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제4장

회귀분석 제4장

회귀분석

회귀의 역사적 유래 (historical origin of the regression)

제4장 회귀분석

§ 회귀(regression)라는 용어는 유전학자 Francis Galton(1886)에 의해 처음 사용 된 데서 유래함.

§ 그의 논문에서 “비정상적으로 크거나 작 은 부모의 아이들 키는 전체 인구의 평균 신장을 향해 움직이거나 회귀(regression) 하는 경향이 있다.”고 주장

회귀의 역사적 유래 (historical origin of the regression)

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§ 또한 그의 친구 Karl Pearson(1903)은 1,000명 이상의 자료를 수집하여 Galton 의 보편적 회귀의 법칙(law of universal regression)을 다음과 같이 확인함.

§ 키가 큰 아버지 집단의 아들의 평균 신장 은 아버지보다 키가 작았고, 키가 작은 아 버지 집단의 아들의 평균 신장은 아버지 보다 키가 컸다. 즉, 아들의 키는 아버지 의 키와 상관없이 전체 남자들의 평균 신 장을 향해 회귀한다는 것임.

회귀분석의 개요 (the nature of regression analysis)

§ 자연 및 사회현상의 여러 가지 요인들을 자료분석의 관점에서 변수(variable)라 규정하고, 이러한 변수들 간의 상호 관련성을 찾으려고 시도하는 경우가 많이 있음.

§ 어떤 변수가 다른 변수에 영향을 주고받는 경우 영향을 주는 변 수를 독립변수(설명변수 : independent variable)라 하고, 영향 을 받는 변수를 종속변수(반응변수 : dependent variable or

response variable)라고 하며, 이 두 변수간의 관계식, 관계 정도 에 관심을 갖게 됨.

§ 이와 같이 변수들 간의 관련성을 수식을 통하여 표현할 수 있다 면 한 변수의 변화로부터 다른 변수의 변화를 예측(prediction) 할 수 있음.

§ 또한 어떤 변수가 다른 변수의 변화에 영향을 주고 있는가도 판 단할 수 있게 됨.

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회귀분석의 개요 (the nature of regression analysis)

§ 회귀분석(regression analysis)이란 하나의 종속변수와 하나 또 는 2개 이상의 독립변수들 간의 관련성을 규명할 수 있는 수학 적 모형을 측정된 변수들의 자료로부터 회귀식을 추정하는 통 계적 방법임.

§ 회귀분석은 본질적으로 인과관계가 있는 두 변수간의 함수식을 분석대상으로 하며, 다음과 같이 두 가지 측면에서 이용됨.

• 첫째, 관측된 두 변수의 값을 기초로 두 변수간의 함수관계 가 성립하는지, 만약 함수관계가 성립한다면 어떤 특징을 갖는 함수관계(예 : 1차 선형관계)인지 이해하는데 이용됨.

• 둘째, 그 값이 알려진 독립변수를 기초로 종속변수의 값을 추정 또는 예측하는 데 이용됨.

§ 결국 회귀분석은 “종속변수가 하나 이상의 독립변수에 어떻게 의존하고 있는가를 분석”하는 과정을 의미함.

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회귀분석의 개요 (the nature of regression analysis)

§ 종속변수에 대하여 독립변수가 하나이면 단순회귀모형(simple regression model), 독립변수가 2개 이상인 경우에는 다중회귀 모형(multiple regression model)이라 함.

§ 독립변수가 하나인 단순선형회귀모형(simple linear regression model)은 다음의 식과 같이 나타낼 수 있음(선형=1차함수).

y_i=β₀+β₁x_i+ε_i, i=1, 2, ×××, n

여기서 β₀, β₁은 자료로부터 추정해야 할 모수(parameter)로 β₀ 는 절편(intercept), β₁은 기울기(slope)이며 ε_i는 오차항(error term), n은 관측된 자료의 수를 나타냄.

