물질, 시간, 공간의 본성 (1)

물질, 시간, 공간의 본성 (1)

 지금쯤은 물질이 원자로 구성되었다는 사실을 받아들였을 것이다.

 실제로 원자는 “개별적이고 더 이상 나눌 수 없다는” 뜻의 그리스어에서 비롯된 단어이다.

 그러나 원자가 하부구조를 가지고 있다는 것을 곧 알게 될 것이다.

•

•

 양성자와 중성자는 각각 글루온으로 엮인 세 개의 쿼크가 모여 만들어지며, 쿼크와 글루온 또한 하부구조가 없는 기본단위로 알려져 있다.

 지금은 물질이 더 이상 나눌 수 없는 최소단위, 즉 “알갱이”로 구성되어있다는 것만 지적해 두자.

물질, 시간, 공간의 본성 (2)

 시간과 공간은 어떠할까? 이들도 “알갱이화” 되어있을까?

 상대론에 관한 장에서 시간과 공간 사이의 관련성에 대한 놀라운 결과를 배웠다.

 그러나 아직도 시간과 공간이 무한소의 양으로 나뉠 수 있는가에 대한 의문은 고려하지 않았다.

 미적분학은 Δt→0의 극한으로 속도와 가속도를 정의하므로 시간이 띄엄띄엄한 것이 아니라 연속적인 것이라고 가정하고 있다.

 에너지와 운동량 사이의 관계는 시간과 공간의 관계와 비슷하다.

 따라서 곧바로 에너지와 운동량이 연속적이 양인지, 아니면

가장 작은 에너지와 운동량 알갱이가 존재하는지에 대한 질문이 제기된다.

물질, 시간, 공간의 본성 (3)

 빛을 다시 고려하면서 위의 질문에 대한 답을 탐구해 보자.

 빛은 전자기파로 생각할 수 있다.

 처음으로 빛을 탐구한 32장과 33장에서는 빛이 직선으로 움직인다는 가정 하에 빛을 광선으로 다루었다.

 그러나 34장에서 회절과 간섭과 같은 물리적인 효과들을 설명할 때에는 빛의 파동성을 다룰 수밖에 없었다.

 34장에서는 빛을 조사하는 공간의 크기가 빛의 파장 정도가 되어야만 파동성이 유효하고, 그보다 훨씬 크면 기하광학이 훌륭한 어림이 된다는 것을 알았다.

 빛을 전자기파로서 기술한 앞의 논의는 관찰할 수 있는 모든 현상을 설명하는데 충분할까?

 대답은 ‘아니오’이다.

흑체복사 (1)

 열복사를 논의할 때, 이상화된 흑체 개념을 도입했다.

•

T

•

•

 일상에서 흔히 접하는 흑체복사

•

•

•

•

흑체복사 (2)

 먼저 고전 파동물리와 관찰로부터 알려진 흑체복사에 대한 사실을 간단히 정리하자.

 흑체복사의 전체 세기 (단위시간, 단위면적당 복사되는 에너지)에 대한 슈테판-볼츠만의 법칙은 다음과 같다.

 [Wm ^-3 ]는

스펙트럼 방출도는 단위시간, 단위면적, 해당 파장 당 복사되는 에너지이며, σ는 슈테판-볼츠만 상수이다.

 슈테판-볼츠만 복사법칙에서 가장 중요한 것은 전체 복사세기가 온도의 네제곱에 비례한다는 것이다.

T ⁴

8 2 4

5.670400(40) 10 Wm K

   ^{  }

4 0

)

( d T

I   ^      )

( 



빈의 법칙

 독일의 물리학자 빌헬름 빈은 1896년에 흑체의 스펙트럼

방출도를 설명하기 위해 경험적으로 다음과 같은 빈의 법칙을 유도했다.(작은 파장 어림)

 빈의 법칙은 파장이 짧은 흑체의 방출도를 설명하는데 성공했지만 파장이 긴 경우에는 실패했다.

 빈의 변위법칙은 스펙트럼 방출도에 대한 또 하나의 중요한 실험결과를 알려준다. 즉, 스펙트럼 방출도가 최대인 파장은 다음과 같이 온도에 의존한다.

2.90 10

3

m T constant K m

    ^ 

T

e b

a _

 

 _빈

 ₅ ^{ /}

스펙트럼 방출도 (1)

 한편 영국의 물리학자 레일리 경과 제임스 진스 경은 빛을 전자기파로 기술하여 흑체복사의 스펙트럼 방출도에 대한 다음의 공식을 유도했다. (큰 파장(λ) 어림)

여기서 c는 광속이며 k

_B

 그러나 이 결과는 λ→0 일 때 발산한다는 확연한 단점을 갖고 있었다.

 이는 자외선파국으로 알려졌다(자외선은 파장이 짧다).

1.3806503(24) 10

23

k B   ^ J K

4 B RJ

) 2

(



 

  ^{ck T}

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스펙트럼 방출도 (2)

 1900년 독일의 물리학자 막스 플랑크는 모든 파장에 대해

성립하는 스펙트럼 방출도를 유도하기 위해 급진적인 가정을 제안했다.

 그는 빛이나 다른 전자기복사에 포함된 에너지는 띄엄띄엄한 덩어리 형태로만 고체와 상호작용한다고 제안했다.

 그는 다음과 같이 덩어리의 에너지가 빛의 진동수에 비례한다는 가설을 세웠다.

