EBS 올림포스 확률과통계 답지 정답

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(1)올 림 포 스. 확률과 통계. 정답과 풀이. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 1. 2017-11-01 오후 3:33:43.

(2) 정답과 풀이 Ⅰ. 경우의 수. 01 1. 72 6. 420. 2. ② 7. 165. 5명의 학생이 각각 선택할 수 있는 체험 활동의 종류는. 3개이므로 경우의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 5개. 순열과 조합. 를 택하여 일렬로 배열하는 중복순열의 수와 같다. 따라서 구하. 기본 유형 익히기. 1.. 3.. 3. 243 8. 21. 는 경우의 수는. 본문 8~11쪽. 유제. 4. 250. £P°=3Þ`=243. 5. 210.  243. 4.. 자연수가 짝수이려면 일의 자리의 수가 짝수이어야 한다.. 1, 2, 3, 4, 5 중 짝수는 2, 4이므로 일의 자리에 올 수 있는 수. 어린이 4명을 먼저 원형의 탁자에 둘러앉히는 경우의 수는. (4-1)!=3!=3_2_1=6. 는 2, 4의 2개이다.. 이 각각의 경우에 대하여 어른이 앉을 수 있는 자리의 수는 4개. 이 각각의 경우에 대하여 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에 올. 이고, 이 중 2자리를 택하여 앉는 경우의 수는. 수 있는 자연수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이므로 1, 2, 3, 4, 5에서. ¢Pª=4_3=12. 중복을 허락하여 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에 숫자를 배. 따라서 구하는 경우의 수는. 열하는 경우의 수는 서로 다른 5개에서 중복을 허락하여 3개를 택하여 일렬로 배열하는 중복순열의 수 °P£=5Ü`과 같다.. 6_12=72. 따라서 구하는 자연수의 수는 .  72. 2_5Ü`=2_125=250. 2.. A가 앉는 경우는 그림과 같이 2가지가 있다. A.  250. A. 5.. 흰 공 3개, 검은 공 2개, 노란 공 3개 모두 8개의 공을 차. 례로 꺼내어 일렬로 배열할 때, 8번째 공이 노란 공이어야 하므 로 처음 7개의 공을 꺼내어 일렬로 배열하는 경우는 흰 공 3개, 검은 공 2개, 노란 공 2개를 배열하는 경우이어야 한다.. 이 각각의 경우에 대하여 A가 앉은 후 나머지 7명이 앉는 경우. 즉, 구하는 경우의 수는 흰 공 3개, 검은 공 2개, 노란 공 2개를. 의 수는 7!이므로 구하는 경우의 수는 2_7!이다.. 일렬로 배열하는 경우의 수와 같다.. 다른풀이. 따라서 구하는 경우의 수는. 8명의 사람을 일렬로 배열하는 경우의 수는 8!. 7! 7_6_5_4 = =7_6_5 3!2!2! 2!2!. A A. =7_30=210. A.  210. A A. 6.. A. A, B, C, D, E를 포함한 7명 중 A, B, C 3명은 이 순. 서대로 서야 하고 D와 E는 E, D의 순서대로 서야 하므로 A,. A. B, C를 X, X, X라 생각하고 D와 E를 Y, Y라 생각하여. A. 그림과 같이 A를 기준으로 하여 시계 방향으로 나머지 7명을. 7명을 세운 후 왼쪽으로부터 첫 번째, 두 번째, 세 번째 X에 각. 같은 순서대로 배열하면 네 그림이 모두 회전하여 일치하게 되. 각 A, B, C를 세우고 왼쪽으로부터 첫 번째, 두 번째 Y에 각. 므로 구하는 경우의 수는. 각 E, D를 세우는 경우와 같다.. 8! 8 = _7!=2_7! 4 4. 즉, X, X, X, Y, Y를 포함한 7명을 세우는 경우의 수는 ②. 2. 7! 7_6_5_4 = =7_6_5_2 3!2! 2!. 올림포스•확률과 통계. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 2. 2017-11-01 오후 3:33:44.

(3) =42_10=420 이고 이 각각의 경우에 대하여 왼쪽으로부터 첫 번째, 두 번째, 세 번째 X에 각각 A, B, C를 세우고 왼쪽으로부터 첫 번째, 두 번째 Y에 각각 E, D를 세우는 경우의 수는 1_1=1이므로 구하는 경우의 수는 420_1=420  420. 7.. 1부터 9까지의 자연수 중 3개의 수를 중복을 허락하여 선. 택한 후 세 수 중에서 작거나 같은 크기 순서대로 a, b, c라 하 면 된다. 예를 들어 5, 6, 5를 택하였다면 a=5, b=5, c=6으 로 1É5É5É6É9를 만족시킨다. 즉, 구하고자 하는 순서쌍의 개수는 1부터 9까지의 서로 다른 9개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 3개의 수를 택하는 중복 조합의 수와 같다.. 유형 확인 01 ③ 06 ③ 11 ③ 16 ⑤ 21 ②. 02 ② 07 ④ 12 ③ 17 ① 22 ④. 본문 12~15쪽. 03 ③ 08 ② 13 ③ 18 ⑤ 23 ③. 04 ③ 09 ③ 14 ⑤ 19 ④ 24 ⑤. 05 ⑤ 10 ④ 15 ① 20 ⑤. 01 여자 4명이 원형의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 이 각각의 경우에 대하여 여자와 여자 사이의 4개의 자리에 남 자 4명이 앉는 경우의 수는 ¢P¢=4!=24 따라서 구하는 경우의 수는 6_24=144 ③. 따라서 구하는 순서쌍의 수는 »H£=»*£ÐÁC£. 02 3쌍의 부부를 3명의 사람으로 생각하자.. =ÁÁC£ =. 원형의 탁자에 3명이 앉는 경우의 수는. 11_10_9 3_2_1. (3-1)!=2 이 각각의 경우에 대하여 한 쌍의 부부가 서로 자리를 바꾸는. =165  165. 경우의 수는 2이므로 3쌍의 부부가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2_2_2=8. 8.. x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1 (단, x', y', z'은 음이. 아닌 정수)이라 놓고 방정식 x+y+z=8에 대입하면. 따라서 부부끼리 모두 이웃하여 앉는 경우의 수는 2_8=16 ②. (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=8에서 x'+y'+z'=5 즉, 방정식 x+y+z=8을 만족시키는 자연수 x, y, z의 모든 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 방정식 x'+y'+z'=5를 만족시키 는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 모든 순서쌍 (x', y', z')의 개수 와 같다. 즉, 이 경우의 수는 x', y', z' 중에서 중복을 허락하여 5개를 택 하는 중복조합의 수와 같으므로 구하는 모든 순서쌍의 개수는 £H°=£*°ÐÁC°. 03 5가지의 색 중에서 4가지의 색을 택하는 경우의 수는 °C¢=°CÁ=5 이 각각의 경우에 대하여 가운데 삼각형을 칠하는 경우의 수는 4이고, 나머지 3개의 삼각형을 칠하는 경우의 수는 (3-1)!=2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 5_4_2=40 ③. =¦C° =¦Cª =. 04 8명이 원형의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는. 7_6 2_1. (8-1)!=7! 이때 직사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지. =21  21. 경우에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 4가지씩 존. 정답과 풀이. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 3. 3. 2017-11-01 오후 3:33:44.

(4) 정답과 풀이 재한다.. 1 8. 7. 6. 7. 1. 5. 6. 2. 5. 8. 8. 4. 1. 2. 3. 6. 5. 4. 5. 4. 3. 7. 3 8. 1. 6 7. 8. 8 7. 2. 6. 9 6. 3. 4. 7. 5. 6. 1. 5 2. 3. 4. 따라서 구하는 경우의 수는 8!_3 10! =8!_3에서 n 10! n= =10_3=30 8!_3. 2. 2. 5. 8. 1 7. 4 3. 9. 3. 4. 2. 9. 1. 따라서 구하는 경우의 수는 7!_4이다.. 다른풀이. 다른풀이. 8명을 일렬로 배열하는 경우의 수는 8!. 9명을 일렬로 배열하는 경우의 수는. 이 각각의 경우에 대하여 직사각형 모양의 탁자의 한 자리를 고. 9!. 정하여 8명을 일렬로 배열할 때, 1을 고정하고 나머지 7명을 반. 이 각각의 경우에 대하여 정삼각형 모양의 탁자의 한 자리를 고. 시계 방향으로 순서대로 앉히면 다음과 같이 두 가지씩 회전하. 정하여 9명을 일렬로 배열할 때, 1을 고정하고 나머지 8명을 반. 여 일치하는 경우가 존재한다.. 시계 방향으로 순서대로 앉히면 다음과 같이 세 가지씩 회전하 여 일치하는 경우가 존재한다.. 1. 1 1 1. 1 1. 따라서 구하는 경우의 수는. 1. 9! 3 10! 9! 에서 = n 3 10!_3 n= =10_3=30 9!. 1. 1. 1. 1. ⑤. 따라서 구하는 경우의 수는. 06 직사각형으로 이루어진 6개의 영역을 빨강, 주황, 노랑,. 8! =7!_;2*;=7!_4 2. 초록, 파랑, 검정의 6가지의 색을 모두 사용하여 영역을 구별하 ③. 는 경우의 수는 다음 그림과 같은 직사각형 모양의 탁자에 6명 이 둘러앉는 경우의 수와 같다.. 05 9명을 원형으로 배열하는 경우의 수는 (9-1)!=8! 이 각각의 경우에 대하여 정삼각형 모양의 탁자에서는 원형으. 6명이 원형의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는. 로 배열하는 한 가지 경우에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다. (6-1)!=5!. 른 경우가 3가지씩 존재한다.. 이때 직사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지. 4. 올림포스•확률과 통계. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 4. 2017-11-01 오후 3:33:46.