§ 위 식의 오차항 ε_i는 독립적으로 평균이 0이고 분산이 σ²인 정규 분포를 따른다고 가정함[N(0, σ²)].

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 모집단의 회귀선에서 β₀, β₁을 구할 수는 없고, 단지 관측된 두 변수 x, y의 표본값으로부터 회귀계수(regression coefficient)를 추정해야 함.

§ β₀, β₁의 추정량을 각각 β₀, β₁이라 하며, y_i의 추정값은 y_i으로, 이는 다음의 식과 같음.

y_i=β₀+β₁x_i

§ 위 식은 모집단 회귀직선에 추정식이며, 이를 추정된 회귀직선 (estimated regression line) 또는 최소제곱 회귀직선이라고 함.

§ 그리고 β₀, β₁은 추정된 회귀계수임.

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 가정

• 회귀분석의 핵심은 회귀계수(regression coefficient)를 구하 고, 또한 이 회귀계수가 통계적으로 어느 정도 의미가 있는 지를 파악하는 데 있음.

• 회귀분석에는 다음과 같은 가정(assumption)이 있음.

• 각 독립변수간에는 상관관계가 없음.

• 만일 상관관계가 존재하게 되면 각 독립변수의 회 귀계수는 왜곡되어 의미를 상실할 가능성이 큼.

• 독립변수와 종속변수간에는 통계적으로 유의한 인과관 계가 있어야 함.

• 즉, 인과관계가 존재하지 않거나 존재하더라도 유 의하지 못한 회귀식은 의미가 없음.

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 가정

• 모든 회귀계수가 유의한지를 검정한 후 해당 회귀식을 해석해야 함.

• 만일 회귀계수 중에서 어느 하나라도 통계적으로 유의하지 않으면 해당 독립변수가 종속변수에 미 치는 인과관계는 거의 없음.

• 독립변수와 종속변수간에는 통계적으로 유의한 인과관 계가 있어야 함.

• 즉, 인과관계가 존재하지 않거나 존재하더라도 유 의하지 못한 회귀식은 의미가 없음.

• 오차항(error term) ε_i는 독립적으로 평균이 0이고 분산 이 σ²인 정규분포를 따른다고 가정함[N(0, σ²)].

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀계수의 추정

• Excel에서 회귀계수(regression coefficient)를 구하는 방법 은 두 가지임.

• 함수마법사에서 ‘통계-INTERCEPT’와 ‘통계-SLOPE’

함수를 이용하는 방법

® 이 방법은 단순회귀모형의 분석에만 사용이 가능함.

• 데이터-데이터 분석의 분석도구에서 ‘회귀 분석’을 이 용하는 방법

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 함수마법사를 클릭하고 ‘통계-INTERCEPT’ 함수를 선택함(β₀).

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ Known_y’s에는 y변수 지정, Known_x’s에는 x변수 지정

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 산점도에 의한 회귀모형의 추정

• 데이터 영역 전체를 지정한 후 삽입-차트-분산형을 설정

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 산점도에 의한 회귀모형의 추정

• 산점도의 한 점을 찍은 후 마우스 오른쪽 클릭-추세선 추가

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 함수마법사를 클릭하고 ‘통계-SLOPE’ 함수를 선택함(β₁).

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ Known_y’s에는 y변수 지정, Known_x’s에는 x변수 지정

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ Excel의 메뉴에서 데이터-데이터 분석을 클릭한 후 ‘회귀 분석’

을 선택하고 확인 버튼을 누름.

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀 분석에서 각 변수(Y, X) 지정, 이름표(L) 사용, 신뢰수준(F) 설정, 잔차(y-y)를 선택한 후 확인 버튼 누름.

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석 대화상자에서 체크박스의 내용은 다음과 같음.

• 상수에 0을 사용 : 절편이 없는(원점통과) 회귀선을 의미함.

• 신뢰수준 : 입력된 신뢰수준(여기서는 95%)에 따라 회귀계수의 신뢰구간을 구함.

