2020 풍산자 반복수학 미적분 답지 정답

미적분

정답과 풀이

수열의 극한

I

I

-

1

I

수열의 극한

006~017쪽

01

답 ⑴ _{0　⑵ 1　⑶ 1　⑷ 5} 풀이 ⑴ 주어진 수열의 일반항 O an n 1 1 2 3 4 n 1` an= 을 a_n이라 하면 a_n=1/n 오른쪽 그래프에서 n이 한없 이 커질 때 _{a_n의 값은 0에 한} 없이 가까워지므로 lim n=inf a_n=0 ⑵ 주어진 수열의 일반항을 _{a_n이} 1 1 2 3 4 O an n 2 1 라 하면 _{a_n= n} n+1 오른쪽 그래프에서 n이 한없 이 커질 때 _{a_n의 값은 1에 한없이 가까워지므로} lim n=inf a_n=1 ⑶ 주어진 수열의 일반항을 a_n이 1 1 2 3 4 O an n 라 하면 a_n=1-1/n 오른쪽 그래프에서 _{n이 한없} 이 커질 때 a_n의 값은 1에 한없이 가까워지므로 lim n=inf a_n=1 ⑷ 주어진 수열의 일반항을 _{a_n이라 하} 1 5 2 3 4 O an n 면 a_n=5 오른쪽 그래프에서 _{n이 한없이 커질} 때 a_n의 값은 5에 한없이 가까워지 므로 lim n=inf a_n=5

02

답 풀이 참조 풀이 ⑴ 주어진 수열의 일반항을 1 1 2 3 4 2 3 4 an=n O an n a_n이라 하면 a_n=n 오른쪽 그래프에서 _{n이 한없이} 커질 때 a_n의 값은 한없이 커지 므로 lim n=inf a_n=inf(발산) ⑵ 주어진 수열의 일반항을 _{a_n이라 하면} O an n 4 3 2 1 10 5 -5 a_n=15-5n 오른쪽 그래프에서 _{n이 한없이 커질 때} a_n의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한 없이 커지므로 lim n=inf a_n=-inf(발산) ⑶ 주어진 수열의 일반항을 _{a_n이라 하면} O an n 1 2 4 8 16 234 a_n=2^n 오른쪽 그래프에서 _{n이 한없이 커질 때} a_n의 값은 한없이 커지므로 lim n=inf a_n=inf(발산) ⑷ 주어진 수열의 일반항을 _{a_n이} 1 2 3 4 1 -1O an n 라 하면 a_n=(-1)^n 오른쪽 그래프에서 n이 한없 이 커질 때 a_n의 값은 일정한 수에 수렴하지도 않고, 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하지도 않으므로 진동한 다. 따라서 이 수열은 발산(진동)한다.

03

답 ⑴ 발산　⑵ 수렴_{, 0　⑶ 발산　⑷ 수렴, 0} ⑸ 발산　⑹ 발산 풀이 ⑴ 주어진 수열의 일반항을 _{a_n이라 하면 a_n=n^2} n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 한없이 커지므로 이 수열 은 양의 무한대로 발산한다. ⑵ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=1/2n n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 0에 한없이 가까워지므로 이 수열은 수렴하고_{, 그 극한값은 0이다.} ⑶ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=1+(-1)^n _{n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 0, 2, 0, 2, .c3와 같이 일} 정한 수에 수렴하지도 않고, 양의 무한대 또는 음의 무 한대로 발산하지도 않으므로 진동한다. 따라서 이 수열 은 발산(진동)한다.

⑷ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=-&^(&2/3&^)^^n-1 n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 0에 한없이 가까워지므로 이 수열은 수렴하고, 그 극한값은 0이다. ⑸ 주어진 수열의 일반항을 _{a_n이라 하면 a_n=10-4n} n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 이 수열은 음의 무한대로 발산한다. ⑹ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=n(n+1) n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 한없이 커지므로 이 수열 은 양의 무한대로 발산한다.

04

답 ⑴ 수렴, 0　⑵ 발산　⑶ 수렴, 2　⑷ 발산　⑸ 발산 풀이 ⑴ _{n이 한없이 커질 때 1} 2n+1 의 값은 0에 한없이 가 까워지므로 수열 ^{ 1 2n+1^}은 수렴하고, 그 극한값은 0 이다. ∴ limn=inf 1_2n+1=0 ⑵ _{n이 한없이 커질 때 n^2&+4n의 값은 한없이 커지므로 수} 열 {n^2&+4n}은 양의 무한대로 발산한다. ∴ limn=inf`(n^2&+4n)=inf

002

정답과 풀이 (001~019)미적분해설1단원ok.indd 2 18. 10. 26. 오후 8:51

⑶ n이 한없이 커질 때 2-^(1/5^)^^n의 값은 2에 한없이 가까 워지므로 수열 _{^{2-^(1/5^)^^n^}은 수렴하고, 그 극한값은 2} 이다. ∴ limn=inf ^{2-^(1/5^)^^n^}=2 ⑷ _{n이 한없이 커질 때 -n^2+1} 3n 의 값은 음수이면서 그 절 댓값이 한없이 커지므로 수열 _^{-n^2+1 3n ^}은 음의 무한대 로 발산한다.

∴ limn=inf -n^2+1_{3n =-inf}

⑸ n이 한없이 커질 때 n\(-1)^n의 값은 -1, 2,-3, 4,

.c3와 같이 일정한 수에 수렴하지도 않고, 양의 무한대

또는 음의 무한대로 발산하지도 않으므로 진동한다. 따 라서 이 수열은 발산(진동)한다.

05

답 _⑴ -1　⑵ 3　⑶ -2　⑷ -1/2

풀이 ⑴ _{n=inf (a_n&+b_n)=limlim n=inf a_n&+limn=inf b_n=1+(-2)=-1} ⑵ limn=inf (a_n&-b_n)=limn=inf a_n&-limn=inf b_n=1-(-2)=3 ⑶ limn=inf a_n&b_n=limn=inf a_n&\limn=inf b_n=1\(-2)=-2 ⑷ _{limn=inf a_n}

b_n = lim n=inf`a_n lim n=inf`b_n =-1/2

06

답 _⑴ 3　⑵ 5　⑶ 1　⑷ 2

풀이 ⑴ _{limn=inf`^(&3+4/n^)=limn=inf`3+4` limn=inf`1/n=3+4\0=3} ⑵ _{limn=inf`^(5-1/n^)=limn=inf`5-limn=inf`1/n=5-0=5}

⑶ limn=inf`^(1+3/n^)^(1-3/n^)=limn=inf`^(1+3/n^)`limn=inf`^(1-3/n^)

=1\1=1 ⑷ limn=inf`4+2/n+ 1n^2 2-5/n = lim n=inf`^(4+2/_{n+ 1n^2^)} lim n=inf`^(2-5/n&^) =4/2=2

07

답 ⑴ _{1/2　⑵ 4/3　⑶ 0　⑷ 1/2} 풀이 ⑴ _{n으로 분모, 분자를 각각 나누면} lim

n=inf` n-1<sub>2n+1=lim</sub>n=inf`1-1/n

2+1/n= 1-02+0=1/2

⑵ n^2으로 분모, 분자를 각각 나누면

lim

n=inf` 4n^2+3<sub>3n^2+n=lim</sub>n=inf`4+ 3n^2

3+1/n= 4+03+0=4/3

⑶ _{n^2으로 분모, 분자를 각각 나누면}

lim

n=inf`<sub>(n+1)(n+3)=lim</sub>-3n+2 n=inf` -3n+2_n^2+4n+3

=limn=inf` -3/n+ 2n^2

1+4/_{n+ 3n^2}= 0+01+0+0=0

⑷ _{rtn으로 분모, 분자를 각각 나누면}

lim

n=inf`<sub>rtn+2&+rtn=lim</sub>rtn n=inf` rt1

41+2/nr+rt1= 11+1=1/2

08

답 ⑴ _{1/2　⑵ 3　⑶ 2}

풀이 ⑴ _{1+2+3+.c3+n=sigk=1^n `k= n(n+1)}

2 이므로 lim

n=inf` 1+2+3+.c3+n<sub>n^2</sub> =limn=inf` n(n+1)_2n^2 =limn=inf` n+1_2n =1/2

⑵ _{1^2&+2^2&+3^2&+.c3+n^2=sigk=1^n `k^2}

=n(n+1)(2n+1)₆ 이므로

lim

n=inf`<sub>1^2+2^2+3^2+.c3+n^2 =lim</sub>n^3 n=inf`_n(n+1)(2n+1)6n^3 =3 ⑶ ^(1+1/2^)^(1+1/3^)^(1+1/4^).c3^(1+ 1_{n+1`^)</sub> =3/2\4/3\5/4\.c3\ n+2<sub>n+1~=</sub>n+2<sub>2 `} 이므로 lim n=inf` n ^(1+1/2^)^(1+1/3^)^(1+1/4^).c3^(1+ 1<sub>n+1 ^)</sub> =limn=inf` 2n_{n+2 =2}

09

답 ⑴ _{12　⑵ 4　⑶ -2}

풀이 ⑴ limn=inf` an-1

4n+2 =limn=inf` a-1/n 4+2/n=a/4

즉, a/4=3이므로 a=12 ⑵ _{limn=inf` 2(2n+3)(n-2)}

an^2+1 =limn=inf` 4n^2-2n-12an^2+1 =limn=inf`4-2/n- 12n^2

a+ 1_n^2 =4/a

즉, 4/a=1이므로 a=4

⑶ limn=inf` an^2-2n+3<sub>(n+4)^2 =lim</sub>n=inf` an^2-2n+3_n^2+8n+16

=limn=inf`a-2/n+ 3n^2 1+8/n+ 16_n^2 =a ∴ a=-2

I. 수열의 극한

003

10

답 _⑴ a=0, b=4　　　⑵ a=0, b=-3

⑶ a=-1/2, b=1/2

풀이 ⑴ _{limn=inf` an^2+bn+1}

2n-3 에서 anot=0이면 발산하므로 a=0 (좌변)=limn=inf` bn+1<sub>2n-3=b</sub>/2=2 ∴ b=4 ⑵ <sub>limn=inf` bn^2-4n+3</sub> an^3+n^2-1 에서 anot=0이면 lim n=inf` bn^2-4n+3<sub>an^3+n^2-1 =0</sub>이므로 a=0 (좌변)=limn=inf` bn^2-4n+3_{n^2-1 =b} ∴ b=-3