(5) 경우에 대하여 다음 그림과 같이 서로 다른 경우가 3가지씩 존 재한다.. 09 서로 다른 종류의 음료수 5개를 A, B, C에게 남김없이. 나누어주는 경우는 음료수 5개를 일렬로 세워 놓은 후 A, B, 1. 1. C의 3개의 문자를 중복을 허락하여 5번 택하여 일렬로 배열한. 1. 후 그 순서에 해당하는 음료수를 주는 경우와 같다. 이 경우의 수는 중복순열의 수 £P°=3Þ`과 같다. 이 각각의 경우에 대하여 서로 다른 종류의 빵 4개를 D, E에게 따라서 구하는 경우의 수는. 나누어주는 경우는 빵 4개를 일렬로 세워 놓은 후 D, E의 2개. 5!_3. 의 문자를 중복을 허락하여 4번 택하여 일렬로 배열한 후 그 순 서에 해당하는 빵을 주는 경우와 같다.. 다른풀이. 6가지의 색을 일렬로 배열하는 경우의 수는. 이 경우의 수는 중복순열의 수 ªP¢=2Ý`과 같다.. 6!. 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 따라. 이 각각의 경우에 대하여 주어진 영역에 색을 칠할 때, 한 가지. 3Þ`_2Ý`=3_6Ý` ③. 색을 고정하고 나머지 5가지의 색을 반시계 방향으로 순서대로 색칠하면 다음과 같이 두 가지씩 회전하여 일치하는 경우가 존. 10 n이 X의 원소일 때, f(n)의 값으로 가능한 것은 집합 Y. 재한다.. 의 원소 1, 2, 3 중 하나이다.. 빨강.  f(1), f(2), f(3), f(4) 각각이 취할 수 있는 값은 3가지이므. 빨강. 로, 구하는 경우의 수는 집합 Y의 서로 다른 3개의 원소에서. 따라서 구하는 경우의 수는. 중복을 허락하여 4개를 택하여 순서대로 f(1), f(2), f(3),. 6! =5!_3 2.  f(4)의 값에 대응하는 경우의 수와 같다. ③. 즉, 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 4개를 택하여 일렬로 배열하는 중복순열의 수와 같다.. 07 네 사람 A, B, C, D가 중복을 허락하여 3개의 교통수단 에서 선택할 수 있으므로 네 사람 A, B, C, D가 각각 선택할. 따라서 구하는 함수의 개수는 £P¢=3Ý`=81 ④. 수 있는 교통수단의 수는 3이다. 즉, 구하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 4개를 택하여 일렬로 배열하는 중복순열의 수와 같다.. 11 abc가 홀수가 되려면 a, b, c 모두 홀수이어야 한다. 주사 위의 눈의 수 중 홀수인 것은 1, 3, 5의 3개이므로 abc가 홀수. 따라서 구하는 경우의 수는. 가 되는 경우의 수는 1, 3, 5의 3개의 수에서 중복을 허락하여. £P¢=3Ý`=81 ④. 3개를 택하여 일렬로 배열한 후 차례로 a, b, c에 대응시키는 경우의 수와 같다. 즉, 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 3개를 택하여 일렬로. 08 5명의 선거인이 중복을 허락하여 3명의 후보 중 반드시 한. 배열하는 중복순열의 수와 같다.. 명에게 투표해야 하므로 5명 각각이 선택할 수 있는 후보는 3명. 따라서 구하는 경우의 수는. 이다.. £P£=3Ü`=27 ③. 즉, 구하는 경우의 수는 서로 다른 3명의 후보에서 중복을 허락 하여 5번 택하여 일렬로 배열하는 중복순열의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는. 12 0, 1, 2, 3, 4의 다섯 개의 숫자 중에서 중복을 허락하여. £P°=3Þ`. 만들 수 있는 세 자리의 자연수 중에서 세 자리의 자연수가 0을 ②. 포함하지 않는 경우를 제외하면 된다.. 정답과 풀이. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 5. 5. 2017-11-01 오후 3:33:46.

(6) 정답과 풀이 Ú 0, 1, 2, 3, 4의 다섯 개의 숫자 중에서 중복을 허락하여 만 들 수 있는 세 자리의 자연수 . 따라서 구하는 경우의 수는 10_30=300. 백의 자리에 0이 올 수 없으므로 백의 자리에 올 수 있는 수 는 4가지이고 이 각각의 경우에 대하여 십의 자리와 일의 자 리에 각각 0, 1, 2, 3, 4의 5개의 숫자가 올 수 있으므로 십 의 자리와 일의 자리에 숫자를 넣는 경우의 수는. 15 홀수가 적혀 있는 공은 모두 홀수 번째 자리에 오도록 나 열해야 하므로 1, 1, 3, 3은 다음 그림의 자리에 나열하면 되. °Pª=5Û`=25. 고 2, 2, 4는 다음 그림의 △자리에 나열하면 된다.. 따라서 0, 1, 2, 3, 4의 다섯 개의 숫자 중에서 중복을 허락. △△△. 하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는. 모양의 네 자리에 1, 1, 3, 3을 나열하는 경우의 수는. 4_25=100. 4! =6 2!2!. Û 0을 포함하지 않는 세 자리의 자연수 1, 2, 3, 4의 4개의 숫자 중에서 중복을 허락하여 만들 수 있 는 세 자리의 자연수의 개수는 1, 2, 3, 4의 네 개의 숫자를 중복을 허락하여 3번 택하여 세 자리의 자연수를 만드는 경. ⑤. 이 각각의 경우에 대하여 △모양의 세 자리에 2, 2, 4를 나열하 는 경우의 수는 3! =3 2!. 우의 수와 같으므로. 따라서 구하는 경우의 수는. ¢P£=4Ü`=64. 6_3=18. Ú, Û에 의하여 0이 포함되는 세 자리의 자연수의 개수는. ①. 100-64=36 ③. 16 t, h, i, n, k, s, o의 7개의 문자 중 i, n, k는 이 순서대 로 배열되어야 한다.. 13 7개의 문자 중 3개의 문자 a, a, e를 하나로 생각하여 c,. i, n, k를 같은 문자 x, x, x라 생각하여 t, h, s, o, x, x, x의. d, m, y를 포함한 5개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는. 7개의 문자를 일렬로 배열한 후 왼쪽에서 첫 번째 x에 i, 두 번. 5!=120. 째 x에 n, 세 번째 x에 k를 배열하면 된다.. 이 각각의 경우에 대하여 a, a, e를 일렬로 배열하는 경우의 수. t, h, s, o, x, x, x의 7개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수. 는. 는. 3! =3 2!. 7! =7_6_5_4=42_20=840이고 이 각각의 경우에 3!. 대하여 왼쪽에서 첫 번째 x에 i, 두 번째 x에 n, 세 번째 x에 k. 따라서 구하는 경우의 수는. 를 배열하는 경우의 수는 1이므로 구하는 경우의 수는 . 120_3=360. 840_1=840 ③. ⑤. 14 a, a, b, b, b, c, d의 7개의 문자를 일렬로 나열할 때, c. 17 1, 3, 5를 같은 문자 a, a, a라 생각하고 4, 8을 같은 문. 와 d가 서로 이웃하지 않도록 나열하려면 우선 a, a, b, b, b. 자 b, b라 생각하여 2, 6, 7, a, a, a, b, b를 일렬로 배열한 후. 를 배열한 각각의 경우에 대하여 양 끝과 문자 사이의 여섯 개. 왼쪽에서 첫 번째 a에 1, 두 번째 a에 3, 세 번째 a에 5를 배열. 의 자리 중 두 자리를 택하여 c와 d를 배열하면 된다.. 하고 왼쪽에서 첫 번째 b에 8, 두 번째 b에 4를 배열하면 된다.. a, a, b, b, b를 일렬로 배열하는 경우의 수는. 즉, 2, 6, 7, a, a, a, b, b를 일렬로 배열하는 경우의 수는. 5! =10 2!3!. 8! =8_7_6_5_2=56_60=3360 3!2!. 이 각각의 경우에 대하여 여섯 개의 자리에 c와 d를 배열하는. 이고 이 각각의 경우에 대하여 왼쪽에서 첫 번째 a에 1, 두 번. 경우의 수는. 째 a에 3, 세 번째 a에 5를 배열하고 왼쪽에서 첫 번째 b에 8,. ¤Pª=6_5=30. 두 번째 b에 4를 배열하는 경우의 수는 1이므로 구하는 경우의. 6. 올림포스•확률과 통계. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 6. 2017-11-01 오후 3:33:47.

(7) 수는. 4개의 공을 꺼내는 방법의 수를 생각하면 된다.. 3360_1=3360. 꺼내는 순서는 생각하지 않으므로 세 가지 색의 공에서 4개를 ①. 택하는 방법의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 18 a, b, c, d를 같은 문자 x, x, x, x라 생각하고 x, x, x, x, e, f, g를 일렬로 배열한 후 x가 배열된 네 자리에 a, b, c,. £H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª=. 6_5 =15 2_1 ②. d를 조건에 맞게 배열하는 경우를 생각하면 된다. 즉, x, x, x, x, e, f, g를 일렬로 배열하는 경우의 수는 7! =7_6_5=7_30=210이고 이 각각의 경우에 대하여 x 4!. 22 방정식 a+b+c=8에서 c-2=c'이라 놓으면 c-2¾0이므로. 가 배열된 네 자리의 양 끝에 b와 d를 배열하는 경우의 수가 2,. c'¾0. 가운데 두 자리에 a와 c를 배열하는 경우의 수는 2이므로. c=c'+2이므로. 구하는 경우의 수는. a+b+c=a+b+(c'+2)=8. 210_2_2=840. a¾0, b¾0, c¾2일 때, 방정식 a+b+c=8을 만족시키는 정 ⑤. 수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 a+b+c'=6을 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c'의 모든 순. 19 3명의 후보를 a, b, c라 하자. 9명의 유권자는 무기명으로. 서쌍 (a, b, c')의 개수와 같고 이것은 a, b, c' 중에서 중복을. 투표를 하기 때문에 유권자를 구분할 수 없다.. 허락하여 6개를 택하는 중복조합의 수와 같다.. 따라서 9명의 유권자가 후보 a, b, c 세 명 중 한 명의 후보에게. 따라서 구하는 모든 순서쌍의 개수는. 각각 기권 없이 투표하는 경우의 수는 a, b, c 중에서 중복을 허. £H¤=£*¤ÐÁC¤=¥C¤=¥Cª=. 락하여 9개를 택하는 중복조합의 수와 같다.. 8_7 =28 2_1 ④. 따라서 구하는 경우의 수는 £H»=£*»ÐÁC»=ÁÁC» =ÁÁCª=. 23 방정식 x+y+z=n을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y,. 11_10 =55 2_1. z의 모든 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 x, y, z 중에서 중복을 허 ④. 20 서로 다른 3개의 주머니를 a, b, c라 하자. 흰 공을 서로 다른 3개의 주머니에 넣는 경우의 수는 a, b, c 중. 락하여 n개를 택하는 중복조합의 수와 같다. 따라서 구하는 모든 순서쌍의 개수는 £HÇ과 같다. (n+2)(n+1)  f(n)=£HÇ=£*ÇÐÁCÇ=ª*ÇCÇ=ª*ÇCª= 2. 3. H7=3+7-1C7=9C7=9C2=36.  f(n)=55에서 (n+2)(n+1) =55 2. 이 각각의 경우에 대하여 검은 공을 서로 다른 3개의 주머니에. nÛ`+3n+2=110. 넣는 경우의 수는 a, b, c 중에서 중복을 허락하여 3개를 택하. nÛ`+3n-108=(n-9)(n+12)=0. 는 중복조합의 수와 같다.. n은 자연수이므로 n=9. 에서 중복을 허락하여 7개를 택하는 중복조합의 수와 같다.. ③. H3=3+3-1C3=5C3=°Cª=10. 3. 따라서 구하는 경우의 수는. 24 (x+y+z+w)Þ`을 전개할 때 생기는 항은. 36_10=360 ⑤. x¹` yÏ`z¨`w§` (단, p+q+r+s=5, p, q, r, s는 음이 아닌 정수) 꼴이다.. 21 각 색깔의 공이 적어도 한 개씩은 포함되도록 꺼내야 하므 로 우선 흰 공 1개, 노란 공 1개, 파란 공 1개를 꺼낸 후 나머지. 주어진 식을 전개할 때 생기는 서로 다른 종류의 항의 개수는 서로 다른 4개의 문자 x, y, z, w에서 중복을 허락하여 5개를. 정답과 풀이. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 7. 7. 2017-11-01 오후 3:33:47.

