Chapter 4: Two-dimensional steady-state conduction
■ 다차원계
헤슬러 선도는 무한평판, 길이가 매우 긴 원통, 구에서 온도분포를 구하는데 사용할 수 있다. 하지만, 분석하고자 하는 특정 고체의 차원이 무한이라 할 수 없는 경우가 실생활에서는 더욱 많다(예를 들어, 벽의 두께와 높이가 큰 차이가 없다거나, 반지름에 비해 원통의 길이가 길지 않을때는 헤슬러 선도를 이용할 수 없다). 이런 경우의 문제에 대해서 다차원계를 이용하여 접근한다.
▶ 다차원의 문제의 해는 1 차원 문제의 해를 조합
다차원계의 접근법은 유한한 고체들은 1 차원에서의 무한평판, 원통, 고체의 결합으로 나타낼 수 있다는 점에 착안하여 문제를 접근한다. 예를 들어, 그림에서의 무한히 긴 사각형 막대는 두께가 각각 2L1, 2L2인 2 개의 무한평판으로 이루어져 있다..
Figure 1. Infinite rectangular bar (Holman 10th edition, 2011)
이 경우의 열전도 방정식은 아래와 같게 된다
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2+𝜕2𝑇
𝜕𝑧2 =1 𝛼∙𝜕𝑇
𝜕𝑡
변수분리법을 통해서 방정식의 해는 각각의 해의 곱으로 생각할 수 있다.
𝑇(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑍(𝑧)𝛩(𝑡)
즉, 온도의 시간에 따른 공간상에서의 변화는 “두께가 2L1인 무한평판의 해 X 두께가 2L2인 무한평판의 해 X 시간”의 형태가 된다고 할 수 있으며, 결과적으로는 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.
(𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖− 𝑇∞)
𝑟𝑜𝑑
= (𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖− 𝑇∞)
2𝐿1𝑃𝑙𝑎𝑡𝑒
(𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖− 𝑇∞)
2𝐿2𝑃𝑙𝑎𝑡𝑒
Figure 2. Analysis of infinite rectangular bar
다른 예를 보면, 길이 2L, 반지름 R 로 한정된 실린더는 두께 2L 의 무한평판과 반지름 R 인 무한 실런더의 교차로 생각할 수 있고, 정육면체는 두께 2L 인 무한평판 세개의 교차로 생각할 수 있을 것이다.
♠ 이 때의 해는 고체가 갑자기 대류환경에 노출되었을 때의 온도와 열전달을 의미함을 기억하자 (헤슬러 선도 = 고체가 갑자기 대류환경에 노출되었을 때의 온도 분포 선도)
▶ 다차원계 그림에 대한 설명
다양한 형태의 다차원계를 앞선 방법을 통해서 풀이할 수 있다.
1) 반무한고체: 반무한 고체의 교차는 반무한 고체내에서의 2차원, 그리고 반무한 고체내에서의 3차원이 된다 (잘 이용하지 않는 경우).
2) 무한평판 ×반무한고체: 무한 평판이 반무한고체와 결합을 하게 되면, 반무한평판이 되고, 한번더 반무한고체와 교차하게 되면 반무한고체 내에서의 2차원 형태가 된다 (반무한 평판은 중요하지만 그 이상은 잘 고려하지 않는다)
3) 무한평판의 결합: 반무한 직사각형 막대(반무한고체 × 무한평판)와 무한 직사각형 막대 (무한평판
× 무한평판) 및 직육면체 (무한평판 × 무한평판 × 무한평판)
4) 무한원통과 무한평판 및 반무한 고체의 결합: 반무한 원통(무한원통 × 반무한고체)과 유한 실린더 (무한원통 × 무한평판)
♠ 그림에서 𝐶(𝛩) 무한원통의 해, 𝑃(𝑋) 무한평판의 해, 𝑆(𝑋) 반무한고체의 해
Figure 3. Analyzing multi-dimensional system
▶ 다차원계의 해를 구하는 일반적인 방법
다차원계의 해를 구하는 일반적인 방법은 아래의 식으로 표현될 수 있다. 즉, 분해된 각각의 경우에 대한 해를 헤슬러 선도를 통해서 찾아서 모두 곱해주면 해당하는 다차원계의 해를 구할 수 있다.