⑶ limn=inf` (a+b)n^2+bn

rt9n^2+4n+1 에서 a+bnot=0이면 발산하므로 a+b=0　　.c3.c3 ㉠ (좌변)=limn=inf`<sub>rt9n^2+4n+1</sub>bn =limn=inf` b 59+4/_{n+ 1n^2b}=b/3=1/6 ∴ b=1/2 b=1/2을 ㉠에 대입하면 a=-1/2

11

답 ⑴ inf　⑵ -inf　⑶ 0　⑷ inf　⑸ 1/2

풀이 ⑴ limn=inf`(n^2&-2n)=limn=inf`n^2^(1-2/n) 이때 _{limn=inf`n^2=inf, limn=inf`^(1-2/n)=1이므로}

lim

n=inf`(n^2&-2n)=inf

⑵ _{limn=inf`n^(n-1/5&n^2)=limn=inf`n^2^(1-1/5&n)}

이때 limn=inf`n^2=inf, limn=inf`^(1-1/5&n)=-inf이므로

lim

n=inf`n^(n-1/5&n^2)=-inf

⑶ 분모를 _{1로 보고 분자를 유리화하면}

lim

n=inf`(n-rtn^2+1&~) =limn=inf` n-rtn^2+1₁

=limn=inf` (n-rtn^2+1&~)(n+rtn^2+1&~)<sub>n+rtn^2+1</sub> =limn=inf` -1

n+rtn^2+1=0

⑷ 분모를 유리화하면

lim

n=inf`<sub>rtn+3&-rtn</sub>1 =limn=inf` rtn+3&+rtn

(rtn+3&-rtn&)(rtn+3&+rtn&) =limn=inf` rtn+3&+rtn₃ =inf

⑸ 분모를 유리화하면

lim n=inf` 1

rtn(n+4)&-n

=limn=inf`<sub>{rtn(n+4)&-n}{rtn(n+4)&+n}</sub>rtn(n+4)&+n =limn=inf` rtn(n+4)&+n_{n(n+4)-n^2 =lim}n=inf` rtn^2+4n&+n<sub>4n</sub> =limn=inf`41+4₄/nr+1= 1+1_{4 =1}/2

12

답 ⑴ _{0　⑵ 2　⑶ 1/2　⑷ 1/2}

풀이 ⑴ limn=inf`(rtn+2&-rtn+1&~)

=limn=inf` (rtn+2&-rtn+1&~)(rtn+2&+rtn+1&~)<sub>rtn+2&+rtn+1</sub> =limn=inf`_{rtn+2&+rtn+1=0}1

⑵ _{limn=inf`(rtn^2+2n&-rtn^2-2n&~)}

=limn=inf` (rtn^2+2n&-rtn^2-2n&~)(rtn^2+2n&+rtn^2-2n&~) rtn^2+2n&+rtn^2-2n

=limn=inf`<sub>rtn^2+2n&+rtn^2-2n</sub>4n =limn=inf` 4

41+2/nf+41-2/nf = 4₁₊₁₌₂

⑶ _{limn=inf`(rtn^2+n+1&-n)}

=limn=inf` (rtn^2+n+1&-n)(rtn^2+n+1&+n)<sub>rtn^2+n+1&+n</sub> =limn=inf`_rtn^2+n+1&+nn+1&

=limn=inf` 1+1/n 41+1/_{n+ 1n^2v+1} = 1₁₊₁₌₁/2

⑷ _limn=inf` 1

rtn^2+4n&-n =limn=inf`(rtn^2+4n&-n)(rtn^2+4n&+n)rtn^2+4n&+n =limn=inf` rtn^2+4n&+n_4n

=limn=inf`41+4₄/nr+1 = 1+1_{4 =1}/2

13

답 _⑴ 2　⑵ 3/4　⑶ 1　⑷ 2rt2

풀이 _⑴ (좌변) =limn=inf` (rtn^2+an&-n)(rtn^2+an&+n)

rtn^2+an&+n

004

정답과 풀이

=limn=inf` an&

rtn^2+an&+n=limn=inf`_41+aa_/nr+1 =a/2

즉, a/2=1이므로 a=2

⑵ _{(좌변) =limn=inf`} a(rt4n^2-n&+2n)

(rt4n^2-n&-2n)(rt4n^2-n&+2n) =limn=inf` a(rt4n^2-n&+2n)_-n

=limn=inf`a^(44-1_-1/nr+2^) =-4a

즉, -4a=-3이므로 a=3/4

⑶ (좌변) =limn=inf` (rtn^2+an&-rtn^2+3&~)&(rtn^2+an&+rtn^2+3&~)

rtn^2+an&+rtn^2+3 =limn=inf`<sub>rtn^2+an&+rtn^2+3</sub>an-3 =limn=inf` a-3/n

41+a/_{nr+41+ 3n^2r}=a/2

즉, a/2=1/2이므로 a=1

⑷ (좌변) =limn=inf` artnq&(rt2n+1&-rt2n-1~~)(rt2n+1&+rt2n-1~~)

rt2n+1&+rt2n-1 =limn=inf`_{rt2n+1&+rt2n-1}2artnq

=limn=inf` 2a 42+1/nr+42-1/nr~= art2 즉_{, a} rt2=2이므로 a=2rt2

14

답 ⑴ _{-7　⑵ 1/4　⑶ 20　⑷ -3　⑸ -1/2} 풀이 _{⑴ 5a_n-3} 3a_n+2=b_n으로 놓으면 5a_n&-3=b_n(3a_n&+2)에서 a_n(5-3b_n)=3+2b_n ∴ a_n= 3+2b_n_{5-3b_n} 이때 <sub>limn=inf`b_n=2이므로</sub> lim n=inf`a_n=limn=inf` 3+2b_n<sub>5-3b_n=</sub>3+2\2<sub>5-3\2=-7</sub> ⑵ 3a_n-2<sub>a_n+1 =b_n</sub>으로 놓으면 3a_n&-2=b_n(a_n&+1)에서 a_n&(3-b_n&)=2+b_n& ∴ a_n= 2+b_n<sub>3-b_n</sub> 이때 limn=inf`b_n=-1이므로 lim n=inf`a_n=limn=inf` 2+b_n_{3-b_n=3-(-1)=1}2-1 /4 ⑶ _{na_n=b_n으로 놓으면 a_n= b_n} n 이때 limn=inf`b_n=5이므로 lim

n=inf`(4n-3)a_n =limn=inf` (4n-3)b_n_n =limn=inf`^(4-3/n^)b_n =4\5=20

⑷ a_n

3n+5=b_n으로 놓으면 a_n=(3n+5)b_n

이때 limn=inf`b_n=-4이므로

lim

n=inf` 4a_n<sub>16n+3</sub> =limn=inf` 4(3n+5)b_n

16n+3 =limn=inf`4^(3+&5/n&^)b_n

16+3/n = 4\3\(-4)₁₆ =-3

⑸ (2n^2&+3)a_n=b_n으로 놓으면 a_n= b_n_2n^2+3 이때 limn=inf`b_n=-1이므로

limn=inf`n^2&a_n=limn=inf` n^2&b_n

2n^2+3=limn=inf` b_n

2+ 3n^2= -12+0=-1/2

15

답 _{⑴ ×　⑵ ×　⑶ ×　⑷ 　⑸ }

풀이 ⑴ _{[반례] a_n=n, b_n=1/n이면}

lim

n=inf`a_n=inf, limn=inf`b_n=0이지만 lim

n=inf`a_n&b_n=limn=inf`1=1이므로 limn=inf`a_n&b_nnot=0이다.

⑵ [반례] a_n=n, b_n=2n이면

lim

n=inf`a_n=inf, limn=inf`b_n=inf이지만 lim

n=inf` b_n<sub>a_n=lim</sub>n=inf`2n/n=2이므로 limn=inf` b_n_{a_nnot=1}이다. ⑶ _{[반례] {a_n}: 1, 0, 1, 0, 1, .c3}

{b_n}: 0, 1, 0, 1, 0, .c3

이면 _{limn=inf`a_n&b_n=limn=inf`0=0이지만}

lim

n=inf`a_nnot=0, limn=inf`b_nnot=0이다.

⑷ a_n&-b_n=c_n이라 하면 limn=inf`c_n=3 이때 <sub>limn=inf`b_n=inf이므로</sub> lim n=inf`a_n=limn=inf`(b_n&+c_n)=inf ⑸ b_n a_n=c_n이라 하면 b_n=a_n&c_n 이때 <sub>limn=inf`c_n=1이므로</sub> lim n=inf`(a_n&-b_n)=limn=inf`(a_n&-a_n&c_n) =limn=inf`a_n&-limn=inf`a_n&`limn=inf`c_n& =0-0\1=0

16

답 ⑴ _{1　⑵ 4　⑶ 3　⑷ 6}

풀이 ⑴ 1+1/n-<a_n-<1+2/n에서

I. 수열의 극한

005

lim

n=inf`^(1+1/n^)=1, limn=inf`^(1+2/n^)=1이므로 lim

n=inf`a_n=1

⑵ 4n-1

n+2 -<a_n-<4n+3n+2 에서 lim

n=inf` 4n-1<sub>n+2 =4,</sub>n=inf` 4n+3lim _{n+2 =4}이므로

lim n=inf`a_n=4

⑶ _{3+ 2n^2-<a_n-<3+}4

n^2 에서 lim

n=inf`^(3+ 2n^2^)=3, limn=inf`^(3+ 4n^2^)=3이므로 lim

n=inf`a_n=3

⑷ _{2+ n}

n+3-<a_n-<2+n+2n+3 에서 lim

n=inf`^(2+ n<sub>n+3^)=3,</sub>n=inf`^(2+ n+2lim _n+3^)=3이므로

lim n=inf`a_n=3

∴ limn=inf`2a_n=2`limn=inf`a_n=2\3=6

17

답 _⑴ 1　⑵ 2　⑶ 5/2

풀이 ⑴ 부등식의 각 변을 _{n+1로 나누면}

n

n+1<a_n<n+2n+1 lim

n=inf` n<sub>n+1=1,</sub>limn=inf` n+2_n+1=1이므로

lim n=inf`a_n=1 ⑵ 부등식의 각 변을 n^2으로 나누면 2n^2+1 n^2 <a_n<2n^2+3n^2 lim

n=inf` 2n^2+1<sub>n^2 =2,</sub>n=inf` 2n^2+3lim _{n^2 =2}이므로

lim n=inf`a_n=2 ⑶ 부등식의 각 변을 _{n(2n+1)로 나누면} 5n^2-1 n(2n+1)<a_nn <n(2n+1)5n^2+3 lim

n=inf` 5n^2-1<sub>n(2n+1)=5</sub>/2, limn=inf` 5n^2+3_n(2n+1)=5/2이므로 lim n=inf` a_n_{n =5}/2