(8) 정답과 풀이. 02 모음이 i, e뿐이므로 양 끝에 i와 e를 배열하는 경우의 수. 택하는 중복조합의 수 ¢H°와 같다. 따라서 구하는 항의 개수는. yy ➊. 는 2!. 8_7_6 ¢H°=¢*°ÐÁC°=¥C°=¥C£= =56 3_2_1. p, r, n, c, s, s를 나열할 때, p와 r 사이에 n 또는 c가 오는 ⑤. 경우는 n과 c 중에서 하나만 오는 경우와 n과 c가 모두 오는 경 우이다. Ú n과 c 중에서 하나만 오는 경우. n과 c 중에서 하나를 고르는 경우의 수는 2. ­ r, n`(또는 c)를 같은 문자 x, x, x라 생각하여 c`(또는 p, n), s, s, x, x, x의 6개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의. 서술형. 연습장. 본문 16쪽. 01 1200 02 600 03 79. 수는. ­세 개의 x에 p, n`(또는 c), r 또는 r, n`(또는 c), p의 순 서로 바꾸는 경우의 수는 2. 01 네 자리의 수의 합이 홀수인 경우는 네 자리의 수 중 홀수 가 한 개인 경우와 세 개인 경우이다. 즉, 네 자리의 암호를 만 들 때 홀수를 한 개만 이용하는 경우와 짝수를 한 개만 이용하 는 경우로 나누어 생각할 수 있다.. ­네 자리 중 홀수가 올 수 있는 한 자리를 택하는 경우의 수. ­짝수의 개수는 2, 4, 6의 3이고 홀수의 개수는 1, 3, 5, 7의. 는4 4이므로 짝수 3개, 홀수 1개를 이용하여 만들 수 있는 암호 의 개수는 yy ➊. Û 짝수를 한 개만 이용하는 경우. ­네 자리 중 짝수가 올 수 있는 한 자리를 택하는 경우의 수 는4. ­짝수의 개수는 2, 4, 6의 3이고 홀수의 개수는 1, 3, 5, 7의 4이므로 짝수 1개, 홀수 3개를 이용하여 만들 수 있는 암호 의 개수는. 4_(3_¢P£)=12_4Ü`=768. Û n과 c가 모두 오는 경우. p, r, n, c를 같은 문자 x, x, x, x라 생각하여 s, s, x, x,. 6! 6_5 = =15 4!2! 2. ­네 개의 x에 대하여 양 끝의 x에 p, r를 배열하는 경우의 수는 2, 가운데 x에 n, c를 배열하는 경우의 수는 2이다.  따라서 p, r, n, c, s, s를 나열할 때 n과 c가 모두 오는 경 우의 수는 15_2_2=60. yy ➌. yy ➌. Ú, Û에 의하여 구하는 경우의 수는 yy ➍. 2_(240+60)=600.  600 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 양 끝에 모음이 오는 경우의 수를 구한 경우. 10`%. ➋. p와 r 사이에 n과 c 중에서 하나만 오는 경우 의 수를 구한 경우. 30`%. ➌. p와 r 사이에 n과 c가 모두 오는 경우의 수를 구한 경우. 30`%. ➍. 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하는 경우. 30`%. yy ➋. Ú, Û에 의하여 만들 수 있는 서로 다른 암호의 개수는 432+768=1200. yy ➋. x, x의 6개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는. 4_(£P£_4)=16_3Ü`=432. 따라서 p, r, n, c, s, s를 나열할 때 n과 c 중에서 하나만 오는 경우의 수는 2_60_2=240. Ú 홀수를 한 개만 이용하는 경우. 6! 6_5_4 = =60 3!2! 2.  1200 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 홀수 한 개와 짝수 세 개를 이용하여 만들 수 있는 암호의 개수를 구한 경우. 40`%. ➋. 짝수 한 개와 홀수 세 개를 이용하여 만들 수 있는 암호의 개수를 구한 경우. 40`%. ➌. 서로 다른 암호의 개수를 구한 경우. 20`%. 8. 03 b-2=b', c+1=c'이라 놓으면 주어진 조건 (가), (나)는 (가) a+b'+c'+4d=9 (나) a¾0, b'¾0, c'¾0, d¾0. 올림포스•확률과 통계. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 8. 2017-11-01 오후 3:33:47.

(9) 이다. 따라서 4dÉ9이므로 조건을 만족시키는 d는 0, 1, 2이다.. 내신. Ú d=0인 경우. 01 ③. a+b+c=a+(b'+2)+(c'-1)=10에서. a+b'+c'=9.  ¾0, b¾2, c¾-1일 때, 방정식 a+b+c=10을 만족 a 시키는 정수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 a+b'+c'=9를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b', c'의 모 든 순서쌍 (a, b', c')의 개수와 같고 이것은 a, b', c' 중에 서 중복을 허락하여 9개를 택하는 중복조합의 수와 같다.. 따라서 d=0인 경우의 구하는 모든 순서쌍의 개수는. £H»=£*»ÐÁC»=ÁÁC»=ÁÁCª=. 11_10 =55 2_1. +. 수능. 고난도 문항. 02 216 03 30. 본문 17쪽. 04 ③. 01 8가지 색 중에서 작은 원의 내부를 칠할 4가지 색을 뽑는 방법의 수는 ¥C¢=. 8_7_6_5 =7_2_5=7_10=70 4_3_2_1. 이 각각에 대하여 뽑은 4가지 색으로 작은 원의 내부를 칠하는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6. yy ➊. 작은 원의 내부를 칠하면 위치가 고정되므로 나머지 4가지 색 으로 작은 원과 큰 원 사이의 부분을 칠하는 방법의 수는. Û d=1인 경우. 4!=24. a+b+c=a+(b'+2)+(c'-1)=6에서 a+b'+c'=5. 따라서 구하는 방법의 수는 n=70_6_24이므로.  ¾0, b¾2, c¾-1일 때, 방정식 a+b+c=6을 만족시 a. n =144 70. 키는 정수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는. ③. a+b'+c'=5를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b', c'의 모 든 순서쌍 (a, b', c')의 개수와 같고 이것은 a, b', c' 중에 서 중복을 허락하여 5개를 택하는 중복조합의 수와 같다.. 02 →, ←, ↑, ↓의 네 개의 기호를 중복을 허락하여 네 자리. 따라서 d=1인 경우의 구하는 모든 순서쌍의 개수는. 의 비밀번호를 만들 때, → 은 연속하여 사용하지 않고 만들 수. 7_6 £H°=£*°ÐÁC°=¦C°=¦Cª= =21 2_1. 있는 비밀번호는 → 를 0개, 1개, 2개를 사용하여 만들 수 있다.. yy ➋. Ü d=2인 경우. a+b+c=a+(b'+2)+(c'-1)=2에서 a+b'+c'=1.  ¾0, b¾2, c¾-1일 때, 방정식 a+b+c=2를 만족시 a 키는 정수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는. a+b'+c'=1을 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b', c'의 모 든 순서쌍 (a, b', c')의 개수와 같고 이것은 a, b', c' 중에 서 중복을 허락하여 1개를 택하는 중복조합의 수와 같다.. 따라서 d=2인 경우의 구하는 모든 순서쌍의 개수는. £HÁ=£*ÁÐÁCÁ=£CÁ=3. yy ➌. Ú, Û, Ü 에 의하여 구하는 모든 순서쌍의 개수는 yy ➍. 55+21+3=79.  79 단계. 채점 기준. 비율. ➊. d=0인 경우의 수를 구한 경우. 30`%. ➋. d=1인 경우의 수를 구한 경우. 30`%. ➌. d=2인 경우의 수를 구한 경우. 30`%. ➍. 순서쌍의 개수를 구한 경우. 10`%. Ú → 를 0개 사용하는 경우 ‌←, ↑, ↓3개에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복순열 의 수와 같으므로 만들 수 있는 비밀번호의 개수는 £P¢=3Ý`=81 Û → 를 1개 사용하는 경우 먼저 → 의 자리를 정하는 경우의 수가 4 나머지 자리를 정하는 경우의 수는 ←, ↑, ↓3개에서 중복 ‌ 을 허락하여 3개를 택하는 중복순열의 수 £P£=3Ü`=27과 같으므로 만들 수 있는 비밀번호의 개수는 4_£P£=4_3Ü`=108 Ü → 를 2개 사용하는 경우 먼저 → 의 자리를 정하는 경우는 → →, →  → , →  →  의 3가지 ‌나머지 자리를 정하는 경우의 수는 ←, ↑, ↓3개에서 중복 을 허락하여 2개를 택하는 중복순열의 수 £Pª=3Û`=9와 같 으므로 만들 수 있는 비밀번호의 개수는 3_£Pª=3_3Û`=27 Ú, Û, Ü 에 의하여 구하는 비밀번호의 개수는 81+108+27=216. 정답과 풀이. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 9. 9. 2017-11-01 오후 3:33:47.