 여기서 h는 플랑크 상수이며 다음의 값을 갖는다.

E h f hc

  

eVs 10

4.13567

Js 10

) 52 ( 62606876 .

6

15 -

34







 ^

h

h

플랑크의 법칙 (1)

 플랑크가 양자화-에너지 가설을 토대로 구한 플랑크 복사법칙은 다음과 같다.

 는 f와 df 사이의 진동수에서 온도 T의 흑체가 단위입체각, 단위면적당 방출하는 복사일률 (단위시간당 에너지)이다.

 는 고유세기 또는 스펙트럼 밝기이며, SI 단위는 Wm

^-2

^-1

^-1

  ² ₂ ³

1

T hf k T

h f

I f

 c e



) ( f

I _T df

)

( f

I _T

플랑크의 법칙 (2)

 스펙트럼 밝기는 방향에 의존하지 않는다.

 스펙트럼 밝기를 반구의 모든 방향에 대해 적분하면 스펙트럼 방출도를 다음과 같이 얻는다.

 첫 번째 적분에서 cos θ 인자는 흑체의 구멍에 수직한 단위벡터 의 복사성분이므로, 극각의 함수로 표기한 유효 단위면적을 나타낸다.

 

 

) (

2 2 1

) (

cos sin

) (

cos sin

) ( cos

) ( )

(

2

0

2 /

0

2 /

0 2

0

f I

f I

d d

f I

d d

f I d

f I f

T T T

T T

T

























 

 



 

 



 









 

   

플랑크의 법칙 (3)

 스펙트럼 방출도는 … 단위는 Wm

^-2

^-1

 또한 스펙트럼 밝기와 스펙트럼 방출도는 진동수 대신 파장의 함수로 표기할 수 있다.

 이를 위해 c=λf 를 사용하면 다음을 얻는다.

1 ) 2

( /

3

2 

 _{hf k T}

T e

f c

f  h



        ₂

T T T T

df d c c

I I f I f I f

d d

    

        

) 1 (

) 2

( 5 /

2

 _{hc k T}  e

hc

 

  ) 

1 (

) 2

( 5 /

2

 _{hc k T}  e

I hc _

 

플랑크의 법칙 (5)

 플랑크 법칙의 네 형태는 모두 똑같이 유효하다.

 그러나 스펙트럼 밝기나 스펙트럼 방출도를 논의할 때에는 주의를 기울여야 한다.

 위에서 확인했듯이 π배 차이가 난다.

 왜냐하면 스펙트럼 방출도가 스펙트럼 밝기의 반구의 방출각도에 대한 적분이기 때문이다.

 그림은 스펙트럼 방출도에 대한 플랑크 복사법칙을 세 온도에서

파장의 함수로 나타낸 그래프이다.

가장 위의 곡선은 태양표면의 온도와 비슷한 5800K에서 계산한 것이다.

복사법칙의 비교 (1)

 플랑크의 복사법칙이 올바르다면, 다른 법칙들은 어떠할까?

 모두 플랑크의 복사법칙에서 특정 조건으로 유도할 수 있다.

빈의 법칙:

 λ 가 작으면(f 가 크면), 플랑크 법칙의 특수한 경우로 …

 빈의 법칙을 다음과 같이 얻는다.

T k hc T

k

hc e

e

B B

/

/ 1

1 _



 



T k hc T

k

hc hc e

e

hc

B

/ 5

2 5 /

2 2

) 1 (

) 2

( _ ^







 

  ^

 

²

/

_B

a hc

b hc k







복사법칙의 비교 (2)

레일리-진스의 법칙:

 λ 가 작으면(f 가 크면), 플랑크 법칙의 특수한 경우로 …

 레일리-진스의 법칙을 다음과 같이 얻는다.

T k hc

e x

e ^x  1   ^{hc /  k B T}  1  /  _B

4 B B

5

2 5 /

2 2

) /

( 2 )

1 (

) 2

(













 

 _ ^{ck T}

T k hc

hc e

hc

T k

hc  

 

복사법칙의 비교 (3)

빈의 변위법칙:

 이 법칙을 이해하려면 가 최대가 되는 파장을 찾아야 한다.

 T→∞,을 제외하면 분자가 0이어야 하므로 …

) ( 



 ^{k T e hce}



T k e

hc e

hc d

d d

d

T k hc T

k hc

T k hc

/ B B

B

B

) 1 (

) 5 1 (

2

) 1 (

2 )

(

/ B

B / 2

7

2 5 /

2







 

















 



 

 





 

 

 

 

5 1 0

5 1 5 5

m B m B

hc k T hc k T

m B

m B

u u u

k T e hce

allowing u hc k T

e ue e u

 







   



    

복사법칙의 비교 (4)

 u=0이 뻔한 해이지만 무한대 파장에 해당한다.

 따라서 수치계산으로 다음의 해를 얻는다.

 상수 값들을 넣으면 …

…실험적으로 얻는 값과 일치한다.

4.9651

(4.9651)

m

m B B

hc hc

u T

k T  k

    

2.898 10 3

m T K m

   

2.90 10

3

m T constant K m

    ^ 

복사법칙의 비교 (5)

슈테판-볼츠만 법칙:

 전체 복사세기는 플랑크 복사법칙을 0부터 ∞까지 모든 파장에 대해서 다음과 같이 적분해서 구한다.

