Ⅲ -
1I 여러 가지 적분법 126~141쪽01
답 ⑴ - 12x^2+C ⑵ - 14x^4+C⑶ (rt2&-1)xrt2&+1+C ⑷ - 13x^3+C ⑸ 2`ln`|x|+C ⑹ 2/3&xrtx~&+C ⑺ 5/7&x`^5rtx^2~&+C ⑻ 2/5&x^2rtx~&+C ⑼ 3/2&~^3rtx^2~&+C ⑽ - 2xrtx~+C
풀이 ⑴ int`x&^-^3`dx = 1-3+1~x&^-^3+1&+C=-1/2&x&^-^2&+C
=- 12x^2+C
⑵ int`x&^-&&^5`dx= 1-5+1~x&^-^5+1&+C=-1/4&x&^-^4&+C
=- 14x^4+C
⑶ int`xrt2`dx= 1rt2&+1~xrt2&+1+C=(rt2&-1)xrt2&+1+C
⑷ int 1x^4~dx =int`x&^-^4`dx= 1
-4+1~x&^-^4+1&+C
=-1/3&x&^-^3&+C=- 13x^3+C
⑸ int2/x`dx=2`int1/x`dx=2`ln~|x|+C
⑹ intrtx~`dx=int`x^1/2`dx= 1 1 /
2+1~x&1/2+1+C=2/3&x&3/2+C
=2/3&xrtx~&+C
⑺ int`^5rtx^2`dx=int`x&2/5`dx= 1 2 /
5+1`x&2/5+1+C=5/7&x&7/5+C
=5/7&x`^5rtx^2~&+C
⑻ int`xrtx~`dx=int`x&3/2`dx= 1 3 /
2+1~x&3/2+1+C
=2/5&x&5/2+C=2/5&x^2rtx&+C
⑼ int` 1^3rtx~dx=int`x-1/3`dx= 1
-1/3+1~x-1/3+1+C
=3/2&x&2/3+C=3/2~^3rtx^2~&+C
⑽ int` 3x^2rtx~dx=3int`x-5/2~dx=3\ 1
-5/2+1~x-5/2+1+C
=-2x-3/2+C=- 2xrtx~~+C
02
답 ⑴ 1/2&x^2&+ln|x|+C ⑵ 1/2&x^2&+2/3&xrtx~&+C ⑶ x^2&-2rtx~&+C ⑷ 3/2&x^2&+1/x+C ⑸ 1/2&x^2&+2x-ln|x|+C ⑹ x-2`ln|x|+C ⑺ 2/3&x&rtx&+x+C ⑻ x-1/x+2`ln|x|+C ⑼ 1/3&x^3&-1/x-2x+C ⑽ 1/2&x^2&+2x+ln|x|+C ⑾ x-4rtx~&+ln|x|+C풀이 ⑴ int` x^2&+1x ~dx =int`^(x+1/x)dx=int`xdx+int1/x&dx
=1/2&x^2&+ln|x|+C
⑵ int`(x+rtx~&~)dx=int`xdx+intrtx~ &dx=int`xdx+int`x^1/2dx
=1/2&x^2&+2/3&x&3/2+C
=1/2&x^2&+2/3&xrtx~&+C
⑶ int`^(2x- 1rtx~~~)dx=int`2xdx-int` 1 rtx~~~dx
=2int`xdx-int`x-1/2&dx
=2\1/2&x^2&-2x^1/2+C
=x^2&-2rtx~&+C
⑷ int` 3x^3&-1x^2 ~dx=int`^(3x-1
x^2)dx=3int`xdx-int`x&^-&^2~dx
=3\1/2&x^2&-(-x&^-1)+C
=3/2&x^2&+1/x+C
⑸ int` x^2&+2x-1x ~dx=int^(x+2-1/x)~dx
=int`xdx+int`2dx-int1/x&dx
=1/2&x^2&+2x-ln|x|+C
⑹ int` x^2&-x-2x(x+1) ~dx=int`(x-2)(x+1)
x(x+1) ~dx=int`x-2 x ~dx
=int^(1-2/x)dx=x-2`ln|x|+C
⑺ int` x-1rtx~&-1~dx=int` (x-1)(rtx~&+1) (rtx~&-1)(rtx~&+1)~dx
