11주차
수학학습심리학(3)
-스켐프, 디너스
살펴볼 내용
1. 스켐프(Richard R. Skemp)의 수학학습심리학
: 개념, 일차개념, 이차개념, 스키마, 스키마식 학습
와 .
2. 디너스(Z.P.Dienes)의 수학학습심리학
를 통한 학습
수학 학습 원리
1. Skemp의 수학학습심리학
피아제의 쉠(Scheme) 개념과 유사한 (혹은 쉐마, ) 개념 이용
에 의한 학습(연합주의 심리학)에 대한 대안으로서 ‘ ’를 통한 학 습 이론 전개
‘개념’과 ‘개념을 안다는 것’에 대한 관점
‘개념’(혹은 ‘ ’) : 를 통해 된
.
- 추상화 : .
- 분류 : .
- 명명(naming) : 개념을 나타내기 위해 . 하는 것
‘개념’을 안다는 것 : .
. .
일차개념과 이차개념
일차개념
- .
- 빨강, 승용차, 무거운 등
이차개념
- .
- (개념 A가 개념 B의 예이면, B는 A보다 더 높은 차원의 개념)
개념 학습의 2가지 원리
자신이 가진 개념보다 높은 차원의 개념은 정의에 의 해 의사소통 불가능하며, 으 로써 가능하다.
학습자에게 되어 있는지 확실히 하여야 한다.
- 특정 단계를 이해하지 못하면 그 이후의 추상화 과정 이 위태로워진다.
- 추상의 새로운 단계에서는 모든 선행 개념이 사용 가 능한 상태이어야 한다.
스키마
개념들은 독립적으로 존재하는 것이 아니라 서로 관 계(예:좋은/나쁜, 좋은/가장 좋은 등)를 맺고 있는데, 를
‘스키마’라고 함.
스키마의 기능
‘ ’하는 것 뿐 아니라
‘ ’하고
‘ ’ 가 되어
‘ ’ 하게 한다.
스키마는 . 이다.
유용한 스키마를 많이 가지고 있을수록 여러 가지 예 측하지 못한 돌발 사태에 보다 적절하게 대응
우리가 학습하는 거의 모든 것은 이미 알고 있는 어 떤 것에 의존한다는 면에서 스키마는 . 라고 할 수 있음
( 암기식 학습) : 적절한 스키마를 구성ㆍ사용하게 하는 학습방법
스키마식 학습의 장점
효과적인 학습이 이루어진다.
장래의 학습에 필요한 적응력 있는 정신적 도구를 준 비해 준다.
스키마식 학습의 단점
독립된 과제의 학습에서는 스키마 학습이 더 오랜 시 간이 걸릴 수 있다.
스키마에 맞지 않는 것은 학습하기 어렵게 한다.
- 즉, 가치가 있었던 스키마가 새로운 경험이나 아이디 어에 직면하였을 때 더 이상 가치가 없을 수도 있는 데, 이 경우 스키마는 가 될 수 있다는 것이다. (cf : 인식론적 장애)
- 이는 스키마가 이 있기 때문이며,
- 이 때 필요한 것은 스키마 자체를 변화시키는 것이다.
- 이 실패하면 새로운 경험은 더 이 상 적절하게 해석될 수 없고 새로운 상황에 적절하게 대처할 수 없게 된다.
- 결국 스키마의 영향력이 매우 크다는 것이 오히려 단 점이 될 수도 있는 것이다.
스키마 학습을 위해서는
과 .
가 중요한 문제가 되며,
할 수 있도록 기본적인 아이디어나 규칙성을 스스로 찾도록 해야 한다.
더불어 항상 가 되어 있어야 한다.
관계적 이해
스켐프는 어떤 것을 이해한다는 것을 . 키는 것으로 보고, 이러한 이해를 ‘ ’라고 함.
. 일반적인 수학적인 관계로부터 특수한 규칙이나 절 차를 연역할 수 있는 상태
.
관계적으로 이해된 지식은
- ,
- ,
- 하여 그 자체가 효과 적인 목적이 될 수 있다.
도구적 이해
.
알고리즘이나 공식에 따라 답을 계산해 내기는 하지 만 문제가 변형되면 풀지 못하는 불완전한 수준의 이 해
,
.
논리적 이해
주어진 가정, 공리, 정리 등 이미 확립된 수학 지식을 적절히 선택하여 능 력
관계적 이해를 했다고 하더라도 논리적 추론 과정을 기술해 나갈 때 연속되는 명제 사이에서 함의의 관계 에 관련된 이해를 하지 못할 수 있는데, 이는 논리적 이해가 부족하기 때문
기호적 이해
능 력
2. Dienes의 수학학습심리학
수학 학습은 ‘ ’이다.
- 아동의 수학 학습
- 수학적 상황에서의 수학 학습
- 수학적 수학 학습
통합적 인격 형성에 기여하는 수학 학습
개념 형성(의 3단계)
1단계
- 와 같은 활동에 따른 자의적인 반응을 하는 단계
- 궁극적인 개념 형성을 위한 기본 경험으로서의 놀이
2단계
- 을 이해하기 시작하여,
- 이 이루어지며,
- 아직 지각되지 않는 최종 단계를 향한 보다 목적 지 향적인 단계
3단계
- 최종적으로 개념이 형성되는 단계
- 이 파악되어 그 가 이해된다.
개념 정착
3단계를 거쳐 개념이 형성되면 . 및 을 통해 그 개념에 보다 정통 하게 된다. 즉, 된다.
사이클 반복
정착된 개념은 . ,
보다 높은 수준에서의 보다 객관적인 개념형성의 사 이클이 시작된다.