 플랑크 상수, 볼츠만 상수, 광속을 넣으면 슈테판-볼츠만 상수로 다음을 얻는다

.

 명백히 플랑크 법칙은 이전에 존재했던 모든 복사법칙들을 특별한 경우로 포함하고 있다

 플랑크의 흑체 복사법칙은 양자화된 에너지상태라는 급진적인 가정에도 불과하고 학계로부터 즉시 인정받았다.

   

2 5

4 5 3 2

0 0

2 2

1 15

B

B hc k T

hc k

I d d T

e ^ h c

 

  



   

 

       

5

8 2 4

3 2

2 5.6704 10 15

k B

W m K h c

  ^   ^    ^  ^{ }

 

우주배경복사

 가장 흥미로운 흑체 스펙트럼의 예는 빅뱅의 잔재이며 전 우주에 걸쳐서 놀라울 정도로 균일하게 분포되어 있는 우주배경복사이다.

 1990년에 추진된 COBE

위성탐사에서 우주배경복사의 온도가

 2.725±0.001K 임을 밝혔다.

응용

 물리적으로 접촉하지 않고 물체의 온도를 측정하기 위해서 흑체복사를 이용할 수 있다.

 물체가 충분히 뜨겁다면 가시광선 영역의 광자를 방출한다.

 제철소에서 녹은 철의 온도는 백열의 철에서 방출되는 광자를 분석하여 측정하고 있다.

 현대식 적외선 온도계는 고막에서 방출되는 적외선을 이용하여 인체의 온도를 잴 수 있다. 또한 음식물과 전기소자의 온도를 측정할 때도 사용한다.

광젂효과 (1)

 플랑크의 에너지 양자가설은, 물리학의 혁명이라기보다는, 계산을 위한 특이한 수단쯤으로 여겼지만, 그렇지 않다.

 1905년 아인슈타인은 빛이 에너지의 덩어리, 또는 양자로 이루어졌다고 가정하여 광전효과를 설명했다. (광전효과로 아인슈타인은 1921년 노벨 물리학상을 받았다.)

 미국의 화학자 길버트 루이스는 1926년에 빛의 양자를 나타내기 위해 광자라는 용어를 창안했다.

 광전효과에서 빛은 적당한 금속의 표면에서 전자를 떼어내어 전류를 형성할 수 있다.

 광전효과의 응용 :

•

•

•

 광원과 광감지기 사이에 필터를 두면 특정 진동수의 빛 만이 광감지기에 도달한다.

 광감지기는 특정 광에너지(즉, 진동수)를 가진 전자만을 생성한다.

 광전효과를 관찰하기 위해

다음과 같이 실험할 수 있다. 옆의 그림은 광원, 필터, 광감지기 등 기본적인 장치를 보여 준다.

광젂효과 (2)

 실험에서 다음의 결과를 도출할 수 있다.

• V=0

검출하면, 전자들이 금속조각과 금속판 간격을 이동하고 있다는 뜻이다.

•

•

V

감소하고 어느 문턱값에 도달하면 전류가 멈춘다.

•

 실험결과로 다음의 결론을 얻을 수 있다.

•

•

•

광젂효과 (4)

멈춤 퍼텐셜

 전자의 운동에너지를 조사하면 일-에너지 정리에서 다음을 얻는다.

V

₀

 퍼텐셜 V

₀

 멈춤퍼텐셜은 빛의 진동수에 선형으로 비례한다.(1차함수)

 또한 특정 진동수 이하에서는 멈춤퍼텐셜이 0이 된다. 더 낮은 진동수의 빛은 광전 음극판에 있는 전자들이 표면을 벗어나는데 필요한 에너지를 공급하지 못한다.

 max      0  max 0 1 2

0 max 2 max

0 0

,

W K U K e V K eV

therefore eV K mv

            

 

고젂적 문제

 고전 파동물리학의 관점에서 보면 다음과 같은 개념적 문제들이 발생한다.

•

진동수 이상일 때에만 광전효과가 일어난다.

•

증가하면 같이 증가해야 한다. 그러나 관찰결과에 의하면 빛의 세기를 증가시키면 전자의 운동에너지가 아니라 매초 튀어나오는 전자들의 수만 증가한다. 다시 말하면, 빛의 진동수를 증가시켜야만 튀어나오는 전자의 운동에너지가 증가한다.

 고전물리학으로는 광전효과를 설명할 수 없다.

일함수 (1)

 주어진 금속표면에서 전자를 떼어내기 위한 최소한의 에너지를 일함수,



 광자와 충돌한 전자가 금속표면에서 튀어나올 때 가질 수 있는 최대 운동에너지는 다음과 같다.

 최대 운동에너지는 음수가 될 수 없으므로, 결국 광전효과가 일어나기 위한 빛의 최소(문턱) 진동수는 다음과 같다.

K max  hf  

min

/

f   h

 최대 운동에너지와 멈춤퍼텐셜 사이의 관계를 이용하면 다음과 같은 멈춤퍼텐셜의 진동수 의존성을 얻는다.

 표 36.1에는 여러 물체의 일함수와 그에 대응하는 문턱진동수, 차단파장이 수록되어 있다.

eV 0  hf  

일함수 (2)

보기문제 36.1 일함수 (1)

그림 36.7의 오른쪽 회로에서 광감지기의 광전음극이 무슨 물질인지 모른다고 하자. 실험결과는 다음과 같다.