18

답 _{⑴ 수렴　⑵ 발산　⑶ 발산　⑷ 수렴　⑸ 발산} 풀이 ⑴ 주어진 등비수열의 공비는 0.5이고, -1<0.5<1 이므로 주어진 수열은 _{0에 수렴한다.} ⑵ 주어진 등비수열의 공비는 -1.1이고, -1.1<-1이므 로 주어진 수열은 진동하면서 발산한다. ⑶ 주어진 등비수열의 공비는 _{5/3이고, 5/3>1이므로 주어} 진 수열은 _{inf로 발산한다.} ⑷ 주어진 등비수열의 공비는 -1/5이고, -1<-1/5<1이 므로 주어진 수열은 0에 수렴한다. ⑸ 주어진 등비수열의 공비는 _{rt3이고, rt3>1이므로 주어진} 수열은 inf로 발산한다.

19

답 _{⑴ 발산　⑵ 수렴　⑶ 수렴　⑷ 수렴　⑸ 발산} 풀이 ⑴ 주어진 등비수열의 공비는 -2이고, -2<-1이 므로 주어진 수열은 진동하면서 발산한다. ⑵ 주어진 등비수열의 공비는 _{2/3이고, -1<2/3<1이므로} 주어진 수열은 0에 수렴한다. ⑶ 주어진 등비수열의 공비는 _{0.1이고, -1<0.1<1이므} 로 주어진 수열은 0에 수렴한다. ⑷ 주어진 등비수열의 공비는 _{1이므로 주어진 수열은 4에} 수렴한다. ⑸ 주어진 등비수열의 공비는 _{rt2이고, rt2>1이므로 주어진} 수열은 inf로 발산한다.

20

답 ⑴ 수렴, 0 ⑵ 발산 ⑶ 수렴, 1　 ⑷ 수렴, -1 ⑸ 수렴, 1 풀이 ⑴ 3^n으로 분모, 분자를 각각 나누면 lim

n=inf` 2^n&+1<sub>3^n+1=lim</sub>n=inf`^(2/3^)^^n+^(1/3^)^^n

1+^(1/3^)^^n = &0+01+0=0

따라서 주어진 수열은 수렴하고_{, 그 극한값은 0이다.} ⑵ 4^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

lim

n=inf` 5^n-1<sub>4^n =lim</sub>n=inf`^(5/4^)^^n-^(1₁ /4^)^^n=inf-0=inf

따라서 주어진 수열은 발산한다. ⑶ _{4^n으로 분모, 분자를 각각 나누면}

lim

n=inf` 4^n+3<sub>2^2&^n-2 =limn=inf` 4^n+3</sub>

4^n-2 =limn=inf` 1+3\^(1/4^)^^n 1-2\^(1/4^)^^n = &1+0_1-0=1 따라서 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은 1이다. ⑷ _{5^n으로 분모, 분자를 각각 나누면} lim

n=inf` 2^n-5^n<sub>2^n+5^n =lim</sub>n=inf`^(2/5^)^^n-1

^(2/5^)^^n+1= &0-10+1=-1

따라서 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은 -1이다. ⑸ _{3^n으로 분모, 분자를 각각 나누면}

lim

n=inf` 3^n^+^1+(-2)^n<sub>3^n&^+&^1-(-2)^n =limn=inf` 3\3^n+(-2)^n</sub>

3\3^n-(-2)^n =limn=inf`3+^(-2/3^)^^n 3-^(-2/3^)^^n= 3+03-0=1 따라서 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은 1이다.

006

정답과 풀이 (001~019)미적분해설1단원ok.indd 6 18. 10. 26. 오후 8:51

21

답 _⑴ 2　⑵ 1　⑶ -4　⑷ -1

풀이 ⑴ 2^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

lim

n=inf` 2^n^+^1<sub>2^n+1=lim</sub>n=inf` 2\2^n_2^n+1=limn=inf` 2

1+^(&1/2&^)^^n= 21+0=2

⑵ 9^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

lim

n=inf` 9^n-3^n<sub>9^n+3^n =lim</sub>n=inf`1-^(1/3^)^^n

1+^(1/3^)^^n= 1-01+0=1

⑶ _{3^n으로 분모, 분자를 각각 나누면}

lim

n=inf` 2^n-4\3^n<sub>2^n+3^n =lim</sub>n=inf`^(2/3^)^^n-4

^(2/3^)^^n+1= 0-40+1=-4

⑷ _{4^n으로 분모, 분자를 각각 나누면}

lim

n=inf` 3^n^+^1-2^2^n<sub>4^n+3^n</sub> =limn=inf` 3\3^n-4^n

4^n+3^n =limn=inf` 3\^(3/4^)^^n-1 1+^(3/4^)^^n = 0-1_1+0=-1

22

답 ⑴ _{3　⑵ 9　⑶ 7　⑷ 1　⑸ 1} 풀이 ⑴ _{4^n으로 분모, 분자를 각각 나누면} lim

n=inf` 3\4^n+2<sub>4^n</sub> =limn=inf`3+2\^(1₁ /4^)^^n= 3+0_{1 =3}

⑵ 3^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

lim

n=inf` 3^n^+^2<sub>3^n+2^n =lim</sub>n=inf` 9\3^n_{3^n+2^n =lim}n=inf` 9

1+^(&2/3&^)^^n= 91+0 =9

⑶ 5^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

lim

n=inf` 7\5^n-3^n<sub>5^n+3^n+1 =limn=inf`</sub> 7-^(3/5^)^^n

1+^(3/5^)^^n+^(1/5^)^^n =_1+0+0=77-0

⑷ _{4^n으로 분모, 분자를 각각 나누면}

lim

n=inf` 4^n+2^n+1<sub>(2^n+1)^2 =limn=inf` 4^n+2^n+1</sub>

4^n+2\2^n+1 =limn=inf` 1+^(1/2^)^^n+^(1/4^)^^n 1+2\^(1/2^)^^n+^(1/4^)^^n = 1+0+0_1+0+0=1 ⑸ _{6^n으로 분모, 분자를 각각 나누면} lim

n=inf`<sub>(3^n+1)(2^n+1)</sub>6^n+3^n <sub>=limn=inf`</sub> 6^n+3^n

6^n+3^n+2^n+1 =limn=inf` 1+^(1/2^)^^n 1+^(1/2^)^^n+^(1/3^)^^n+^(1/6^)^^n =_1+0+0+0=11+0

23

답 ⑴ _{0　⑵ 1/2　⑶ 1} 풀이 ⑴ 0<r<1일 때, limn=inf`r^n=0이므로 lim n=inf` r^n_1+r^n=1+0=00 ⑵ r=1일 때, limn=inf`r^n=1이므로 lim n=inf` r^n_1+r^n=1+1=11 /2 ⑶ r>1일 때, limn=inf`r^n=inf이므로 r^n으로 분모, 분자를 각각 나누면 lim

n=inf` r^n<sub>1+r^n=lim</sub>n=inf` 1

^(1/r^)^^n+1= 10+1=1

24

답 _⑴ 0<r<1일 때 1, r=1일 때 0, r>1일 때 -1

⑵ _{0<r<1일 때 0, r=1일 때 0, r>1일 때 1}

풀이 ⑴ _{r1par 0<r<1일 때, limn=inf`r^n=0이므로 n=inf` 1-r^nlim}

1+r^n=1-01+0=1 r2

par r=1일 때, limn=inf`r^n=1이므로

_{n=inf` 1-r^nlim}

1+r^n=1-11+1=0 r3

par r>1일 때, limn=inf`r^n=inf이므로 r^n으로 분모, 분자를

각각 나누면

_{n=inf` 1-r^nlim}

1+r^n=limn=inf`

^(1/r^)^^n-1

^(1/r^)^^n+1= 0-10+1=-1

⑵ r1par 0<r<1일 때, limn=inf`r^n=0이므로 n=inf` r^2^n-r^nlim

r^2^n+1 =0-00+1=0 r2

par r=1일 때, limn=inf`r^n=1이므로

n=inf` r^2^n-r^nlim

r^2^n+1 =1-11+1=0 r3

par r>1일 때, limn=inf`r^n=inf이므로 r^2^n으로 분모, 분자를

각각 나누면 n=inf` r^2^n-r^nlim r^2^n+1 =limn=inf` 1-^(1/r^)^^n 1+^(1/r^)^^2^^n= 1-01+0=1

25

답 ⑴ _{-1/2<x-<1/2 ⑵ -3-<x<3} ⑶ _-4<x-<-2 ⑷ -2<x-<6 ⑸ -6/5<x-<4/5 ⑹ 0-<x-<2 ⑺ -3<x-<-1 ⑻ x=4 또는 1-<x<3 ⑼ _{x=3 또는 -3/2<x-<1/2} 풀이 _{⑴ 공비가} 2x이므로 수렴하려면 -1<2x-<1　　∴ -1/2<x-<1/2 ⑵ 공비가 _{-x/3이므로 수렴하려면} -1<-x/3-<1　　∴ -3-<x<3 I. 수열의 극한

