=8(Á¼C¢+Á¼C£)
=8_ÁÁC¢
=8_ 11_10_9_84_3_2_1
=8_330=2640 이므로 주어진 식에서 xÜ`의 계수는 2640이다.
다른풀이
(주어진 식)=(1+2x){(1+2x)Ú`â`-1}
(1+2x)-1
=(1+2x)Ú`Ú`-(1+2x) 2x
이므로 xÜ`의 계수는 ;2!; (1+2x)Ú`Ú`의 전개식에서 xÝ`의 계수와 같다.
따라서 구하는 값은 ÁÁC¢_2Ý`
2 = 11_10_9_84_3_2_1 _2Ü`=2640
2640
확률의 뜻과 활용
Ⅱ.
확률03
1.
72.
A와 C3.
;5!;4.
;1°2;5.
;5@;6.
;7$;7.
18.
;5#;기본 유형
익히기 유제 본문 32~35쪽1.
10 이하의 자연수가 적혀 있는 공이 나오는 사건 A는 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}3의 배수가 적혀 있는 공이 나오는 사건 B는 B={3, 6, 9, 12, 15, 18}
이므로
B``={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}
이다.
A;B``={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}이므로 n(A;B )=7
다른풀이
사건 A;B``은 10 이하의 자연수이고 3의 배수가 아닌 수가 적혀 있는 공이 나오는 사건이므로
A;B``={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}
따라서 n(A;B``)=7이다.
7
2.
표본공간 S는 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}4의 약수는 1, 2, 4이므로 A={1, 2, 4}
소수는 2, 3, 5이므로 B={2, 3, 5}
3의 배수는 3, 6이므로 C={3, 6}
A;B={2}, B;C={3}, A;C=∅
따라서 서로 배반사건인 것은 사건 A와 C이다.
A와 C
3.
6명을 일렬로 배열하는 경우의 수는 6!남자 3명을 한 명이라 생각하여 여자 3명을 포함한 4명을 일렬 로 배열하는 경우의 수는 4!, 남자끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 3!이므로 남자 3명이 모두 서로 이웃하게 배열하는 경우 의 수는 4!_3!
해 01-21 올림기본(확통)1단원-ok.indd 21 2017-11-01 오후 3:33:52
22
올림포스•확률과 통계따라서 구하는 확률은 4!_3!
6! = 3!6_5 =;5!;
;5!;
4.
1부터 10까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 10장의 카드 중 3장의 카드를 뽑는 경우의 수는Á¼C£= 10_9_83_2_1 =120
짝수가 적혀 있는 카드를 2장만 뽑는 경우는 짝수가 적혀 있는 카드 2장, 홀수가 적혀 있는 카드 1장을 뽑는 경우이므로 짝수 가 적혀 있는 카드 5장 중 2장을 뽑고 홀수가 적혀 있는 카드 5 장 중 1장의 카드를 뽑는 경우의 수는
°Cª_°CÁ= 5_42_1 _5=10_5=50 따라서 구하는 확률은
;1°2¼0;=;1°2;
;1°2;
5.
400명 중 160명이 헌혈한 경험이 있다고 하였으므로 이 고등학교 학생 중 임의로 뽑은 한 명의 학생이 헌혈한 경험이 있는 학생일 확률은;4!0^0)';=;1¢0¼0;=;5@;
;5@;
6.
7장의 카드 중에서 차례대로 2장의 카드를 뽑는 경우의 수는 ¦Pª=7_6=42카드에 적혀 있는 수를 차례로 a, b라 하면 카드에 적혀 있는 수 의 합이 홀수인 경우는 a는 짝수, b는 홀수 또는 a는 홀수, b는 짝수인 경우이다. a는 짝수, b는 홀수인 사건을 A, a는 홀수, b 는 짝수인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A'B)이다.
Ú a는 짝수, b는 홀수인 경우의 수는 3_4=12이므로 P(A)=;4!2@;
Û a는 홀수, b는 짝수인 경우의 수는 4_3=12이므로 P(B)=;4!2@;
두 사건 A와 B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 P(A'B)=P(A)+P(B)
=;4!2@;+;4!2@;
=;4@2$;=;7$;
다른풀이
7장의 카드에서 임의로 2장의 카드를 뽑을 때, 홀수가 적혀 있 는 카드 1장, 짝수가 적혀 있는 카드 1장이 뽑히는 경우이므로 구하는 확률은
¢CÁ_£CÁ
¦Cª =;2!1@;=;7$;
;7$;
7.