(𝜃 𝜃𝑖)
3−𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛
= (𝜃 𝜃𝑖)
1−𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛
(𝜃 𝜃𝑖)
2−𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛
(𝜃 𝜃𝑖)
3−𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛
마찬가지로, 열손실도 계산이 가능하다. 각각 1 차원해를 갖는 두 물체의 교차로 이루어졌다고 하면 (두개의 무한 또는 반무한대 고체가 조합되어 다차원고체가 된다면) 잃거나 얻은 총 열은 다음과 같이 계산될 수 있다.
(𝑄 𝑄0)
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= (𝑄 𝑄0)
1
+ (𝑄 𝑄0)
2
[1 − (𝑄 𝑄0)
1
]
만약 세개의 무한 또는 반무한대가 고체가 조합되어 다차원 고체를 형성한다면, 전체 열손실 또는 열수득량은 다음과 같이 계산될 수 있다.
(𝑄 𝑄0)
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= (𝑄 𝑄0)
1
+ (𝑄 𝑄0)
2
[1 − (𝑄 𝑄0)
1
] + (𝑄 𝑄0)
3
[1 − (𝑄 𝑄0)
1
] [1 − (𝑄 𝑄0)
2
]
▶ 해를 구하는 과정의 예
다차원계의 해를 구하는 방법을 살펴보자. 그림에서 보여지는 일반 직사면체의 온도변화를 구한다고 한다.
일반 직사면체는 두께가 서로 다른 세개의 무한평판의 교차로 생각할 수 있고, 초기온도의 변화에 대한 중심이 아닌 지점에서의 온도변화는 각각의 무한평판에 대한 해의 곱으로 구할 수 있다. 이 때의 해는 헤슬러 선도로부터 찾을 수 있는데, 초기온도에 대한 현재의 온도는 초기온도에 대한 중심온도에서 구한 차트의 값과, 중심온도에 대한 현재온도의 값을 구한 찾아 곱하면 구할 수 있다. 즉, 두께가 2L 인 무한 평판에 있어서 초기온도에 대한 현재 온도는 헤슬러 선도(그림 4.7)에 있고, 두께가 2L 인 무한 평판에 있어서 중심온도에 대한 현재 온도는 그림 4.10 에 있으므로, 필요한 number 를 계산후에 선도에서 찾은 값의 곱을 통해서 원하는 답을 얻을 수 있다. 열손실의 경우도 두께가 2L 인 무한 평판에서의 시간에 따른 무차원 열손실이 그림 4.14 에 주어져 있으므로 앞선 열손실 식을 이용하면 답을 구할 수 있다.
(𝑄 𝑄0)
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= (𝑄 𝑄0)
1
+ (𝑄 𝑄0)
2
[1 − (𝑄 𝑄0)
1
] + (𝑄 𝑄0)
3
[1 − (𝑄 𝑄0)
1
] [1 − (𝑄 𝑄0)
2
]
Figure 4. Example of solving multi-dimensional system
■ 다차원계 예제
1. 온도가 200℃로 일정하게 유지되고 있는 4 cm 두께의 매우 큰 순수한 알루미늄 판이 갑자기 유체의 온도가 50℃이고 열전달 계수가 500 𝑊/𝑚2℃인 대류환경에 노출되었다. 2 분 후에 표면으로부터 0.8 cm 의 깊이에서 판의 온도를 계산하여라. 단, 알루미늄 평판의 𝑘 = 200 𝑊/𝑚 ∙ 𝐾, 𝛼 = 9.33 × 10−5𝑚2/𝑠 이다.
(solution)
Heisler 선도를 읽기 위한 매개변수를 구하면,
𝐿 =0.04
2 = 0.02 𝑚
1 𝐵𝑖= 𝑘
ℎ𝐿= 200
500 × 0.02= 20
𝐹𝑜 =𝛼𝑡
𝐿2 =9.33 × 10−5× 120 0.022 = 28
그림 4.7 을 이용하면,
𝜃0
𝜃𝑖 = 0.25 표면으로부터 0.8 cm 이므로,
𝑥 = 0.02 − 0.008 = 0.012 𝑚
𝑥
𝐿=0.012 0.02 = 0.6
그림 4.10 을 이용하면,
𝜃
𝜃0= 0.98
𝜃 𝜃𝑖=𝜃0
𝜃𝑖× 𝜃
𝜃0= 0.25 × 0.98 = 0.245
∴ 𝑇 = 0.245 × (𝑇𝑖− 𝑇∞) + 𝑇∞= 0.245 × (200 − 50) + 50 = 86.75℃
2. 단면이 20cm × 20cm인 무한막대가 10°C 로 균일하게 유지되고 있다. 이 막대가 갑자기 110°C 의 공기에 노출되었다. 실린더의 중심온도가 40°C 에 도달하려면 얼마의 시간이 필요한가? 또한 계산된 시간 동안 막대가 얻은 단위길이당 열량을 구하여라(열전달 계수는 30 𝑊 𝑚⁄ 2· 𝐾이며, 막대의 열적 특성은 𝑘 = 15 𝑊 𝑚 ∙ 𝐾⁄ , 𝜌 = 5000 𝑘𝑔 𝑚⁄ 3, 𝑐𝑝= 150 𝐽 𝑘𝑔 ∙ 𝐾⁄ ).
