통계적 추정

¼^¾0.9544

P {|Z|É 18'§n }¾0.9544 P {- 18'§nÉZÉ 18

'§n }¾0.9544 이때

P(-2ÉZÉ2) =2P(0ÉZÉ2)

=2_0.4772

=0.9544 이므로 18

'§n¾2이어야 한다.

'§nÉ9에서 양변을 제곱하면 nÉ9Û`

따라서 nÉ81이므로 자연수 n의 최댓값은 81이다.

 ③

통계적 추정

Ⅲ.

통계

07

1.

¹⁴

2.

⁹

3.

^0.8185

4.

^0.9876

5.

192.42ÉmÉ197.58

6.

36

기본 유형

익히기 유제 본문 82~84쪽

1.

모평균이 12, 모분산이 4Û`=16이고 표본의 크기가 8이 므로

E(XÕ)=12, V(XÕ)= 168 =2 따라서 구하는 값은

E(XÕ)+V(XÕ)=12+2=14

 14

2.

E(X)=1_;2!;+2_;4!;+4_;4!;=2 E(XÛ`)=1Û`_;2!;+2Û`_;4!;+4Û`_;4!;=:Á2Á:

V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`

=:Á2Á:-2Û`

=;2#;

표본의 크기가 n이면 V(XÕ)= V(X)n = 32 n = 3

2n 이므로 V(XÕ)=;6!;에서 32n =;6!;, n=9

 9

3.

E(XÕ)=60, r(XÕ)= 6

19=2이므로 표본평균 XÕ는 정 규분포 N(60, 2Û`)을 따른다.

따라서 Z= XÕ-602 이라 하면 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따르므로 구하는 확률은

P(58ÉXÕÉ64)=P { 58-602 ÉZÉ 64-602 }

=P(-1ÉZÉ2)

=P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ2)

=0.3413+0.4772

=0.8185

 0.8185

해 44-72 올림기본(확통)3단원-ok1.indd 61 2017-11-01 오후 3:34:46

62

올림포스•확률과 통계

4.

모집단은 정규분포 N(m, 16Û`)을 따르므로 크기가 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 XÕ는 정규분포 N {m, 16Û`16 }, 즉 N(m, 4Û`)을 따른다.

Z= XÕ-m4 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`) 을 따르므로

P(|XÕ-m|É10)=P {| XÕ-m4 |É2.5}

=P(|Z|É2.5)

=P(-2.5ÉZÉ2.5)

=2P(0ÉZÉ2.5)

=2_0.4938=0.9876

 0.9876

5.

xÕ=195, r?S=10, n=100이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간은

195-2.58_ 10

15100ÉmÉ195+2.58_ 10 15100 195-2.58ÉmÉ195+2.58

따라서 192.42ÉmÉ197.58이다.

 192.42ÉmÉ197.58

6.

표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따르는 확률변수 Z에 대하여 P(|Z|Ék)= a100 ( k는 상수)라 하자.

모표준편차가 r이므로 크기가 144인 표본을 임의추출하여 구 한 표본평균의 값을 xÁÕ라 하면 모평균 m에 대한 신뢰도 a %의 신뢰구간은

xÁÕ-k_ r

15144ÉmÉxÁÕ+k_ r 15144 이때 aÉmÉb이므로

b-a=2_k_ r

12 =k_r 6

크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균의 값을 xªÕ라 하면 모평균 m에 대한 신뢰도 a %의 신뢰구간은

xªÕ-k_ r

'§n`ÉmÉxªÕ+k_ r '§n`

이때 cÉmÉd이므로 d-c=2_k_ r

'§n`

d-c=2(b-a)에서 2_k_ r

'§n`=2_{k_ r6 }

01

¹¹⁷

02

²¹

03

⁴⁹

04

¹⁸

05

⁶⁸

06

⁶

07

^④

08

³⁶

09

⁹

10

¹⁴⁴

11

^4.54

12

¹⁰⁰

13

²⁵⁶

14

^B

15

⁹⁶

유형

확인 본문 85~87쪽

01

모평균 m=10, 모표준편차 r=4이므로 E(XÕ)=m=10

크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 XÕ의 분산이 1 이므로

V(XÕ)= rÛ`n =4Û`

n =1 따라서 n=16

V(XÕ)=E

(

XÕ Û`

)