두 자리 자연수를 만드는 방법의 수는 9_8=72 십의 자리의 수와 일의 자리의 수의 합이 짝수인 사건을 A, 십 의 자리의 수와 일의 자리의 수의 곱이 짝수인 사건을 B라 하 면 구하는 확률은 P(A'B)이다.1부터 9까지의 자연수 중 홀수의 개수는 1, 3, 5, 7, 9의 5, 짝 수의 개수는 2, 4, 6, 8의 4이다.
Ú 십의 자리의 수와 일의 자리의 수의 합이 짝수인 경우는 십 의 자리의 수와 일의 자리의 수가 각각 홀수, 홀수이거나 짝 수, 짝수인 경우이므로 십의 자리의 수와 일의 자리의 수가 각각 홀수, 홀수인 경우의 수는 °Pª=5_4=20
십의 자리의 수와 일의 자리의 수가 각각 짝수, 짝수인 경우 의 수는 ¢Pª=4_3=12
십의 자리의 수와 일의 자리의 수의 합이 짝수인 경우의 수 는 20+12=32
P(A)= 3272
Û 십의 자리의 수와 일의 자리의 수의 곱이 짝수인 경우는 십 의 자리의 수와 일의 자리의 수가 각각 홀수, 짝수이거나 짝 수, 홀수 또는 짝수, 짝수인 경우이다.
십의 자리의 수와 일의 자리의 수가 각각 홀수, 짝수인 경우 의 수는 5_4=20
십의 자리의 수와 일의 자리의 수가 각각 짝수, 홀수인 경우 의 수는 4_5=20
십의 자리의 수와 일의 자리의 수가 각각 짝수, 짝수인 경우 의 수는 ¢Pª=4_3=12
십의 자리의 수와 일의 자리의 수의 곱이 짝수인 경우의 수 는 20+20+12=52
P(B)=;7%2@;
Ü 십의 자리의 수와 일의 자리의 수의 합이 짝수이고 곱이 짝
해 22-43 올림기본(확통)2단원-ok1.indd 22 2017-11-01 오후 3:34:12
정답과 풀이
23
수인 경우는 십의 자리의 수와 일의 자리의 수가 짝수, 짝수인 경우이므로 P(A;B)= 1272 따라서 구하는 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=;7#2@;+;7%2@;-;7!2@;
=;7&2@;=1
1
8.
A, B를 포함한 6명이 원 모양의 탁자에 둘러앉을 때, A 와 B가 이웃하지 않게 앉는 사건을 X라 하자. 이때 사건 X의 여사건 X 은 A와 B가 이웃하여 앉는 사건이다.6명이 원 모양의 탁자에 앉는 경우의 수는 원순열의 수에 의하 여 (6-1)!=5!
A와 B를 한 사람으로 생각하여 5명이 원 모양의 탁자에 앉는 경우의 수는 (5-1)!, A와 B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!이므로 A와 B가 이웃하여 앉는 경우의 수는 4!_2!이 므로
P(X )= 4!_2!5! =;5@;
따라서 구하는 확률은 여사건의 확률에 의하여 P(X)=1-P(X )=1-;5@;=;5#;
;5#;
01
동전 한 개를 던졌을 때 나올 수 있는 결과를 a라 하자.동전의 앞면이 나오면 a=H, 뒷면이 나오면 a=T이다.
01
②02
④03
④04
④05
⑤06
①07
①08
④09
④10
③11
④12
③13
;3!;14
②15
④16
③17
④18
④19
④20
④21
②22
⑤23
③24
⑤유형
확인 본문 36~39쪽주사위 한 개를 던졌을 때 나온 눈의 수를 b라 할 때, b=1, 2, 3, 4, 5, 6이다.
주사위 한 개와 동전 한 개를 동시에 던지는 시행에서 나올 수 있는 결과를 순서쌍 (a, b)로 나타내면
S={(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}
이므로 n(S)=12이다.
다른풀이
주사위 한 개를 던졌을 때 나오는 경우의 수는 6 동전 한 개를 던졌을 때 나오는 경우의 수는 2
곱의 법칙에 의하여 주사위 한 개와 동전 한 개를 동시에 던졌 을 때 나오는 경우의 수는 6_2=12이므로 n(S)=12이다.