(10) 정답과 풀이  f(2), f(3)의 값을 결정하는 방법은 1, 2, 3, 4 중에서 중복을. 다른풀이. →, ←, ↑, ↓의 네 개의 기호를 중복을 허락하여 네 자리의 비. 허락하여 2개를 택한 후 둘 중 크거나 같은 값을 f(3), 작거나. 밀번호를 만들 때, → 은 연속하여 사용하지 않고 만들 수 있는. 같은 값을 f(2)에 대응시키면 된다. 즉, f(2), f(3)의 값을 결. 비밀번호의 개수는 →, ←, ↑, ↓의 네 개의 기호를 중복을 허. 정하는 방법의 수는 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허락하여 2개를. 락하여 만들 수 있는 네 자리의 비밀번호의 개수에서 → 를 두. 택하는 중복조합의 수 ¢Hª와 같다.. 번 연속하여 사용한 비밀번호와 → 를 세 번 연속하여 사용한 비. 즉, ¢Hª=¢*ªÐÁCª=°Cª=. 밀번호, → 를 네 번 연속하여 사용한 비밀번호의 개수를 뺀 것 과 같다. Ú →, ←, ↑, ↓의 네 개의 기호를 중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리의 비밀번호의 개수는 ¢P¢=4Ý`=256.  f(4),  f(5)의 값은 3, 4, 5 중에 하나이어야 하고  f(4)<f(5)이어야 한다. 큰 값을 f(5), 작은 값을 f(4)에 대응시키면 된다.. 비밀번호가 → → △ 또는 △ → → 꼴인 경우. 에 올 수 있는 기호의 개수는 ←, ↑, ↓의 3이고, △에 올. 수 있는 기호의 개수는 →, ←, ↑, ↓의 4이므로 이런 꼴의. 비밀번호의 개수는 2_3_4=24. 비밀번호가  → →  꼴인 경우. 에 올 수 있는 기호의 개수는 ←, ↑, ↓의 3이므로 이런. 꼴의 비밀번호의 개수는 3_3=9. 따라서 → 를 두 번 연속하여 사용한 비밀번호의 개수는. 24+9=33. 즉,  f(4),  f(5)의 값을 결정하는 방법의 수는 3, 4, 5 중 2개를 택하는 조합의 수 £Cª와 같다. £Cª=3 따라서 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는. Ü → 를 세 번 연속하여 사용한 비밀번호 ←, ↑, ↓의 세 개의 기호 중 한 개를 택하는 경우의 수는 3 이 각각의 경우에 대하여 선택된 기호 앞과 뒤 중 한 자리에 → 를 세 번 연속 넣으면 되므로 → 를 세 번 연속하여 사용한 비밀번호의 개수는. 조건 (다)에서 2<f(4)<f(5)<6이므로.  f(4),  f(5)의 값을 결정하는 방법은 3, 4, 5 중 2개를 택한 후. Û → 를 두 번 연속하여 사용한 비밀번호. 10_3=30  30. 04 검은 공 3개와 흰 공 1개는 첫 번째, 세 번째, 다섯 번째, 일곱 번째, 아홉 번째 중 네 자리에 와야 한다. Ú 검은 공 3개와 흰 공 1개가 나오지 않는 순서가 첫 번째인 경우. 3_2=6. 256-33-6-1=216  216. 03 조건 (가)에 의하여 f(1)f(6)=6을 만족시키는. 4! =4 3!. 그림과 같이 남은 여섯 자리에 파란 공 3개와 노란 공 3개를 배열할 때, 맨 앞의 두 자리에 파란 공이 모두 오거나 노란 공이 모두 오지 않도록 배열해야 한다..  f(2), f(3)의 값은 1, 2, 3, 4 중에 하나이어야 하고  f(2)Éf(3)이어야 한다.. 10. 맨 앞의 두 자리에 파란 공 1개와 노란 공 1개를 배열하는 경우의 수는 .  f(1)=1, f(6)=6 이어야 한다.. ­정해진 자리에 검은 공 3개와 흰 공 1개를 나열하는 경우의 수는.  f(1), f(6)의 모든 순서쌍 ( f(1), f(6))은 (1, 6), (2, 3),. 조건 (나)에서 1Éf(2)Éf(3)<5이므로. 1. Ú~Ý 에 의해 구하는 비밀번호의 개수는. 조건 (다)에서 f(6)은 5 이상이어야 하므로. 검은 공 3개와 흰 공 1개가 나오지 않는 순서가 첫 번째인 경우의 수는 . Ý → 를 네 번 연속하여 사용한 비밀번호의 개수는 1. (3, 2), (6, 1)이다.. 5_4 =10 2_1. 2!=2. ­나머지 네 자리에 파란 공 2개와 노란 공 2개를 배열하는 경 우의 수는 4! =6 2!2!. 올림포스•확률과 통계. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 10. 2017-11-01 오후 3:33:48.

(11) Ⅰ. 경우의 수. 02. 검은 공 3개와 흰 공 1개가 나오지 않는 순서가 첫 번째인 경 우에 파란 공과 노란 공을 배열할 때, 같은 색이 연속으로 배. 기본 유형 익히기. 열되지 않도록 배열하는 경우의 수는. 이항정리. 1. 240. 1_4_2_6=48. 2. ②. 유제. 3. ① . 본문 19~20쪽. 4. ②. Û 검은 공 3개와 흰 공 1개가 나오지 않는 순서가 첫 번째가 아닌 경우. 검은 공 3개와 흰 공 1개가 나오지 않는 순서가 첫 번째가 아닌 경우의 수는 . (2x+a)ß`의 전개식의 일반항은. ¤C¨(2x)ß`Ѩ`a¨`=¤C¨ 2ß`Ѩ`a¨`xß`Ѩ`. (r=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, (2x)â`=2â`=xâ`=aâ`=1). 4. 1.. xÛ`항은 6-r=2에서 r=4일 때이므로 xÛ`의 계수는. ­정해진 자리에 검은 공 3개와 흰 공 1개를 나열하는 경우의 수는 4! =4 3!. ¤C¢ 2Û`aÝ`=¤Cª_4_aÝ`=. 6_5 _4_aÝ`=60aÝ` 2_1. xÛ`의 계수가 60이어야 하므로 60aÝ`=60에서 aÝ`=1. 그림과 같이 남은 여섯 자리에 파란 공 3개와 노란 공 3개. 즉, a=1 또는 a=-1. 를 배열할 때,. xÝ`항은 6-r=4에서 r=2일 때이므로 xÝ`의 계수는 ¤Cª 2Ý`aÛ`=. 6_5 _16_aÛ`=240aÛ` 2_1. a=1 또는 a=-1이면 aÛ`=1이므로 240aÛ`=240_1=240 따라서 xÝ`의 계수는 240이다.  240. ­연속으로 남아 있는 세 자리에 파란 공과 노란 공은 같은 색. 2.. £C£=¢C¢이므로. £C£+¢C£+°C£+¤C£+¦C£+¥C£+»C£. 이 연속으로 배열되지 않아야 하므로 연속으로 남아 있는. =¢C¢+¢C£+°C£+¤C£+¦C£+¥C£+»C£. 세 자리에 파란 공, 노란 공, 파란 공의 순으로 배열하고 나. ÇC¨+ÇC¨*Á=Ç*ÁC¨*Á (n은 자연수, r=0, 1, y, n-1)이므. 머지 세 자리에 파란 공 1개와 노란 공 2개를 배열하거나. 로. 연속으로 남아 있는 세 자리에 노란 공, 파란 공, 노란 공의. ¢C¢+¢C£+°C£+¤C£+¦C£+¥C£+»C£. 순으로 배열하고 나머지 세 자리에 파란 공 2개와 노란 공. =°C¢+°C£+¤C£+¦C£+¥C£+»C£. 1개를 배열하면 된다.. =¤C¢+¤C£+¦C£+¥C£+»C£. 따라서 검은 공 3개와 흰 공 1개가 나오지 않는 순서가 첫. =¦C¢+¦C£+¥C£+»C£. 번째가 아닌 경우에 파란 공과 노란 공을 배열할 때, 같은. =¥C¢+¥C£+»C£. 색이 연속으로 배열되지 않도록 배열하는 경우의 수는. =»C¢+»C£. 3! 4_4_2_ =96 2!. =Á¼C¢ =. Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 48+96=144. 10_9_8_7 4_3_2_1. =10_3_7 ③. =10_21=210 ②. 정답과 풀이. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 11. 11. 2017-11-01 오후 3:33:48.