-{E(XÕ)}Û`이므로 E

(

XÕ Û`

)

=V(XÕ)+{E(XÕ)}Û`=1+10Û`=101 따라서 구하는 값은

E

(

XÕ Û`

)

+n=101+16=117

 117

02

구슬에 적혀 있는 수를 확률변수 X라 할 때, 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 1 2 3 4 합계

P(X=x) ;1¢0; ;1£0; ;1ª0; ;1Á0; 1

E(X)=1_;1¢0;+2_;1£0;+3_;1ª0;+4_;1Á0;=2이므로 E(XÕ)=E(X)=2

E(aXÕ-3)=39에서

E(aXÕ-3)=aE(XÕ)-3=a_2-3=39 2a=42, a=21

 21

03

모표준편차 r는 r=14

표본평균 XÕ의 표준편차가 2 이상이 되어야 하므로 r(XÕ)= r

1n= 14

1n¾2, 1nÉ7, nÉ49 1

'§n`=;6!;, 1n=6 따라서 n=36

 36

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정답과 풀이

63

따라서 자연수 n의 최댓값은 49이다.

 49

04

^E(X)

=1_;1Á5;+2_;1ª5;+3_;1£5;+4_;1¢5;+5_;1°5;

=;1Á5;_(1+4+9+16+25) =;1Á5;_55=:Á3Á:

E(XÛ`)=1Û`_;1Á5;+2Û`_;1ª5;+3Û`_;1£5;+4Û`_;1¢5;+5Û`_;1°5;

=;1Á5;(1Ü`+2Ü`+3Ü`+4Ü`+5Ü`)

=;1Á5;_225=15 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`

=15-{:Á3Á:}Û`

=15- 1219 =:Á9¢:

이때 표본의 크기가 7이므로 V(XÕ)= V(X)7 =:Á9¢:_;7!;=;9@;

따라서 구하는 값은

V(9XÕ)=9Û` V(XÕ)=81_;9@;=18

 18

05

E(XÕ)=65, r(XÕ)= 16

1564=2이므로 표본평균 XÕ는 정 규분포 N(65, 2Û`)을 따르고 Z= XÕ-652 라 하면 확률변수 Z 는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P(XÕÉa)=0.9332에서 a>65 P(XÕÉa)=P {ZÉ a-652 }

=P(ZÉ0)+P {0ÉZÉ a-652 }

=0.5+P {0ÉZÉ a-652 } P {0ÉZÉ a-652 }=0.9332-0.5=0.4332 이때 P(0ÉZÉ1.5)=0.4332이므로

a-652 =1.5, a=65+2_1.5=68

 68

06

정규분포 N(150, 9Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 9인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 XÕ는 정규분포 N{150, 9Û`9 }, 즉 N(150, 3Û`)을 따른다.

Z= XÕ-1503 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`) 을 따르므로 P(|XÕ-150|¾a)=0.04에서

P { |XÕ-150|3 ¾;3A;}=P {|Z|¾;3A;}=0.04 P {ZÉ-;3A;}+P {Z¾;3A;}=2P {Z¾;3A;}=0.04 P {Z¾;3A;}=0.02

0.5-P {0ÉZÉ;3A;}=0.02 따라서 P {0ÉZÉ;3A;}=0.48 이때 P(0ÉZÉ2)=0.48이므로

;3A;=2, a=6

 6

07

치약 1개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(132, 8Û`)을 따른다.

크기가 4인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 E(XÕ)=132, r(XÕ)= 8

14=4

이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N(132, 4Û`)을 따른다.