007

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 7 18. 10. 26. 오후 8:51

⑶ 공비가 _{x+3이므로 수렴하려면} -1<x+3-<1　　∴ -4<x-<-2 ⑷ 공비가 x-2 4 이므로 수렴하려면 -1< x-2_{4 -<1,}-4<x-2-<4　　∴ -2<x-<6 ⑸ 공비가 x+1/5이므로 수렴하려면 -1<x+1/5-<1　　∴ -6/5<x-<4/5 ⑹ 첫째항이 _{x, 공비가 x-1이므로 수렴하려면} x=0 또는 -1<x-1-<1 x=0 또는 0<x-<2 ∴ 0-<x-<2 ⑺ 첫째항이 _{x+1, 공비가 x+2이므로 수렴하려면} x+1=0 또는 -1<x+2-<1 x=-1 또는 -3<x-<-1 ∴ -3<x-<-1 ⑻ 첫째항이 _{x-4, 공비가 2-x이므로 수렴하려면} x-4=0 또는 -1<2-x-<1 x=4 또는 -3<-x-<-1 ∴ x=4 또는 1-<x<3 ⑼ 첫째항이 _{3-x, 공비가 1+2x} 2 이므로 수렴하려면 3-x=0 또는 -1< 1+2x_{2 -<1} x=3 또는 -2<1+2x≤2 x=3 또는 -3<2x≤1 ∴ x=3 또는 -3/2<x-<1/2 중단원 점검문제 I Ⅰ - 1. 수열의 극한 018-019쪽

01

답 ㄱ_{, ㄹ} 풀이 ㄱ. n이 한없이 커질 때 3-4n의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지므로 수열 {3-4n}은 음의 무한 대로 발산한다. ㄴ. n이 한없이 커질 때 1n^2의 값은 0에 한없이 가까워지므 로 수열 _{^{ 1n^2^}은 0에 수렴한다.} ㄷ. _{n이 한없이 커질 때 2n} n+1의 값은 2에 한없이 가까워지 므로 수열 ^{ 2n n+1^}은 2에 수렴한다. ㄹ. n이 한없이 커질 때 (-2)^n의 값은 -2, 4,-8, 16, .c3과 같이 일정한 수에 수렴하지도 않고, 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하지도 않으므로 진동한다. 따 라서 수열 _{{(-2)^n}은 발산(진동)한다.}

02

답 -3

풀이 _{limn=inf` a_n&b_n+3}

2a_n+b_n = lim n=inf`(a_nb_n+3) lim n=inf`(2a_n+b_n)= lim n=inf`a_n\limn=inf`b_n+3 2`limn=inf`a_n+limn=inf`b_n = 2\(-3)+3_{2\2-3 =-3}

03

답 -1

풀이 limn=inf`a_n=alpha(alpha는 실수)라 하면

lim

n=inf` 3a_n-1_{a_n+2 =-4}에서 3alpha-1

alpha+2 =-4 3alpha-1=-4(alpha+2), 7alpha=-7　　∴ alpha=-1 ∴ limn=inf`a_n=-1 다른 풀이 3a_n-1 a_n+2 =b_n이라 하면 a_n= 2b_n+13-b_n 이때 <sub>limn=inf`b_n=-4이므로</sub> lim n=inf`a_n=limn=inf 2b_n+1_{3-b_n =}2\(-4)+1_{3-(-4) =-1}

04

답 -2 풀이 log_2(n+1)-log_2(4n+1)=log_2` n+1 4n+1이므로 lim n=inf`{log_2(n+1)-log_2(4n+1)} =limn=inf`log_2` n+1_4n+1 이때 limn=inf` n+1 4n+1=1/4이므로 구하는 값은 log_2`1/4=-2

05

답 1 풀이 1^2&+2^2&+3^2&+.c3+n^2=sigk=1^n k^2= n(n+1)(2n+1) 6 이므로

008

정답과 풀이 (001~019)미적분해설1단원ok.indd 8 18. 10. 26. 오후 8:51

lim

n=inf` 3(1^2+2^2+3^2+.c3+n^2)<sub>n(n+1)(n-1)</sub> =limn=inf` n(n+1)(2n+1)

2n(n+1)(n-1) =limn=inf` 2n+1_2(n-1)=1

06

답 6

풀이 _{limn=inf` an^2+bn-1}

2n+5 에서 anot=0이면 발산하므로 a=0 (좌변)=limn=inf` bn-1<sub>2n+5=lim</sub>n=inf`b-1/n

2+5/n=b/2=3　　∴ b=6 ∴ a+b=6

07

답 -1/2

풀이 limn=inf`rtn&(rtn-1&-rtn&)

=limn=inf` rtn&(rtn-1&-rtn&)(rtn-1&+rtn&)<sub>rtn-1&+rtn</sub> =limn=inf`_{rtn-1&+rtn=lim}-rtn& n=inf` -rt1&

51-1/n&t+rt1 = -1_1+1=-1/2

08

답 -2

풀이 a-<0이면 limn=inf`{rtn^2+4n+3&-(an+b)}=inf이므로

a>0

∴ limn=inf`{rtn^2+4n+3&-(an+b)}

=limn=inf` {rtn^2+4n+3&-(an+b)}{rtn^2+4n+3&+(an+b)}<sub>rtn^2+4n+3&+(an+b)</sub> =limn=inf` n^2+4n+3-(an+b)^2_{rtn^2+4n+3&+an+b}

=limn=inf` (1-a^2)n^2+2(2-ab)n+3-b^2<sub>rtn^2+4n+3&+(an+b)</sub> =limn=inf`(1-a^2)n+2(2-ab)+ 3-b^2n

51+4/_{n+ 3n^2b+a+b}/n

이때 극한값이 4이므로

1-a^2=0, 2(2-ab)_{1+a =4}

위의 두 식을 연립하여 풀면 _{a=1, b=-2 (∵ a>0)} ∴ ab=-2

09

답 -1/3 풀이 (3n+2)a_n=b_n으로 놓으면 a_n= b_n 3n+2 이때 limn=inf`b_n=-1이므로 lim

n=inf`(n+3)a_n =limn=inf` (n+3)b_n_{3n+2 =lim}n=inf`^(1+&3/n&^)b_n 3+2/n = 1\(-1)₃ =-1/3

10

답 ㄴ 풀이 ㄱ. [반례] {a_n}: 1, 0, 1, 0, 1, .c3 {b_n}: 0, 1, 0, 1, 0, .c3 이면 두 수열 {a_n}, {b_n}은 모두 발산하지만 lim n=inf`a_n&b_n=0이므로 수열 {a_n&b_n}은 수렴한다. ㄴ. a_n&-b_n=c_n이라 하면 b_n=a_n&-c_n

이때 limn=inf`a_n&=alpha (alpha는 실수), limn=inf`c_n&=0이므로

lim

n=inf`b_n&=limn=inf`(a_n&-c_n)=limn=inf`a_n&-limn=inf`c_n=alpha (참)

ㄷ. [반례] a_n=(-1)^n이면 limn=inf`|a_n|=1이지만 limn=inf`a_n은 발산(진동)한다. ㄹ. _{[반례] a_n=1/n, b_n=2/n이면 a_n<b_n이지만} lim n=inf`a_n=limn=inf`b_n=0 따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

11

답 1 풀이 부등식의 각 변을 (3n+1)(3n-1)로 나누면 9n^2 (3n+1)(3n-1)<3n-1<a_n (3n+1)(3n-1)9n^2+3 이때 limn=inf` 9n^2 (3n+1)(3n-1)=1,n=inf`lim(3n+1)(3n-1)=19n^2+3 이므로 lim n=inf` a_n_3n-1=1

12

답 -2 풀이 공비가 -x/2이므로 수렴하려면 -1<-x/2-<1　　∴ -2-<x<2 따라서 실수 x의 최솟값은 -2이다.

13

답 -7 풀이 7&^n으로 분모, 분자를 각각 나누면 lim

n=inf` 1-7^n&^+&^1<sub>7&^n&+3^n</sub> =limn=inf`^(1/7^)^^n&-7

1+^(3/7^)^^n = 0-7_1+0=-7

14

답 5

풀이 r1par |r|<3일 때, limn=inf`^(&r/3&^)^n=0이므로

_{limn=inf` r^n-3^n}

r^n+3^n =limn=inf`

^(r/3^)^n-1 ^(r/3^)^n+1=-1 r2

par |r|>3일 때, limn=inf`^(&3/r&^)^n=0이므로

limn=inf` r^n-3^n r^n+3^n =limn=inf` 1-^(3/r^)^n 1+^(3/r^)^n=1 I. 수열의 극한

009

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 9 18. 10. 26. 오후 8:51

r1

par, r2par에서 limn=inf` r^n&-3^n_r^n+3^n=-1을 만족시키는 r의 값의 범위 는 |r|<3이므로 정수 r는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이다.

15

답 ㄱ_{, ㄷ} 풀이 등비수열 {r^n}은 공비가 r이므로 수렴하려면 -1<r-<1 ㄱ. -1/2<r/2-<1/2이므로 수열 ^{^(r/2^)^^n^}은 항상 수렴한다. ㄴ. -1-<-r<1이므로 수열 {(-r)^n}은 -r=-1, 즉 r=1일 때 발산한다. ㄷ. 0-<r^2-<1이므로 수열 {r^2^n}은 항상 수렴한다. 따라서 항상 수렴하는 수열은 ㄱ_{, ㄷ이다.}

16

답 x=-2 또는 -1<x-<0 풀이 등비수열 ^{^( 1-x 3 ^)^^n^}은 공비가 1-x3 이므로 수렴하 려면 -1< 1-x_{3 -<1,}-3<1-x-<3, -4<-x-<2 ∴ -2-<x<4 .c3.c3 ㉠ 등비수열 {(x+2)(2x+1)^n-^1}은 첫째항이 x+2, 공비가 2x+1이므로 수렴하려면 x+2=0 또는 -1<2x+1-<1 ∴ x=-2 또는 -1<x-<0 .c3.c3 ㉡ ㉠, ㉡에서 x=-2 또는 -1<x-<0