(solution)
무한막대는 두께가 2L인 무한평판의 결합으로 생각할 수 있다. 두께가 20cm인 무한평판에 대해서,
L = 0.1m, 1 𝐵𝑖= 𝑘
ℎ𝐿= 15 30 × 0.1= 5
시간을 알지 못하므로, 퓨리에 수를 구할 수 없으나, 막대의 무차원 중심온도를 알 수 있다. 막대의 중심온도 는 판의 두께가 일정하므로, Heisler 선도의 무한평판의 제곱이라 할 수 있다.
(𝜃0 𝜃𝑖)
𝑏𝑎𝑟
= (𝜃0 𝜃𝑖)
𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒
× (𝜃0 𝜃𝑖)
𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒
=𝑇0− 𝑇∞
𝑇𝑖− 𝑇∞ =40 − 110
10 − 110= 0.7 → 𝜃0
𝜃𝑖 = 0.84
Heisler 도표에서 이에 해당하는 Fo은,
Fo =𝛼𝑡 𝐿2 = 1.2
𝛼 = 𝑘
𝜌𝑐𝑝= 15
5000 × 150= 2 × 10−5𝑚2⁄ 𝑠
t =1.2 × 𝐿2
𝛼 =1.2 × 0.12
2 × 10−5 = 600 s = 10 min
열량을 구하기 위해서, Heisler 선도를 이용하면 𝐵𝑖 = 0.2이므로,
𝐹𝑜 ∙ 𝐵𝑖2= 1.2 × 0.22= 0.048 → 𝑄
𝑄0= 0.18 식에 대입하면,
(𝑄 𝑄0)
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
= (𝑄 𝑄0)
1
+ (𝑄 𝑄0)
2
[1 − (𝑄 𝑄0)
1
] = 0.18 + 0.18 × (1 − 0.18) = 0.33
𝑄0
𝐿 = 𝜌𝑐𝑝(2𝐿)2(𝑇∞− 𝑇𝑖) = 5000 × 150 × (0.2)2× (110 − 10) = 3000000 𝐽/𝑚 = 3000 𝑘𝐽/𝑚
∴Q
𝐿= 0.33 × 3000 = 990 𝑘𝐽/𝑚
■ 비정상상태 수치해법
규칙적인 형상을 한 물체에서의 열전달은 다차원계를 통해서 구할 수 있지만, 일상에서는 불규칙적인 형상이 매우 많고 이 경우는 다차원계 방법의 적용이 불가능하며, 또한, 수학적인 해를 구하는 해석적인 방법이 불가능하다. 이런 경우, 앞선 정상상태의 경우와 마찬가지로 유한차분법을 이용한 수치해석을 이용하여 문제 풀이를 접근할 수 있다.
정상상태에서 유한차분법을 통해서 수치해법을 다루었던 것 처럼, 비정상상태 역시 유한차분법을 이용한다.
정상상태에서는 내부절점으로 흐르는 열의 합이 0 이 되었으나, 비정상상태에서는 내부절점으로 흐르는 열의 합이 0 이 되는 것이 아니라, 대상부피(control volume)에서의 내부에너지의 시간에 대한 변화율과 같게 된다. 즉, 시간에 대한 미분을 포함한 항에 대해서도 유한차분법을 적용해야 한다(p 는 시간에 대한 증분을 나타낸다 – m 과 n 은 공간에 대한 증분).