(12) 정답과 풀이. 3.. xÜ`yÜ`항은 6-r=3일 때이므로 r=3. (1+x)Ú`Û`=ÁªC¼+ÁªCÁ x+ÁªCª xÛ`+y+ÁªCÁª xÚ`Û` yy ㉠.  이므로 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면. 이때 xÜ`yÜ`항의 계수는 20이므로 ¤C£ aß`ÑÜ` 2Ü`=20 6_5_4 _aÜ`_8=160aÜ`=20 3_2_1 1 aÜ`=;8!;이므로 a= 2. ¤C£ aß`ÑÜ` 2Ü`= yy ㉡. 2Ú`Û`=ÁªC¼+ÁªCÁ+ÁªCª+y+ÁªCÁª  ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면. yy ㉢. 0=ÁªC¼-ÁªCÁ+ÁªCª-y+ÁªCÁª. ②. 이므로 ㉡+㉢을 하면 2Ú`Û`=2(ÁªC¼+ÁªCª+ÁªC¢+ÁªC¤+ÁªC¥+ÁªCÁ¼+ÁªCÁª) 따라서 ÁªC¼+ÁªCª+ÁªC¢+ÁªC¤+ÁªC¥+ÁªCÁ¼+ÁªCÁª=2Ú``Ú 이므로. 03 (2x-1)Ç`의 전개식의 일반항은 . ÁªCª+ÁªC¢+ÁªC¤+ÁªC¥+ÁªCÁ¼=2Ú`Ú`-ÁªC¼-ÁªCÁª =2048-1-1. ÇC¨(2x)Ç` Ѩ`(-1)¨`=ÇC¨2Ç` Ѩ`(-1)¨`xÇ` Ѩ`` (r=0, 1, 2, y, n, (2x)â`=2â`=(-1)â`=xâ`=1). 이므로 n-r=3(n=2, 3, 4, 5, r=0, 1, y, n). =2046. n-r=3에서 n=3+r¾3이므로 n은 3, 4, 5이어야 한다. ①. n=3일 때, n-r=3을 만족시키는 r의 값은 0이므로 xÜ`의 계. yy ㉠. n=4일 때, n-r=3을 만족시키는 r의 값은 1이므로 xÜ`의 계. 수는 £C¼_2Ü`_1=8. 4.. (1+x)á`=»C¼+»CÁ x+»Cª xÛ`+y+»C» xá`. 이므로 ㉠의 양변에 x=-2를 대입하면. 수는 ¢CÁ_2Ü`_(-1)=-32. {1+(-2)}á`=»C¼-2 »CÁ+2Û` »Cª-y+2¡` »C¥-2á` »C». n=5일 때, n-r=3을 만족시키는 r의 값은 2이므로 xÜ`의 계. 따라서. 수는 °Cª_2Ü`_1=80. »C¼-2 »CÁ+2Û` »Cª-y+2¡` »C¥-2á` »C»=(-1)á`=-1. (2x-1)Û`+(2x-1)Ü`+(2x-1)Ý`+(2x-1)Þ`의 전개식에서 ②. xÜ`의 계수는 8+(-32)+80=56 ②. 유형 확인. 01 ④ 06 ② 11 ④ 16 ③. 02 ② 07 ① 12 ③ 17 ⑤. 본문 21~23쪽. 03 ② 08 20 13 ④ 18 ④. 04 ③ 09 ③ 14 ① 19 ②. 05 ③ 10 ④ 15 ②. 04 (xÇ`+1)Ú`Û`의 전개식의 일반항은 ÁªC¨(xÇ`)Ú`Û`Ѩ`1¨`=ÁªC¨(xÇ`)Ú`Û`Ѩ` (r=0, 1, 2, 3, y, 12, (xÇ`)â`=xâ`=1â`=1). . =ÁªC¨ xn(12-r) xß`항이 존재하려면 n(12-r)=6을 만족시켜야 한다. 6의 약수가 1, 2, 3, 6이므로 n=1, 2, 3, 6일 때, r의 값이 존 재하는지 확인하면 r의 값은 각각 6, 9, 10, 11이다.. 01 (2xÛ`+1)Þ`의 전개식의 일반항은. 따라서 조건을 만족시키는 자연수 n은 1, 2, 3, 6이고 그 합은. °C¨(2xÛ`)Þ`Ѩ`1¨`=°C¨(2xÛ`)Þ`Ѩ`. (r=0, 1, 2, 3, 4, 5, (2xÛ`)â`=2â`=(xÛ`)â`=1â`=1). 1+2+3+6=12 ③. =°C¨ 2Þ`Ѩ`(xÛ`)Þ`Ѩ` =°C¨ 2Þ`Ѩ` xÚ`â`ÑÛ`¨` xÝ`항은 10-2r=4에서 r=3일 때이므로 xÝ`의 계수는. 05 (1+x)Ç` 의 전개식의 일반항은 ÇC¨ x¨``(r=0, 1, 2, y,. 5_4 _4=40 2_1. (1+x)+(1+x)Û`+(1+x)Ü`+y+(1+x)Ç` 의 전개식에서. °C£ 2Þ`ÑÜ`=°Cª 2Û`=. n, xâ`=1)이므로 xÛ`의 계수는 r=2일 때, ÇCª (n¾2)이다. ④. 02. (ax+2y)ß`의 전개식의 일반항은. ¤C¨(ax)ß`Ѩ`(2y)¨`=¤C¨ aß`Ѩ` 2¨` xß`Ѩ`y¨` (r=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, (ax)â`=(2y)â`=aâ`=2â`=xâ`=yâ`=1). 12. ªCª=£C£=1이고 ÇC¨+ÇC¨*Á=Ç*ÁC¨*Á (n은 자연수, r=0, 1, y, n-1)이므로 xÛ`의 계수는 ªCª+£Cª+y+ÇCª=£C£+£Cª+y+ÇCª =¢C£+¢Cª+y+ÇCª. 올림포스•확률과 통계. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 12. 2017-11-01 오후 3:33:49.

(13) Û ­(1+2x)Þ`의 전개식의 xÛ`항은 r=2일 때이므로 xÛ`의 계수.  =Ç*ÁC£. 는 °Cª 2Û`=. Á°CÁª=Á°CÁ°ÐÁª=Á°C£이므로 xÛ`의 계수는 Ç*ÁC£=Á°C£. 5_4 _4=40 2_1. Ú, Û 에서 구하는 xÛ`의 계수는. 따라서 n+1=15에서 n=14이다.. 10_(-1)+40_1=30. 다른풀이. ①. 주어진 식은 첫째항이 1+x, 공비가 1+x인 등비수열의 첫째 항부터 제n항까지의 합이다. (주어진 식)=. 08 ÇC¨=ÇCÇШ (0ÉrÉn)이므로. (1+x){(1+x)Ç`-1} 1+x-1. ª¼C£=ª¼Cª¼Ð£=ª¼CÁ¦. (1+x)Ç` ±Ú`-1-x = x. ÇC¨+ÇC¨*Á=Ç*ÁC¨*Á (0ÉrÉn-1)이므로. 이때 분모가 x이므로 xÛ`의 계수는 (1+x)Ç` ±Ú`의 전개식에서 xÜ` 의 계수와 같다. (1+x)Ç` ±Ú`의 전개식의 일반항은 Ç*ÁC¨ x¨`(r=0, 1, 2, y, n+1, xâ`=1)이므로 xÜ`의 계수는. ªÁCÁ¦=ª¼CÁ¤+ª¼CÁ¦ ª¼CÁ¦+ÇCÁ¤=ª¼CÁ¤+ª¼CÁ¦에서 ÇCÁ¤=ª¼CÁ¤이므로 n=20  20. r=3일 때, 주어진 식의 xÛ`의 계수는 Ç*ÁC£ Á°CÁª=Á°CÁ°ÐÁª=Á°C£이므로 Ç*ÁC£=Á°C£. 09 ÇC¨+ÇC¨*Á=Ç*ÁC¨*Á (0ÉrÉn-1)이므로. 따라서 n+1=15에서 n=14이다. ③. £CÁ+¢Cª+°C£+y+Á¼C¥. =£C¼+£CÁ+¢Cª+°C£+y+Á¼C¥-1 =¢CÁ+¢Cª+°C£+y+Á¼C¥-1. 06 (xÝ`-5xÜ`+x+1)ß`에서 xÝ`-5xÜ`=xÜ`(x-5)=X,. =°Cª+°C£+y+Á¼C¥-1. x+1=Y라 놓으면 (xÝ`-5xÜ`+x+1)ß`=(X+Y)ß` (X+Y)ß`의 전개식의 일반항은 ¤C¨ Xß`Ѩ` Y¨` (r=0, 1, 2, y, 6, Xâ`=Yâ`=1) 6-r¾1일 때, Xß`Ѩ` Y¨`의 전개식에서 n¾3인 자연수에 대하 여 xÇ` 항이 존재할 수 있지만 n=0, n=1, n=2인 xÇ` 항은 존 재하지 않는다.. =Á¼C¦+Á¼C¥-1 =ÁÁC¥-1=ÁÁC£-1 =. 11_10_9 -1=165-1=164 3_2_1. 다른풀이. 따라서 (xÝ`-5xÜ`+x+1)ß`의 전개식에서 xÛ` 의 계수는. £CÁ+¢Cª+°C£+y+Á¼C¥. (x+1)ß`의 전개식의 xÛ`의 계수와 같다. (x+1)ß`의 전개식의 일반항은 ¤C¨ x¨`(r=0, 1, 2, y, 6, xâ`=1) 이므로 xÛ`의 계수는 ¤Cª=. . 6_5 =15이다. 2_1. =£Cª+¢Cª+°Cª+y+Á¼Cª 이므로 구하는 값은 (1+x)Ü`+(1+x)Ý`+(1+x)Þ`+y+(1+x)Ú`â`. ②. 의 전개식에서 xÛ`의 계수와 같다. (1+x)Ü`+(1+x)Ý`+(1+x)Þ`+y+(1+x)Ú`â`. 07 (1+2x)Þ`(1-x)의 전개식에서 xÛ`항은 (1+2x)Þ`의 전. =. (1+x)Ü`{(1+x)¡`-1} (1+x)-1. =. (1+x)Ú`Ú`-(1+x)Ü` x. 개식에서 x항과 (1-x)의 전개식에서 x항을 곱한 것과 (1+2x)Þ`의 전개식에서 xÛ`항과 (1-x)의 전개식에서 상수항 을 곱한 것을 더한 것이다. (1+2x)Þ`의 전개식의 일반항은 °C¨ 1Þ`Ѩ`(2x)¨`=°C¨ 2¨` x¨` . (r=0, 1, 2, 3, 4, 5, (2x)â`=2â`=xâ`=1â`=1). Ú ­(1+2x)Þ`의 전개식의 x항은 r=1일 때이므로 x의 계수는. 에서 분모가 x이므로 xÛ`의 계수는 (1+x)Ú`Ú`-(1+x)Ü`의 전개 식에서 xÜ`의 계수와 같다. 따라서 구하는 값은 ÁÁC£-£C£=. 11_10_9 -1=165-1=164 3_2_1. °CÁ 2Ú`=5_2=10. ③. 정답과 풀이. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 13. 13. 2017-11-01 오후 3:33:49.