λ=250nm에서 멈춤 퍼텐셜은 2.86V이다.

λ=400nm에서 멈춤 퍼텐셜은 1.00V이다.

λ=630nm에서 멈춤 퍼텐셜은 0.130V이다.

문제

:

미지 물질의 일함수는 얼마인가?

답

:

이 문제는 그래프를 이용하여 푸는 것이 가장 쉽다.

먼저 주어진 파장들을 대응하는 진동수로 전환시키면 다음과 같다.

8

15

1 9

8

14

2 9

8

14

3 9

3.00 10

1.20 10 250 10

3.00 10

7.50 10 400 10

3.00 10

4.76 10 630 10

m s

m s

m s

f c

f Hz

m

f Hz

m

f Hz

m











   



   



   



보기문제 36.1 일함수 (2)

주어진 세 멈춤퍼텐셜을 진동수의 함수로 xy

좌표축에 기입한다

f=0에서 절편 값은 -2.10V

따라서 식 36.16을 이용하여 일함수를 구하면 다음과 같다.

0

( 2.10 ) 0 2.10 eV hf

e V

eV







 

  



보기문제 36.1 일함수 (3)

광자 운동량

 광자의 질량은 0이지만 운동량을 갖는다.

 상대론에서 운동량과 에너지의 관계는 다음과 같다.

 광자의 운동량은 다음과 같이 표기할 수 있다.

2 2 2 2 4

2 2 2

E p c m c for a photon E p c

 



E hf h

p ^ c ^ c ^ 

입자인가, 파동인가?

 광자는 입자처럼 거동하지만 파동의 특성인 진동수로 기술할 수도 있다. 이것을 파동-입자 이중성이라고 부른다.

 가시광선에서 단일광자를 검출하려면 여러 현실적인 문제들이 따라온다.

•

•

•

J 10 6 .

2  ^{ 19 5 . 2  10}

^J

광젂자 증배관 (1)

 광전자 증배관은 금속표면에 100eV 정도의 운동에너지로 충돌하는 한 전자가 여러 전자들을 떼어낸다는 사실을

이용한다.

 진공 유리관 안의 광전음극과 양극 사이에 증배전극이라는

중간판들이 놓여 있고, 증배인자 η 는 최대 최대 3.5의 값을 가질 수 있다.

 각 증배전극은 이웃한 증배전극과 수백 볼트의 퍼텐셜차를 유지하고 있다.

 구입 가능한 광전자 증배관에는 n개 증배전극이 결합되어

있으며, 각 증배전극은 충돌하는 전자 1개 당 평균 η 개의 전자를 생성할 수 있다.

 n =14와 η =3.4인 경우에 증폭인자는 이다. 즉, 하나의 광자로 광전음극에서 튀어나온 광전자마다 양극에 2천 8백만 개의 전자들이 도달하게 만든다.

광젂자 증배관 (2)

7 14 2 . 8 10 4

3   

응용 (1)

 광자를 검출하는 또 다른 응용은 이장의 도입부에서 언급한 야간투시장치이다.

 야간투시장치는 광전자 증배관과 매우 비슷한 광전음극을 사용한다. 이 경우에는 대물렌즈로 전체 영상이 광전음극에

생기도록 한다. 입사광자는 광전음극에서 전자들을 방출시킨다.

약 1000V 정도의 퍼텐셜차로 전자들을 가속시켜서 소형 광전자 증배관의 역할을 수행하는 수백만 개의 판들이 배열되어 있는 마이크로채널판을 통과시키면 전자의 수가 대략 정도 증폭된다.

 마이크로채널판과 형광스크린 사이에 존재하는 약 1000 V의 두 번째 퍼텐셜차로 가속시킨 전자들이 스크린과 충돌하여 초록색 빛을 방출한다. 이렇게 생성된 빛을 접안렌즈로 초점을 모아서 그림 36.1과 같은 영상을 만든다.

 광자를 포착해서 전기신호로 전환시키는 다른 방법들도 존재한다.

• CCD’s--전하결합소자

• CMOS—상보형 금속산화막 반도체

 이들은 시중의 디지털 카메라와 비디오 녹화기의 근간을

이룬다.(그러나 CCD와 CMOS의 물리원리를 이해하기 위해서는 먼저 반도체를 알아야 한다. )

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응용 (2)

보기문제 36.2 레이저포인터의 광자 (1)

문제:

상점에서 구입한 레이저포인터의 출력은 1mW 이고, 파장 635 nm의 빛을 방출한다. 레이저포인터에서 매초 방출되는 광자의 수는 대략 몇 개인가?

답:

먼저 빛의 진동수는 다음과 같다.

8

14 7

2.998 10 /

4.72 10 6.35 10

c m s

f Hz

 ^ m

    



플랑크의 가설에서, 레이저포인터로부터 방출되는 광자의 에너지는 다음과 같다.

출력은 단위시간당 에너지이므로 초당 방출하는 광자의 수는 다음과 같이 얻는다.

다시 말해서 휴대용 레이저포인터는 초당 3천조개의 광자들을 방출한다!

 ^{6.626 10 34}  ^{4.72 10 14 1}  ^{3.13 10 19}

E  hf   ^ J s   s ^   ^ J

3

15 19

1.00 10 /

3.19 10 /

3.13 10 / P E

t

n E t J s

photons s t E photon J photon







    



보기문제 36.2 레이저포인터의 광자 (2)

제동복사

 엑스선은 수천 eV(수 keV)의 운동에너지로 가속시킨 전자들을 금속 박판에 쪼여서 얻는 전자기복사이다.

