도형의 방정식 방정식 방정식 방정식 방정식 방정식도형의 방정식
기하와벡터 2. 도형의 방정식 평면 위로의 정사영
2. 공간좌표 1. 공간좌표
129. [정답] ⑤ [풀이]
A B C C에서 직선 에 내린 수선의 발을 H라 하면 CH
삼수선 정리에 의하여 선분 OH와 선분 AB는 수직이고
∆ COH에서 피타고라스 정리에 의해 OH 이다.
∆OAB의 넓이
× OA× OB
× OH× AB이므로
× ×
× ×
정답과 해설 교육청/평가원
에서 이므로 ∆는 정삼각형이다. 따라서 ∆의 넓이는
이 때, 가 최소가 되려면 의 값이 최대가 되어야 한다.
이므로
≥
∴ ≤
(단, 등호는 일 때, 성립한다.)
따라서 의 최댓값이 이므로 의 최솟값은
이다.
131. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 공간좌표를 이용하여 문제를 해결할 수 있는지 묻는 문제이다.
A , B , C 이므로 삼각형 ABC는
∠C 인 직각삼각형이다.
따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 AB
132. [정답] ⑤ [풀이]
평면과 평면 사이의 각을 , 평면과 평면 사이의 각을 라 하자.
cos cos 이때,
이므로
cos cos
sintan
∴ cos
∴ ×
2. 선분의 내분점과 외분점 133. [정답] 350
[풀이]
[출제의도] 공간좌표 이해하기
그림과 같이 점 M을 좌표공간의 원점으로 하면
점 B , 점 C 에서 점 P는 BM를 로 내분하므로 P
CP
따라서
134. [정답] ⑤ [풀이]
, ∴
135. [정답] ② [풀이]
정육면체 A 안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는 (3, 1, 3) 정육면체 B 안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는 (3, 3, 1) 정육면체 C 안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는 (1, 3, 1) 이므로 개의 구의 중심을 연결한 삼각형의 무게중심의 좌표 는
∴
3. 구의 방정식 136. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 공간좌표 이해하기
O
구 를 평면으로 자른 단면은 원
이 되므로, 밑면의 넓이는 가 되고, 부피가 최대가 되는 원뿔의 높이는 이다.
∴원뿔의 부피의 최댓값은
137. [정답] ④ [풀이]
구 의 중심을 A 라 하고
확률과 통계 정답과 해설
두 구가 원점 O 에서 서로 접하므로 두 벡터 OA와 OB는 평행하다.
즉, OB OA 는 실수)
∴
∴
∴
138. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 구의 방정식을 구할 수 있는가?
가 축, 축에 접하면서 평면과 만나서 생긴 원의 반지름이 이 므로
구의 중심을 C , 반지름을 라 두면, 다음과 같은 식이 성립한다.
축과 만나는 현의 길이가 이므로 현의 수직이등분선 중 하나는 구의 중심을 지난다.
현의 양 끝점을 각각 (의 좌표의 좌표) 그 중점을 이라 두면 AM MC AC 이므로
∴
139. [정답] [풀이]
[출제의도] 공간도형과 공간벡터
구를 평면에 수직이고 OP 를 지나는 평면으로 잘라서 단면화해 보자.
이 때 아래와 같은 그림을 얻을 수 있다.
를 평면에 정사영 시킨 점을 이때, OH OP 이다.
PQ 를 만족하도록 평면 를 잡고 평면과 이루는 각을 라 하자.
의 넓이를 라 하면,
cos
cos가 최대인 순간은 위의 그림과 같이 가 와 평면의 교선에 최대한 가까이 있는 경우이다.
이 때 를 구하면
cos cos
, cos
cos
따라서 원 의 넓이의 최댓값은
③ 인 영역,
④ 인 영역,
⑤ 인 영역,
⑥ 인 영역,
⑦ 인 영역,
⑧ 인 영역,
한편, 주어진 구
의 중심은 이므로 구 의 중심은 ⑤의 영역에 있다.