• 잔차 : 잔차 y-y를 출력함.

• 잔차도 : 잔차를 x축에 따라 도시, 모형의 적합성과 오차의 독립성을 검토함.

• 표준잔차 : 표준된된 잔차를 도시, ±3 범위를 넘는 이상값을 검색함.

• 선적합도 : 관측값과 추정값을 도시함.

• 정규확률도 : 오차항(잔차항)이 정규분포를 따르는가를 검토하고, 직선에 가까우면 정규분포라고 판단함.

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

• F-검정(F-test)

• F-검정은 t-검정과는 달리 회귀식 전체에 대한 유의성 을 검정함.

• 즉, t-검정의 경우는 각 독립변수가 개별적으로 유의한 지를 보고자 하는 것임.

• 회귀식 전체가 유의한지 여부를 검정한다는 것은 “모든 회귀계수가 0”이라는 귀무가설(H₀)의 기각 여부를 검정 하는 것임.

• 따라서 귀무가설이 기각되지 않고 채택된다면 해당 회 귀식은 의미가 없게 됨.

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

• F-검정(F-test)

• 예를 들어 F-검정을 하는 쉬운 방법은 “유의한 F-값”이 0.05(95% 신뢰수준) 또는 0.01(99% 신뢰수준)보다 큰 지 또는 작은지 여부를 보면 됨.

• α=0.05(or 0.01)<유의한 F-값 : 귀무가설(H₀) 채택

® 해당 회귀식은 유의하지 않음(의미가 없음).

• α=0.05(or 0.01)³유의한 F-값 : 귀무가설(H₀) 기각

® 해당 회귀식은 유의함(의미가 있음).

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

• t-검정(t-test)

• 회귀계수의 t-값이 의미하는 바는 해당 회귀계수가 통 계적으로 얼마나 유의한지를 나타내는 지표임.

• 만일 해당 회귀계수의 t-값이 유의하지 않으면 통계적 으로 그 회귀계수는 사실상 0으로 간주됨.

• 회귀계수의 t-값을 점검하는 것을 t-검정(t-test)이라고 하며 다음과 같이 가설을 검정하는 것임.

• 귀무가설 H₀ : β_i=0

• 대립가설 H₁ : β_i¹0

여기서 β_i=0는 i번째 독립변수를 나타냄.

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

• t-검정(t-test)

• 일반적으로 t-검정을 하는 경우 95% 신뢰수준을 가정 함. 즉, 유의수준을 5%로 함(α=0.05).

• 이와 같은 가설을 검정하는 것은 양측검정(two-tailed test)을 의미하기 때문에 대략 t-값(t-통계량)의 절대값 이 2와 비슷하거나 작으면(크면) 귀무가설(H₀)을 채택 (기각)함.

• |2|>|t-값(t-통계량)| : 귀무가설(H₀) 채택

® 해당 회귀계수는 유의하지 않음(의미가 없음).

• |2|<|t-값(t-통계량)| : 귀무가설(H₀) 기각

® 해당 회귀계수는 유의함(의미가 있음).

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

• t-검정(t-test)

• 또다른 회귀계수에 대한 검정방법으로는 다음과 같음.

• α=0.05<P-값 : 귀무가설(H₀) 채택

® 해당 회귀계수는 유의하지 않음(의미가 없음).

• α=0.05³P-값 : 귀무가설(H₀) 기각

® 해당 회귀계수는 유의함(의미가 있음).

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

• 결정계수(coefficient of determination)

• 결정계수 R²는 주어진 자료에 의하여 추정된 회귀식이 해당 자료를 얼마나 잘 설명하고 있는지 여부를 보여주 는 값임.

• 이 값은 0과 1 사이의 값으로 나타나는데 1에 가까 울수록 추정된 회귀식이 해당 자료를 잘 설명하고 있다고 할 수 있음(0£R²£1).

