구간 추정 (interval estimation) 8장

(1)

구간 추정 (interval estimation) 8장

 모집단 평균:  ^{가 알려진 경우}

 모집단 평균:  가 알려지지 않은 경우

 표본 규모의 결정

 모집단 비율

(2)

점추정량은 모집단 모수의 정확한 값을 제공할 것으로 기대되지 않는다 .

구간추정값은 오차한계라 불리는 값을 점추정값에 더하고 뺌으로써 계산된다.

점추정값 +/ 오차한계

구간추정값의 목적은 점추정값이 모수에 얼마나 근사한지에 관한 정보를 제공하는 것이다 .

오차한계와 구간추정값

(margin of error and the interval estimate)

(3)

모집단 평균에 대한 구간추정값의 일반적인 형식은 다음과 같다.

오차 한계와 구간추정값

오차 한계

x ±

(4)

모집단 평균의 구간추정 :

 ^{가 알려진 경우}

 모집단 평균의 구간추정을 위해서는 아래를 이용하여 오차한계를 계산해야만 한다:

•

^{모집단의 표준편차} ^ ^{, 또는}

•

^{표본의 표준 편차} ^s

  가 정확하게 알려져 있는 경우는 드물다. 그러나 과거 자료나 다른 정보들을 이용하여 얻을 수 있는 경우도 있다.

이러한 경우에  가 알려진 경우라고 한다.

(5)

표본평균이 오차한계 보다 같거나 작은 구간에 있을 확률이 1   ^이다 zz___/2_/2

 

_x_x



/2

/2 /2/2

모든 값의 1 - 

모든 값의 1 -

xx



표본분포

xx

표본분포

x x z__/2



_x

z__/2



_x z__/2



_x

z__/2



_x

모집단평균의 구간 추정 :

 ^{가 알려진 경우}

(6)



/2

/2 ^모든^모든1 -1 - 

xx

^값의^값의 /2/2

의 표본분포 의 표본분포

xx

x x

z__/2



_x

z__/2



_x z__/2



_x

z__/2



_x

[--- ---]

xx

xx xx

^를 포함하지

않는 구간 interval

includes ^를  포함하는

구간

모집단 평균의 구간추정 :

 ^{가 알려진 경우}

(7)

모집단 평균의 구간추정 :

 ^{가 알려진 경우}

• ^{의 구간 추정값}

x z

 _



n x z /2

 _



n

/2

여기서: : 표본평균 1 - : 신뢰계수

z__/2: 표준 정규분포 오른쪽 꼬리 면적의

에 해당하는 z-값

 :모집단 표준편차 n :표본 규모

x x

/

2



(8)

모집단 평균의 구간추정 :

 ^{가 알려진 경우}

적정 표본규모(adequate sample size)

대부분의 경우에 표본의 규모 n = 30 이 적정하다.

모집단의 분포가 비대칭적이거나 극단값이 있는 경우 표본 규모는 50이상으로 하는 것이 좋다.

(9)

모집단 평균 구간추정 :

 ^{가 알려진 경우}

적정 표본규모 (계속)

모집단이 대략 정규분포일 경우, 표본규모는 15보다 작아도 가능하다.

모집단이 정규분포는 아니나 대칭분포일 경우, 표본의 규모는 15 정도로도 충분하다.

(10)

모집단 평균의 구간추정 :

 ^{가 알려진 경우}

예 : Discount Sounds

Discount Sounds 은 미국내에 260개의 대리점을

가지고 있다. 이 회사는 새로운 대리점의 개설시 예비 후보지를 평가 하는 데, 그 지역의 평균

연 소득을 고려하려 한다.

표본규모 n = 36 이며,

표본평균 소득은 $31,100이다. 모집단의 분포는 대략

대칭적이라고 믿고 있다. 모집단 표준편차는 $4,500로 추정 된다. 그리고 구간추정을 위한 신뢰계수는 .95가 사용된다.

(11)

 표본평균들의 95% 가

모집단 평균의 + 1.96 내에 있다.

 

_x_x

 오차한계는 :





_ _ _ _

 

 

/2

4,500

1.96 1,470

z 36

 n



_ _ _ _

 

 

/2

4,500

1.96 1,470

z 36

n

그래서, 95% 신뢰수준에서, 오차한계는

$1,470이다.

모집단 평균의 구간추정 :

 ^{가 알려진 경우}

(12)

모집단 평균의 구간추정 :

 ^{가 알려진 경우}

^{의 구간추정값은}:

이 구간내에 모집단 평균이 있다는 것을 95% 신뢰한다.

$31,100 + $1,470 또는

$29,630 에서 $32,570

(13)

모집단 평균의 구간추정 :

 가 알려지지 않은 경우

 모집단 표준편차  가 표본 추출전 알려지지 않은 경우, 표본의 표준편차 s을 의 추정치로 사용한다 .

 이것은  가 알려지지 않은 경우이다.

 이 때, ^{의 구간 추정값은} t 분포에 기초한다.

(당분간 모집단이 정규분포라는 것을 가정한다.)