=int` (x-1)(rtx~&+1)x-1 ~dx=int&(rtx~&+1)dx
=2/3&x&3/2+x+C=2/3&xrtx~&+x+C
⑻ int` (x+1)^2x^2 ~dx=int`^(x+1
x )^2dx=int`^(1+1/x)^2&dx
=int`^(1+2/x+ 1x^2)~dx
Ⅲ. 적분법 077
(077~088)미적분해설3단원-1ok.indd 77 18. 10. 26. 오후 9:03
=x+2`ln|x|-x&^-1&+C
=x-1/x+2`ln|x|+C
⑼ int`^(x-1/x)^2&dx=int`^(x^2&+ 1x^2&-2)~dx
=1/3&x^3&-1/x-2x+C
⑽ int`^(rtx~&+ 1rtx~~)^2&dx=int`^(x+2+&1/x&)~dx
=1/2&x^2&+2x+ln|x|+C
⑾ int` (rtx~~&-1)^2x ~dx=int` x-2rtx~&+1x ~dx
=int`^(1- 2rtx~~+1/x)~dx
=x-4rtx~&+ln|x|+C
03
답 ⑴ e^x^-1&+C ⑵ e^x+^2&+C ⑶ 2e^x&+C ⑷ 3e^x^-^3&+C ⑸ e^2^x2 +C ⑹ 2^x
ln`2+C ⑺ - 13^x`ln`3`+C ⑻ - 1
25^x`ln`25+C ⑼ 2\4^x
ln`2` +C ⑽ 7^x&+C
풀이 ⑴ int`e^x^-1&dx=int` e^xe~dx=1/e~int`e^x&dx=e^x^-1&+C
⑵ int`e^x+^2&dx=e^2~int`e^x&dx=e^x+^2&+C
⑶ int`2e^x&dx=2~int`e^x&dx=2e^x&+C
⑷ int`3e^x^-^3&dx= 3e^3`int`e^x&dx&=3e^x^-^3&+C
⑸ int`e^2^x&dx=int`(e^2)^x&dx= e^2&^xln`e^2+C=e^2&^x 2 +C
⑹ int`2^x&dx= 2^xln`2+C
⑺ int^(1/3)^^x&dx=^(1/3)^^x
ln`1/3+C=- 13^x`ln`3+C
⑻ int`5&^-&&^2^x&dx=int^(1/25)^^x&dx=^(1/25)^^x ln`1/25+C
=- 1
25^x`ln`25+C
⑼ int`4^x+1&dx=4int`4^x&dx= 4\4^xln`4 +C=4\4^x 2`ln`2+C
= 2\4^xln`2 +C
⑽ int`7^x`ln`7dx=ln`7`int`7^x&dx=ln`7\ 7^xln`7+C=7^x&+C
04
답 ⑴ e^x&- 12^x`ln`2+C ⑵ 2e^x&- 3^xln`3+C⑶ e^x&&+1&- 4^xln`4+C ⑷ e^x+^3&+ln|x|+C ⑸ 3^xln`3+C ⑹ 4^xln`4+2^x&+&1
ln`2+x+C
⑺ 25^2&^x-1
25^x`ln`25-2x+C ⑻ e^2&^x
2 -x+C ⑼ e^x&+x+C ⑽ 3^xln`3+x+C ⑾ e^x&+3x+ln|x|+C
풀이 ⑴ int`(e^x&+2&^-&^x)dx =int`^{e^x&+^(1/2)^^x^}dx
=int`e^x&dx+int^(1/2)^^x&dx
=e^x&+^(1/2)^^x ln`1/2+C
=e^x&- 12^x`ln`2+C
⑵ int`(2e^x&-3^x)dx=2e^x&- 3^xln`3+C
⑶ int`(e^x+1&-2^2^x)dx=int`(e^x+1&-4^x)dx=e^x+1&- 4^xln`4+C
⑷ int`^(e^x+^3&+1/x)dx=e^x+^3&+ln|x|+C
⑸ int` 6^x2^x~dx=int`2^x\3^x
2^x ~dx=int`3^x&dx= 3^x ln`3+C
⑹ int`(2^x&+1)^2&dx=int`(4^x&+2^x+1&+1)dx