(14) 정답과 풀이. 10 사각형의 내부의 모든 수를 합하면. 원소의 개수가 1인 부분집합의 개수는 ¦CÁ. (ªCÁ+ªCª)+(£CÁ+£Cª)+(¢CÁ+¢Cª)+y+(Á¼CÁ+Á¼Cª). 원소의 개수가 3인 부분집합의 개수는 ¦C£. =£Cª+¢Cª+y+ÁÁCª. 원소의 개수가 5인 부분집합의 개수는 ¦C°. =£C£+£Cª+¢Cª+y+ÁÁCª-£C£. 원소의 개수가 7인 부분집합의 개수는 ¦C¦. =¢C£+¢Cª+y+ÁÁCª-£C£. 따라서 원소의 개수가 홀수인 부분집합의 개수는. . ¦CÁ+¦C£+¦C°+¦C¦=2à`ÑÚ`=2ß`=64 ②. =ÁªC£-1 =. 12_11_10 -1=220-1=219 3_2_1 ④. 16 11명 중 6명 이상을 뽑는 경우는 11명 중 6명, 7명, 8명, 9명, 10명, 11명을 뽑는 경우이다. 11명 중 6명을 뽑는 경우의 수는 ÁÁC¤. 11 ÁªCÁ-ÁªCª+ÁªC£-y-ÁªCÁª. 11명 중 7명을 뽑는 경우의 수는 ÁÁC¦. =-ÁªC¼+ÁªCÁ-ÁªCª+ÁªC£-y-ÁªCÁª+1. 11명 중 8명을 뽑는 경우의 수는 ÁÁC¥. =-(ÁªC¼-ÁªCÁ+ÁªCª-ÁªC£+y+ÁªCÁª)+1. 11명 중 9명을 뽑는 경우의 수는 ÁÁC». =-(-1+1)Ú`Û`+1=1. ④. 12 이항계수의 성질에 의해. 11명 중 10명을 뽑는 경우의 수는 ÁÁCÁ¼ 11명 중 11명을 뽑는 경우의 수는 ÁÁCÁÁ 이고, 이항계수의 성질에 의해 ÁÁC¤+ÁÁC¦+ÁÁC¥+ÁÁC»+ÁÁCÁ¼+ÁÁCÁÁ=2Ú`â`=1024. ÇC¼+ÇCÁ+ÇCª+y+ÇCÇ=2Ç` 에서. ③. ÇCÁ+ÇCª+ÇC£+y+ÇCÇ=2Ç` -1 이므로 주어진 부등식은 2Ç` -1>1000 2Ç` >1001. yy ㉠. 17 (1+x)Û`â`=ª¼C¼+ª¼CÁ x+ª¼Cª xÛ`+y+ª¼Cª¼ xÛ`â`. yy ㉠. 그런데 2á`=512, 2Ú`â`=1024이므로 ㉠을 만족시키는 n은. . n¾10이다.. 이므로 ㉠의 양변에 x=3을 대입하면. 따라서 조건을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 10이다.. 4Û`â`=ª¼C¼+ª¼CÁ3+ª¼Cª3Û`+y+ª¼Cª¼3Û`â` ③. 4Û`â`=(2Û`)Û`â`=2Ý`â`이므로 (주어진 식)=2Ý`â` ⑤. 13 이항계수의 성질에 의해 ªÇC¼+ªÇCª+ªÇC¢+y+ªÇCªÇ=2Û`Ç` ÑÚ`이고 512=2á`이므로 2Û`Ç` ÑÚ`=2á`. 18 (주어진 식)=¤C¼3ß`+¤CÁ4_3Þ`+¤Cª4Û`_3Ý`+¤C£4Ü`_3Ü`. +¤C¢4Ý`_3Û`+¤C°4Þ`_3+¤C¤4ß`. 2n-1=9에서 n=5 ④. (x+y)ß`=¤C¼ yß`+¤CÁ xyÞ`+¤Cª xÛ`yÝ`+y+¤C¤ xß` 7ß`=¤C¼ 3ß`+¤CÁ 4_3Þ`+¤Cª 4Û`_3Ý`+y+¤C¤ 4ß`이므로. 14 이항계수의 성질에 의해. (주어진 식)=7ß`. ªÇ*ÁC¼+ªÇ*ÁCÁ+ªÇ*ÁCª+y+ªÇ*ÁCÇ=2Û`Ç` 이고. ④. ªÇ*ÁC¼+ªÇ*ÁCÁ+ªÇ*ÁCª+y+ªÇ*ÁCÇ=2Ú`Ý`이므로 2Û`Ç`=2Ú`Ý` 2n=14에서 n=7 ①. 15 집합 X의 원소의 개수가 7이다.. 19 (x+1)¡`=¥C¼+¥CÁ x+¥Cª xÛ`+y+¥C¥ x¡`. yy ㉠. 이므로 ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 3¡`=¥C¼+¥CÁ 2+¥Cª 2Û`+y+¥C¥ 2¡`. 원소의 개수가 r`(r=0, 1, 2, y, 7)인 부분집합의 개수는 ¦C¨. ㉠의 양변에 x=-2를 대입하면. 이므로. (-1)¡`=¥C¼-¥CÁ 2+¥Cª 2Û`-y+¥C¥ 2¡`. 14. yy ㉠. 이므로 ㉠의 양변에 x=4, y=3을 대입하면. yy ㉡ yy ㉢. 올림포스•확률과 통계. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 14. 2017-11-01 오후 3:33:49.

(15) ㉡+㉢을 하면. n=51, r=3. 3¡`+1=2(¥C¼+¥Cª 2Û`+¥C¢ 2Ý`+¥C¤ 2ß`+¥C¥ 2¡`)이므로. °ÁC£=°ÁC°ÁУ=°ÁC¢¥이므로 °ÁC¢¥=ÇC¨에서. (주어진 식)=. 3¡`+1 2. n=51, r=48 ②. 조건을 만족시키는 n, r의 모든 순서쌍 (n, r)는 yy ➋. (51, 3), (51, 48).  (51, 3), (51, 48) 참고. 연습장. 서술형 01 5. 단계. 본문 24쪽. 02 (51, 3), (51, 48) 03 2Ý`Þ`. 01 (xÛ`+1)Ý`의 전개식의 일반항은 ¢C¨ 1Ý`Ѩ`(xÛ`)¨`=¢C¨ xÛ`¨`. 조건을 만족시키는 순서쌍은 2개뿐이다. 채점 기준. 비율. ➊. 좌변을 간단히 한 경우. 60`%. ➋. 순서쌍을 모두 구한 경우. 40`%. 03 (x+y)Ú`Þ`=Á°C¼ yÚ`Þ`+Á°CÁ xyÚ`Ý`+Á°Cª xÛ`yÚ`Ü`+y+Á°CÁ° xÚ`Þ` . yy ㉠. 이므로. 이므로 ㉠의 양변에 x=9, y=-1을 대입하면. yy ➊. (xÛ`+1)Ý`의 전개식에서 항은 x¡`항, xß`항, xÝ`항, xÛ`항, 상수항이. {9+(-1)}Ú`Þ`=-Á°C¼+Á°CÁ 9-Á°Cª 9Û`+y+Á°CÁ° 9Ú`Þ`. 존재하고 (xÛ`+ax+1)의 전개식에서 항은 xÛ`항, x항, 상수항이. (주어진 식)=8Ú`Þ`=(2Ü`)Ú`Þ`=2Ý`Þ`. (r=0, 1, y, 4이고, 1â`=(xÛ`)â`=xâ`=1). yy ➊. yy ➋  2Ý`Þ`. 존재한다. (xÛ`+1)Ý`(xÛ`+ax+1)의 전개식에서 xÞ`항은 (xÛ`+1)Ý`의 전개 식에서 xÝ`항과 (xÛ`+ax+1)의 전개식에서 x항을 곱한 것이다. yy ➋. . (xÛ`+1)Ý`의 전개식의 xÝ`항은 r=2일 때이므로 xÝ`의 계수는. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. (x+y)Ú`Þ`의 전개식에서 x, y에 적당한 값을 대 입한 경우. 60`%. ➋. 답을 구한 경우. 40`%. 4_3 =6 ¢Cª= 2_1 (xÛ`+1)Ý`(xÛ`+ax+1)의 전개식에서 xÞ`의 계수는 6a yy ➌. 6a=30에서 a=5 . 내신. 5 단계. 채점 기준. 비율. ➊. (xÛ`+1)Ý`의 일반항을 구한 경우. 20`%. ➋. 조건을 구한 경우. 40`%. ➌. a의 값을 구한 경우. 40`%. 02 (°¼C¢¥+¢»C¢¦+¢¥C¢¤+y+ª°Cª£+ª¢Cªª)+ª¢CªÁ. 01 ③. +. 수능. 02 ②. 고난도 문항. 03 ④. 본문 25쪽. 04 2Ú`ß`-1. 01 (x-50)(x+a)Ç` ±Ú`=x(x+a)Ç` ±Ú`-50(x+a)Ç` ±Ú`의 전 개식에서 xÇ `의 계수는 x(x+a)Ç` ±Ú`의 전개식에서 xÇ` 의 계수를 p, 50(x+a)Ç` ±Ú`의 전개식에서 xÇ`의 계수를 q라 할 때, p-q 와 같다.. =°¼Cª+¢»Cª+¢¥Cª+y+ª°Cª+ª¢Cª+ª¢C£. 이때 xÇ`의 계수가 0이므로 x(x+a)Ç` ±Ú`의 전개식에서 xÇ` 의 계. =°¼Cª+¢»Cª+¢¥Cª+y+ª°Cª+ª°C£. 수와 50(x+a)Ç` ±Ú`의 전개식에서 xÇ`의 계수가 같다.. . x(x+a)Ç` ±Ú`의 전개식에서 xÇ`의 계수는 (x+a)Ç` ±Ú`의 전개식에. =°¼Cª+¢»Cª+¢»C£. 서 xÇ` ÑÚ`의 계수와 같고 50(x+a)Ç` ±Ú`의 전개식에서 xÇ`의 계수는. =°¼Cª+°¼C£. (x+a)Ç` ±Ú`의 전개식에서 xÇ`의 계수에 50을 곱한 것과 같다.. =°ÁC£  °ÁC£=ÇC¨에서. yy ➊. (x+a)Ç` ±Ú`의 전개식의 일반항은 Ç*ÁC¨ aÇ` ±Ú`Ѩ` x¨`(xâ`=aâ`=1)이 므로. 정답과 풀이. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 15. 15. 2017-11-01 오후 3:33:50.

