유형 1
구의 벡터의 크기
유형 2공간벡터의 성분과 크기
유형 3핵심노트
146.146.그림은 한 모서리의 길이가 인 두 정사면체 ABCD 와 BCDE 에 대하여 면 BCD 를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다. 두 벡터
BA 와 DE 에 대하여 BA DE의 값을 구하시오.
[3점][2010(가) 10월/교육청 21]
공간벡터의 위치벡터
유형 4핵심노트
147.147.좌표공간의 세 점 A , B , C 과
평면 위의 점 P 에 대하여
PA PB PC
의 최솟값은?[3점][2011(가) 10월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터 공간벡터
1 1
1
1
1 1
1
기하와벡터 1. 공간벡터
148.148.밑면의 반지름의 길이가 , 모선의 길이가 이고 꼭짓점이 O 인 직원뿔이 있다. 밑면의 둘레 위의 한 점 A 에서 출발하여 원뿔의 옆 면을 한 바퀴 돌아 점 A 로 되돌아오는 최단경로를 이라 하자.
위를 움직이는 점 P 에 대하여 점 B 가
AB
AO
AP 를 만족시킬 때, 점 B 의 자취의 길이는?
[4점][2007(가) 10월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
149.149.좌표공간의 점 A 과 중심이 원점 O인 구
위를 움직이는 점 P에 대하여
OA
OP
의최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 유리수이다.)[4점][2009(가) /수능 22]
세 점이 한 직선 위에 있을 조건
유형 5핵심노트
1. 공간벡터 Ⅳ 공간벡터
2 공간벡터의 내적
공간벡터의 내적
유형 1핵심노트
150.150.그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정사면체 OABC 가 있다.
점 C 에서 모서리 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, 선분 HC 를 등분하여 각 분점을 차례로 P( H ), P, P, ⋯ , P , P( C) 라 하자.
OH ⋅OP라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
(단, 은 이상의 자연수이다.)
[4점][2017(가) 10월/교육청 18]
①
② ③
④ ⑤
공간벡터의 내적의 범위의 활용
유형 2핵심노트
기하와벡터 1. 공간벡터 성분으로 주어진 공간벡터의 내적
유형 3
핵심노트
151.151.그림과 같이 AB AD ,
AE 인 직육면체 ABCD EFGH 에 서 모서리 AE를 으로 내분하는 점을 P, 모서리 AB, AD , FG 의 중점 을 각각 Q R S 라 하자.
선분 QR의 중점을 T 라 할 때, 벡터
TP 와 벡터 QS 의 내적 TP∙ QS 의 값을 구하시오.
[3점][2009(가) /수능 20]
두 벡터가 이루는 각의 크기
유형 4공간벡터의 수직 조건과 평행 조건
유형 5공간벡터의 내적의 연산의 활용
유형 6핵심노트
152.152.그림은 모든 모서리의 길이가 인 두 개의 정사각뿔 O ABCD, O′ DCEF에 대하여 모서리 CD 를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다. OB OF 의 값을 구하시오. (단, 면 ABCD 와 면 DCEF 는 한 평면 위에 있다.)
[3점][2006(가) 9월/평가원 21]
1. 공간벡터 Ⅳ 공간벡터
153.153.두 평면 의 교선을 이라 하자. 평면 위에 있는 원 과 평면 위에 있는 원 는 반지름의 길이가 모두 이다. 그림과 같이 원 과 원 는 점 C 에서 직선 과 접한다. 의 중심 O을 지나고 평면 에 수직인 직선과 의 중심 O를 지나고 평면 에 수직인 직선이 만나는 점을 P 라 하자. ∠OC O
일 때, 위에 있는 임
의의 점 A 와 위에 있는 임의의 점 B에 대하여 PA PB의 최 댓값을 , 최솟값을 이라 하자. 의 값을 구하시오.
[4점][2005(가) 9월/평가원 21]
성분으로 주어진 공간벡터의 내적의 최대 최소
유형 7핵심노트
154.154.좌표공간에서 세 점 A B C 에 대하여 선분 AB 의 중점을 D , 선분 BC 를 로 내분하는 점을 E 라고 하자.
점 P 가 선분 DE 위를 움직일 때, 두 벡터 OP 와 AP 의 내적
OP ⋅AP 의 최솟값은? (단, O 는 원점이다.)
[4점][2006(가) 10월/교육청 16]
① ②
③
④
⑤
155.155.중심이 C 이고 반지름의 길이가 인 구와 구 위의 한 점 A 가 있다. 구 밖의 한 점 B 를 AB 이고 CB 가 되도록 잡는다. 점 P 가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터 BA BP 의 내적 BA ∙ BP 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
[4점][2012(가) 10월/교육청 28]
156.156.좌표공간에서 두 점 A , B 에 대하여 두 점 P, Q 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) OA ∙ OP , OP (나) AB∙ BQ , BQ
OP ∙ AQ 의 최댓값이
일 때, 두 유리수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[4점][2016(가) 10월/교육청 29]
기하와벡터 2. 도형의 방정식
1 직선과 평면의 방정식
공간상 직선의 방정식
유형 1핵심노트
157.157.좌표공간에 두 점 이 있고, 평면 위에 원 이 있다. 이 원 위의 점 을 지나고 축에 평행한 직선이 직선 와 만날 때, 의 값은?
[4점][2011(가) 9월/평가원 18]
①
②
③
④
⑤
158.158.좌표공간에 세 점 A , B , C 과 직선
가 있다.
직선 이 삼각형 ABC 의 변 또는 내부를 지나도록 상수 의 값을 정
직선과 교점의 좌표 구하기
유형 2평면의 방정식
유형 3핵심노트
159.159.좌표공간에 점 P 가 있고 평면 위의 원 위에 두 점 A , B가 있다. 평면 ABP 의 법선벡터가 일 때, 선분 AB의 길이는?
[4점][2016(가) 9월/평가원 18]
①
②
③
④
⑤
160.160.좌표공간에서 직선
에 수직이고
점 를 지나는 평면의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2010(가) /수능 20]