②
02
S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}홀수가 적혀 있는 공을 꺼내는 사건 A는 A={1, 3, 5, 7}
2 이상 6 이하의 수가 적혀 있는 공을 꺼내는 사건 B는 B={2, 3, 4, 5, 6}이므로 A;B={3, 5}
n(S)+n(A;B)=8+2=10
④
03
표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}짝수의 눈이 나오는 사건 A는 A={2, 4, 6}
3 이상의 눈이 나오는 사건 B는 B={3, 4, 5, 6}
6의 약수의 눈이 나오는 사건 C는 C={1, 2, 3, 6}
사건 C의 여사건 C 은 C ={4, 5}이므로 B;C ={4, 5}
n(A)+n(B;C )=3+2=5
④
04
사건 C가 사건 A와 서로 배반사건이려면 사건 C는 C,S이고 A;C=∅을 만족시켜야 한다.즉, C는 1, 2, 3을 원소로 갖지 않는다.
마찬가지로 사건 C가 사건 B와 서로 배반사건이려면 사건 C 는 B;C=∅을 만족시켜야 한다.
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24
올림포스•확률과 통계즉, C는 1, 3, 5를 원소로 갖지 않는다.
즉, C는 1, 2, 3, 5를 원소로 갖지 않는다.
이를 만족시키는 사건 C는 ∅, {4}, {6}, {4, 6}이므로 사건 C 의 개수는 4이다.
다른풀이
A;C=∅이고 B;C=∅일 필요충분조건이 (A'B);C=∅
이다. A'B={1, 2, 3, 5}이므로 C,{4, 6}이다.
따라서 사건 C의 개수는 집합 {4, 6}의 부분집합의 개수인 4이다.
④
05
서로 다른 두 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수를 각각 a, b라 하자. 순서쌍 (a, b)로 각 사건의 원소를 나타내면 두 눈의 수의 차가 1이 되는 사건 A는A={(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)}
두 눈의 수의 합이 7이 되는 사건 B는
B={(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
서로 같은 눈의 수가 나오는 사건 C는
C={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
A;B={(3, 4), (4, 3)}, A;C=∅, B;C=∅
이므로 서로 배반사건인 것은 A와 C, B와 C이다.
⑤
06
표본공간 S는 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}짝수가 적혀 있는 카드가 나오는 사건 A는 A={2, 4, 6}
6 이하의 자연수 n에 대하여 n의 배수가 적혀 있는 카드가 나 오는 사건 BÇ에 대하여
BÁ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Bª={2, 4, 6}
B£={3, 6}
B¢={4}
B°={5}
B¤={6}
이다.
A;BÁ=A, A;Bª=A, A;B£={6}, A;B¢={4}, A;B°=∅, A;B¤={6}
이므로 사건 A와 배반사건인 BÇ은 B°뿐이다.
따라서 조건을 만족시키는 자연수 n은 5뿐이므로 그 개수는 1 이다.
①
07
6명을 일렬로 세우는 경우의 수는 6!어른을 일렬로 세우는 경우의 수는 3!=6
양 끝과 어른들 사이의 네 자리 중 어른()과 어린이(∨)가 번 갈아 서도록 어린이 3명을 배열하는 경우의 수는 그림과 같이 2
∨∨∨ 또는 ∨∨∨
이 각각에 대하여 어린이 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 3!
따라서 어른과 어린이가 번갈아 가며 서게 되는 경우의 수는 6_2_3!=6_12
따라서 구하는 확률은 6_126! =;1Á0;
①
08
한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 경우의 수는 6Û`=36두 번째 나온 눈의 수가 첫 번째 나온 눈의 수보다 큰 경우는 (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 5), (4, 6) (5, 6)
으로 경우의 수는 15이다.
따라서 구하는 확률은
;3!6%;=;1°2;
④
09
함수 f`:`A 2Ú B의 개수는 2Ý`=16n이 A의 원소일 때, f(n)이 가질 수 있는 값은 0, 1뿐이다.
f(1)+f(2)+f(3)f(4)=2이려면 f(1), f(2), f(3) f(4) 중 두 개의 값이 1이고 하나의 값이 0이다.
Ú f(3) f(4)=0인 경우
f(1)=f(2)=1이고 f(3), f(4) 중 적어도 하나는 0이어 야 한다. 즉, 순서쌍을 ( f(3), f(4))라 할 때, 가능한 모든 순서쌍의 개수는 (0, 0), (0, 1), (1, 0)의 3이다.
따라서 f(3) f(4)=0인 경우의 수는 1_1_3=3
Û f(3) f(4)=1인 경우
f(1), f(2) 중 하나는 0이고 하나는 1이고 f(3)=f(4)=1
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정답과 풀이
25
이다. f(3) f(4)=1인 경우의 수는ªPª_1_1=2
Ú, Û 에서 f(1)+f(2)+f(3) f(4)=2를 만족시키는 경우의 수는 3+2=5
따라서 구하는 확률은 516 이다.