I

-

2

I

급수

020~032쪽

01

답 ⑴ _{2　⑵ 1/4　⑶ 0　⑷ 1}

풀이 _{⑴ sign=1^ a_n=limn=inf`S_n=limn=inf` 2n}

n+1=2

⑵ _{n=1sig^ a_n=limn=inf`S_n=limn=inf` n^2+n+1}

4n^2 =1/4

⑶ _{n=1sig^ a_n=limn=inf`S_n=limn=inf`^( rt3}

2 ~^)^^n=0

⑷ n=1sig_{^ a_n=lim}n=inf`S_n=limn=inf`^{1+^(1/3^)^^n^}=1

02

답 ⑴ n(n+1) 2 　⑵ n^2　 ⑶ nn+1　 ⑷ _{1-^(1/2^)^^n　⑸ rtn+1&-1} 풀이 ⑴ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면 a_n=n 따라서 첫째항부터 제_{n항까지의 부분합 S_n은} S_n=1+2+3+.c3+n =sigk=1^n `k= n(n+1)<sub>2</sub> ⑵ 주어진 급수의 제<sub>n항을 a_n이라 하면 a_n=2n-1</sub> 따라서 첫째항부터 제n항까지의 부분합 S_n은 S_n=1+3+5+.c3+(2n-1) =sigk=1^n `(2k-1)=2\ n(n+1)₂ -n=n^2 ⑶ 주어진 급수의 제_{n항을 a_n이라 하면 a_n=} 1 n(n+1) 따라서 첫째항부터 제_{n항까지의 부분합 S_n은} S_n= 1_1\2+2\3+1 _3\4+.c3+1 _n(n+1)1 =^(1-1/2^)+^(1/2-1/3^)+^(1/3-1/4^)+.c3 +^(1/n- 1_n+1^) =1- 1_n+1=n+1n ⑷ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면 a_n=^(1/2^)^^n 따라서 첫째항부터 제n항까지의 부분합 S_n은 S_n=sigk=1^n ^(1/2^)^^k=1/2^{1-^(1/2^)^^n^} 1-1/2 =1-^(1/2^)^^n ⑸ 주어진 급수의 제_{n항을 a_n이라 하면} a_n=rtn+1&-rtn 따라서 첫째항부터 제_{n항까지의 부분합 S_n은} S_n=sigk=1^n (rtk+1&-rtk&) =(rt2&-1)+(rt3&-rt2&)+(rt4&-rt3&)+.c3 +(rtn+1&-rtn&) =rtn+1&-1

010

정답과 풀이 (001~019)미적분해설1단원ok.indd 10 18. 10. 26. 오후 8:51

03

답 _{⑴ 수렴}, 2 ⑵ 발산 ⑶ 발산 ⑷ 수렴_{, 4/3 ⑸ 발산} 풀이 ⑴ 주어진 급수는 첫째항이 _{2/3, 공비가 2/3인 등비수} 열의 합이므로 제_{n항까지의 부분합을 S_n이라 하면} S_n=2/3^{1-^(2/3^)^^n^} 1-2/3 =2^{1-^(2/3^)^^n^} ∴ limn=inf`S_n=2 따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 2이다. ⑵ 주어진 급수의 제<sub>n항까지의 부분합을 S_n이라 하면</sub> S_n=1^2&+2^2&+3^2&+.c3+n^2 =sigk=1^n `k^2= n(n+1)(2n+1)₆ ∴ limn=inf`S_n=inf 따라서 주어진 급수는 발산한다. ⑶ 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면 S_n=n ∴ limn=inf`S_n=inf 따라서 주어진 급수는 발산한다. ⑷ 주어진 급수는 첫째항이 _{1, 공비가 1/4인 등비수열의 합} 이므로 제_{n항까지의 부분합을 S_n이라 하면} S_n=1-^(1/4^)^^n 1-1/4 =4/3^{1-^(1/4^)^^n^} ∴ limn=inf`S_n=4/3 따라서 주어진 급수는 수렴하고<sub>, 그 합은 4/3이다.</sub> ⑸ 주어진 급수의 제<sub>n항까지의 부분합을 S_n이라 하면</sub> S_n=sigk=1^n (k+1)= n(n+1)<sub>2</sub> +n= n(n+3)<sub>2</sub> ∴ limn=inf`S_n=inf 따라서 주어진 급수는 발산한다.

04

답 ⑴ _{2　⑵ 5/2　⑶ 9　⑷ 8　⑸ 1/2} 풀이 ⑴ 주어진 급수는 첫째항이 _{1, 공비가 1/2인 등비수열} 의 합이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면 S_n=1-^(1/2^)^^n 1-1/2 =2^{1-^(1/2^)^^n^} ∴ limn=inf`S_n=2 ⑵ 주어진 급수는 첫째항이 1, 공비가 3/5인 등비수열의 합 이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면 S_n=1-^(3/5^)^^n 1-3/5 =5/2^{1-^(3/5^)^^n^} ∴ limn=inf`S_n=5/2 ⑶ 주어진 급수는 첫째항이 _{6, 공비가 1/3인 등비수열의 합} 이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면 S_n=6^{1-^(1/3^)^^n^} 1-1/3 =9^{1-^(1/3^)^^n^} ∴ limn=inf`S_n=9 ⑷ 주어진 급수는 첫째항이 2, 공비가 3/4인 등비수열의 합 이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면 S_n=2^{1-^(3/4^)^^n^} 1-3/4 =8^{1-^(3/4^)^^n^} ∴ limn=inf`S_n=8 ⑸ 주어진 급수는 첫째항이 _{1/10, 공비가 4/5인 등비수열의} 합이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면 S_n=1/10^{1-^(4/5^)^^n^} 1-4/5 =1/2^{1-^(4/5^)^^n^} ∴ limn=inf`S_n=1/2

05

답 ⑴ _{1/2　⑵ 1/2　⑶ 3/4　⑷ 2} 풀이 ⑴ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면 a_n=_{(2n-1)(2n+1)=1}1 /2&^( 1_2n-1-2n+1^)1 이므로

S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n 1/2&^( 1_2k-1-2k+1^)1 =1/2`sigk=1^n &^( 1<sub>2k-1-2k+1^)</sub>1 =1/2^{^(1-1/3^)+^(1/3-1/5^)+^(1/5-1/7^)+.c3 +^( 1<sub>2n-1-2n+1^)^}</sub>1 =1/2&^(1- 1<sub>2n+1^)=2n+1</sub>n ∴ limn=inf`S_n=1/2 ⑵ 주어진 급수의 제_{n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이} 라 하면 a_n=_(n+1)(n+2)=1 _n+1-1 _n+21 이므로 S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n ^( 1_k+1-k+2^)1 I. 수열의 극한

011

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 11 18. 10. 26. 오후 8:51

=^(1/2-1/3^)+^(1/3-1/4^)+^(1/4-1/5^)+.c3 +^( 1_n+1-n+2^)1 =1/2- 1_n+2 ∴ limn=inf`S_n=1/2 ⑶ 주어진 급수의 제<sub>n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이</sub> 라 하면 a_n=<sub>n(n+2)=1</sub>1 /2&^(&1/n- 1<sub>n+2^)</sub> 이므로 S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n 1/2^(1/k- 1<sub>k+2^)</sub> =1/2`sigk=1^n ^(1/k- 1_k+2^) =1/2^{^(1-1/3^)+^(1/2-1/4^)+^(1/3-1/5^)+.c3 +^( 1_{n-1-n+1^)+^(1}1 /n- 1_n+2^)^} =1/2&^(1+1/2- 1_n+1-n+2^)1 ∴ limn=inf`S_n=3/4 ⑷ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이 라 하면 a_n =<sub>1+2+3+.c3+n=</sub>1 <sub>n(n+1)</sub>1 2 =<sub>n(n+1)=2^(&1</sub>2 /n- 1<sub>n+1^)</sub> 이므로 S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n 2^(1/k- 1<sub>k+1^)</sub> =2^{^(1-1/2^)+^(1/2-1/3^)+^(1/3-1/4^)+.c3 +^(1/n- 1<sub>n+1^)^}</sub> =2&^(1- 1<sub>n+1^)</sub> ∴ limn=inf`S_n=2

06

답 _{⑴ 발산　⑵ 수렴}, 1　⑶ 수렴, 1　⑷ 발산 풀이 ⑴ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면 a_n=rtn+1&-rtnq~이므로 S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n (rtk+1&-rtk&~)

=(rt2&-1)+(rt3&-rt2&)+(2-rt3&)+.c3 +(rtn+1&-rtn&) =rtn+1&-1 ∴ limn=inf`S_n=inf 따라서 주어진 급수는 발산한다. ⑵ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이 라 하면 a_n= 1<sub>rtn</sub>- 1<sub>rtn+1</sub> 이므로 S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n ^( 1<sub>rtn</sub>- 1<sub>rtn+1</sub>^) =^(1- 1<sub>rt2 ^)+^(rt2 -</sub>1 <sub>rt3 ^)+^(</sub>1 <sub>rt3 -</sub>1 <sub>rt4 ^)+.c3</sub>1 +^( 1 rtn- 1rtn+1^) =1- 1<sub>rtn+1</sub> ∴ limn=inf`S_n=1 따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다. ⑶ 주어진 급수의 제_{n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이} 라 하면 a_n=_{rt2n-1 -}1 _rt2n+11 이므로 S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n ^(_{rt2k-1 -}1 _{rt2k+1 ^)}1

=^(&1- 1_{rt3 ^)+^(&rt3 -}1 _{rt5 ^)+^(&}1 _{rt5 -}1 _{rt7 ^)+.c3}1 +^(_{rt2n-1 -}1 _{rt2n+1 ^)}1 =1-_rt2n+11 ∴ limn=inf`S_n=1 따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다. ⑷ 주어진 급수의 제_{n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이} 라 하면

a_n=_{rtn+2&+rtn =rtn+2&-rtn}2

이므로

S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n (rtk+2&-rtk&)

=(rt3&-1)+(2-rt2&~)+(rt5&-rt3&~)+.c3 +(rtn+1&-rtn-1~)+(rtn+2&-rtn&) =rtn+1&+rtn+2&-1-rt2 ∴ limn=inf`S_n=inf 따라서 주어진 급수는 발산한다.

07

답 _{⑴ 발산　⑵ 수렴}, 0　⑶ 발산　⑷ 발산 풀이 ⑴ 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면 S_1=1, S_2=0, S_3=1, S_4=0, S_5=1, S_6=0, .c3 이므로 S_2_n-_1=1, S_2_n=0

따라서 limn=inf`S_2_n-_1 not= limn=inf`S_2_n이므로 주어진 급수는 발산 한다.

