정규분포

따라서 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 2 3 4 합계

P(X=x) ;6!; ;3!; ;2!; 1

E(X)=2_;6!;+3_;3!;+4_;2!;=;;Á3¼;;

E(XÛ`)=2Û`_;6!;+3Û`_;3!;+4Û`_;2!;=:£3°:

V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`

=:£3°:-{;;Á3¼;;}Û`

= 105-1009 =;9%;

r(X)= 153 따라서 구하는 값은

r(-3X)=3r(X)=3_ 153 =15

 ⑤

04

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0부터 n까지의 정수이 고, 1개의 공을 꺼낼 때 검은 공이 나올 확률은 xx+2 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{n, xx+2 }를 따른다.

E(X)=6에서

E(X)=n_ xx+2 =6 yy ㉠

E(XÛ`)=38에서

V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=38-6Û`=2 V(X)=n_ xx+2 _{1- x

x+2 }=2 yy ㉡

㉡에 ㉠을 대입하면 6_{1- xx+2 }=2 1- xx+2 =;3!;, x

x+2 =;3@;

3x=2x+4, x=4 x=4를 ㉠에 대입하면 n_;3@;=6, n=9 따라서 x+n=4+9=13

 13

정규분포

Ⅲ.

통계

06

1.

;8#;

2.

³⁷

3.

^0.8185

4.

^0.7745

5.

^0.3721

6.

¹⁸⁰

기본 유형

익히기 유제 본문 72~74쪽

1.

연속확률변수 X의 확률밀도함수의 그래프를 나타내면 다 음과 같다.

y

O x

y=f(x) a

1 2

함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1 이므로

;2!;_2_a=1, a=1

1 2 1 2 y

O x

y=f(x) 1

1 2

P{;2!;ÉXÉ1}의 값은 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=;2!;, x=1로 둘러싸인 부분의 넓이와 같으므로 P{;2!;ÉXÉ1}=;2!;_{;2!;+1}_;2!;=;8#;

 ;8#;

2.

확률변수 X가 정규분포 N(38, 4Û`)을 따르므로 X의 확 률밀도함수의 그래프는 직선 x=38에 대하여 대칭이다.

38 x

a-1 a+3

따라서 P(a-1ÉXÉa+3)의 값이 최대가 되려면 위의 그림 과 같이 (a-1)+(a+3)2 =38이어야 한다.

즉, 2a+2=76에서 a=37

 37

해 44-72 올림기본(확통)3단원-ok1.indd 53 2017-11-01 오후 3:34:43

54

올림포스•확률과 통계

3.

정규분포곡선은 직선 x=m에 대하여 대칭이므로 m= 20+402 =30

V(X)=rÛ`=9이므로 r=3

따라서 확률변수 X가 정규분포 N(30, 3Û`)을 따르므로 P(24ÉXÉ33)

=P(30-6ÉXÉ30+3)

=P(m-2rÉXÉm+r)

=P(m-2rÉXÉm)+P(mÉXÉm+r)

=P(mÉXÉm+2r)+P(mÉXÉm+r)

=0.4772+0.3413

=0.8185

 0.8185

4.

확률변수 X가 정규분포 N(46, 6Û`)을 따르므로 Z= X-466 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`) 을 따른다.

P(40ÉXÉ55)

=P{ 40-466 ÉZÉ 55-466 }

=P(-1ÉZÉ1.5)

=P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5)

=P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ1.5)

=0.3413+0.4332

=0.7745

 0.7745

5.

남학생의 몸무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(72, 4Û`)을 따르므로 Z= X-724 라 하면 확률변수 Z는 표 준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

따라서 구하는 확률은 P(71ÉXÉ75)

=P{ 71-724 ÉZÉ 75-724 }

=P(-0.25ÉZÉ0.75)

=P(0ÉZÉ0.25)+P(0ÉZÉ0.75)

=0.0987+0.2734

=0.3721

 0.3721

6.

한 개의 주사위를 던져 짝수의 눈의 수가 나올 확률은 ;2!;

이므로 확률변수 X는 이항분포 B{324, ;2!;}을 따른다.