따라서 구 는 ⑤의 영역을 지난다.
또, 구의 반지름의 길이 는 이고,
이므로
구 는 평면, 평면, 평면에 의하여 두 부분으로 나누어진다.
따라서 구 는 ①, ⑦, ⑥의 영역을 지난다.
한편,
이므로 구 는 축과 서로 다른 두 점에서 만난다.따라서 ③의 영역을 지난다.
또,
이므로구 는 축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
따라서 ②의 영역을 지난다.
하지만,
이므로 구 는 축과 만나지 않는다.따라서 ⑧의 영역을 지나지 않는다.
또,
이므로 원점의 구 의 외부에 있다.따라서 ④의 영역을 지나지 않는다.
따라서 구 가 지나는 영역은 ①, ②, ③, ⑤, ⑥, ⑦의 개이다.
141. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 구 중심의 자취 구하기 두 구 ⋯⋯ ①
⋯⋯ ②의 중심
O C 사이의 거리는
이므로 두 구는 외접한다.이 때, 반지름이 2인 구의 중심 P 는 OP CP 를 만족하므로, 점 P는 선분 OC를 회전축으로 회전한 도형의 둘레가 된다.
그림에서 ∠COP 라 놓으면, cos ⋅⋅
점 P에서 선분 OC에 수선을 내린 수선의 발을 H라 하면,
PH ⋅ sin
cos
따라서 구하는 길이는
⋅
142. [정답] 11 [풀이]
정답과 해설 교육청/평가원
,
∴ (∵
)
또한, 구하고자 하는 도형은 점
을 지나면서 평면에 평행한 평면과 구 의 교선이므로
, 따라서 도형 전체의 길이는
×
∴
143. [정답] ④ [풀이]
주어진 상황을 그림으로 나타내면 위와 같다.
구 의 중심을 C 이라 하고 구 위의 점 P 에서 접하고 원 위의 두 점 Q R 을 포함하는 평면을 라 하면
직선 QR 은 평면과 평면 와의 교선이 된다.
한편 점 P 에서 직선 QR 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 O 에서 직선 QR에 내린 수선의 발도 H 가 된다.
평면 POH 로 자른 단면을 이용하면 OH 임을 알 수 있다.
이제 평면 위의 원 에서 살펴보자.
직각삼각형 ROH 에서 RH 이므로 QR 이다.
144. [정답]
[풀이]
[출제의도] 공간도형과 공간좌표
반구의 중심을 Oʹ이라 하고, Oʹ에서 축에 내린 수선의 발을 H라 하면 H(0, 4, 0)이므로
OʹH ㉠
이 때, 축을 포함하는 평면 와 반구의 접점을 Q라 하면
또한, OʹQ⊥, OʹH⊥OH이므로 삼수선의 정리에 의해 OH⊥QH이다.
∴QH
㉢㉠, ㉡, ㉢에서 와 평면이 이루는 각이 ∠QHO′이므로 cos OʹH
QH
∴ cos
145. [정답]
[풀이]
구 …㉠는 중심이 이고 반지름 의 길이가 2인 구이고 구 …㉡은 중심이 원점
이고 반지름의 길이가 4인 구이다.
이때,
이므로 ㉠은 ㉡에 포함되고, ㉡의 중심 은 ㉠에 포함된다. 2
따라서 ㉠에 접하는 평면이 ㉡과 만나서 생기는 도형은 원이고 넓이가 최대가 되려면 점 O에서 평면 사이의 거리가 가장 짧아야 한다. 즉, 두 구의 중심 를 지나는 직선과 구 ㉠과의 교점 중에서 점 O에 가까 운 점을 P라 하면 점 P가 평면의 접점이 될 때이다.
이때, 단면이 나타내는 원의 반지름의 길이를 라 하면
따라서 넓이의 최댓값은
∴