Z= XÕ-1324 라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`) 을 따른다. 한 세트의 무게가 552 g 이하이려면

4XÕÉ552, XÕÉ138 따라서 구하는 확률은

P(XÕÉ138)=P {ZÉ 138-1324 }

=P(ZÉ1.5)

=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5)

=0.5+P(0ÉZÉ1.5)

=0.5+0.4332

=0.9332

 ④

08

모집단이 정규분포 N(m, 8Û`)을 따르고 크기가 n인 표본

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64

올림포스•확률과 통계

4 }=0.8664 2P {0ÉZÉ '§n`4 }=0.8664 포 N(220, 5Û`)을 따르므로 Z= X-2205 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P(XÕÉ215)=P _»ZÉ 215-220 5 '§n ^¼

=P(ZÉ-'§n )

=P(Z¾'§n ) P(X¾235)=P(XÕÉ215)이므로 P(Z¾3)=P(Z¾'Œn )

따라서 1n=3에서 n=9이다.

E(XÕ)=130, r(XÕ)= 12 '§n`

P(XÕÉ129)=P _»ZÉ 129-130 '§n`12 ^¼

11

r=6, n=144이므로 표본평균의 값을 xÕ라 하면 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은

xÕ-1.96_ 6

15144ÉmÉxÕ+1.96_ 6 15144 xÕ-1.96_;2!;ÉmÉxÕ+1.96_;2!;

xÕ-0.98ÉmÉxÕ+0.98 aÉmÉb이므로

b-a=2_0.98=1.96 yy ㉠

모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간은 xÕ-2.58_ 6

15144ÉmÉxÕ+2.58_ 6 15144

해 44-72 올림기본(확통)3단원-ok1.indd 64 2017-11-01 오후 3:34:47

정답과 풀이

65

xÕ-2.58_;2!; ÉmÉxÕ+2.58_;2!;

xÕ-1.29ÉmÉxÕ+1.29 cÉmÉd이므로

d-c=2_1.29=2.58 yy ㉡

㉠, ㉡에서

b+d-(a+c) =(b-a)+(d-c)=1.96+2.58=4.54

 4.54

12

모표준편차가 r이므로 표본의 크기가 25일 때, 표본평균 의 값을 xÁÕ 라 하면 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은 xÁÕ-1.96_ r

1525ÉmÉxÁÕ+1.96_ r 1525 xÁÕ-1.96_ r5 ÉmÉxÁÕ+1.96_r

5 96.08ÉmÉ103.92에서

xÕ-1.96_ r5 =96.08 yy ㉠

xÕ+1.96_ r5 =103.92 yy ㉡

㉡-㉠ 을 하면

2_1.96_ r5 =103.92-96.08=7.84 r5 =2, r=10

표본의 크기가 n일 때, 표본평균의 값을 xªÕ 라 하면 모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간은

xªÕ -2.58_ 10

'§n`ÉmÉxªÕ +2.58_ 10 '§n`

97.42ÉmÉ102.58에서 2_2.58_ 10

'§n`=102.58-97.42=5.16 10 b-a=2_k_ r

'§n`

이다. 모집단이 표준편차가 r=12인 정규분포를 따르고 표본 의 크기가 64일 때, 모평균 m에 대한 신뢰도 a %의 신뢰구간 의 길이가 6이므로

2_k_ 12

1564=6에서 k=2

크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰 도 a %의 신뢰구간의 길이가 3이 되려면

2_2_ 12

'§n`=3, 1n=16

A=f(16, 80)=2_kÁ_ 2 1516=kÁ B=f(16, 90)=2_kª_ 2

1516=kª C=f(64, 80)=2_kÁ_ 2

1564=;2!; kÁ D=f(64, 90)=2_kª_ 2

1564=;2!; kª

750-k_ 42

1549ÉmÉ750+k_ 42 1549 750-6kÉmÉ750+6k

이때 737.7ÉmÉ762.3에서

750-6k=737.7 yy ㉠

750+6k=762.3 yy ㉡

㉡-㉠을 하면 12k=24.6, k=2.05

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66

올림포스•확률과 통계

P(|Z|É2.05)=2_0.480=0.96이므로 100 =0.96a 에서

a=96

 96

01

¹⁵₅

02

^0.1587

03

²⁵

연습장

^{본문 88쪽}

서술형

01

확률변수 X가 가질 수 있는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로

2a+3a+a=1

따라서 a=;6!; yy ➊

확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X -3 1 3 합계

P(X=x) 1

3 1

2 1

6 1

E(X)=(-3)_;3!;+1_;2!;+3_;6!;=0 yy ➋ E(XÛ`)=(-3)Û`_;3!;+1Û`_;2!;+3Û`_;6!;=5

V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=5-0=5

r(X)=!%V(X)=15 yy ➌

크기가 25인 표본을 임의로 복원추출하여 구한 표본평균 XÕ의 표준편차는

r(XÕ)= r(X)