• 단순회귀분석의 경우 결정계수는 독립변수 x와 종 속변수 y의 상관계수의 제곱과 같음.

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

• 조정된 결정계수(adjusted R²)

• 일반적으로 결정계수값 그 자체보다는 조정된 결정계 수값으로 판단함.

• 회귀모형에서 독립변수의 수가 많을수록 결정계수값이 증가할 것이며, 그 결과 가장 좋은 모형으로 여겨질 우 려가 있음. 이와 같은 단점을 보완하기 위해 독립변수 의 수가 증가함에 따라 벌칙을 부과하도록 고안한 것이 조정된 결정계수임.

• 그리고 조정된 결정계수값이 크다고 무조건 좋은 것도 아님. 왜냐하면 결정계수값은 독립변수의 수가 많아도 증가하며, 더욱이 독립변수간에 상관관계가 존재하더 라도 커지기 때문임.

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

통계학성적

(Y) 수학성적

(X) 85

74 76 90 85 87 94 98 81 91 76 74

65 50 55 65 55 70 65 70 55 70 50 55

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여기서 x와 y는 회귀직선의 의미가 있는지 를 검정함.

두 변수간 직선관계가 존재하면β_i가 0이 아닐 것이고, 직선관계가 없으면 β₁는 0임.

회귀식에 대한 검정 H₀ : β_i=0 vs. H₁ : β_i¹0 회귀계수에 대한 검정

H₀ : β₀=0 vs. H₁: β₀¹0 H₀ : β₁=0 vs. H₁: β₁¹0

y_i=30.043+0.897x_i r²=0.7438

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

매출액(y) 광고비(x) 425

370 200 580 620 650 700 490 610 290 320 350 400 518 545

23 21 16 34 32 36 40 37 35 20 20 21 23 21 30

y_i= 10.59 + 16.89x_i, r²=0.7949 (0.1573) (7.0973) d.f.=13

[0.8774] [0.0000] F-통계량[F(1, 13)]=50.372 ( )안은 t-통계량, [ ]안은 P-값임.

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단순회귀모형의 추정 (estimation of simple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

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다중회귀모형의 추정 (estimation of multiple regression)

§ 자연 및 사회현상을 설명하는데 있어서 종속변수의 변화가 하 나의 독립변수만으로 충분히 설명할 수 없는 경우가 많음.

§ 따라서 독립변수를 적절히 여러 개 선택하여 이들의 함수로서 종속변수를 설명하는 것이 더 정확할 수 있음.

§ 이 경우의 회귀모형을 다중회귀모형이라 하며, 이는 다음의 식 과 같이 나타낼 수 있음

y_i=β₀+β₁x_1i+β₂x_2i+ ××× +β_kx_ki+ε_i, i=1, 2, ×××, n

여기서 β₀, β₁, β₂,×××, β_k는 추정해야 할 회귀계수이고, ε_i는 독립 적으로 N(0, σ²)을 따르는 오차항임.

§ 다중회귀모형에서도 회귀계수들의 추정값 β₀, β₁, β₂, ×××, β_k는 최 소제곱법(least square method)에 의해 구할 수 있고, 각 회귀계 수들에 대한 검정도 단순회귀모형에서와 동일하게 진행됨.

제4장 회귀분석

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다중회귀모형의 추정 (estimation of multiple regression)

§ Excel의 메뉴에서 데이터-데이터 분석을 클릭한 후 ‘회귀 분석’

을 선택하고 확인 버튼을 누름.

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다중회귀모형의 추정 (estimation of multiple regression)

§ 회귀 분석에서 각 변수(Y, X) 지정, 이름표(L) 사용, 신뢰수준(F) 설정, 잔차(y-y)를 선택한 후 확인 버튼 누름.