(14)

t 분포는 확률분포의 한 종류이다.

t 분포

특정한 t 분포는 자유도에 따라 분포를 달리한다.

자유도는 s 를 계산하는데 사용되는 독립적인 정보의 수이다.

(15)

t 분포(t distribution)

자유도의 수가 증가할수록 t 분포의 변동성은 낮다.

자유도의 수가 증가함에 따라, t분포와 표준정규분포 간의 차이는 점점 더 줄어들게 된다.

(16)

t ^분포

표준정규 분포

(자유도 20)t 분포

(자유도 10)t 분포

0

z, t

(17)

자유도가 100을 초과하면, t 값을 어림잡기 위해 표준 정규분포의 z값을 이용할 수 있다.

t 분포

표준정규분포의 z값은 t분포표에서 무한대의 자유도(∞ )를 갖는 행에서 찾을 수 있다.

(18)

t 분포

Degrees Area in Upper Tail

of Freedom .20 .10 .05 .025 .01 .005

. . . . . . .

50 .849 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 60 .848 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 80 .846 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 100 .845 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 .842 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576

of Freedom .20 .10 .05 .025 .01 .005

. . . . . . .

50 .849 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 60 .848 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 80 .846 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 100 .845 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 .842 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576



표준정규 Z-값

(19)

• 구간추정값

x t s

 __/2 n

x t s

 __/2 n 여기서: 1 - = 신뢰계수

t__/2= t 분포의 오른쪽 꼬리 /2 에 해당하는

면적에 대한 자유도 n – 1을 가지는 t 값 s = 표본 표준편차

모집단 평균의 구간추정 :

 가 알려지지 않은 경우

(20)

한 학생신문 기자가 학교밖의(off-campus) 주거 비용에 대한 기사를 쓰고 있다.

학교에서 0.5마일 이내에 떨어진 16개의 간이(efficiency) 아파트 표본을 조사해 보니 1개월 평균 월세가 $650 이고, 표준 편차가 $55이었다.

모집단 평균 신뢰구간 추정 :

 가 알려지지 않은 경우

예: Apartment Rents

(21)

학교에서 거리가 0.5마일 내에 있는 간이 아파트 모집단의 평균 월세에 대하여 95% 신뢰수준의 구간추정값을 구해 보자.

모집단은 정규분포임을 가정한다.

모집단 평균에 대한 구간추정 :

 가 알려지지 않은 경우

예: Apartment Rents

(22)

95% 신뢰수준 에서,  = .05, 그리고 /2 = .025.

of Freedom .20 .100 .050 .025 .010 .005 15 .866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 .865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 .863 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 .862 1.330 1.734 2.101 2.520 2.878 19 .861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861

. . . . . . .

of Freedom .20 .100 .050 .025 .010 .005 15 .866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 .865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 .863 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 .862 1.330 1.734 2.101 2.520 2.878 19 .861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861

. . . . . . .

t분포표에서 : t_.025 = 2.131.

t_.025 는 자유도가 n  1 = 16  1 = 15 이다.

모집단 평균에 대한 구간추정 :

 가 알려지지 않은 경우

(23)

x t s



_.025

n

x t s



_.025

n

학교에서 0.5마일 내에 있는 간이 아파트 모집단의 평균 월세가 $620.70 에서 $679.30사이에 있다는 것을

95% 신뢰한다.

구간추정

모집단 평균의 구간추정 :

 가 알려지지 않은 경우

650 2.131 55 650 29.30

 55 16  

650 2.131 650 29.30

 16  

(24)

모집단 평균에 대한 구간추정 절차의 요약

모집단 표준편차  ^를 알고 있는가 ?

표본표준표차 s 를 s추정치로 사용

예 아니오

/2

x t s



n



_/2

s x t 

^

n x z

/2



n



_/2



x z

^

n

 

을 알고 있는 경우

을 모르는 경우

(25)

E 를 ‘바람직한 오차한계’라 하자.

E 는 구간추정값을 얻기 위해 점추정값에 더해지고 차감된다.

모집단 평균 구간추정에 대한 표본규모

(26)

모집단 평균 구간추정에 대한 표본규모

E z



_

 n E z

/2



_

 n

/2

n z

 (

__/

E

₂

)

²



²

n z

2

 (

__/

E

₂

)

²



²

2

 오차한계

 필요한 표본규모

(27)

 Discount Sounds 가 새로운 대리점 후보지 평가를 하기 위해 그 지역 거주자의 평균 연소득을 고려 한다.

 경영진은 표본오차(sampling error)가 500$ 이하일 확률이 0.95가 되도록 모집단 평균의 추정치를 원한다고 가정하자. 표 본규모는 얼마가 되어야 하는가?

모집단 평균 구간추정에 대한 표본규모

(28)

 95%신뢰 수준에서, z_.025 = 1.96. 앞서= 4,500임.

z^ n



/2  500

z^ n



/2  500

2 2

2

(1.96) (4, 500)

311.17 312 (500)

n  (1.96) (4, 500)² ₂ ²  

311.17 312 (500)

n   

모집단 평균 구간추정에 대한 표본규모

95% 신뢰수준에서 + $500 의 정확도를 얻기 위해서는 표본규모가 312 가 되어야 한다.