E(X)=324_;2!;=162 V(X)=324_;2!;_;2!;=81

이때 324는 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규 분포 N(162, 9Û`)을 따르고 Z= X-1629 라 하면 확률변수 Z 는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P(XÉa)=0.9772>0.5에서 a>162이고 P(XÉa)=P{ZÉ a-1629 }

=0.5+P{0ÉZÉ a-1629 } P{0ÉZÉ a-1629 }=0.9772-0.5=0.4772 이때 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로

a-162 9 =2

따라서 a=162+18=180

 180

01

¹⁰

02

^;1¦2;

03

^③

04

²

05

^0.1574

06

^②

07

⁴⁷

08

⁶²

09

^④

10

^⑤

11

^0.0026

12

⁷⁸

13

^⑤

14

^0.0668

15

^④

16

^③

유형

확인 본문 75~77쪽

01

P(0ÉXÉa)는 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직 선 x=0, x=a로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 다음 그림의 색 칠한 부분의 넓이와 같다.

y

x

a 2

O 1- a2

1 y=f(x)

P(0ÉXÉa)=;1¦6;에서

;2!;_a_{1+1- a2 }=;1¦6;

해 44-72 올림기본(확통)3단원-ok1.indd 54 2017-11-01 오후 3:34:44

정답과 풀이

55

4aÛ`-16a+7=0

(2a-1)(2a-7)=0 0<a<2이므로 a=;2!;

따라서 20a=20_;2!;=10

 10

02

^y

O x

y=f(x) 2a

2 4

연속확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)는 0ÉxÉ4에서 f(x)¾0이어야 하므로 a>0이다. 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=4로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로

;2!;_2_2a+2_2a=1 6a=1

a=;6!;

따라서 P(1ÉXÉ3)은 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=1, x=3으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같으므로 P(1ÉXÉ3)=;2!;_{ f(1)+f(2)}_1+1_2a

=;2!;_(a+2a)+2a

=;2&;a

=;2&;_;6!;

=;1¦2;

 ;1¦2;

03

ㄱ. 정규분포를 따르는 확률변수의 확률밀도함수는 평균 에서 최댓값을 가지므로

E(X)=a<b=E(Y) (참)

ㄴ. 표준편차가 클수록 곡선의 높이는 낮아지고 폭은 넓어지므 로 r(X)>r(Y) (거짓)

ㄷ. P(X¾a)=0.5

P(Y¾a)>P(Y¾b)=0.5이므로 P(X¾a)<P(Y¾a) (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 ③

04

확률변수 Z가 정규분포 N(0, 1Û`)을 따르므로 확률변수 Z의 확률밀도함수의 그래프는 직선 x=0에 대하여 대칭이다.

P(-1ÉZÉ1)=2P(0ÉZÉ1)=a에서 P(0ÉZÉ1)= a2

P(1ÉZÉ2)=b이므로

P(0ÉZÉ2)=P(0ÉZÉ1)+P(1ÉZÉ2)

= a2 +b 따라서

P(-2ÉZÉ2)=2P(0ÉZÉ2)

=2_{ a2 +b}

=a+2b 따라서 k=2

 2

05

^{m=12, r=};4!;=0.25이므로 확률변수 X가 정규분포 N(12, 0.25Û`)을 따른다.

P(12.25ÉXÉ12.75)

=P(12+0.25ÉXÉ12+0.75)

=P(m+rÉXÉm+3r)

=P(mÉXÉm+3r)-P(mÉXÉm+r)

=0.4987-0.3413

=0.1574

 0.1574

06

정규분포 N(m, rÛ`)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함 수의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이고 종 모양이므로 P(aÉXÉa+2)의 값이 최대일 때는

a+a+2

2 =m일 때이다.

즉, a+1=m, a=m-1 P(X¾a+3)=0.0228에서 P(X¾a+3)=P(X¾m-1+3)

=P(X¾m+2)

=0.5-P(mÉXÉm+2)

=0.0228 이므로

P(mÉXÉm+2)=0.5-0.0228=0.4772 이때 P(mÉXÉm+2r)=0.4772이므로

해 44-72 올림기본(확통)3단원-ok1.indd 55 2017-11-01 오후 3:34:44

56

올림포스•확률과 통계

m+2=m+2r 따라서 r=1

 ②

07

확률변수 X가 정규분포 N(35, 6Û`)을 따르므로

Z= X-356 라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P(29ÉXÉa)=P{ 29-356 ÉZÉ a-356 }

=P{-1ÉZÉ a-356 } yy ㉠ 확률변수 Y가 정규분포 N(28, 4Û`)을 따르므로 Z= Y-284 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P(24ÉYÉ36)=P{ 24-284 ÉZÉ 36-284 }

=P(-1ÉZÉ2) yy ㉡

㉠, ㉡에서 P{-1ÉZÉ a-356 }=P(-1ÉZÉ2)이므로 a-356 =2

따라서 a=35+12=47

 47

08

확률변수 X가 정규분포 N(35, 2Û`)을 따르므로

Z= X-352 라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P(XÉ39)=P{ZÉ 39-352 }

=P(ZÉ2) yy ㉠

또한, 확률변수 Y가 정규분포 N(46, 8Û`)을 따르므로 Z= Y-468 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`) 을 따른다.