1525 = 15`5 yy ➍

 15`5

단계 채점 기준 비율

➊ 상수 a의 값을 구한 경우 20 %

➋ 모평균을 구한 경우 20 %

➌ 모표준편차를 구한 경우 30 %

➍ 표본평균 XÕ의 표준편차를 구한 경우 30 %

02

한 주간의 학생 1인당 독서 시간을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(92, 9Û`)을 따른다.

임의추출한 9명의 지난 한 주간의 독서 시간의 평균을 XÕ라 하 면

E(XÕ)=92, r(XÕ)= 9 19=3

이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N(92, 3Û`)을 따른다. yy ➊ 이때 9명의 지난 한 주간의 독서 시간의 총합이 855분 이상이 되려면

9XÕ¾855, 즉 XÕ¾95이어야 하므로 구하는 확률은 P(XÕ¾95)

이다. yy ➋

Z= XÕ-923 라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따르므로 구하는 확률은

P(XÕ¾95)=P {Z¾ 95-923 }

=P(Z¾1)

=0.5-P(0ÉZÉ1)

=0.5-0.3413

=0.1587 yy ➌

 0.1587

단계 채점 기준 비율

➊ 표본평균 XÕ의 확률분포를 구한 경우 30 %

➋ 구하는 확률이 P(XÕ¾95)임을 안 경우 30 %

➌ P(XÕ¾95)의 값을 구한 경우 40 %

03

표본평균의 값을 xÕ라 하면 모표준편차가 r, 표본의 크기 가 n이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은 xÕ-1.96_ r

'§n`ÉmÉxÕ+1.96_ r

'§n` yy ➊ 이때 20.2ÉmÉ39.8이므로

xÕ-1.96_ r

'§n`=20.2 yy ㉠

xÕ+1.96_ r

'§n`=39.8 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 xÕ=30, r

'§n`=5 yy ➋

모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간은 xÕ-2.58_ r

'§n`ÉmÉxÕ+2.58_ r '§n`에서

30-2.58_5ÉmÉ30+2.58_5 yy ➌

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정답과 풀이

67

17.1ÉmÉ42.9

따라서 신뢰도 99 %의 신뢰구간에 속하는 자연수는 18, 19, y, 42이고 그 개수는 25이다. yy ➍

 25

단계 채점 기준 비율

➊ 신뢰도 95 %의 신뢰구간을 구한 경우 20 %

➋ xÕ와 r

'§n`의 값을 구한 경우 40 %

➌ 신뢰도 99 %의 신뢰구간을 구한 경우 20 %

➍ 자연수의 개수를 구한 경우 20 %

01

⁸

02

¹⁰⁰

03

¹¹²

04

⁸⁸⁷

고난도 문항

내신 ⁺ 수능

본문 89쪽

01

주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때 나온 공에 적혀 있는 숫 자를 확률변수 Y라 할 때, 확률변수 Y의 확률분포를 표로 나타 내면 다음과 같다.

Y 1 2 3 4 5 합계

P(Y=y) ;5!; ;5!; ;5!; ;5!; ;5!; 1

E(Y)=1_;5!;+2_;5!;+3_;5!;+4_;5!;+5_;5!;=3 E(YÛ`)=1Û`_;5!;+2Û`_;5!;+3Û`_;5!;+4Û`_;5!;+5Û`_;5!;

=;5!;(1Û`+2Û`+3Û`+4Û`+5Û`)

=;5!;_55

=11

V(Y)=E(YÛ`)-{E(Y)}Û`=11-3Û`=2

크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 YÕ라하면 YÕ= Xn , X=nYÕ

V(YÕ)=V(Y) n = 2n V(X)=16에서

V(X)=V(nYÕ)=nÛ` V(YÕ)=nÛ`_ 2n =2n=16 따라서 n=8

 8

02

정규분포 N(0, 2Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표 본을 임의추출하여 구한 표본평균 XÕ는 정규분포 N{0, { 2'§n`}Û`}