= 4^xln`4+2^x&+&1 ln`2+x+C
⑺ int`(5^x&-5&^-&^x)^2&dx=int`^(25^x&+ 125^x-2)dx
= 25^x&ln`25- 1
25^x&`ln`25-2x+C
= 25&^2^x&-125^x&`ln`25-2x+C
⑻ int`(e^x&+1)(e^x&-1)dx=int`(e^2^x&-1)dx= e&^2^x&ln`e^2-x+C
= e&^2^x&2 -x+C
⑼ int` (e^x)^2-1&e^x-1 ~dx=int`(e^x&-1)(e^x&+1)&
e^x-1 ~dx
=int`(e^x&+1)dx
=e^x&+x+C
⑽ int` 9^x-13^x-1~dx=int`(3^x-1)(3^x+1)
3^x-1 ~dx=int`(3^x&+1)dx
= 3^x&ln`3+x+C
⑾ int` xe^x+3x+1x ~dx=int`^(e^x&+3+1/x)~dx
=e^x&+3x+ln|x|+C
05
답 ⑴ -cot`x+C ⑵ tan`x+C ⑶ -csc`x+C ⑷ 3`sin`x-2`cos`x+C ⑸ sin`x+cot`x+C ⑹ tan`x+sec`x+C 078 정답과 풀이(077~088)미적분해설3단원-1ok.indd 78 18. 10. 26. 오후 9:03
⑺ -csc`x+cot`x+C ⑻ tan`x+x+C ⑼ x-cot`x+C
풀이 ⑴ 1
sin^2`x=csc^2`x이므로
int` 1sin^2`x~dx=int`csc^2&x`dx=-cot`x+C
⑵ 1
cos^2`x=sec^2`x이므로
int` 1cos^2`x~dx=int`sec^2`x`dx=tan`x+C
⑶ int` 1
sin`x`tan`x~dx=int`csc`x`cot`x`dx=-csc`x+C
⑷ int`(2`sin`x+3`cos`x)dx
=2`int`sin`x`dx+3`intcos`x`dx
=-2`cos`x+3`sin`x+C
⑸ int`(cos`x-csc^2`x)dx=sin`x-(-cot`x)+C
=sin`x+cot`x+C
⑹ int`(sec`x+tan`x)sec`x`dx
=int`sec^2`x`dx+int`sec`x`tan`x`dx
=tan`x+sec`x+C
⑺ int`csc`x(cot`x-csc`x)dx
=int`csc`x`cot`x`dx-int`csc^2`x`dx
=-csc`x-(-cot`x)+C
=-csc`x+cot`x+C
⑻ int` 1+cos^2`xcos^2`x ~dx =int^( 1cos^2`x+1)~dx
=int`(sec^2`x+1)dx=tan`x+x+C
⑼ csc`x= 1sin`x이므로 sin`x`csc`x=1 int`(sin`x+csc`x)csc`x`dx
=int`sin`x`csc`x`dx+int`csc^2`x`dx
=int`dx+int`csc^2`x`dx
=x-cot`x+C
06
답 ⑴ x+sin`x+C ⑵ tanx+C ⑶ sin`x+C ⑷ -cos`x-2`sin`x+C ⑸ -cot`x+C ⑹ tan`x-x+C ⑺ -cot`x-x+C ⑻ -cot`x+x+C ⑼ tan`x-cot`x+C ⑽ tan`x-sec`x+C풀이 ⑴ sin^2`x=1-cos^2`x이므로 int` sin^2`x1-cos`x~dx=int`1-cos^2`x
1-cos`x ~dx
=int` (1-cos`x)(1+cos`x)1-cos`x ~dx
=int`(1+cos`x)dx
=x+sin`x+C
⑵ 1-sin^2`x=cos^2`x이므로 int` 1
1-sin^2`x~dx=int` 1 cos^2`x~dx
=int`sec^2`x`dx=tan`x+C
⑶ cot`x= cos`xsin`x ~이므로