P(Y¾a)=P {Z¾ a-468 }

=1-P {ZÉ a-468 } yy ㉡

㉠, ㉡에서

P(XÉ39)+P(Y¾a)

=P(ZÉ2)+[1-P {ZÉ a-468 }]=1

P(ZÉ2)=P {ZÉ a-468 }이므로 a-468 =2

따라서 a=46+16=62

 62

09

확률밀도함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(10-x)=f(10+x)를 만족시킨다.

따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=10에 대하여 대칭 이므로 m=10이다.

확률변수 X는 정규분포 N(10, rÛ`)을 따르므로

Z= X-10r 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`) 을 따른다.

P(|X-m|¾2)=0.3174에서

P(|X-10|¾2)=P {| X-10r |¾ 2r }

=P {|Z|¾ 2r }

=2P {Z¾ 2r }

=2[0.5-P {0ÉZÉ 2r }]

=0.3174 0.5-P {0ÉZÉ 2r }=0.1587에서 P {0ÉZÉ 2r }=0.5-0.1587=0.3413 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로

r =1, r=22

따라서 확률변수 X가 정규분포 N(10, 2Û`)을 따르므로 P(8ÉXÉ14)

=P { 8-102 ÉZÉ 14-102 }

=P(-1ÉZÉ2)

=P(-1ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2)

=P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ2)

=0.3413+0.4772

=0.8185

 ④

해 44-72 올림기본(확통)3단원-ok1.indd 56 2017-11-01 오후 3:34:45

정답과 풀이

57

10

공장에서 생산되는 볼펜 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(24, 0.6Û`)을 따르므로 Z= X-240.6 라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

따라서 구하는 확률은

P(XÉ24.9)=P{ZÉ 24.9-240.6 }

=P(ZÉ1.5)

=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5)

=0.5+0.4332

=0.9332

 ⑤

11

음료 1병의 용량을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(30, 0.3Û`)을 따르므로 Z= X-300.3 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

음료가 불량품일 확률은 P(XÉ29.1)+P(X¾30.9)

=P {ZÉ 29.1-300.3 }+P {Z¾ 30.9-300.3 }

=P(ZÉ-3)+P(Z¾3)

=P(Z¾3)+P(Z¾3)

=2P(Z¾3)

=2_{0.5-P(0ÉZÉ3)}

=1-2P(0ÉZÉ3)

=1-2_0.4987

=1-0.9974

=0.0026

 0.0026

12

수학 성적을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포

N(63, 10Û`)을 따르므로 Z= X-6310 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P(X¾a)É0.07에서 P {Z¾ a-6310 }É0.07 0.5-P {0ÉZÉ a-6310 }É0.07 P{0ÉZÉ a-6310 }¾0.5-0.07=0.43

P(0ÉZÉ1.5)=0.43이므로 a-6310 ¾1.5, a¾63+15=78 따라서 양수 a의 최솟값은 78이다.

 78

13

확률변수 X가 이항분포 B {n, ;3!;}을 따르고, r(X)=4 이므로

V(X)={r(X)}Û`=n_;3!;_;3@;=16 n=72

E(X)=n_;3!;=72_;3!;=24

이때 72는 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(24, 4Û`)을 따른다.

따라서 Z= X-244 라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따르므로

P(X¾18)

=P{Z¾ 18-244 }

=P(Z¾-1.5)

=P(-1.5ÉZÉ0)+0.5

=P(0ÉZÉ1.5)+0.5

=0.4332+0.5=0.9332

 ⑤

14

확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=r)=Á¼¼C¨ {;5!;}¨`{;5$;}Ú`â`â`Ѩ`

 {r=0, 1, 2, …, 100, {;5!;}â`={;5$;}â`=1}

이므로 X는 이항분포 B {100, ;5!;}을 따른다.

E(X)=100_;5!;=20 V(X)=100_;5!;_;5$;=16

이고, 100은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 포 N(20, 4Û`)을 따른다.