 박판에서 전자들이 감속되면서 엑스선이 발생한다.

 이러한 엑스선들을 제동복사(독일어로 감속복사라는 뜻이다)라고 부른다.

컴프턴 산란 (1)

 엑스선이 전자와 충돌하면 어떻게 될까?

 빛의 파동성은 무엇을 예측할까?

• 하위헌스 원리에 따라, 물체로부터 구형 파동이 생성되어 입사파를 산란(또는 반사)시킨다.

• 산란된 파동의 진동수와 파장은 입사파와 같다.

 1923에 미국의 물리학자 아서 홀리 컴프턴은 정지한 전자에서 산란된 엑스선의 파장이 원래보다 더 길어지는 사실을

발견했다.

 긴 파장은 낮은 진동수를 의미하므로 식 36.8에 의하면 엑스선 광자의 에너지와 운동량이 감소했다는 뜻이다.

 만약 광자가 에너지와 운동량 같은 입자의 특성을 가진다면, 엑스선과 전자의 상호작용은 당구공의 충돌처럼 분석할 수 있다.

 광자는 광속으로 움직이고 엑스선 에너지는 전자의 질량에 비해 무시할 수 없으므로 35장의 상대성 역학을 적용해야 한다.

 충돌 전 엑스선 광자의 에너지를 E , 충돌 후를 E′ 이라면, 충돌 전후 해당 광자의 운동량은 각각 p=E/c 와 p′= E ′ /c 이다.

 전자가 정지해 있으므로 충돌 전 전자의 운동량은 0이다. 전자는 충돌과정에서 운동량을 받는다.

컴프턴 산란 (2)

 전자의 에너지는 다음과 같다.

 충돌 시 에너지와 운동량 보존에 따라 다음을 얻는다.

 엑스선의 최종 파장은 다음과 같다.

여기서

θ 는 입사한 광자와 산란된 광자 사이의 각도이다

2

e

e e

p p p

E m c E E

  

   

  

 

2 1 cos

e

h

     m c  

컴프턴 산란 (3)

 





e e e

E  p c  m c

 컴프턴 산란 공식을 어떻게 얻었을까? 운동량 보존에서 다음을 얻는다.

 에너지 보존에서 다음을 얻는다.

상대론적 에너지-운동량 관계식을 사용했다

  ²

2

2 2 2

2 cos

e

e

e

p p p

p p p

p p p pp 

  

  

 

  

  

  

 

   

2

2 2 2

2 2 2 4 2 2 4 2

2

e e

e e

e e e e

E E E m c

E E E m c

p c m c E E m c E E m c

   

   

 

     

컴프턴 산란 : 유도 (1)

 광자에 대한 에너지-운동량 관계식 E=pc 에서 다음을 얻는다.

 위 식의 왼편은 운동량 보존식과 같으므로 다음을 얻는다.



(p-p′) ²

   

   

2 2 2 4 2 2 2 4 2 3

2 2 2

2 2

e e e e

e e

p c m c p p c m c p p m c

p p p p p m c

 

     

 

   

  ²  

2 2 2

2 cos 2

_e

p  p ^  pp ^   p  p ^  p  p m c ^

컴프턴 산란 : 유도 (2)

 

 

   

2 2 2

2 2 2 2

2

2 cos 2 2

2 1 cos 2

e

e

p p p p pp

p p pp p p pp p p m c

pp p p m c





  

   

    

      

    

 끝으로 광자 운동량과 파장의 관계식 p=h/λ 을 이용하여 다음을 얻는다.

 위 결과에서 상수 항은 길이 차원이다.

 이 상수를 전자의 컴프턴 파장이라고 부르며, 그 값은 다음과 같다.

  

34

12

31 8

6.626 10

2.426 10 9.109 10 2.998 10 /

e

e

h J s

m c kg m s m

 ^{ } _ ^{     }

 

컴프턴 산란 : 유도 (3)

 

 

2 1 cos 2

1 cos

e

e

h h h h

m c h

m c

    

  

 

    

   

   

보기문제 36.3 컴프턴 산란 (1)

문제 1:

진동수 3.3530x10

¹⁹

검출되었다. 입사한 광자와 산란된 광자의 에너지(eV 단위)는 각각 얼마인가?

답:

우선 입사하는 광자의 에너지를 구하면 다음과 같다.



¹⁵ 

^{19 1} 

E  hf   ^ eV s   s ^  keV

한편 입사광자의 파장은 다음과 같다.

컴프턴 산란공식을 풀면 다음을 얻는다.

8

12 19 1

2.9979 10 /

8.941 10 3.3530 10

c m s

f s m

   ^ _   ^



 

 ¹²   ¹²   ^{ } 

12

1 cos

8.941 10 2.426 10 1 cos 32.300 9.3164 10

e

h m c

m m

m

  





 



   

      

  

보기문제 36.3 컴프턴 산란 (2)

끝으로 산란광자의 파장을 에너지로 전환하면 다음과 같다.

문제

2:

충돌 후 전자의 운동에너지는 얼마인가? 전자 운동량의 크기는 얼마인가?