012

정답과 풀이

⑵ 주어진 급수의 제_{n항까지의 부분합을 S_n이라 하면} S_1=0, S_2=0, S_3=0, S_4=0, .c3 이므로 _{S_n=0} 따라서 주어진 급수는 수렴하고 그 합은 0이다. ⑶ 주어진 급수의 제_{n항까지의 부분합을 S_n이라 하면} S_1=1, S_2=-1, S_3=2, S_4=-2, S_5=3, S_6=-3, .c3 이므로 S_2_n-_1=n, S_2_n=-n

따라서 _{limn=inf`S_2_n-_1not= limn=inf`S_2_n이므로 주어진 급수는 발산} 한다. ⑷ 주어진 급수의 제_{n항까지의 부분합을 S_n이라 하면} S_1=-1, S_2=-2, S_3=-3, … 이므로 S_n=-n 따라서 주어진 급수는 발산한다.

08

답 풀이 참조 풀이 ⑴ 주어진 급수의 제_{n항을 a_n이라 하면} a_n= n_n+2 이므로 lim n=inf`a_n=limn=inf` n_n+2=1 따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다. ⑵ 주어진 급수의 제<sub>n항을 a_n이라 하면</sub> a_n= 2n-1<sub>2n+1</sub> 이므로 lim n=inf`a_n=limn=inf` 2n-1<sub>2n+1=1</sub> 따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다. ⑶ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면 a_n=4n+1 이므로 lim n=inf`a_n=limn=inf`(4n+1)=inf 따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다. ⑷ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면 a_n=(-1)^n&\n 이므로 limn=inf`a_n은 존재하지 않는다. 따라서 _{limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다.</sub> ⑸ 주어진 급수의 제<sub>n항을 a_n이라 하면</sub> a_n= n<sub>5n-1</sub> 이므로 lim n=inf`a_n=limn=inf` n<sub>5n-1 =1</sub>/5 따라서 <sub>limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다.} ⑹ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면 a_n=2n 이므로 lim n=inf`a_n=limn=inf`2n=inf 따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다. ⑺ 주어진 급수의 제<sub>n항을 a_n이라 하면</sub> a_n= 1+(-1)^n<sub>2</sub> 이므로 limn=inf`a_n은 존재하지 않는다. 따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다.

09

답 ⑴ _{1 ⑵ -2 ⑶ -1/2 ⑷ 0 ⑸ -2} ⑹ 0 ⑺ 0 ⑻ 4/3 ⑼ 1/3 ⑽ 1/2

풀이 ⑴ _{sign=1^ (a_n&-1)이 수렴하므로 limn=inf`(a_n&-1)=0}

∴ limn=inf`a_n=1

⑵ _{n=1sig^ (a_n&+2)가 수렴하므로 limn=inf`(a_n&+2)=0}

∴ limn=inf`a_n=-2

⑶ _{n=1sig^ (2a_n&+1)이 수렴하므로 limn=inf`(2a_n&+1)=0}

∴ limn=inf`a_n=-1/2

⑷ n=1sig_{^ ^(a_n&-1}/n^)이 수렴하므로 limn=inf`^(a_n&-1/n^)=0

∴ limn=inf`a_n=limn=inf`1/n=0

⑸ _{n=1sig^ ^(a_n&+ 4n}

2n+3^)이 수렴하므로 limn=inf`^(a_n&+ 4n2n+3^)=0 ∴ limn=inf`a_n=limn=inf`^(- 4n_2n+3^)=-2

⑹ n=1sig_{^ a_n이 수렴하므로 lim}n=inf`a_n=0 ⑺ n=1sig<sub>^ a_n3이 수렴하므로 lim</sub>n=inf` a_n3=0

∴ limn=inf`a_n=0

⑻ n=1sig_{^ (3a_n&-4)가 수렴하므로 lim}n=inf`(3a_n&-4)=0

∴ limn=inf`a_n=4/3

⑼ n=1sig_{^ ^(a_n&- n-1}

3n+1 ^)이 수렴하므로 n=inf`^(a_n&- n-1lim 3n+1 ^)=0 ∴ limn=inf`a_n&=limn=inf` n-1_{3n+1 =1}/3

⑽ _{n=1sig^ ^(a_n&- n^2+1}

2n^2 ^)이 수렴하므로 n=inf`^(a_n&- n^2+1lim 2n^2 ^)=0 ∴ limn=inf`a_n=limn=inf` n^2+1_{2n^2 =1}/2

10

답 ⑴ 수렴　⑵ 수렴　⑶ 발산　⑷ 수렴 ⑸ 발산　⑹ 수렴　⑺ 발산　⑻ 수렴 풀이 _{⑴ 주어진 급수의 공비는} 1/2이고, -1<1/2<1이므로 주어진 급수는 수렴한다. I. 수열의 극한

013

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 13 18. 10. 26. 오후 8:51

⑵ 주어진 급수의 공비는 2/3이고, -1<2/3<1이므로 주어진 급수는 수렴한다. ⑶ 주어진 급수의 공비는 2이고, 2>1이므로 주어진 급수는 발산한다. ⑷ 주어진 급수의 공비는 _{- 1} rt2이고, -1<- 1_{rt2 <1}이므로 주어진 급수는 수렴한다. ⑸ 주어진 급수의 공비는 3이고, 3>1이므로 주어진 급수는 발산한다. ⑹ 주어진 급수의 공비는 _3/4이고, -1<3/4<1이므로 주어진 급수는 수렴한다. ⑺ 주어진 급수의 공비는 -rt3이고, -rt3<-1이므로 주어진 급수는 발산한다. ⑻ 주어진 급수의 공비는 rt2&-1이고, -1<rt2&-1<1이므로 주어진 급수는 수렴한다.

11

답 _{⑴ 수렴}, 5/3 ⑵ 수렴, 32　⑶ 수렴, 6 ⑷ 발산 ⑸ 발산 풀이 ⑴ 첫째항 _{a=1, 공비 r=2/5에서 -1<r<1이므로} 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1 1-2/5=5/3 ⑵ 첫째항 a=16, 공비 r=1/2에서 -1<r<1이므로 주어 진 급수는 수렴하고, 그 합은 16 1-1/2=32 ⑶ 첫째항 a=6/7, 공비 r=6/7에서 -1<r<1이므로 주어 진 급수는 수렴하고, 그 합은 6 / 7 1-6/7=6 ⑷ 첫째항 a=1, 공비 r=rt2에서 r>1이므로 주어진 급수 는 발산한다. ⑸ 첫째항 _{a=3/2, 공비 r=-3/2에서 r<-1이므로 주어진} 급수는 발산한다.

12

답 _⑴ 5　⑵ 7　⑶ 1/6　⑷ -2/5　⑸ 2/3 풀이 ⑴ 첫째항 a=1, 공비 r=4/5이므로 주어진 급수의 합은 1 1-4/5=5 ⑵ 첫째항 _{a=4, 공비 r=3/7이므로 주어진 급수의 합은} 4 1-3/7=7 ⑶ 첫째항 a=^(-1/2&^)^^2=14, 공비 r=-1/ /2이므로 주어진 급 수의 합은 1/4 1-^(&&-1/2&^)=1/6

⑷ _{n=1sig^ `(-1)^n&\^(&2/3&^)^^n&=sign=1^ `~^(-&2/3&^)^^n&}

따라서 첫째항 a=-2/3, 공비 r=-2/3이므로 주어진 급수의 합은

-2/3

1-^(&&-2/3&^)=-2/5

⑸ n=1sig_{^ `2&^1&-^2^n&=sig</sub>n=1<sub>^ `2\^(&1}/4&^)^^n&

따라서 첫째항 _{a=2\1/4=1/2, 공비 r=1/4이므로 주어} 진 급수의 합은 1 / 2 1-1/4=2/3

13

답 _⑴ 2 _⑵ 3/2 ⑶ 3/2 ⑷ 5/2 ⑸ -2 ⑹ 18/7 ⑺ 39/10 ⑻ 5 풀이 ⑴ n=1sig_{^ 23^n 는 첫째항이 2}/3이고, 공비가 1/3인 등비급수 이고, sign=1_{^ 12^n 은 첫째항이 1}/2이고, 공비가 1/2인 등비급수 이다.

∴ sign=1_{^ ^( 23^n+2^n ^)=sig}1 n=1_{^ 23^n+sig}n=1_{^ 12^n} = 2/3 1-1/3`+ 1 / 2 1-1/2 =1+1=2 ⑵ n=1sig_{^ ^(1}/2^)^^n은 첫째항이 1/2이고, 공비가 1/2인 등비급수이 고, sign=1_{^ ^(1}/3^)^^n은 첫째항이 13이고, 공비가 1/ 3인 등비급수/ 이다.

∴ sign=1^ ^{^(1/2^)^^n&+^(1/3^)^^n^} =sign=1^ ^(1/2^)^^n&+sign=1^ ^(1/3^)^^n = 1/2 1-1/2`+ 1 / 3 1-1/3 =1+1/2=3/2 ⑶ _{n=1sig^ 43^n 는 첫째항이 4/3이고, 공비가 1/3인 등비급수이고,}

014

정답과 풀이 (001~019)미적분해설1단원ok.indd 14 18. 10. 26. 오후 8:51

sig

n=1_{^ 25^n 는 첫째항이 2}/5이고, 공비가 1/5인 등비급수이다. ∴ sign=1_{^ ^( 43^n-5^n^)}2 =sign=1_{^ 43^n-sig}n=1_{^ 25^n}

= 4/3 1-1/3 -2 / 5 1-1/5 =2-1/2=3/2 ⑷ _{n=1sig^ 2^n+1}

&3^n =sign=1^ 2^n&3^n+sign=1^ 1&3^n=sign=1^ ^(&2/3&^)^^n&+sign=1^ 1&3^n sig

n=1^ ^(2/3^)^^n은 첫째항이 2/3이고, 공비가 2/3인 등비급수이고, sig

n=1_{^ 13^n 은 첫째항이 1}/3이고, 공비가 1/3인 등비급수이다. ∴ sign=1^ 2^n+1_3^n =sign=1_{^ ^(2}/3^)^^n&+sign=1_{^ 13^n}

= 2/3 1-2/3+ 1 / 3 1-1/3 =2+1/2=5/2

⑸ n=1sig_{^ 2^n&-3^n4^n} =sign=1_{^ 2^n&}

4^n-sign=1^ 3^n&4^n =sign=1^ ^(1/2^)^^n&-sign=1^ ^(3/4^)^^n& sig

n=1^ ^(1/2^)^^n은 첫째항이 1/2이고, 공비가 1/2인 등비급수이

고_{, sign=1^ ^(3/4^)^^n은 첫째항이 3/4이고, 공비가 3/4인 등비급} 수이다.