(16) 정답과 풀이 Ç*ÁCÇÐÁ aÇ` ±Ú`Ñ(Ç` ÑÚ`)=50 Ç*ÁCÇ aÇ` ±Ú`ÑÇ``. 다른풀이. Ç*ÁCÇÐÁ aÛ`=50 Ç*ÁCÇ a. (B+C)Û`-AÛ`=(B+C+A)(B+C-A)에서 B+C+A. Ç*ÁCª a=50 Ç*ÁCÁ ( a는 자연수) (n+1)n a=50(n+1) 2 100 a= n. 는 모든 계수들의 합이므로. 차수가 홀수인 항의 계수들의 합을 뺀 것이므로. a가 자연수이려면 n은 100의 양의 약수이어야 한다.. B+C-A={(-1)+a}á`á`. 100=2Û` _5Û`이므로 100의 양의 약수의 개수는 . 따라서. B+C+A=(1+a)á`á` B+C-A는 차수가 짝수인 항의 계수들과 상수항의 합에서. (2+1)(2+1)=9. (a+1)á`á`(a-1)á`á`=3á`á`. 따라서 구하는 모든 순서쌍의 개수는 9이다.. (aÛ`-1)á`á`=3á`á` ③. aÛ`-1=3 aÛ`=4 이고 a는 자연수이므로 a=2이다. ②. 03 (x+1)Û`Ç` ±Ú`=(x+1)Ç` ±Ú`(x+1)Ç` 의 전개식에서. 02 (x+a)á`á`의 전개식의 일반항은. xû` (k=0, 1, y, 2n+1)의 계수는 (x+1)Ç` ±Ú`의 전개식에서. »»C¨x¨`aá`á`Ѩ``(r=0, 1, 2, y, 99, xâ`=aâ`=1) »»C¨x¨`aá`á`Ѩ`에서 r가 홀수이면 항의 차수가 홀수인 항이므로 항의 차수가 홀수인 모든 항의 계수들의 합 A는. xû` Ѩ``(r=0, y, k, xâ`=1)항과 (x+1)Ç`의 전개식에서 x¨`항을 곱한 것들의 계수의 합과 같다. 주어진 식은 (x+1)Û`Ç` ±Ú`=(x+1)Ç` ±Ú`(x+1)Ç `의 전개식에서 xÞ`. A=»»CÁaá`¡`+»»C£aá`ß`+»»C°aá`Ý`+y+»»C»» r가 0 또는 짝수이면 상수항 또는 항의 차수가 짝수인 항이므로 항의 차수가 짝수인 모든 항의 계수들의 합 B와 상수항 C의 합 B+C는. 의 계수와 같고, (x+1)Û`Ç`  ±Ú`의 전개식에서 xÞ`의 계수는 ªÇ*ÁC° 이다. 따라서 Ç*ÁC°_ÇC¼+Ç*ÁC¢_ÇCÁ+Ç*ÁC£_ÇCª+Ç*ÁCª_ÇC£. B+C=»»C¼aá`á`+»»Cªaá`à`+»»C¢aá`Þ`+y+»»C»¥a. +Ç*ÁCÁ_ÇC¢+Ç*ÁC¼_ÇC°=ªÇ*ÁC°. (x+a)á`á`의 전개식. ④. (x+a)á`á`=»»C¼aá`á`+»»CÁxaá`¡`+»»CªxÛ`aá`à`+y+»»C»¥xá`¡`a . +»»C»»xá`á`. 에 x=1을 대입하면 (1+a)á`á`=»»C¼aá`á`+»»CÁaá`¡`+»»Cªaá`à`+y+»»C»¥a+»»C»» yy ㉠.  x=-1을 대입하면. (-1+a)á``á =»»C¼aá``á -»»CÁaá`¡`+»»Cªaá`à`-y+»»C»¥a-»»C»» yy ㉡.  ㉠, ㉡에 의하여 A=. (1+a)á`á`-(-1+a)á`á` , 2. B+C=. (1+a)á`á`+(-1+a)á`á` 2. (B+C)Û`-AÛ`=(1+a)á`á`(-1+a)á`á`=(-1+aÛ`)á`á`=3á`á`. 04 17개의 서로 다른 볼펜 중에서 k개(k=0, 1, y, 8)을 택 하고 나머지는 연필을 택하면 된다. 그러나 연필이 7개뿐이므 로 k=1, 2, y, 8이다. 따라서 구하는 문구 세트의 종류의 개수는 Á¦CÁ+Á¦Cª+Á¦C£+y+Á¦C¥ =Á¦C¼+Á¦CÁ+Á¦Cª+Á¦C£+y+Á¦C¥-Á¦C¼ =;2!;(Á¦C¼+Á¦CÁ+Á¦Cª+y+Á¦CÁ¦)-1 =;2!;_2Ú`à`-1 =2Ú`ß`-1  2Ú`ß`-1. 따라서 aÛ`-1=3, (a-2)(a+2)=0이고 a는 자연수이므로 a=2. 16. 올림포스•확률과 통계. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 16. 2017-11-01 오후 3:33:50.

(17) 대단원 종합 문제. 01 ② 06 ③ 11 120 16 ④ 21 ④. 02 ② 07 ① 12 ② 17 ② 22 ②. 03 ④ 08 ④ 13 ② 18 ⑤ 23 ②. 본문 26~29쪽. 04 ④ 09 ② 14 ④ 19 ⑤ 24 84. 05 ③ 10 ④ 15 ① 20 9 25 2640. 01 부모가 먼저 원 모양의 탁자에 둘러앉는 방법의 수는 (2-1)!=1 남은 두 자리에 자녀 2명이 앉는 방법의 수는 2!. 06 (2x-1)ß`의 전개식의 일반항은. ¤C¨(2x)ß`Ѩ`(-1)¨`=¤C¨ 2ß`Ѩ`(-1)¨` xß`Ѩ` (r=0, 1, y, 6, (2x)â`=(-1)â`=2â`=xâ`=1) 6-r=4에서 r=2 따라서 xÝ`의 계수는 ¤Cª 2Ý`(-1)Û`=. 6_5 _2Ý`_(-1)Û`=240 2_1 ③. 07 ÇC¨+ÇC¨*Á=Ç*ÁC¨*Á(0ÉrÉn-1)이므로 ¦CÁ+¦Cª+¥C£+»C¢+Á¼C°. 따라서 구하는 방법의 수는 1_2!=2. =¥Cª+¥C£+»C¢+Á¼C° ②. =»C£+»C¢+Á¼C° =Á¼C¢+Á¼C°. 02. c가 2개, e가 2개 있으므로 구하고자 하는 같은 것이 있는 . 순열의 수는. 8! =2_7! 2!2!. =ÁÁC° =. 11_10_9_8_7 =462 5_4_3_2_1. ②. 03  f(a)의 값이 결정되면 f(b)의 값이 결정되므로. ①. 08 ÇC¼+ÇCÁ+ÇCª+ÇC£+y+ÇCÇ=2Ç` 이므로 n=8을 대.  f(a), f(c), f(d)의 값만 결정하면 된다.  f(a), f(c), f(d)의 값을 결정하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 3개를 택하여 일렬로 배열하는 중복순 열의 수와 같으므로 °P£=5Ü`=125. 입하면 ¥C¼+¥CÁ+¥Cª+¥C£+y+¥C¥=2¡`=256 (주어진 식)­=¥C¼+¥CÁ+y+¥C¦+¥C¥-¥C¼-¥C¥ =256-2=254. ④. 04 (x+y)Ç` 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 서로 다른 2개의 문자 x, y에서 중복을 허락하여 n개를 택하는 중복조합 의 수와 같으므로. ④. 09 0, 2, 4, 6, 8의 다섯 개의 0 또는 짝수 중에서 중복을 허 락하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는 °P£. ªHÇ­=ª*ÇÐÁCÇ=Ç*ÁCÇ=Ç*ÁCÁ . 그러나 이 중에는 백의 자리의 수가 0인 것을 포함하므로 °P£. =n+1=5. 에서 백의 자리의 수가 0인 것의 개수 °Pª를 빼야 한다.. 따라서 n=4이다.. 따라서 구하는 자연수의 개수는 ④. °P£-°Pª=5Ü`-5Û`=100 ②. 05. 방정식 x+y+z=5 (x, y, z는 음이 아닌 정수)를 만족. 시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 모든 순서쌍 (x, y, z)의 개 수는. 3의 배수가 되어야 한다.. £H°­=£*°ÐÁC°=¦C°=¦Cª =. 10 세 자리 자연수가 3의 배수가 되려면 각 자리의 수의 합이 Ú 같은 수가 3개 있는 경우. 7_6 =21 2_1 ③. (1, 1, 1), (2, 2, 2), y, (5, 5, 5). : 1_5=5. 정답과 풀이. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 17. 17. 2017-11-01 오후 3:33:50.

(18) 정답과 풀이 Û 같은 수가 2개 있는 경우. 그 각각에 대하여 a, b, c 3명이 빈 공간 4군데에서 3군데를 택. (1, 1, 4), (1, 4, 4), (2, 2, 5), (2, 5, 5). 하여 의자를 놓고 앉는 방법의 수는 ¢P£=24. : 4_. 3! =12 2!. 따라서 구하는 방법의 수는 6_24=144 ④. Ü 같은 수가 없는 경우. (1, 2, 3), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (3, 4, 5). 15 (xÛ`-x+1)(x+2)Þ`=xÛ`(x+2)Þ`-x(x+2)Þ`+(x+2)Þ`. : 4_3!=24. 이므로 (xÛ`-x+1)(x+2)Þ`의 전개식에서 xÜ`의 계수는. Ú, Û, Ü 에 의하여 구하는 경우의 수는 5+12+24=41 ④. 11 주어진 조건을 만족하려면 a, b, c는 이 순서대로 면접 순. xÛ`(x+2)Þ`의 전개식에서 xÜ`의 계수를 a, x(x+2)Þ`의 전개식 에서 xÜ`의 계수를 b, (x+2)Þ`의 전개식에서 xÜ`의 계수를 c라 할 때, a-b+c의 값과 같다. 즉, (x+2)Þ`의 전개식에서 x의 계수가 a이고, xÛ`의 계수가 b,. 서가 정해져야 한다. a, b, c를 같은 문자 x, x, x라 생각하고. xÜ`의 계수가 c이다.. 나머지 3명을 d, e, f 라 놓고 x, x, x, d, e, f 를 일렬로 배열. (x+2)Þ`의 전개식에서 일반항은. 한 후 왼쪽에서 첫 번째 x에 a, 두 번째 x에 b, 세 번째 x에 c. °C¨ xÞ`Ѩ`2¨` (r=0, 1, 2, 3, 4, 5, xâ`=2â`=1). 를 배열하면 된다. 즉, x, x, x, d, e, f 를 일렬로 배열하는 경. 5-r=1에서 r=4이므로. 6! 우의 수는 =6_5_4=120 3!. a=°C¢ 2Ý`=°CÁ 2Ý`=5_16=80. 이고 이 각각에 대하여 왼쪽에서 첫 번째 x에 a, 두 번째 x에 b, 세 번째 x에 c를 배열하는 경우의 수는 1이므로 구하는 경우 의 수는 120_1=120. 5-r=2에서 r=3이므로 b=°C£ 2Ü`=°Cª 2Ü`=. 5_4 _8=80 2_1. 5-r=3에서 r=2이므로  120. 12 선택한 사과의 개수를 a, 배의 개수를 b, 귤의 개수를 c라. c=°Cª 2Û`=. 5_4 _4=40 2_1. 따라서 구하는 xÜ`의 계수는 80-80+40=40 ①. 하면 구하는 경우의 수는 a+b+c=4를 만족시키는 음이 아닌. 16 (1+x)¡`=¥C¼+¥CÁx+¥CªxÛ`+¥C£xÜ`+y+¥C¥x¡`이므. 정수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수와 같으므로 6_5 =15 £H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª= 2_1. 로 위 식의 양변에 x=5를 대입하면 ②. 13 a에게 2자루 이상, b에게 3자루 이상, 나머지 학생들에게 는 1자루 이상의 연필을 나누어주어야 하므로 먼저 a에게 연필. 6¡`=¥C¼+5¥CÁ+5Û`¥Cª+y+5¡`¥C¥ N=6¡`=2¡`_3¡` 따라서 N=2¡`_3¡`의 양의 약수의 개수는 (8+1)(8+1)=81 ④. 2자루, b에게 연필 3자루, 나머지 학생에게 연필을 한 자루씩 나누어주고 나머지 연필 9자루를 중복을 허락하여 4명의 학생. 17 집합 A={1, 2, 3, y, 21}의 부분집합 중 원소의 개수. 에게 나누어주면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는. 가 11 이상인 것의 개수는. ¢H»=¢*»ÐÁC»=ÁªC»=ÁªCÁªÐ»=ÁªC£. ªÁCÁÁ+ªÁCÁª+ªÁCÁ£+y+ªÁCªÁ. 12_11_10 =220 = 3_2_1. 이다. 이때 ②. ªÁCÁÁ+ªÁCÁª+ªÁCÁ£+y+ªÁCªÁ=ªÁCÁ¼+ªÁC»+ªÁC¥+y+ªÁC¼ 이고 ªÁC¼+ªÁCÁ+ªÁCª+y+ªÁCªÁ=2Û`Ú`이므로. 14 나머지 3명을 d, e, f 라 하고 빈 의자를 g라 하며 g도 함. ªÁCÁÁ+ªÁCÁª+ªÁCÁ£+y+ªÁCªÁ=;2!;_2Û`Ú`=2Û`â`. 께 원형의 탁자에 배열한다고 생각하자.. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 2Û`â`. d, e, f, g가 원형의 탁자에 앉는 방법의 수는 (4-1)!=6. 18. ②. 올림포스•확률과 통계. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 18. 2017-11-01 오후 3:33:50.