int`sin`x`cot`x`dx=intcos`x`dx=sin`x+C
⑷ tan`x= sin`xcos`x~이므로 int`(tan`x-2)cos`x`dx
=inttan`x`cos`x`dx-int`2`cos`x`dx
=int`sin`x`dx-2`intcos`x`dx
=-cos`x-2`sin`x+C
⑸ int`cot`x`csc`x`sec`x`dx
=int`^( cos`xsin`x \ 1 sin`x \ 1
cos`x )dx
=int` 1sin^2`x ~dx=int`csc^2`x`dx
=-cot`x+C
⑹ 1+tan^2`x=sec^2`x에서 tan^2`x=sec^2`x-1
∴ int`tan^2`x`dx=int`(sec^2`x-1)dx
=tan`x-x+C
⑺ 1+cot^2`x=csc^2`x에서 cot^2`x=csc^2`x-1
∴ int`cot^2`x`dx=int`(csc^2`x-1)dx
=-cot`x-x+C
⑻ 1-cos^2`x=sin^2`x이므로 int` 1+sin^2`x1-cos^2`x ~dx=int`1+sin^2`x
sin^2`x ~dx
=int`(csc^2`x+1)dx
=-cot`x+x+C
⑼ sin^2`x+cos^2`x=1이므로 int` 1
sin^2`x`cos^2`x ~dx=int`sin^2`x+cos^2`x sin^2`x`cos^2`x ~dx
=int`^( 1cos^2`x + 1 sin^2`x ~)~dx
=int`sec^2`x~dx+int`csc^2`x~dx
=tan`x-cot`x+C
⑽ 분모, 분자에 각각 1-sin`x를 곱하면 int` 1
1+sin`x ~dx=int` 1-sin`x
(1+sin`x)(1-sin`x) ~dx~
=int` 1-sin`x1-sin^2`x ~dx=int`1-sin`x cos^2`x ~dx
Ⅲ. 적분법 079
(077~088)미적분해설3단원-1ok.indd 79 18. 10. 26. 오후 9:03
=int`^( 1cos^2`x ~/ 1
cos`x \sin`x cos`x )~dx
=int`(sec^2`x-sec`x`tan`x)dx
=tan`x-sec`x+C
07
답 ⑴ 1/3(2x-1)^3&+C ⑵ 1/4(x+1)^4&+C ⑶ 1/2(x^2&-2)^2&+C ⑷ ^(1/5&x+2)^^5&+C ⑸ 1/3(x^4&-1)^3&+C ⑹ 1/4(x^2&+3x)^4&+C ⑺ 1/6(x^3&-2x+3)^6&+C ⑻ 1/4(x^2&-2x-1)^2&+C풀이 ⑴ 2x-1=t로 놓으면 2&dx/dt=1
∴ int`2(2x-1)^2&dx=int`2\t^2&\1/2&dt=int&t^2&dt
=1/3&t^3&+C
=1/3(2x-1)^3&+C
⑵ x+1=t로 놓으면 dx/dt=1
∴ int`(x+1)^3&dx=int`t^3&dt=1/4&t^4&+C
=1/4(x+1)^4&+C
⑶ x^2&-2=t로 놓으면 2x&dx/dt=1
∴ int`2x(x^2&-2)dx=int`tdt=1/2&t^2&+C
=1/2(x^2&-2)^2&+C
⑷ 1/5&x+2=t로 놓으면 1/5\dx/dt=1
∴ int^(1/5&x+2)^4&dx=int`t^4&\5`dt=int`5t^4&dt
=t^5&+C=^(1/5&x+2)^5&+C
⑸ x^4&-1=t로 놓으면 4x^3&dx/dt=1
∴ int`4x^3(x^4&-1)^2&dx=int`t^2&dt=1/3&t^3&+C
=1/3(x^4&-1)^3&+C
⑹ x^2&+3x=t로 놓으면 (2x+3)dx/dt=1
∴ int`(2x+3)(x^2&+3x)^3&dx=int`t^3&`dt=1/4&t^4&+C