Z= X-204 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`) 을 따르므로

해 44-72 올림기본(확통)3단원-ok1.indd 57 2017-11-01 오후 3:34:45

58

올림포스•확률과 통계

P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+y+P(X=14)

=P(XÉ14)

=P {ZÉ 14-204 }

=P {Z¾ 20-14 4 }

=0.5-P {0ÉZÉ 20-144 }

=0.5-P(0ÉZÉ1.5)

=0.5-0.4332

=0.0668

 0.0668

15

1부터 10까지의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7이므로 한 번 의 시행에서 1장의 카드에 적혀 있는 수가 소수일 확률은

;1¢0;=;5@;

이때 확률변수 X는 이항분포 B {600, ;5@;}를 따르므로 E(X)=600_;5@;=240

r(X)=79 600_;5@;_;5#;=12

600은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(240, 12Û`)을 따르고 Z= X-24012 이라 하면 확률변수 Z 는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P(222ÉXÉ270)

=P { 222-24012 ÉZÉ 270-24012 }

=P(-1.5ÉZÉ2.5)

=P(-1.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2.5)

=P(0ÉZÉ1.5)+P(0ÉZÉ2.5)

=0.4332+0.4938

=0.9270

 ④

16

한 개의 주사위를 던져 주사위의 눈의 수가 5의 약수일 확 률은 ;6@;=;3!;이므로 게임을 162번 반복했을 때, 2점을 얻는 횟 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B {162, ;3!;}을 따른다.

E(X)=162_;3!;=54

V(X)=162_;3!;_;3@;=6Û`

이때 162는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정 규분포 N(54, 6Û`)을 따르고, Z= X-546 라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

따라서 2점을 얻는 횟수가 X일 때, 점수의 총합은 2X이므로 P(96É2XÉ132)

=P(48ÉXÉ66)

=P { 48-546 ÉZÉ 66-546 }

=P(-1ÉZÉ2)

=P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ2)

=0.3413+0.4772

=0.8185

 ③

01

;2!;

02

³⁸⁵

03

^0.8641

연습장

^{본문 78쪽}

서술형

01

^y

O x

y=f(x)

1 b 4

3a

함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1 이므로

;2!;_4_3a=1, a=;6!; yy ➊

따라서 확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)는

f(x)=

( { -9

    ;2!;x  (0ÉxÉ1) -;6!;(x-4) (1ÉxÉ4)

P(0ÉXÉ1)=;2!;_1_f(1)=;2!;_1_;2!;=;4!; yy ➋ 이므로

P(0ÉXÉb)=;1!2!;을 만족시키는 b의 값의 범위는 1<b<4 이다.

P(0ÉXÉb)=;1!2!; 에서

해 44-72 올림기본(확통)3단원-ok1.indd 58 2017-11-01 오후 3:34:45

정답과 풀이

59

P(bÉXÉ4)=1-P(0ÉXÉb)

=1-;1!2!;

=;1Á2;

이므로

;2!;_(4-b)_ f(b)=;1Á2;

;2!;_(4-b)_;6!;(4-b)=;1Á2;

(4-b)Û`=1

4-b=-1 또는 4-b=1 b=5 또는 b=3

이때 1<b<4이므로

b=3 yy ➌

따라서 ab=;6!;_3=;2!; yy ➍

 ;2!;

단계 채점 기준 비율

➊ a의 값을 구한 경우 20 %

➋ P(0ÉXÉ1)의 값을 구한 경우 30 %

➌ b의 값을 구한 경우 40 %

➍ ab의 값을 구한 경우 10 %

02

포도 한 송이의 무게를 X라 하고 평균을 m이라 하면 확 률변수 X는 정규분포 N(m, 25Û`)을 따른다.

P(X¾342)=P(XÉ328)에서

m= 342+3282 =335 yy ➊

따라서 확률변수 X는 정규분포 N(335, 25Û`)을 따르므로 Z= X-33525 라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`) 을 따른다.

P(X¾a)=0.0228에서 P(X¾a)=P {Z¾ a-33525 }

=0.5-P {0ÉZÉ a-33525 } yy ➋ 이므로

P{0ÉZÉ a-33525 }=0.5-0.0228=0.4772 이때 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로

a-335

25 =2, a-335=50

따라서 a=335+50=385 yy ➌

 385

단계 채점 기준 비율

➊ 확률변수 X의 평균을 구한 경우 30 %

➋ P(X¾a)의 값을 표준화하여 나타낸 경우 30 %

➌ a의 값을 구한 경우 40 %

03

확률변수 X는 이항분포 B {48, ;4!;}을 따르므로 E(X)=48_;4!;=12

V(X)=48_;4!;_;4#;=9

이때 48은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포

N(12, 3Û`)을 따른다. yy ➊

이차방정식 tÛ`-2Xt+33X-270=0이 실근을 가지므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D4 =(-X)Û`-(33X-270)¾0 XÛ`-33X+270¾0

(X-15)(X-18)¾0 XÉ15 또는 X¾18

따라서 구하는 확률은 P(XÉ15 또는 X¾18)이다. yy ➋ Z= X-123 라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따르므로