을 따른다. Z= XÕ-0 '§n`2

이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포

N(0, 1Û`)을 따르므로

P {XÕÉ- 10n }=P »^{ZÉ- 10n -0}₂ 1n

¼

=P {ZÉ- 5 1n}

=P {Z¾ 5 1n}

=0.5-P {0ÉZÉ 51n} P {XÕÉ- 10n }É0.3085에서

P {0ÉZÉ 51n}¾0.5-0.3085=0.1915 이때 P(0ÉZÉ0.5)=0.1915이므로

5

1n¾0.5, 1nÉ10

양변을 제곱하면 nÉ100이므로 자연수 n의 최댓값은 100이다.

 100

03

^{모표준편차가} r인 모집단에서 크기가 64인 표본을 임의 추출하여 구한 표본평균의 값을 xÁÕ라 하면 모평균 m에 대한 신 뢰도 99 %의 신뢰구간은

xÁÕ-2.58_ r

1464ÉmÉxÁÕ+2.58_ r 1464 aÉmÉb이고 b-a=2.58이므로 b-a=2_2.58_ r8 =2.58 따라서 r=4

모표준편차가 r=4인 모집단에서 크기가 196인 표본을 임의추 출하여 구한 표본평균의 값을 xªÕ라 하면 모평균 m에 대한 신뢰 도 95 %의 신뢰구간은

xªÕ-1.96_ 4

15196ÉmÉxªÕ+1.96_ 4 15196 따라서 d-c=2_1.96_ 4

15196=2_1.96_ 414 =1.12 이므로 100(d-c)=100_1.12=112

 112

해 44-72 올림기본(확통)3단원-ok1.indd 67 2017-11-01 오후 3:34:48

68

올림포스•확률과 통계

04

P(-kÉZÉk)= a100 (k는 상수)라 하면 xÕ=800, n=36, r=30

이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 a %의 신뢰구간은 800-k_ 30

1436ÉmÉ800+k_ 30 1436 800-5kÉmÉ800+5k

bÉmÉb+22이므로

b=800-5k yy ㉠

b+22=800+5k yy ㉡

㉡-㉠을 하면 10k=22, k=2.2

따라서 P(-2.2ÉZÉ2.2)= a100 이므로 a=100 P(-2.2ÉZÉ2.2)

=200 P(0ÉZÉ2.2)

=200_0.49

=98

㉠에서 b=800-5_2.2=789 따라서 구하는 값은

a+b=98+789=887

 887

01

^⑤

02

^③

03

^⑤

04

^②

05

^③

06

^③

07

^④

08

^③

09

^③

10

^①

11

^②

12

²⁴¹

13

^③

14

^②

15

^④

16

^①

17

^④

18

^⑤

19

⁴⁸

20

a=;4!;, b=-3

21

^0.1359

본문 90~93쪽

대단원

종합 문제

01

확률변수 X가 가질 수 있는 모든 값에 대한 확률의 합은 1이므로

a+a+;2!;+a+a=1 4a=;2!;에서 a=;8!;

E(X)=1_;8!;+2_;8!;+3_;2!;+4_;8!;+5_;8!;=3 E(XÛ`)=1Û`_;8!;+2Û`_;8!;+3Û`_;2!;+4Û`_;8!;+5Û`_;8!;=:¢4Á:

V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=:¢4Á:-3Û`=;4%;

 ⑤

02

E(2X-1)=2E(X)-1=2_6-1=11 V(3X+1)=3Û` V(X)=3Û`_4=36

이므로 E(2X-1)+V(3X+2)=11+36=47

 ③

03

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이다.

P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1이고 P(XÉ2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)이므로 P(XÉ2)=1-P(X=3)

P(X=3)=£C£

¥C£ =;5Á6;

P(XÉ2)=1-P(X=3)

=1-;5Á6;=;5%6%;

 ⑤

04

5장의 카드에서 2장의 카드를 뽑는 경우의 수는

°Cª= 5_42_1 =10

두 수의 차가 1인 경우는 두 수가 (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)의 4가지이다.

