x p

y ''+ '+ =

( )

dx

W r y y W dx

r y y x

y_p ⁼⁻ ¹

∫

² ⁺ ²

∫

¹

( )

x y '' f

( )

^x

f

(32)

Ex. 1 다음의 비제차 상미분방정식을 풀어라.

제차 상미분방정식의 해의 기저 :

Wronskian :

매개변수변환법 적용

일반해 :

x y

y ''+ =sec

x y

x

y₁=cos , ₂ =sin

(y₁,y₂)=cosxcosx−sinx(−sinx)=1 W

x x x x

xdx x

x xdx x

x

y_p =−cos

∫

sin sec +sin

∫

cos sec =cos lncos + sin

(

c x

)

x (c x) x

y y

y= _h+ _p = ₁+lncos cos + ₂+ sin

(33)

z 방법상의 아이디어

• 제차상미분방정식의 일반해 :

• 비제차상미분방정식의 특수해 :

⇒ 주어진 비제차상미분방정식에 대입

• 조건 :

• 정리하여 얻어진 식 :

2 2 1

1y c y

c y_h = +

( )

x y₁ v

( )

x y₂ u

y_p = +

0 '

'y₁+ yv ₂ = u

( )

x r y v y

u' ₁'+ ' ₂'=

W dx r v y

W dx r u y

W r v' y

W r

u' ⁼⁻ y ⁼ ^⇒ ⁼⁻

∫

⁼

∫

⇒ ² , ¹ ² , ¹