∴ sign=1^ 2^n-3^n_4^n =sign=1_{^ ^(1}/2^)^^n&-sign=1_{^ ^(3}/4^)^^n

= 1/2 1-1/2 -3 / 4 1-3/4 =1-3=-2

⑹ n=1sig_{^ 3^n&+(-3)^n4^n} =sign=1_{^ 3^n}

4^n+sign=1^ (-3)^n4^n =sign=1^ ^(3/4^)^^n&+sign=1^ ^(-3/4^)^^n& sig

n=1^ ^(3/4^)^^n은 첫째항이 34이고, 공비가 3/ /4인 등비급수이고, sig

n=1^ ^(-3/4^)^^n은 첫째항이 -3/4이고, 공비가 -3/4인 등비

급수이다.

∴ sign=1^ 3^n+(-3)^n_{4^n =sign=1^ ^(3/4^)^^n&+sign=1^ ^(-3/4^)^^n}

= 3/4 1-3/4+ -3/4 1-^(&-3/4&^) =3-3/7=18/7 ⑺ _{n=1sig^ 12} 6^n 는 첫째항이 2이고, 공비가 1/6인 등비급수이고, sig n=1^ 1_3^n-^1 은 첫째항이 1이고, 공비가 1/3인 등비급수이다. ∴ sign=1^ ^( 12_{6^n +3^n-^1^)}1 =sign=1_{^ 12} 6^n &+sign=1^ 13^n-^1 = 2 1-1/6+ 11-1/3 =12/5+3/2=39/10 ⑻ _{sign=1^ 3^n^+^1} 4^n =sign=1^ 3\^(3/4^)^^n은 첫째항이 9/4이고, 공비가 3/4 인 등비급수이고, sign=1_{^ 42^n 는 첫째항이 2이고, 공비가 1}/2인 등비급수이다.

∴ sign=1^ ^( 3^n^+^1_{4^n -2^n^)}4 _{=sign=1^ 3\^(3/4^)^n&-sign=1^ 42^n}

= 9/4 1-3/4- 21-1/2 =9-4=5

14

답 ⑴ _{-1<x<1 ⑵ -1/2<x<1/2　⑶ -3<x<3} ⑷ 1<x<3 ⑸ -3<x<1 풀이 _{⑴ 주어진 급수의 공비가} x이므로 -1<x<1 ⑵ 주어진 급수의 공비가 _2x이므로 -1<2x<1　　∴ -1/2<x<1/2 ⑶ 주어진 급수의 공비가 _x/3이므로 -1<x/3<1　　∴ -3<x<3 ⑷ 주어진 급수의 공비가 x-2이므로 -1<x-2<1　　∴ 1<x<3 ⑸ 주어진 급수의 공비가 x+1 2 이므로 -1< x+1_{2 <1,}-2<x+1<2 ∴ -3<x<1

15

답 ⑴ -2<x-<0　⑵ x=0 또는 2<x<4 ⑶ _{-1<x<1　⑷ x<-1 또는 x->1} 풀이 ⑴ 주어진 등비급수의 첫째항은 x, 공비는 x+1이므 로 수렴하려면 x=0 또는 -1<x+1<1 x=0 또는 -2<x<0 ∴ -2<x-<0 ⑵ 주어진 등비급수의 첫째항은 x, 공비는 x-3이므로 수 렴하려면 x=0 또는 -1<x-3<1 I. 수열의 극한

015

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 15 18. 10. 26. 오후 8:51

∴ x=0 또는 2<x<4 ⑶ 주어진 등비급수의 첫째항은 -x, 공비는 -x이므로 수 렴하려면 x=0 또는 -1<-x<1 x=0 또는 -1<x<1 ∴ -1<x<1 ⑷ 주어진 등비급수의 첫째항은 1-x, 공비는 1/x이므로 수 렴하려면 1-x=0 또는 -1<1/x<1 x=1 또는 x<-1 또는 x>1 ∴ x<-1 또는 x->1

16

답 ⑴ _{4/33 ⑵ 47/99 ⑶ 8/45 ⑷ 23/90} ⑸ 124/999 ⑹ 21/191 ⑺ 51/161 ⑻ 269/330 풀이 ⑴ 0.o1o2=0.12+0.0012+0.000012+.c3 따라서 _{0.o1o2는 첫째항이 0.12이고, 공비가 0.01인 등비} 급수의 합이므로 0.o1o2= 0.12_1-0.01=12/99=4/33 ⑵ _{0.o4o7=0.47+0.0047+0.000047+.c3} 따라서 0.o4o7은 첫째항이 0.47이고, 공비가 0.01인 등비 급수의 합이므로 0.o4o7= 0.47_1-0.01=47/99 ⑶ _{0.1o7=0.1+0.07+0.007+0.0007+.c3} =0.1+ 0.07_1-0.1 =1/10+7/90=16/90=8/45 ⑷ _{0.2o5=0.2+0.05+0.005+0.0005+.c3} =0.2+ 0.05_1-0.1 =2/10+5/90=23/90 ⑸ _{0.o12o4=0.124+0.000124+0.000000124+.c3} = 0.124_1-0.001=124/999 ⑹ 0.o26o1=0.261+0.000261+0.000000261+.c3 = 0.261_1-0.001=261/999=21/191 ⑺ _{0.o50o4=0.504+0.000504+0.000000504+.c3} = 0.504_1-0.001=504/999=51/161 ⑻ _{0.8o1o5=0.8+0.015+0.00015+0.0000015+.c3} =0.8+ 0.015_1-0.01 =8/10+19/950=807/990=269/330

17

답 2 풀이 선분 A_1&A_2를 3 : 1로 외분하는 점이 A_3이므로 A_2A_3x=1/2A_1A_2x 선분 A_2A_3을 3 : 1로 외분하는 점이 A_4이므로 A_3A_4x=1/2\A_2A_3x=^(1/2^)^^2&\A_1A_2x

⋮ 따라서 구하는 값은 첫째항이 _{1, 공비가 1/2인 등비급수의} 합이므로 sig n=1^ A_n&A_n+_14=sign=1^ ^(1/2^)^^n-1= 1 1-1/2=2

18

답 2 풀이 semoPOQ에서 ^-PQ^-=^-OQ^-=x라고 하면 x^2&+x^2=(rt2&~)^2, 2x^2=2　　∴ x=1 (∵ x>0) 즉_{, ^-PQ^-=1이고 semoPOQZsemoP_1&OQ_1이므로} ^-PQ^- : P_1&Q_14=^-OP^- : OP_14=1 : 1/2 ∴ P_1&Q_14=1/2 같은 방법으로

P_2&Q_24=1/2`P_1&Q_14=^(&1/2&^)^^2, P_3&Q_34=1/2`P_2&Q_24=^(&1/2&^)^^3, .c3

따라서 구하는 값은 첫째항이 _{1, 공비가 1/2인 등비급수의} 합이므로

^-PQ^-+P_1&Q_14+P_2&Q_24+.c3 =1+1/2+^(&1/2&^)^^2&+^(&1/2&^)^^3&+.c3 = 1

1-1/2=2

19

답 rt2&+1

풀이 semoOP_1&P_2, semoOP_2P_3, semoOP_3&P_4, .c3는 모두 직각이등

변삼각형이므로 P_1&P_24=OP_14\sin`45°=1\ 1<sub>rt2 =rt2</sub>1 P_2&P_34=OP_24\sin`45°=P_1&P_24\sin`45°= 1<sub>rt2 \rt2 =1</sub>1 /2 P_3&P_44=OP_34\sin`45°=P_2&P_34\sin`45°=1/2\ 1<sub>rt2 =2rt2</sub>1 ⋮ 따라서 구하는 값은 첫째항이 1 rt2 , 공비가 1rt2인 등비급수 의 합이므로 P_1&P_24+P_2&P_34+P_3&P_44+.c3 = 1<sub>rt2`+1</sub>/2+ 1<sub>2rt2`+.c3</sub> = 1 rt2 1- 1<sub>rt2</sub> = 1rt2&-1 ` =rt2&+1

016

정답과 풀이 (001~019)미적분해설1단원ok.indd 16 18. 10. 26. 오후 8:51

20

답 1/3

풀이 정사각형의 한 변의 길이를 차례대로 a_1, a_2, a_3, .c3이라 하면

a_1=1/2, a_2=^(1/2^)^^2, a_3=^(1/2^)^^3, .c3

정사각형의 넓이를 차례대로 S_1, S_2, S_3, .c3이라 하면 S_1=^(1/2^)^^2=1/4, S_2=^{^(1/2^)^^2^}^^2=1/16, S_3=^{^(1/2^)^^3^}^^2=1/64, .c3 따라서 정사각형의 넓이는 첫째항이 1/4, 공비가 1/4인 등비 수열을 이루므로 구하는 정사각형의 넓이의 합은 S_1&+S_2&+S_3&+.c3= 1/4 1-1/4`=1/3

21

답 2 풀이 정사각형의 한 변의 길 A B C D A¡ B¡ D¡ 1 a™ a™

이를 차례대로 a_1, a_2, a_3 … 이라 하면

a_1=1

a_2=A_1&B_1x이고, A_1&Cs=1이므

로

A_1&Cs=2a_2 ^2&+a_2 ^2&x=rt2&a_2=1

∴ a_2= 1_rt2

즉, a_n+_1= 1

rt2a_n이므로 수열 {a_n}은 첫째항이 a_1=1,

공비가 1 rt2 인 등비수열이다. 따라서 정사각형의 넓이는 첫째항이 a_1^2=1, 공비가 ^( 1_rt2^)^^2=1/2인 등비수열을 이루므로 구하는 모든 정사각형 의 넓이의 합은 1 1-1/2=2