따라서 한 번의 시행에서 두 수의 차가 1이 나올 확률은

;1¢0;=;5@;

이때 확률변수 X는 이항분포 B {n, ;5@;}를 따르므로 V(X)=n_;5@;_;5#;=48

따라서 n=8_25=200

 ②

05

확률변수 X가 정규분포 N(80, 3Û`)을 따르므로 Z= X-803 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P(XÉ86)=P {ZÉ 86-803 }

=P(ZÉ2)

=0.5+P(0ÉZÉ2)

=0.5+0.4772

=0.9772

 ③

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정답과 풀이

69

06

표본의 크기 n=100이고 x®=120, 표본표준편차가 20이 므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간은

120-1.96_ 20

15100ÉmÉ120+1.96_ 20 15100 120-1.96_2ÉmÉ120+1.96_2

120-3.92ÉmÉ120+3.92

따라서 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은 116.08ÉmÉ123.92

 ③

07

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 2, 3, 4, 5이고 각각의 확률은

P(X=2)=£Cª

¤Cª =£CÁ

¤Cª = 3 6_52_1

=;5!;

P(X=3)=£CÁ_ªCÁ

¤Cª =;1¤5;=;5@;

P(X=4)=£CÁ_ÁCÁ+ªCª

¤Cª =;1¢5;

P(X=5)= ªCÁ_ÁCÁ¤Cª =;1ª5;

따라서 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X 2 3 4 5 합계

P(X=x) ;5!; ;5@; ;1¢5; ;1ª5; 1

E(X)=2_;5!;+3_;5@;+4_;1¢5;+5_;1ª5;=;1%5);=:Á3¼:

E(XÛ`)=2Û`_;5!;+3Û`_;5@;+4Û`_;1¢5;+5Û`_;1ª5;= 18015 =12 V(X)=12-{:Á3¼:}Û`=12- 1009 =108-100

9 =;9*;

 ④

08

확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=x)=£¼C® {;6%;}Å`{;6!;}Ü`â`ÑÅ`

{x=0, 1, 2, y, 30, {;6%;}â`={;6!;}â`=1}

이므로 확률변수 X는 이항분포 B {30, ;6%;}를 따른다.

E(X)=30_;6%;=25 V(X)=30_;6%;_;6!;=:ª6°:

에서

V(6X)=6Û` V(X)=36_:ª6°:=150이므로 E(X)+V(6X)=25+150=175

 ③

09

동전을 두 개 던질 때, 모두 앞면이 나오거나 모두 뒷면이 나올 확률은 ;4@;=;2!;이므로 A가 이길 확률은 ;2!;이다.

독립시행을 100번 하므로 확률변수 X는 이항분포 B {100, ;2!;}을 따른다.

E(X)=100_;2!;=50이므로 E(X+a)=E(X)+a=50+a=65 따라서 a=15이다.

 ③

10

함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=-2, x=4 로 둘러싸인 영역의 넓이가 1이다.

함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=-2, x=0으로 둘러싸인 영역은 사다리꼴이고 f(-2)=-2a+;4!;, f(0)=;4!;

이므로 그 넓이는

;2!;_{0-(-2)}_{-2a+;4!;+;4!;}=-2a+;2!;

함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=4로 둘러 싸인 영역도 마찬가지로 사다리꼴이고

`f(0)=;4!;, f(4)=-8a+;4!;

이므로 그 넓이는

;2!;_(4-0)_{-8a+;4!;+;4!;}=-16a+1 따라서 -2a+;2!;+(1-16a)=1에서 18a=;2!;, a=;3ÁÁ6;

 ①

11

팔굽혀펴기 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(32, 3Û`)을 따른다.