=1/4(x^2&+3x)^4&+C
⑺ x^3&-2x+3=t로 놓으면 (3x^2&-2)dx/dt=1
∴ int`(3x^2&-2)(x^3&-2x+3)^5`dx
=int`(3x^2&-2)\t^5&\ 13x^2-2~dt
=int`t^5`dt=1/6&t^6&+C
=1/6(x^3&-2x+3)^6&+C
⑻ x^2&-2x-1=t로 놓으면 (2x-2)dx/dt=1
∴ int`(x-1)(x^2&-2x-1)dx
=int`(x-1)\t\ 1 2(x-1)dt
=intt/2&dt=1/4&t^2&+C
=1/4(x^2&-2x-1)^2&+C
08
답 ⑴ 2rtx^2+1&+C ⑵ 2/9(3x+4)rt3x+4&+C ⑶ -2/3(5-x)rt5-x&+C⑷ 2/5(x-1)^2rtx-1&+2/3(x-1)rtx-1&+C ⑸ 2rtx+1&+C ⑹ 1/3(x^2&+5)rtx^2+5&+C ⑺ 2/3(x^2&+5x)rtx^2+5x&+C ⑻ 2rtx^3+x+2&+C ⑼ 2/3(1-x)rt1-x&-4rt1-x&+C
풀이 ⑴ rtx^2+1=t로 놓고 양변을 제곱하면 x^2&+1=t^2이고 2x&dx/dt=2t
∴ int` 2xrtx^2+1~dx=int`1/t\2t~dt=int`2dt
=2t+C
=2rtx^2+1&+C
⑵ rt3x+4=t로 놓고 양변을 제곱하면 3x+4=t^2이고 3&dx/dt=2t
∴ intrt3x+4&`dx=int`t\2t/3&dt=int2/3&t^2&`dt
=2/9&t^3&+C
=2/9(3x+4)rt3x+4&+C
⑶ rt5-x=t로 놓고 양변을 제곱하면 5-x=t^2이고 (-1)dx/dt=2t
∴ intrt5-x`dx=int`t\(-2t)dt=int`(-2t^2)dt
=-2/3&t^3&+C
=-2/3(5-x)rt5-x&+C
⑷ rtx-1=t로 놓고 양변을 제곱하면 x-1=t^2이고 x=t^2&+1 ∴ dx/dt=2t
∴ int&xrtx-1`dx
=int&(t^2&+1)t\2t`dt
=int&(2t^4&+2t^2)dt 080 정답과 풀이
(077~088)미적분해설3단원-1ok.indd 80 18. 10. 26. 오후 9:03
=2/5&t^5&+2/3&t^3&+C
=2/5(x-1)^2rtx-1&+2/3(x-1)rtx-1&+C
⑸ rtx+1=t로 놓고 양변을 제곱하면 x+1=t^2이고 dx
/ dt=2t
∴ int` 1rtx+1~~dx=int1/t\2t`dt=int`2dt
=2t+C
=2rtx+1&+C
⑹ rtx^2+5=t로 놓고 양변을 제곱하면 x^2&+5=t^2이고 2x&dx/dt=2t
∴ int`xrtx^2+5`dx=int`t^2`dt=1/3&t^3&+C
=1/3(x^2&+5)rtx^2+5&+C
⑺ rtx^2+5x=t로 놓고 양변을 제곱하면 x^2&+5x=t^2이고 (2x+5)dx/dt=2t
∴ int`(2x+5)rtx^2+5x`dx=int`t\2t~dt
=int`2t^2`dt=2/3&t^3&+C
=2/3(x^2&+5x)rtx^2+5x&+C
⑻ rtx^3+x+2=t로 놓고 양변을 제곱하면 x^3&+x+2=t^2 이고 (3x^2&+1)dx/dt=2t
∴ int` 3x^2+1rtx^3+x+2~dx=int`1/t\2t`dt=int`2`dt
=2t+C=2rtx^3+x+2&+C
⑼ rt1-x=t로 놓고 양변을 제곱하면 1-x=t^2이고 x=1-t^2 ∴ dx/dt=-2t
∴ int` 1+xrt1-x~dx=int`1+(1-t^2)
t \(-2t)dt
=int`(2t^2&-4)dt=2/3&t^3&-4t+C
=2/3(1-x)rt1-x&-4rt1-x&+C
09