(29)

모집단 비율 구간추정값의 일반적인 형태는

모집단 비율의 구간추정

p ± 오차한계

(30)

모집단 비율 구간추정

모집단 비율 의 표본분포는 구간추정에 있어 오차 한계를 계산하는 데 중요하다

p p

np > 5 그리고 n(1 – p) > 5일 경우 모집단 비율 의 표본분포는 정규분포에 근사한다np > 5 그리고 n(1 – p) > 5일 경우 모집단 비율 의. 표본분포는 정규분포에 근사한다.

p

(31)

/2

/2 /2/2

모집단 비율의 구간추정

모집단 비율

p p

의 표본분포의 정규 근사

모집단 비율 의 표본 분포 모집단 비율

의 표본 분포

p

(1 )

p

p p

  (1n^ )

p

p p

  n^

p

pp

p

/2 p

z

_ _/2



_p

z

_



/2 p

z

_ _/2



_p

z

_



모든 값의 1 - 

p p

(32)

모집단 비율의 구간추정

• 구간추정값

p z p p

 n

/

( )

2

p z p 1 p

 n

/

( )

2

1

여기서: 1 - : 신뢰계수

z__/2: 정규분포 오른쪽 꼬리의 면적이 /2

에 해당하는 z-값 : 표본비율

p

(33)

Political Science, Inc. (PSI) 는 선거 관계자들이 그들의

선거운동 현황에 대하여 알 수 있도록 유권자 여론조사 등을 전문적으로 다루고 있다.

PSI조사원은 전화조사 방법을 이용하여 등록된 유권자들에게 선거일 누구에게 투표할 것인지를 물어 보았다.

모집단 비율의 구간추정

예 : Political Science, Inc.

(34)

 최근 선거운동에서, PSI에 조사된 500명의 유권자 중 220명의 유권자가 특정 후보를 지지하는 것으로 파악되었다.

 PSI는 그 특정 후보를 지지하는 유권자의 모집단 비율에

대하여 95%의 신뢰구간 추정을 하려고 한다.

모집단 비율의 구간추정

예 : Political Science, Inc.

(35)

p z p p

 n

/

( )

2

p z p 1 p

 n

/

( )

2

1

여기서 : n = 500, = 220/500 = .44, z

p p

__/2= 1.96

모집단 비율의 구간추정

PSI 는 총유권자 중 그 후보를 지지하는 비율이 .3965에서 .4835라는 것에 대하여 95% 신뢰한다.

.44(1 .44) .44 1.96

500

 .44(1 .44) .44 1.96

500

  = .44 + .0435

(36)

 표본규모에 대해서 풀면,

 오차한계

모집단 비율 구간추정에 대한 표본규모

/ 2

(1 ) p p E z

^

n



_{/ 2}

p (1  p ) E z

^

n

 

2 / 2

2

(z ) p(1 p)

n E

 

 (z ^{/ 2})² p₂(1 p)

n E

 



하지만 , 표본을 추출하기 전에는 을 알 수 없다. 그래서 에 대한 예측값(planning value) p^* 를 사용한다.

p p p

p

(37)

모집단 비율의 구간추정에 대한 표본규모

예측값 p^*는 다음에 의해서 선택될 수 있다:

1. 같거나 비슷한 단위의 이전 표본으로부터의 표본비율 사용.

2. 예비표본을 선택하고 이 표본으로부터 표본비율을 이용.

2 * *

/ 2

2

(z ) p (1 p )

n E

 

 (z ^{/ 2})² p^*₂(1 p^*)

n E

 



 표본규모

(38)

모집단 비율 구간 추정에 대한 표본규모

 PSI는 표본비율이 모집단 비율의 +/- .03 이내에 있을 확 률이 .99가 되도록 하고 싶어한다고 가정하자.

 이를 위해서는 표본규모를 얼마로 하여야 하는가 ? (예전 유사한 조사에서 표본비율은 .44 라 한다.)

(39)

99% 신뢰수준에서 , z_.005 = 2.576.

p p

 = .44라 할 때

99% 신뢰수준에서 모집단 비율의 + .03의 정확도를 얻기 위해서는 표본규모는 1817가 되어애 한다.

2 2

/2

2 2

( ) (1 ) (2.576) (.44)(.56)

1817 (.03)

z p p

n E

 

  

2 2

/2

2 2

( ) (1 ) (2.576) (.44)(.56)

1817 (.03)

z p p

n E

 

  

모집단 비율 구간추정에 대한 표본규모

/2

(1 ) p p .03

z^ n

 

/2

(1 ) p p .03

z^ n

 

(40)

 주목: 앞의 예에서 .44를 p 의 가장 근사한

추정치로 사용 하였다. 만약 p 에 대하여 이용할 수 있는 정보가 없다면, .5 가 자주 사용된다. 그 이유는 이때 가장 큰 표본규모가 요구되기 때문이다.

앞의 예에서 p = .5을 사용했다면, n 은 1843이 된다.

모집단 비율 구간추정에 대한 표본규모

(41)