  

 

15 8

12

4.13567 10 2.9979 10 / 9.3164 10

133.08

eV s m s

E hc

m

E keV







  

  

 

 

보기문제 36.3 컴프턴 산란 (3)

 광자와 전자의 산란에서 에너지가 보존되므로, 전자가 얻는 운동에너지는 다음과 같이 광자가 잃는 운동에너지와 같다.

운동량은 에너지와 운동량의 상대론적 관계식에서 다음과 같이 얻는다.

논의: 운동량 보존법칙으로도 구할 수 있다.

 ^138.67   ^133.08  ^5.59

K e   E E   keV  keV  keV

 

2 2 2 2 4

2 2 2 4

2 2

1

1 2 75.79 /

e e e e e

e e e e

e e e e

E K m c p c m c

p K m c m c

c

p K K m c keV c

c

   

  

  

보기문제 36.3 컴프턴 산란 (4)

물질파 (1)

 파동으로 생각했던 빛이 입자로도 거동한다면, 입자로 생각했던 전자나 원자들도 파동의 특성을 갖지 않을까?

 드브로이는 입자가 파동성을 가지며 파장은 다음과 같다고 제안했다.

 흔히 비상대론적 어림으로 사용하는 드브로이 파장

λ

2

1 2

h h h v

p mv mv c

 ^{ }  ^{ }

 컴프턴 산란에서 운동에너지-운동량의 관계식은 다음과 같다.

 따라서 드브로이 파장은 입자의 운동에너지의 함수로 다음과 같다.

2 2

1 2

p K Kmc

 c 

2 2

2

h hc

p K Kmc

  



물질파 (2)

보기: 야구공의 파장

문제:

야구공의 반지름은 7.600cm이고, 질량은 145.0g이다. 1974년

놀란 라이언은 속력 100.9 mil/hr (45.11m/s)의 직구를 던졌다. 이 야구공의 드브로이 파장은 얼마인가?

답:

드브로이 파장은 다음과 같다.

이 크기는 원자의 파장(~10nm)보다 10

²⁴

m 10

013 . ) 1 m/s 11 . 45 )(

kg 145 . 0 (

s J 10 626 .

6

^{ 34} _{ 34}



 

 

 mv

 h

입자의 이중슬릿 실험 (1)

 물질파의 존재를 실험적으로 증명하려면, 보통 입자라고

생각하는 질량을 가진 전자, 중성자, 양성자, 또는 원자나 분자 같은 물체가 파동처럼 거동한다는 사실을 보여주어야 한다.

 이중슬릿 실험으로 입자의 파동성을 보여줄 수 있을까?

 있다. 그렇지만 어렵다.

 슬릿의 너비가 입자의 드브로이 파장과 같거나 작은 정도의

크기, 즉 10nm이하가 되어야 한다.

 물질파에 대한 초기 실험들은 결정에 대한 엑스선의 브래그 산란처럼 니켈 결정에 전자빔을 산란시켜서 간섭무늬를

관찰했다.

 1960년대 초반부터는 전자의 이중슬릿 산란실험을 수행했다.

•

것이다. 그렇다면 스크린에 두 슬릿의 영상인 두 개의 선이 나타날 것이라고 예상할 수 있다.

•

입자의 이중슬릿 실험 (2)

 전자는 파동처럼 거동하고, 전체 세기분포는 다음과 같다.

여기서 d 는 두 슬릿의 분리거리, a 는 슬릿너비, L 은 이중슬릿과 스크린 사이의 거리이다.

  max cos ² d L sin a ²

I x I x x

L ax L

  

  

 

   

            

입자의 이중슬릿 실험 (3)

 이중슬릿 실험의 결과는 무엇일까? 전자를 하나씩 발사할 수 있으므로 간섭무늬를 시간의 함수로 관측하면 매우 흥미로운 다음의 사실을 알 수 있다.

•

•

 실제로 한 번에 광자 하나를 통과시키는 이중슬릿 실험에서 전자의 간섭무늬와 비슷한 광자무늬를 얻을 수 있다.

 http://www.youtube.com/watch?v=DfPeprQ7oGc

입자의 이중슬릿 실험 (4)

불확정성 원리 (1)

 고전물리와 달리 원자의 세계에서는 다음과 같은 질문이 생긴다.

•

•

•

 고전역학에서는 적절한 기구만 있으면 모든 역학적 물리량을 임의로 정밀하게 측정할 수 있다

 물체의 위치를 측정할 때, 보통 물체로부터 방출된 광파를 기록한다.

 방출된 광파 또한 운동량을 지니고 있다.

 입자의 위치와 운동량을 측정하는 과정이 임의로 정밀하게 동시에 이루어질 수 없음을 예상할 수 있다.

 입자의 측정에서 위치의 불확정도를 Δx , 운동량의 불확정도를 Δp

_x

 통계에서는 일련의 독립적인 측정 결과는 평균값 더하기/빼기 표준편차로 제시한다.

 양자물리가 천명하는 놀라운 사실은 물체의 운동량과 위치를 동시에 임의로 정밀하게 측정할 수 없다는 것이다. 물체의

운동량을 보다 정밀하게 측정할수록, 위치에 대한 정보가 덜 정밀해지며 그 역도 마찬가지다!

 이러한 물리적 관계를 수학적으로 표기하면 다음과 같다.

불확정성 원리 (2)

1

x

x p

    

 기호 ħ 는 양자역학에서 흔히 나오는 물리량으로 다음과 같이 정의한다.