P(XÉ15 또는 X¾18)

=P(XÉ15)+P(X¾18)

=P {ZÉ 15-123 }+P {Z¾ 18-123 }

=P(ZÉ1)+P(Z¾2)

={0.5+P(0ÉZÉ1)}+{0.5-P(0ÉZÉ2)}

=(0.5+0.3413)+(0.5-0.4772)

=0.8413+0.0228

=0.8641 yy ➌

 0.8641

단계 채점 기준 비율

➊ 이항분포를 따르는 확률변수 X를 정규분포로

바꾼 경우 30 %

➋ 구하는 확률이 P(XÉ15 또는 X¾18)임

을 안 경우 ^30 %

➌ ➋의 값을 구한 경우 40 %

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60

올림포스•확률과 통계

01

²⁷

02

¹²⁰

03

^②

04

^③

고난도 문항

내신 ⁺ 수능

본문 79쪽

01

주어진 함수의 그래프에서 f(x)=

( {-9

-;4B;x+b (0ÉxÉ4) ax-4a (4ÉxÉ5)

함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=5로 둘러 싸인 부분의 넓이가 1이므로

;2!;_4_b+;2!;_1_a=2b+;2!;a=1

a+4b=2 yy ㉠

P(3ÉXÉ4)=P(4ÉXÉ5)에서

함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=3으로 둘러싸인 부 분의 넓이와 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=5로 둘 러싸인 부분의 넓이가 같으므로

;2!;_1_;4B;=;2!;_1_a, ;4B;=a b=4a를 ㉠에 대입하여 풀면 a+16a=2

a=;1ª7;, b=;1¥7;

따라서 a+b=;1ª7;+;1¥7;=;1!7);이므로 p+q=17+10=27

 27

02

확률변수 X가 정규분포 N(a, 10Û`)을 따르므로 확률변수 Z= X-a10 는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P(X¾75)=0.0228에서

P(X¾75)=P{Z¾ 75-a10 }=0.0228 P(Z¾2)=0.5-P(0ÉZÉ2)=0.0228이므로

75-a10 =2, a=55

따라서 확률변수 X가 정규분포 N(55, 10Û`)을 따른다.

P(a-20ÉXÉb)=0.8185에서 P{ 35-5510 ÉZÉ b-5510 }

=P{-2ÉZÉ b-5510 }

=P(-2ÉZÉ0)+P{0ÉZÉ b-5510 }

=P(0ÉZÉ2)+P{0ÉZÉ b-5510 } P{0ÉZÉ b-5510 }

=0.8185-P(0ÉZÉ2)

=0.8185-0.4772

=0.3413

P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 b-5510 =1, b=55+10=65 따라서 a+b=55+65=120

 120

03

제품 한 개의 길이를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(58, 4Û`)을 따르고 Z= X-584 이라 하면 확률변수 Z는 표 준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

X<54 또는 X>66일 때 불량품이므로 어떤 한 제품이 불량 품일 확률은

P(X<54)+P(X>66)

=P {Z< 54-584 }+P {Z> 66-584 }

=P(Z<-1)+P(Z>2)

=P(Z>1)+P(Z>2)

=0.5-P(0ÉZÉ1)+0.5-P(0ÉZÉ2)

=1-(0.34+0.48)

=1-0.82

=0.18

각각의 제품이 불량품인 사건은 서로 독립이므로 임의로 뽑은 4개의 제품 중 2개가 불량품일 확률은

¢Cª_0.18Û`_0.82Û`=6_0.18Û`_0.82Û`

 ②

04

확률변수 X는 이항분포 B {n, ;2!;}을 따르므로 E(X)=n_;2!;=;2N;

r(X)=79 n_;2!;_;2!;= '§n2

이때 n은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포

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정답과 풀이

61

N {;2N;, { '§n2 }Û`}을 따르고, Z=X- n2

'§n2

이라 하면 확률변수

Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P {|X-;2N;|É9}¾0.9544에서

P »

|

^{X- n2'§n}

2

|

^{É 9'§n}

2

¼^¾0.9544

P {|Z|É 18'§n }¾0.9544 P {- 18'§nÉZÉ 18

'§n }¾0.9544 이때

P(-2ÉZÉ2) =2P(0ÉZÉ2)

=2_0.4772

=0.9544 이므로 18

'§n¾2이어야 한다.

'§nÉ9에서 양변을 제곱하면 nÉ9Û`

따라서 nÉ81이므로 자연수 n의 최댓값은 81이다.

 ③

문서에서 EBS 올림포스 확률과통계 답지 정답 (페이지 53-61)