제4장 회귀분석

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다중회귀모형의 추정 (estimation of multiple regression)

§ 회귀분석의 결과에 대한 해석

제4장 회귀분석

y_i=53.68 +0.61x₁-1.93x₂ r²=0.8289

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회귀계수들 중 x1변수(수학 점수)에 대한 P-값은 0.014 로 α=0.05보다 작으므로 귀 무가설 ‘H₀ : β₁=0’을 기각하 여 종속변수(통계학점수)에 유의하게 영향을 미치지만, x2변수(결석횟수)에 대한 P- 값은 0.064로 α=0.05보다 크므로 귀무가설 ‘H₀ : β₂=0’

을 기각할 수 없어 결석횟수 는 통계학점수에 유의하게 기여하지 못하고 있음.

분산분석표에서 F-값 21.80이고, 이에 대응하는 P-값(유의한 F)은 0.0003으 로 유의수준α=0.05보다 작으므로 귀 무가설 ‘H₀ : β₁=β₂=0’을 기각하여 독 립변수들 중 적어도 하나 이상의 변수 는 종속변수를 설명하는데 유의하게 기여함.

다중회귀모형의 추정 (estimation of multiple regression)

§ 다중공선성(multicollinearity)

• 회귀모형에서 종속변수의 변동을 설명하거나 예측하기 위 해서 사용된 독립변수들은 실제로 대부분 서로 독립이 아님.

• 이와 같이 다중공선성이란 독립변수들 간에 밀접한 상관관 계가 존재하는 것을 말하며, 이와 같은 경우에는 독립변수 의 계수가 정확히 추정되지 못하는 문제가 발생함.

• 예를 들어 y=1+2x의 회귀모형에 x와 동일한 변수인 z 를 포함시킨 후 추정하게 되면 y=1+1.5x+0.5z 또는

y=1-1.3x+3.3z 등과 같이 x와 z계수의 합이 2가 되는 선 형식은 모두 추정회귀선으로 사용될 수 있음.

• 이와 같이 서로 밀접한 선형관계에 있는 변수들의 계수 는 정확히 추정할 수 없을 뿐만 아니라 기대와는 달리 반대의 부호를 갖는 추정치를 얻는 경우도 종종 있음.

제4장 회귀분석

다중회귀모형의 추정 (estimation of multiple regression)

§ 다중공선성(multicollinearity)

• 다중공선성이 존재하는 경우 z가 포함된 상태에서는 x 가 y의 변동을 추가적으로 설명할 것이 없으므로 독립 변수 모두를 제외시킬 수는 없지만 그 중 하나는 다른 변수가 회귀모형에 포함되어 있는 한 제외시킬 수 있음.

• 다중공선성이 존재하는 경우 정확한 추정치를 구하는 방법은 계량경제학 교재를 참고하기 바람.

• 여기서는 할 수 있는 방법은 다중공선성이 있는 변수들 중에서 분석자의 판단에 따라 일부의 변수를 제외시키 는 방법임.

• 그리고 변수를 제외시킨 후 다시 회귀계수에 대한 가설 검정을 해야 함.

제4장 회귀분석

다중회귀모형의 추정 (estimation of multiple regression)

§ 더미변수를 포함한 회귀분석

• 지금까지 회귀분석에서의 독립변수는 그 값의 크기를 측정 할 수 있는 정량적 변수들(quantitative variables)이었음.

• 그러나 경우에 따라서는 종속변수의 값은 개별 관측대상이 속하는 집단의 특성에 의해서도 영향을 받기도 함.

• 즉, 범주형 변수들(categorical variables)인 계절(seasons), 월(months), 지역(regions) 등과 같은 자료의 경우임.

• 이와 같이 특정 요인들(범주형 변수들)에 의하여 영향을 받 는지를 살펴보고자 할 때 더미변수(가변수 : dummy

variable)를 사용함.

• 더미변수를 포함하는 경우 다중회귀모형은 다음과 같음. y=β₀+β₁x₁+β₂D+ε

제4장 회귀분석

다중회귀모형의 추정 (estimation of multiple regression)

§ 더미변수를 포함한 회귀분석

• 예 : 건국대학교 주변 휴대폰 대리점 관련 자료를 가정함.