 1927년 베르너 하이젠베르크가 제안한 불확정성 관계는 하이젠베르크의 불확정성 원리라고 부른다.

 그는 다음과 같은 에너지-시간 사이의 불확정성 관계도 제안했다.

1

E t

    

불확정성 원리 (3)

34 16

1.05457 10 6.5821 10 2

h J s eV s



 

      



에너지-시간 불확정성 (1)

 위치-운동량 불확정성 관계에서 비상대론 자유입자에 대한 시간-에너지 관계를 유도할 수 있다.

 자유입자의 에너지는 모두 운동에너지뿐이므로 에너지의 불확정도는 다음과 같고,

 시간의 불확정도는 다음과 같다.

  ²

2 2

2 2 2

p p p p

E v p

m m m

   

        

 

t x

v

  

 두 결과를 곱하면 다음을 얻는다.

 따라서 두 관계식 모두 ≥½ħ 을 만족한다.

 에너지-시간 불확정성 관계는 어떤 시간간격에서 특정한 양의 에너지 때문에 고전적 에너지 보존이 위반될 수 있다고

암시한다. 양자상태가 뚜렷한 에너지 값을 가지지 않기

때문이다. 그러나 에너지 보존에서 ‘위배’하는 정도가 클수록

‘위배’하는 시간간격은 더 짧아진다!

  ^x

E t v p x p

v

  

           

 

에너지-시간 불확정성 (2)

블확정성의 의미

 불확정성 관계는 이 장에서 논의한 가장 중요한 결과이다- 측정에서 근원적인 한계를 주기 때문이다.

 (ħ 가 매우 작으므로), 거시세계에서는 무시할 수 있지만, 양자세계에서는 무시할 수 없다- 이것은 요점이 아니다.

 요점은 운동량과 위치, 에너지와 시간과 같은 한 짝의 변수들에 대한 측정의 정밀도에 넘을 수 없는 한계가 존재한다는 것이다.

 불확실성 관계는 파동-입자 이중성에서 비롯된 것이다.

스핀 (1)

 1920년에 독일의 물리학자 오토 슈테른과 발터 게를라흐는 양자물리 역사상 영향력이 큰 실험중의 하나를 수행했다.

 그들은 원자의 궤도각운동량이 양자화되는 가를 확인하여 원자의 고전적 묘사와 양자적 묘사를 실험적으로 구별하려고 했다.

 실험에서는 오븐에서 생성된

전기적으로 중성인 ‘은 원자빔’이 불균일한 자기장을 지나가서

스크린에 모인다.

 원자의 자기모멘트는 다음과 같다.

 자기모멘트는 원형 궤도를 도는 전하에 인한 현상이며, 각운동량은 궤도운동 때문에 생긴다.

 자기장 안에서 원자는 다음과 같은 수직방향의 자기력을 받는다.

2

e L

    m 

스핀 (2)

 

z z

U B

F B

z z   z

  

      

  

 

 고전적으로는 자기모멘트의 z성분은 와 사이의 모든 값을 가질 수 있으므로, 모든 가능한 굴절에 해당하는 선들이 스크린에 나타난다.

 그러나 양자화된다면, 각운동량의 z성분은 오직 띄엄띄엄한

값들만이 가능하므로, 스크린에는 공간적으로 분리된 점들만이 나타날 것이다.

 은 원자의 궤도각운동량은 바닥상태에서 0이다. 따라서

궤도각운동량에 의한 은 원자빔의 분리만을 측정했다면, 이 실험은 실패했을 것이다.

 그러나 원자의 총각운동량은 궤도각운동량뿐만이 아니라 스핀이라고 부르는 고유 각운동량이 있다.

 원자 속의 모든 기본입자가 가지는 스핀은 고전적으로 동등한 개념이 없다.





 

스핀 (3)

기본입자의 스핀: 페르미온 (1)

 모든 기본입자는 특징적인 고유 각운동량, 즉 스핀을 갖고 있다.

 기본입자에는 근본적으로 다른 두 개의 집단이 존재한다.

• 정수의 스핀 값(플랑크 상수 ħ 의 정수배)을 갖는 집단.

스핀이 0인 경우는 정수 스핀으로 취급한다.

• 반정수 값 (플랑크 상수 ħ 의 반정수배)을 가지는 집단이다.

 반정수 스핀의 기본입자들은 엔리코 페르미를 기념하여 페르미온이라고 부른다.

 페르미온은 전자, 양성자, 중성자, 즉 주변의 모든 물체를 이루는 기본입자 들을 포함한다.

 스핀 ½ħ 의 페르미온은 관습적으로 z축에 투영된 스핀을

상징하는 + ½ħ 와 - ½ħ 의 두 스핀상태로 나타난다. 즉, 스핀 위와 스핀 아래라고 부르는 두 스핀상태로만 존재한다

 페르미온에서 가장 중요한 규칙은 파울리의 배타원리이다.

•

•

 에너지가 양자화되어 있기 때문에, 주어진 계 내에서 각 에너지의 양자상태는 최대한 두 페르미온(스핀 위와 스핀 아래)만이 점유할 수 있다.

기본입자의 스핀: 페르미온 (2)

 정수 스핀의 기본입자들은 사티엔드라 나쓰 보스를 기념하여 보손이라고 부른다.

 광자는 보손이며, 스핀 1ħ 이다.