Figure 5. Finite difference method for unsteady-state conduction
𝜕𝑇
𝜕𝑡 =𝑇𝑚,𝑛𝑝+1
− 𝑇𝑚,𝑛𝑝
∆𝑡
𝑇𝑚+1,𝑛𝑝 + 𝑇𝑚−1,𝑛𝑝 − 2𝑇𝑚,𝑛𝑝
(∆𝑥)2 +𝑇𝑚,𝑛+1𝑝 + 𝑇𝑚,𝑛−1𝑝 − 2𝑇𝑚,𝑛𝑝 (∆𝑦)2 =1
𝛼∙𝑇𝑚,𝑛𝑝+1
− 𝑇𝑚,𝑛𝑝
∆𝑡
𝑇𝑚,𝑛𝑝+1 = 𝛼∆𝑡
(∆𝑥)2(𝑇𝑚+1,𝑛𝑝 + 𝑇𝑚−1,𝑛𝑝 + 𝑇𝑚,𝑛+1𝑝 + 𝑇𝑚,𝑛−1𝑝 ) + [1 −4𝛼∆𝑡 (∆𝑥)2] 𝑇𝑚,𝑛𝑝
𝑇𝑚,𝑛𝑝+1= 𝛼∆𝑡
(∆𝑥)2(𝑇𝑚+1,𝑛𝑝 + 𝑇𝑚−1,𝑛𝑝 ) + [1 −2𝛼∆𝑡 (∆𝑥)2] 𝑇𝑚,𝑛𝑝
식에서 알 수 있듯이, 시간과 거리증분이 관련된 아래의 매개변수값을 어떻게 선택하느냐에 따라 수치해를 얻는 과정이 매우 용이하게 된다. 예를 들어, 시간증분과 거리증분의 관련식을 4 로 선택하였다면, 시간증분
∆𝑡만큼 시간이 경과한후 절점 (m,n)의 온도는 시간증분 ∆𝑡 = 0인 초기 시점에서 절점 (m,n) 주위에 있는 네개의 주위 절점 온도를 대수적으로 평균한 값이 된다.
𝑀 =(∆𝑥)2 𝛼∆𝑡
즉, 2 차원계에서는 M=4 로 하고, 1 차원계에서는 M=2 로 하면 수치해를 얻는 과정이 쉬워진다. 일반적으로, 증분을 크게 할수록 값을 빨리 구할 수 있지만 정확도는 떨어지고, 작게 할수록 정확도는 올라가지만 계산 시간이 오래 걸린다. 얼핏 보면, 거리증분을 작게하고, 시간증분을 크게하면 정확하면서도 신속한 해를 구할 수 있을 것 같으나, 사실은 그렇지 못하다. 왜냐하면 ∆𝑥를 선택하면 ∆𝑡의 값이 고정되기 때문이다: 즉, M 값은 범위가 있다.
♠ M 값은 범위가 있다.
예를 들어서 인접한 주위 절점의 온도는 서로 같고, 𝑇𝑚𝑝보다 작다고 가정하면 시간증분 ∆𝑡만큼 경과한 후에 𝑇𝑚𝑝이 주위 절점 온도보다 더 낮아질 수는 없다. 더 낮아진다면 열이 저온에서 고온으로 흐르게 되어 열역학 2 법칙에 위배가 된다. 그러므로, M 값에는 제한이 있다. 즉, 계수가 음수이면 마디로의 열흐름의 합이 내부에너지를 감소시킴으로서 열역학 제 2 법칙에 어긋난다 (간단히 말해서 계수가 음수가 되면, 특정 경우에 있어서 우변이 음수가 되어 온도가 음수가 되는 경우가 발생하므로 모순이다). 수학적으로는 제한조건을 만족하지 않는다면 유한차분해는 결코 수렴하지 않는다.
▶ 대류경계조건
위의 식은 시간과 공간의 함수로 고체내부의 온도를 구할 때 대단히 유용하다. 고체 경계면에서는 보통 대류저항이 존재하기 때문에 위의 식을 더 이상 사용할 수 없다. 일반적으로 각각의 대류경계조건은 해석하고자 하는 특정한 기하학적 형상에 다라 개별적으로 다루어야 한다.
평면벽의 경우는 유한차분법은 다음과 같이 쓸 수 있다.