.
이와 같은 개념 발달의 사이클을 ‘ ’라고 함.
즉, 3단계를 거쳐 형성된 수학적 개념은 일시적으로
‘ ’로 되지만 내성적인 분석과 적용 과정 에서 다시 ‘ ’로 변하여 보다 객관적이 고 높은 수준의 재구성이 이루어진다.
이처럼 를 수학적 사고의 본질이라고 봄.
수학적 개념의 교수-학습 과정 (6단계)
1단계 : .
2단계 : .
3단계 : .
4단계 : .
5단계 : .
6단계 : .
1단계 (자유놀이)
- 구조화되어 있지 않은 조작이나 시험 활동 등 많은 구체적인 자료를 처음으로 자유롭게 대하는 시기
- 단지 주어진 환경에 작용을 가하고 작용을 받는 수준 의 활동으로서의 놀이
- 주어지는 자료나 상황은 풍부하고 변화가 많아야 하 며, 수학적으로 의미 있는 특징을 갖추어야 한다.
- 예) 개수나 모양, 크기 등이 다양하게 주어진 구체물 로 놀이하는 경험을 하는 것
2단계 (게임)
- 자유롭게 놀이를 하는 가운데 점차 어떤 규칙성이 있 다는 느낌을 갖게 되는 시기
- 규칙을 깨달으면 아동은 규칙성을 발견하고 그것을 사용하고, 바꾸고, 폐지하는 것을 알게 되고, 이를 통 해 ‘게임’을 할 수 있게 된다.
- 예) 어떤 도형은 각진 부분이 없다거나 모양에 차이 가 있다는 것 등을 인식하는 것
- 일정한 규칙을 가진 어떤 게임을 제시할 때, 그 규칙 을 절대적인 것으로 보지 않도록 유의
3단계 (공통성 탐구)
- 놀이의 소재가 되는 여러 구체물 속에 공통적으로 들 어있는 특정 개념의 수학적 구조를 파악하기 시작하 며, 게임 단계에서 감지되는 규칙성이 보다 명확해지 는 단계
- 예) 네모 모양은 꺾어지는 부분이 4군데이고, 원 모 양은 그런 부분이 없다는 것을 명확히 인식하는 단계
4단계 (표현)
- 추상화 과정을 통하여 파악한 개념의 공통성을 적절 한 방법(간단한 그림, 언어적 표현, 전형적인 예 등) 으로 표현하는 시기
- 네모 모양이나 세모 모양, 둥근 모양 등을 다양한 방 법으로 표현하는 것
5단계 (기호화)
- 자신만의 적절한 수단으로 표현한 개념을 수학적인 기호를 이용하여 표현하는 시기
- 예) 사각형, 삼각형, 원 등을 이용한 표현
6단계 (형식화)
- 자신이 추상한 개념의 수학적 구조를 파악하고, 이 개념이 갖고 있는 여러 성질을 체계화하는 시기
- 예) 삼각형과 사각형 사이의 관계, 삼각형의 성질, 사각형의 성질 등을 파악하는 것
효과적인 수학 학습의 원리
수학 교수학습에서 과 의 사용을 강조하면서, 효과적
인 수학 학습의 원리로 다음의 네 가지 원리 주장
.
.
.
.
역동적(활동의) 원리
- 학생들에게 수학적 개념을 형성시키기 위해서는 다 양한 구체물을 이용한 (예비 놀이, 구조화된 놀이, 실습 놀이)을 경험시켜야 한다.
- 예) 직육면체 개념 학습에서, 직육면체 모양의 다양 한 구체물을 이용하여 3단계의 놀이를 경험하도록 한다.
구성의 원리
- 아동은 분석적 사고를 하기 전에 구성적 사고를 먼저 발달시키므로, 아동에게 제시되는 수학적 상황은
. .
- 분석은 12세까지의 아동의 학습에서는 전혀 보이지 않는 것이다.
- 예) 직육면체를 두고 성질을 분석하게 하는 활동보 다는 쌓기나무나 마분지에 그린 전개도 등을 이용하 여 직육면체를 구성해 보는 경험을 먼저 제공한다.
수학적 다양성의 원리
- 구체물은 개념과 결합된 수학적 변인들을 폭넓게 조 작할 수 있는 것이어야 한다.
- 즉, . .
- 예) 평행사변형의 개념 학습을 위해 학생들에게 제 시되는 자료나 경험에서, 유지하 면서 을 다양하게 변화시킴으로써 그러한 변화 중에서 로서 평행사변형의 개념을 이해하게 한다.
- 예) 직육면체를 이루는 변인 중에서 밑면의 가로와 세로의 길이, 높이 등을 다양하게 변화시켜 다양한 모양의 직육면체를 경험하게 한다.
지각적 다양성의 원리
- 동일한 개념을 형성하는 데 존재하는 가능한 모든 개 인차를 고려하는 방법으로서,
- 학생들이 다루는 구체물은 가능하면 서로 비슷하지 않아야, 아동들이 서로 다른 관점에서 구조를 볼 수 있다.
- 예) 평행사변형을 종이 위에 그릴 수도 있고, 두 개 의 합동인 나무로 된 삼각형으로 만들 수도 있고, 벽 지의 패턴을 통해서 찾을 수도 있다.
- 예) 쌓기나무로 만든 직육면체, 플라스틱 빨대를 연 결하여 만든 직육면체, 종이를 이용하여 만든 직육면 체, 종이로 만든 직육면체 등 지각적으로 다양한 소 재로 구성된 직육면체를 제공한다.