 기본입자와 핵물리에 관한 39장과 40장에서 스핀을 다시

다루면서 반정수와 정수 스핀을 갖는 기본입자들을 조사하고 보다 일반적인 원리를 배울 것이다.

 지금은 근본적으로 다른, 보손과 페르미온이라는 두 부류의 입자들이 있다는 것으로 개념을 정리해 두자.

기본입자의 스핀: 보손

스핀과 통계 (1)

 동일한 고전입자에 대한 확률 분포함수를 다음과 같은 맥스웰- 볼츠만 분포라고 부른다.

 이제 양자효과가 어떻게 분포함수를 변화시키는지 조사해 보자.

 맥스웰-볼츠만의 결과는 띄엄띄엄한 에너지상태인 E

_i

  ^{2 1 3 2 k T E}

B

g E Ee

 k T

  

  

 

 입자의 총수를 N , 에너지 E

_i

_i

_i

_i

_i

여기서 g

_i

_i

 μ 는 화학퍼텐셜이라고 불리며 에너지와 단위가 같다.

화학퍼텐셜은 계의 다른 특성들이 일정하게 유지되면서 입자 하나가 더해졌을 때 계의 에너지가 변하는 정도를 나타낸다.

( )

i B

i B

E k T

i i i

i E k T

N g e g

n N Z e ^



   

스핀과 통계 (2)

 Z 는 분배함수로 불리며 다음과 같이 정의한다.

 분배함수는 계의 열역학적인 특성을 담고 있으며, 분배함수의 적절한 미분으로 계의 열역학적 특성, 즉 열역학 물리량들을 계산할 수 있다.

 맥스웰-볼츠만 분포의 유도과정에서 앙상블 내의 모든 입자는 고전입자(서로 구별할 수 있는)라고 가정했다.

 그러나 양자입자들은 구별이 불가능하다. (예컨대, 한 양성자를 다른 양성자와 구별할 수 없다.)

 따라서 분포함수는 적절하게 수정되어야 한다.

i B

E k T i

i

Z   g e ^

스핀과 통계 (3)

입자의 분배방법 (1)

 두 입자를 어떻게 분배할까?

•

•

 이들의 분포가 맥스웰-볼츠만 분포이다. 이 경우에 계는 4가지로 배열될 수 있다.

•

•

•

•

 동등한 양자입자는 어떻게 분배할까?

•

•

 이들의 분포를 보스-아인슈타인 분포라고 부르며, 계의 배열로는 단지 3가지만 가능하다.

•

•

•

입자의 분배방법 (2)

 스핀을 가진 양자입자는 어떻게 분배할까?

•

•

½ħ

 이들의 분포를 페르미-디랙 분포라고 부르며, 파울리의

배타원리에 따라 동등한 두 페르미온은 같은 양자상태를 점유할 수 없다.

•

입자의 분배방법 (3)

5-입자의 분배방법 (1)

 6개의 에너지 양자를 5개의 입자들에 분배하는 에너지 분포를 조사해 보자.

 맥스웰-볼츠만 분포

•

•

•

 6개 에너지 양자를 5개 입자로 분배할 수 있는 경우의 총수는 각 숫자들의 합이며, 이는 210이다.

 이제 각 에너지상태의 점유확률을 계산해 보자. 점유확률은 각

에너지상태로 가능한 경우의 수에 각 상태를 점유한 입자 수를 곱하여 모두 더한 결과를 분배의 총수로 나눈 것이다.

 그 결과가 그림의 푸른색 네모로 표시되어 있다.

5-입자의 분배방법 (2)

 보손인 경우에는 어떻게 달라질까?

•

•

 확률 분포함수는 고전 분포와 비슷하지만 E=0 인 상태를

점유하는 확률이 약간 증가한다(입자 수가 증가하면 이 효과도 증가한다.)

5-입자의 분배방법 (3)

 아래 도표처럼 단지 세 경우만 가능하다-3개의 스핀 위와 2개의 스핀 아래로 생각한다.

 스핀 위 페르미온 하나는 항상 짝이 없다.

 페르미온은

•

5-입자의 분배방법 (4)

분배함수 (1)

 많은 수의 입자가 있는 경우의 분포를 살펴보자.

 보손의 경우에는 에너지상태 E

_i

 페르미온의 경우에는 페르미-디랙 분포로 다음과 같다.

• g _i

( )

1

1

i B

i E k T

N ^ e ^{ } 

( )

1

i B

i

i E k T

N g

e ^

  

 에너지상태들이 충분히 가까운 경우에는 불연속 에너지상태를 연속 에너지변수 E로 대체할 수 있다.

 에너지 E 의 입자를 발견할 확률: 맥스웰-볼츠만 분포에서

페르미-디랙 분포에서

보스-아인슈타인 분포에서는 다음과 같다. A는 규격화 상수이다.

 

MB E k T

f E

 ae

분배함수 (2)

 

1

FD E k T

f E

 ae



 

1

BE E k T

f E

 ae



 광자는 보손이므로 보스-아인슈타인 통계를 따른다.

•

•

•

 스펙트럼 밝기를 파장의 함수로 표기한 플랑크의 복사공식을 다시 살펴보자.

 E=hf 이므로 분모는 보스-아인슈타인 분포함수와 같다.

  ² ₂ ³

1

T hf k T

h f

I f

 c e



    ^{ }

3 3

2 2 2 2

2 2

1

T E k T

BE

E E

I E f E

h c e h c

 



광자