④
10
6개의 동전 중에서 2개를 택하는 경우의 수는¤Cª= 6_52_1 =15
앞면과 뒷면의 개수가 처음과 다르려면 앞면이 보이는 동전 2개 를 택하여 뒤집거나 뒷면이 보이는 동전 2개를 택하여 뒤집어 야 한다.
Ú 모두 앞면인 동전을 택하는 경우의 수는 ¢Cª= 4_32_1 =6
Û 모두 뒷면인 동전을 택하는 경우의 수는 ªCª=1
모두 앞면인 동전을 택하는 사건과 모두 뒷면인 동전을 택하는 사건은 서로 배반사건이므로
Ú, Û 에 의해 구하는 확률은 15 +6 1
15 = 7 15
③
11
6명을 2명씩 세 팀으로 나누는 경우의 수는¤Cª_¢Cª_ªCª_ 13! =6_5 2_1 _4_3
2_1 _1_ 1 3! =15 세 팀이 모두 남녀 1명씩으로 팀을 나누는 경우의 수는 남자 3명 을 우선 세 팀으로 나눈 후 여자 3명이 팀을 정하는 경우의 수 와 같다. 즉, 여자 3명이 팀을 정하는 경우의 수는 3!=6 따라서 구하는 확률은
;1¤5;=;5@;
④
12
집합 A의 모든 부분집합의 개수는 2Þ`=32 1과 5를 포함하는 부분집합의 개수는 2Þ`ÑÛ`=2Ü`=8 따라서 구하는 확률은32 =8 1 4
③
13
300타석 중 100번의 안타를 쳤으므로 이 선수가 한 번의 타석에서 안타를 칠 통계적 확률은 ;3!0)0);=;3!; ;3!;
14
2000번 중 흰 공이 400번 나왔으므로 흰 공이 나올 확률은 2000 =400 15 따라서 15 = 5
n+5 이므로 n+5=25에서 n=20
②
15
전반기에 자유투를 성공한 횟수를 a로 놓으면 자유투 성 공률은 60100 = a30 100a=1800이므로 a=18
하반기에 자유투를 성공한 횟수를 b로 놓으면 자유투 성공률은 100 =80 b
50
100b=4000이므로 b=40 따라서 a+b=18+40=58
④
16
사건 A와 사건 B가 서로 배반사건이므로 P(A;B)=0 확률의 덧셈정리에 의하여P(A'B)=P(A)+P(B)이므로
;5$;=P(A)+;3!;
P(A)=;5$;-;3!;=;1!5@;-;1°5;=;1¦5;
③
17
5개의 공 중에서 2개의 공을 꺼내는 경우의 수는°Cª= 5_42_1 =10
같은 색의 공을 꺼내는 경우는 모두 흰 공을 꺼내는 경우 또는 모두 검은 공을 꺼내는 경우이다. 모두 흰 공을 꺼내는 사건을 A, 모두 검은 공을 꺼내는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A'B)이다.
Ú 모두 흰 공을 꺼내는 경우의 수는 ªCª=1이므로 P(A)=;1Á0;
해 22-43 올림기본(확통)2단원-ok1.indd 25 2017-11-01 오후 3:34:13
26
올림포스•확률과 통계Û 모두 검은 공을 꺼내는 경우의 수는 £Cª=3이므로 P(B)=;1£0;
두 사건 A와 B는 서로 배반사건이므로 Ú, Û에 의하여 같은 색의 공이 나올 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)=;1Á0;+;1£0;=;5@;
④
18
두 개의 주사위를 던질 때 나오는 경우의 수는 6Û`=36 두 눈의 수의 차가 1이 되는 경우는 a-b=1이거나 b-a=1 이 되는 경우이다.a-b=1이 되는 사건을 X, b-a=1이 되는 사건을 Y라 하 면 구하는 확률은 P(X'Y)이다.
Ú a-b=1이 되는 경우는 순서쌍 (a, b)에 대하여
X={(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5)}
P(X)=;3°6;
Û b-a=1이 되는 경우는 순서쌍 (a, b)에 대하여
Y={(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
P(Y)=;3°6;
두 사건 X와 Y는 서로 배반사건이므로 P(X'Y)=P(X)+P(Y)
=;3°6;+;3°6;
=;3!6);=;1°8;
④