22

답 16/3&pai 풀이 원 C_1의 넓이는 pai\2^2=4pai 원 C_2의 넓이는 pai\^(2/2^)^^2=pai 원 _{C_3의 넓이는 pai\^(1/2^)^^2=pai/4} ⋮ 따라서 원의 넓이는 첫째항이 4pai, 공비가 1/4인 등비수열을 이루므로 구하는 모든 원의 넓이의 합은 4pai 1-1/4=16/3&pai 중단원 점검문제 I Ⅰ - 2. 급수 033-034쪽

01

답 4

풀이 limn=inf`(S_n&+2) =limn=inf`S_n&+limn=inf`2

=sign=1^ a_n&+2 =2+2=4

02

답 ㄴ 풀이 주어진 급수의 제_{n항까지의 부분합을 S_n이라 하자.} ㄱ. S_n=(rt3&-1)+(rt5&-rt3&~)+(rt7&-rt5&~)+.c3 +(rt2n+1&-rt2n-1~) =rt2n+1&-1

∴ limn=inf`S_n=limn=inf`(rt2n+1&-1)=inf (발산)

ㄴ. S_n=^(&1/2-1/3&^)+^(&1/3-1/4&^)+.c3+^( 1

n+1- 1n+2^) =1/2- 1_n+2

∴ limn=inf`S_n=limn=inf`^(&1/2- 1_{n+2 &^)=1}/2 (수렴)

ㄷ. S_n=

^{

-1 (n=2k-1)

0 (n=2k) (단, k는 자연수)

따라서 limn=inf`S_2_n&-_1&not=limn=inf`S_2_n&이므로 주어진 급수는 발산 한다. 따라서 수렴하는 급수는 ㄴ이다.

03

답 3/4 풀이 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n 이라 하면 a_n =_(n+1)^2-11 =_n(n+2)1 =1/2&^(&1/n- 1_{n+2 &^)} 이므로

S_n=sigk=1^n `a_k=sigk=1^n `1/2^(1/k- 1_{k+2 &^)} =1/2sigk=1^n ^(1/k- 1_{k+2 &^)}

=1/2^{^(1-1/3^)+^(1/2-1/4^)+^(1/3-1/5^)+.c3

+^( 1_{n-1-n+1^)+^(1}1 /n- 1_n+2&`^)^} =1/2&^(1+1/2- 1_{n+1 -n+2 ^)}1

∴ limn=inf`S_n =limn=inf`1/2&^(1+1/2- 1_{n+1 -n+2 ^)}1 =1/2&^(1+1/2&^)=3/4

I. 수열의 극한

017

04

답 1

풀이 n=2sig_{^ log_2`} n^2

(n-1)(n+1)

_{=limn=inf`sigk=2^n `log_2`} k\k

(k-1)(k+1)

_{=limn=inf``sigk=2^n `log_2`^( k}

k-1\k+1^)k

=limn=inf``^{log_2`^(&2/1\2/3&^)+log_2`^(&3/2\3/4&^)+

log_2`^(&4/3\4/5&^)+.c3+log_2^( n<sub>n-1\n+1`^)^}</sub>n =limn=inf``log_2`^(&2/1\2/3\3/2\3/4\4/3\4/5\.c3 \ n<sub>n-1 \n+1 ^)</sub>n =limn=inf``log_2` 2n n+1 =log_2`2=1

05

답 -3

풀이 n=1sig_{^ a_n이 수렴하므로 lim}n=inf`a_n=0

∴ limn=inf` 5a_n-6n+3<sub>3a_n+2n-1=lim</sub>n=inf` -6n+3_{2n-1 =-3}

06

답 1/4 풀이 첫째항이 1, 공비가 2x인 등비급수의 합이 2이므로 1 1-2x=2,1-2x=1/2, 2x=1/2 ∴ x=1/4

07

답 162 풀이 등비수열 _{{a_n}의 공비를 r (-1<r<1)라 하면} sig n=1^ a_n=9에서 12 1-r=9,1-r=4/3　　∴ r=-1/3 따라서 수열 {a_n^2}은 첫째항이 a_1 ^2=12^2=144이고, 공비가 r^2=^(-1/3&^)^^2&=1/9인 등비수열이므로 sig n=1^ `a_n^2= 144 1-1/9`=162

08

답 ㄱ_{, ㄷ} 풀이 등비급수 sign=1_{^ r^n이 수렴하므로 -1<r<1} ㄱ. -1<-r<1이므로 등비급수 sign=1_{^ (-r)^n은 수렴한다.} ㄴ. _{1/r<-1 또는 1/r>1이므로 등비급수 sign=1^ ^(1/r^)^^n은 발산} 한다. ㄷ. 0<r+1 2 <1이므로 등비급수 n=1sig^ `^(r+12 ^)^^n은 수렴한다. 따라서 항상 수렴하는 급수는 ㄱ, ㄷ이다.

09

답 4/3 풀이 sign=1_{^ 14^n 은 첫째항이 1}/4이고, 공비가 1/4인 등비급수이고, sig

n=1^ 2^n&-&^1_{3^n =sig}n=1^ 1/2&\^(&2/3&^)^^n은 첫째항이 1/3이고, 공비가 2/3인

등비급수이다.

∴ sign=1_{^ ^(& 14^n+}2^n&-&^1_{3^n ^)} =sign=1_{^ &^(&1}/4&^)^^n&+sign=1_{^ 1}/2&\^(&2/3&^)^^n&

= 1/4 1-1/4+ 1 / 3 1-2/3 =13+1=4/ /3

10

답 ㄱ_{, ㄴ}

풀이 ㄱ. n=1sig_{^ a_n=alpha, sig}n=1_{^ (a_n&-b_n)=beta (alpha, beta는 실수)라 하면}

sig

n=1^ b_n =sign=1^ {a_n&-(a_n&-b_n)} =sign=1^ a_n&-sign=1^ (a_n&-b_n) =alpha-beta

이므로 _{sign=1^ b_n도 수렴한다. (참)} ㄴ. n=1sig_{^ a_n이 수렴하므로 lim}n=inf`a_n=0

sig

n=1^ b_n이 수렴하므로 limn=inf`b_n=0 ∴ limn=inf`a_n&b_n=limn=inf`a_n`limn=inf`b_n=0 (참)

ㄷ. _{[반례] a_n=^(1/2^)^^n이면 sign=1^ a_n=} 1/2

1-1/2=1로 수렴하지

만 sign=1_{^ 1a_n=sig}n=1_{^ 2^n은 발산한다. (거짓)} 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

11

답 2

풀이 등비급수 n=1sig_{^ (log_3 x)^n-^1의 공비가 log_3 x이므로 주어} 진 급수가 수렴하려면 -1<log_3 x<1, 3&-^1<x<3　　∴ 1/3<x<3 따라서 정수 _{x는 1, 2의 2개이다.}

12

답 -4<x<-1 또는 1<x<4 풀이 sign=1_{^ ^(x}/4^)^^n이 수렴하려면 -1<x/4<1 ∴ -4<x<4 .c3.c3 ㉠ sig n=1^ ^(1/x^)^^n이 수렴하려면 -1<1/x<1 ∴ x<-1 또는 x>1 .c3.c3 ㉡ ㉠, ㉡에서 구하는 실수 x의 값의 범위는 -4<x<-1 또는 1<x<4

018

정답과 풀이 (001~019)미적분해설1단원ok.indd 18 18. 10. 26. 오후 8:51

13

답 8/9 풀이 주어진 등비급수의 공비를 _{r라 하면} 0.o4\r^2=0.o1 .c3.c3 ㉠ 이때 _{0.o4=0.4+0.04+0.004+.c3= 0.4} 1-0.1`=4/9, 0.o1=0.1+0.01+0.001+.c3= 0.1<sub>1-0.1`=1</sub>/9 이므로 이것을 ㉠에 대입하면 4 / 9&r^2=1/9, r^2=1/4 ∴ r=1/2 (∵ r>0) 따라서 주어진 등비급수의 합은 4 / 9 1-1/2=8/9

14

답 9/2&pai 풀이 A_1&A_24=3이므로 선분 A_1&A_2를 지름으로 하는 반원의 호의 길이 l_1은 l_1=1/2\2pai\3/2=3/2&pai 오른쪽 그림과 같이 선분 _{1 2} An An+2 An+1 A_n&A_n+_1을 1 : 2로 내분하는 점이 &A_n+_2이므로 5A_n+_1&A_n+_2=2/3`5A_n&A_n+_1　　 ∴ l_n+_1=2/3&l_n 따라서 구하는 급수의 합은 첫째항이 _{3/2&pai, 공비가 2/3인 등} 비급수의 합이므로 sig n=1^ l_n= 3/2&pai 1-2/3=9/2&pai

15

답 8pai-16 풀이 원 C_1은 반지름의 길이가 C¡ C™ T¡ T™ 2 4 a¡ 2인 원이므로 넓이는 pai\2^2=4pai 오른쪽 그림에서 원 C_1에 내접 하는 정사각형의 대각선의 길 이는 4이므로 정사각형 T_1의 한 변의 길이를 a_1라 하면

2a_1^2&+a_1^2x=4, rt2& a_1=4　　∴ a_1=2rt2

따라서 정사각형 T_1의 넓이는 (2rt2&)^2=8 ∴ S_1=4pai-8 한편, 정사각형 T_1에 내접하는 원 C_2의 반지름의 길이는 1 / 2&a_1=1/2\2rt2=rt2 이므로 원 _{C_2의 넓이는 pai\(rt2&)^2=2pai} 원 _{C_2에 내접하는 정사각형의 대각선의 길이는 2rt2이므로} 정사각형 T_2의 한 변의 길이를 a_2라 하면

2a_2^2&+a_2^2x=2rt2, rt2 &a_2=2rt2　　∴ a_2=2

따라서 원 C_2에 내접하는 정사각형 T_2의 넓이는 2^2=4

∴ S_2=2pai-4=1/2\(4pai-8)=1/2&S_1

⋮ 따라서 수열 _{{S_n}은 첫째항이 4pai-8, 공비가 1/2인 등비수} 열을 이루므로 sig n=1^ `S_n= 4pai-8 1-1/2=8pai-16 I. 수열의 극한

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