𝑘∆𝑦𝑇𝑚−1,𝑛𝑝 − 𝑇𝑚,𝑛𝑝
∆𝑥 + 𝑘∆𝑥
2 ∙𝑇𝑚,𝑛+1𝑝 − 𝑇𝑚,𝑛𝑝
∆𝑦 + 𝑘∆𝑥
2 ∙𝑇𝑚,𝑛−1𝑝 − 𝑇𝑚,𝑛𝑝
∆𝑦 + ℎ∆𝑦(𝑇∞− 𝑇𝑚,𝑛𝑝 ) = 𝜌𝑐 ∙∆𝑥
2 ∙ ∆𝑦𝑇𝑚,𝑛𝑝+1
− 𝑇𝑚,𝑛𝑝
∆𝑡
𝑇𝑚,𝑛𝑝+1 = 𝛼∆𝑡
(∆𝑥)2{(2ℎ∆𝑥
𝑘 𝑇∞− 2𝑇𝑚−1,𝑛𝑝 + 𝑇𝑚,𝑛+1𝑝 + 𝑇𝑚,𝑛−1𝑝 ) + [(∆𝑥)2
𝛼∆𝑡 − 2ℎ∆𝑥
𝑘 − 4] 𝑇𝑚,𝑛𝑝 }
𝑇𝑚,𝑛𝑝+1
= 𝛼∆𝑡
(∆𝑥)2{(2ℎ∆𝑥
𝑘 𝑇∞+ 2𝑇𝑚−1𝑝 ) + [(∆𝑥)2
𝛼∆𝑡 − 2ℎ∆𝑥
𝑘 − 2] 𝑇𝑚,𝑛𝑝
}
결과적으로, 현재시간에서 주어진 주위 절점 온도를 이용하여 향후 구하고자 하는 시간에서의 절점온도를 구할 수 있다.
Figure 6. Finite difference method for unsteady-state conduction with convection boundary condition
▶ 전진차분법과 후진차분법 (참고)
비정상상태의 수치해석 방법에는 전진차분법과 후진차분법 두 가지가 있으며, 필요 및 편의에 따라 선택하면 된다.
1. 전진차분법: 시간증분이 경과하지 않은 초기상태에서 주어진 주위 절점온도의 항으로 향후 구하고자 하는 시간증분 시점에서의 절점 온도를 표현한 것 (양함수식)
2. 후진차분법: 미래 시점의 온도값을 기준으로 과거 시점의 온도값을 표현 (음함수식). TP의 항으로 TP+1을 명확하게 계산할 수 없지만, 안정성과 관련된 제한이 없다 (대괄호안의 항이 +로 연결되어 있다).
교재의 표 4.2 는 비정상 상태에서의 절점방정식을 양함수의 형태 (전진차분법), 표 4.3 은 비정상 상태에서의 절점방정식을 음함수의 형태 (후진차분법)로 각각의 물리적 상태 (정상상태에서 했듯이)에 따라 정리해 놓았다.
■ 비정상상태 수치해법 예제
1. 다음 주어진 그림과 같이 오른쪽이 완전히 단열된 벽이 있다. 그림에서 큰 정사각형 한 변의 길이는 20 cm 이고, 𝑘 = 2 𝑊/𝑚 ∙ 𝐾, ℎ = 40 𝑊/𝑚2∙ 𝐾 이다.
1) 1 과 2 점에서의 정상상태에서의 온도를 구하고, 각각의 점에서 단위 깊이 당 열전달을 구하여라.
2) 갑작스런 온도변화로 인해 주변 공기의 온도가 80℃로 높아져서 절점 2 에서 정상상태의 유지가 불가능해졌다고 하자(다른 모든 조건은 같다). 이 때, 시간 증분의 최대값을 구하여라(α = 1 × 10−2𝑚2/𝑠).
(solution 1)
절점 1 은 단열경계, 절점 2 는 대류경계의 절점이므로,
ℎ∆𝑥
𝑘 =40 × 0.1 2 = 2
절점 1: 40 + 100 + 2 × 50 − 4T1= 0
절점 2: T2(ℎ∆𝑥
𝑘 + 2) −ℎ∆𝑥
𝑘 ∙ 𝑇∞−1
2(2 × 50 + 100 + 40) = 0
40 + 100 + 2 × 50 − 4T1= 0 4T2− 2 ∙ 20 −1
2(2 × 50 + 100 + 40) = 0
∴ 𝑇1=240
4 = 60℃, 𝑇2=160
4 = 40℃
각각의 점에서의 열전달을 𝑞1, 𝑞2라 하면,
𝑞1= 0 𝑊/𝑚
𝑞2 = hA(𝑇2− 𝑇∞) = 400 × 0.1 × (40 − 20) = 800 𝑊/𝑚
(solution 2) 안정성에 의해
(∆𝑥)2
𝛼∆𝑡 = 2 (ℎ∆𝑥 𝑘 + 2)
문제에 의해 ∆𝑥 = 10𝑐𝑚 = 0.1𝑚이므로,
(0.1)2
1 × 10−2∆𝑡= 2 (40 × 0.1
2 + 2) = 8
∴ ∆𝑡 = (0.1)2
8 × 1 × 10−2= 0.16 초