(19) 18 방정식 x+y+z+4w=27에서 x, y, z, w는 양의 홀수. 이 각각의 경우에 대하여 그림과 같이 의자가 배열된 직사각형. 이므로 x=2a+1, y=2b+1, z=2c+1, w=2d+1 (a, b,. 모양의 탁자에 앉힌 후 시계 방향으로 배열을 이동시키면 서로. c, d는 음이 아닌 정수)로 놓으면. 다른 경우가 3가지씩 나오므로 구하는 경우의 수는. x+y+z+4w=2(a+b+c+4d)+7=27에서. 24_3=72. a+b+c+4d=10 방정식 x+y+z+4w=27을 만족시키는 양의 홀수 x, y, z, w의 모든 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 a+b+c+4d=10 을 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c, d의 모든 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수와 같다.. 다른풀이. Ú `d=0인 경우. a, b를 먼저 이 탁자에 앉히는 방법의 수는 다음과 같이 6가지. 가 있다.. 방정식 a+b+c+4d=a+b+c=10을 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는. a. 12_11 =66 £HÁ¼=£*Á¼ÐÁCÁ¼=ÁªCÁ¼=ÁªCª= 2_1. b. a a. b. Û d=1인 경우. b. a+b+c+4d=a+b+c+4=10에서.  +b+c=6이므로 방정식 a+b+c=6을 만족시키는 음 a. b. a. b. a. b. 이 아닌 정수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 £H¤=£*¤ÐÁC¤=¥C¤=¥Cª=. a. 8_7 =28 2_1. Ü` d=2인 경우. 이 각각의 경우에 대하여 c, d가 이웃하지 않도록 남은 4자리. a+b+c+4d=a+b+c+8=10에서. 중에서 두 자리를 택하는 방법의 수는 3이고 이 각각의 경우에.  +b+c=2이므로 방정식 a+b+c=2를 만족시키는 음 a. 대하여 c와 d가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!, 나머지 두 자리. 이 아닌 정수 a, b, c의 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는. 에 e,  f 가 자리를 바꿔 앉는 방법의 수는 2!이므로 구하는 경우. £Hª=£*ªÐÁCª=¢Cª=. 의 수는. 4_3 =6 2_1. Ú, Û, Ü에 의하여 방정식 x+y+z+4w=27을 만족시키 는 모든 양의 홀수 x, y, z, w의 모든 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 66+28+6=100 . ⑤. 19 Ú a, b 2명이 서로 이웃하여 앉는 경우. a, b 2명을 묶어서 한 명으로 생각하면 구하는 경우의 수는. (5-1)!_2!=48. Û  a, b 2명이 서로 이웃하여 앉고, c, d 2명이 서로 이웃하여 앉는 경우.  , b 2명과 c, d 2명을 각각 묶어서 한 명씩으로 생각하면 a 구하는 경우의 수는. (4-1)!_2!_2!=24. 6_3_2!_2!=72 ⑤. 20 집합 X의 원소 n에 대하여 f(n)의 값은 1, 2, 3, 4, 5 중 의 하나이다. 조건 (가)에서 f(1)+f(2)=5를 만족시키는  f(1),  f(2)의 모든 순서쌍 ( f(1), f(2))는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)이다. 조건 (나)에서 f(1)É f(2)이므로 두 조건을 만족시키는 `f(1),  f(2)의 모든 순서쌍 ( f(1), f(2))는 (1, 4), (2, 3)이다. Ú  f(1)=2, f(2)=3인 경우. ­ 3Éf(3)Éf(4)이므로 f(3)과 f(4)의 값을 결정하는 방법 의 수는 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 2개를 택하는 중복. 조합의 수 £Hª=£*ªÐÁCª=¢Cª=. 4_3 =6과 같다. 2_1. Ú, Û에서 a, b, c, d, e, f 6명이 원형의 탁자에 둘러앉아 식. Û  f(1)=1, f(2)=4인 경우. 사를 하려고 할 때, a, b가 서로 이웃하게 앉고 c와 d는 서로. ­4Éf(3)Éf(4)이므로  f(3)과 f(4)의 값을 결정하는 방법. 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는 48-24=24이다.. 의 수는 4, 5 중에서 중복을 허락하여 2개를 택하는 중복조. 정답과 풀이. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 19. 19. 2017-11-01 오후 3:33:51.

(20) 정답과 풀이 합의 수 ªHª=ª*ªÐÁCª=£Cª=£CÁ=3과 같다.. 에서. Ú, Û 에 의하여 구하는 함수의 개수는 6+3=9. ¢C£+°C£+y+Á¼C£=¢C¢+¢C£+°C£+y+Á¼C£-¢C¢ 9. =°C¢+°C£+¤C£+y+Á¼C£-1 =¤C¢+¤C£+y+Á¼C£-1. 21 방정식 |x|+|y|+|z|=6에서. . |x|=x'+1, |y|=y'+1, |z|=z'+1이라 하면. =Á¼C¢+Á¼C£-1. (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=6. =ÁÁC¢-1. ∴ x'+y'+z'=3 (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수). =. 방정식 x'+y'+z'=3을 만족시키는 음이 아닌 정수 x', y', z' 의 모든 순서쌍 (x', y', z')의 개수는 £H£=£*£ÐÁC£=°C£=°Cª=. 11_10_9_8 -1=330-1=329 4_3_2_1. ¢C¢+°C¢+¤C¢+y+Á¼C¢=°C°+°C¢+¤C¢+y+Á¼C¢ =¤C°+¤C¢+y+Á¼C¢. 5_4 =10 2_1. =¦C°+¦C¢+y+Á¼C¢ . xyz>0인 경우는 x>0, y>0, z>0 또는. =Á¼C°+Á¼C¢. x>0, y<0, z<0 또는. =ÁÁC°. x<0, y>0, z<0 또는. =. x<0, y<0, z>0 인 경우이다. 따라서 하나의 순서쌍 (x', y', z')에 대하여 순서 쌍 (x, y, z)는 4개씩 존재하므로 구하는 모든 순서쌍 (x, y, z) 의 개수는 10_4=40 ④. 22 9Ú`â`=(10-1)Ú`â`. =Á¼C¼-Á¼CÁ 10+10Û`(Á¼Cª-Á¼C£ 10Ú`+y+Á¼CÁ¼ 10¡`)` Á¼Cª 10Û`(=4500), 10Ü`, 10Ý`, y, 10Ú``â 은 모두 250의 배수이므로. xÝ`의 계수의 합과 같다. a¢+a°+a¤+a¦+a¥+a»+aÁ¼은 (1+x)Ý`{(1+x)à`-1} (1+x)-1 (1+x)Ú`Ú`-(1+x)Ý` = x. =. 식에서 xÝ`의 계수를 뺀 것과 같다. 따라서. a¢+a°+a¤+a¦+a¥+a»+aÁ¼. =ÁÁC¢+ÁÁC°-¢C¢. =250(N-1)+151. =330+462-1=791. 따라서 9Ú`â`을 250으로 나눈 나머지는 151이다. ②. 23 집합 {1, 2, 3, y, n}의 원소의 개수가 n이므로 원소가 3개인 부분집합의 개수는 ÇC£이고 원소가 4개인 부분집합의 개 수는 ÇC¢이다. 즉 aÇ=ÇC£+ÇC¢ a¢+a°+a¤+a¦+a¥+a»+aÁ¼ =(¢C£+¢C¢)+(°C£+°C¢)+y+(Á¼C£+Á¼C¢) =(¢C£+°C£+y+Á¼C£)+(¢C¢+°C¢+y+Á¼C¢). 20. aÇ=ÇC£+ÇC¢이므로 aÇ은 (1+x)Ç` 의 전개식에서 xÜ`의 계수와. 식에서 xÝ`의 계수와 xÞ`의 계수의 합을 구한 후 (1+x)Ý`의 전개. 9Ú`â`=Á¼C¼-Á¼CÁ 10+250N =1-100+250+250(N-1). 다른풀이. 에서 xÜ`의 계수와 xÝ`의 계수의 합과 같으므로 (1+x)Ú`Ú`의 전개. 10Û` (Á¼Cª-Á¼C£ 10Ú`+y+Á¼CÁ¼ 10¡`)이라 놓으면 250. =1-100+250N. 이므로 a¢+a°+y+aÁ¼=329+462=791. (1+x)Ý`+(1+x)Þ`+y+(1+x)Ú`â`. =Á¼C¼-Á¼CÁ 10+Á¼Cª 10Û`-Á¼C£ 10Ü`+y+Á¼CÁ¼ 10Ú`â` . N=. 11_10_9_8_7 =462 5_4_3_2_1. ②. 24 a, a, b, b, c, d의 6개의 문자를 모두 일렬로 배열하는 경우의 수는. 6! =180 2!2!. Ú a, a가 이웃하는 경우.  , a가 이웃하는 경우의 수는 a, a를 하나의 문자 A로 생 a 각하여 A, b, b, c, d를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같다.. 5! =60 2!. 올림포스•확률과 통계. 해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 20. 2017-11-01 오후 3:33:52.

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