Z= X-323 라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따르므로 구하는 확률은

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70

올림포스•확률과 통계

P(XÉ29)=P {ZÉ 29-323 }

=P(ZÉ-1)

=P(Z¾1)

=0.5-P(0ÉZÉ1)

=0.5-0.3413

=0.1587

 ②

12

크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간 aÉmÉb에서

b-a=2_2_ r 1n이므로 r=8일 때 2Éb-aÉ8이려면 2É2_2_ 8

1nÉ8 2É 32

1nÉ8 4É1nÉ16 16ÉnÉ256

따라서 표본의 크기 n은 16, 17, y, 256이고, 그 개수는 256-16+1=241

 241

13

공 10개 중에서 2개의 공을 꺼내는 경우의 수는 Á¼Cª= 10_92_1 =45

검은 공 2개를 꺼내는 경우의 수는

¤Cª= 6_52_1 =15 P(A)=;4!5%;=;3!;

사건 A가 일어나는 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B {1800, ;3!;}을 따르므로

E(X)=1800_;3!;=600 r(X)=®É1800_;3!;_;3@;=20

이때 n=1800은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정 규분포 N(600, 20Û`)을 따른다.

Z= X-60020 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`) 을 따르므로 구하는 확률은

P(XÉ630)=P {ZÉ 630-60020 }

=P(ZÉ1.5)

=0.5+P(0ÉZÉ1.5)

=0.5+0.4332

=0.9332

 ③

14

E(XÕ)=36, r(XÕ)= 8 1516=2

이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N(36, 2Û`)을 따른다.

Z= XÕ-362 이라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`) 을 따르므로 구하는 확률은

P(34ÉXÕÉa)=P{ 34-362 ÉZÉ a-362 }

=P{-1ÉZÉ a-362 }

=0.8105

P{-1ÉZÉ a-362 }=P(0ÉZÉ1)+P{0ÉZÉ a-362 }

=0.3413+P{0ÉZÉ a-362 }

=0.8185

P{0ÉZÉ a-362 }=0.8185-0.3413=0.4772

P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 a-362 =2에서 a=40

 ②

15

확률변수 X가 정규분포 N(12, 5Û`)을 따르므로

Z= X-125 라 하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1Û`)을 따른다.

P(|X-12|¾k)=P(X-12É-k 또는 X-12¾k)

=P(XÉ12-k 또는 X¾k+12)

=P(XÉ12-k)+P(X¾k+12)

=P{ZÉ-;5K;}+P{Z¾;5K;}

=1-2P{0ÉZÉ;5K;}

=0.0718

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정답과 풀이

71

2P{0ÉZÉ;5K;}=1-0.0718=0.9282

P{0ÉZÉ;5K;}=0.4641 P(0ÉZÉ1.8)=0.4641에서

¦C¢=¦C£= 7_6_53_2_1 =35

Ú X=3일 때

¢Cª_ªCÁ= 4_32_1 _2=12 P(X=5)=;3!5@;

Ý X=6일 때

1, 2, 3, 4, 5의 숫자가 적혀 있는 카드 중에서 두 장의 카드 를 뽑고 7이 적혀 있는 카드 중에서 한 장의 카드를 뽑아야 하므로

°Cª_ÁCÁ= 5_42_1 _1=10 P(X=6)=;3!5);

Ú~Ý 에 의해 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음 과 같다.

X 3 4 5 6 합계

P(X=x) ;3¢5; ;3»5; ;3!5@; ;3!5); 1

E(X)=3_;3¢5;+4_;3»5;+5_;3!5@;+6_;3!5);

=:Á3¤5¥:

72

올림포스•확률과 통계

따라서

E(5XÕ-10)=5E(XÕ)-10=5_:ª5¢:-10=14

 ④

18

모표준편차가 r이므로 표본의 표본평균의 값을 x®, P(|Z|Ék)= a100 ( k는 상수)라 하면 모평균 m에 대한 신뢰 도 a %의 신뢰구간은

x®-k_ r

'§n`ÉmÉx®+k_ r '§n`

이때 b-a=2k r

'§n`이고 k는 a의 값에 따라 정해지는 상수이 다. 즉, a가 커지면 k도 커지고 a가 작아지면 k도 작아진다.

ㄱ. n의 값이 일정할 때, a의 값이 커지면 k의 값도 커지므로

ㄱ. n의 값이 일정할 때, a의 값이 커지면 k의 값도 커지므로

문서에서 EBS 올림포스 확률과통계 답지 정답 (페이지 61-72)