제4장 회귀분석

분산분석표에서 F-값 69.84이고, 이에 대응하는 P-값(유의한 F)은 0.0002로 유의수준 α=0.05보다 작으므로 귀무가 설 ‘H₀ : β₁=β₂=0’을 기각하여 독립변수 들 중 적어도 하나 이상의 변수는 종속 변수를 설명하는데 유의하게 기여함.

x1(훈련시간)의 계수에 대한 검정결과 귀무 가설을 기각하여 y에 유의하게 영향을 미치 지만, 더미변수 D의 계수에 대한 검정결과 귀무가설을 기각할 수 없음. 즉, 더미변수가 회귀모형에 포함되어 있더라도 y의 변동을 설명하는 데는 x1이 필요하지만 x1이 포함된 상태에서 D는 y의 변동에 추가적으로 설명할 것이 없음을 의미함.

y=8.8056+0.4356x₁+1.778D

다중회귀모형의 추정 (estimation of multiple regression)

§ 여러 개의 더미변수를 포함한 회귀분석

• 앞의 예에서와 같이 범주형 변수의 범주가 2개인 경우 1개 의 더미변수를 이용하여 분석할 수 있었음.

• 즉, 건국대학교 근처이면 1, 아니면 0의 값을 가짐으로써 휴 대폰 대리점들을 구분할 수 있었음.

• 그러나 만일 변수의 범주가 3개 이상이면 하나의 더미변수 로는 모두를 구분할 수 없음.

• 예를 들어 지역이 A, B, C이면 2개의 더미변수를 사용

• A지역이면 “D₁=1, D₂=0”

• B지역이면 “D₁=0, D₂=1”

• C지역이면 “D₁=0, D₂=0”

• 따라서 회귀식은 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃D₁+β₄D₂+ε이 됨.

제4장 회귀분석

다중회귀모형의 추정 (estimation of multiple regression)

§ 여러 개의 더미변수를 포함한 회귀분석

제4장 회귀분석

• 지역 분류가3곳이므로 더미변수는 다음과 같이 2개를 사용함.

• A지역이면 “D₁=1, D₂=0”

• B지역이면 “D₁=0, D₂=1”

• C지역이면 “D₁=0, D₂=0”

• 따라서 매출액(y)은 광고비(x₁), 보너스(x₂), D₁, D₂의 독립변수로 표현될 수 있음.

• 즉, 회귀식은 다음과 같음.

y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃D₁+β₄D₂+ε

다중회귀모형의 추정 (estimation of multiple regression)

§ 여러 개의 더미변수를 포함한 회귀분석

제4장 회귀분석

분산분석표에서 F-값 91.638이고, 이에 대응하는 P-값(유의한 F) 은 0.0000으로 유의수준 α=0.05보다 작으므로 귀무가설 ‘H₀ : β₁=β₂=β₃=β₄=0’을 기각하여 독립변수들 중 적어도 하나 이상의 변수는 종속변수를 설명하는데 유의하게 기여함.

모든 독립변수들의 회귀계수 의 t-값이 2의 절대값보다 큰 값 을 가지며, P-값도 α=0.05보다 작으므로 귀무가설을 기각하 여 y에 유의하게 영향을 미치 는 것으로 나타남.

y=471.57+1.38x₁+0.82x₂-261.14D₁-201.54D₂ A지역의 경우(D₁=1, D₂=0)

y=471.57+1.38x₁+0.82x₂-261.14(1)-201.54(0) B지역의 경우(D₁=0, D₂=1)

y=471.57+1.38x₁+0.82x₂-261.14(0)-201.54(1) C지역의 경우(D₁=0, D₂=0)

y=471.57+1.38x₁+0.82x₂-261.14(0)-201.54(0)