답 ⑴ 2ex^2&+C ⑵ -e&^-&^x&+C⑶ 1/3(e^x&-1)^3&+C ⑷ 2/3(e^x&+2)rte^x+2&+C
풀이 ⑴ x^2=t로 놓으면 2x&dx/dt=1
∴ int`4xex^2`dx=int`2e^t`dt=2e^t&+C
=2ex^2&+C
⑵ -x=t로 놓으면 -dx/dt=1
∴ int`e&^-&^x`dx=int`e^t&\(-1)dt=-int`e^t&`dt
=-e^t&+C
=-e&^-&^x&+C
⑶ e^x&-1=t로 놓으면 e^x=t+1이고 e^x&dx/dt=1
∴ int`(e^x&-1)^2&e^x`dx=int`t^2`dt=1/3&t^3&+C
=1/3(e^x&-1)^3&+C
⑷ rte^x+2=t로 놓고 양변을 제곱하면 e^x&+2=t^2이고 e^x&dx/dt=2t
∴ int`e^xrte^x+2`dx=int`t\2t~dt=int`2t^2`dt
=2/3&t^3&+C
=2/3(e^x&+2)rte^x+2&+C
10
답 ⑴ 1/2(ln`x)^2&+C ⑵ 1/3(ln`x)^3&+C ⑶ 1/2{ln(x+1)}^2&+C⑷ 2/3(ln`2+2)2ln`x+2x+C
풀이 ⑴ ln`x=t로 놓으면 1/x\dx/dt=1
∴ int` ln`xx ~dx=int`ln`x\1/x~dx=int`t`dt
=1/2&t^2&+C
=1/2(ln`x)^2&+C
⑵ ln`x=t로 놓으면 1/x\dx/dt=1
∴ int` (ln`x)^2x ~dx=int`(ln`x)^2&\1/x~dx=int`t^2`dt
=1/3&t^3&+C
=1/3(ln`x)^3&+C
⑶ ln(x+1)=t로 놓으면 1x+1\dx/dt=1
∴ int` ln`(x+1)x+1 ~dx=int`ln(x+1)\ 1
x+1~dx=int&t~dt
=1/2&t^2&+C
=1/2{ln(x+1)}^2&+C
⑷ rtln`x+2z=t로 놓고 양변을 제곱하면 ln`x+2=t^2이고 1
/
x\dx/dt=2t
∴ int` rtln`x+2zx ~dx=int2ln`x+2x\1/x~dx=int`t\2t`dt
=int`2t^2`dt=2/3&t^3&+C
=2/3(ln`x+2)2ln`x+2x+C
11
답 ⑴ -1/3`cos`3x+C ⑵ -1/5`cos(5x-2)+C ⑶ 1/2&`sin(2x+1)+C ⑷ 1/3&sin^3`x+C ⑸ -1/4`cos^4`x+C ⑹ 1/2`tan^2`x+CⅢ. 적분법 081
(077~088)미적분해설3단원-1ok.indd 81 18. 10. 26. 오후 9:03
⑺ 1/3(1-cos`x)^3&+C ⑻ -1/3&sin^3`x+sin`x+C ⑼ e&sin`x+C ⑽ -cos(ln`x)+C
풀이 ⑴ 3x=t로 놓으면 3&dx/dt=1
∴ int`sin`3x`dx=int`sin`t\1/3&dt=-1/3`cos`t+C
=-1/3`cos`3x+C
⑵ 5x-2=t로 놓으면 5&dx/dt=1
∴ int`sin(5x-2)dx=int`sin`t\1/5&dt=-1/5cos`t+C
=-1/5cos(5x-2)+C
⑶ 2x+1=t로 놓으면 2&dx/dt=1
∴ intcos(2x+1)dx=intcos`t\1/2&dt=1/2`sin`t+C
=1/2`sin(2x+1)+C
⑷ sin`x=t로 놓으면 cos`x&dx/dt=1
∴ int`sin^2`x`cos`x`dx=int`t^2`dt=1/3&t^3&+C
=1/3`sin^3`x+C
⑸ cos`x=t로 놓으면 -sin`x&dx/dt=1
∴ int`sin`x`cos^3`x`dx=int`(-t^3)dt=-1/4&t^4&+C
=-1/4`cos^4`x+C
⑹ tan`x=t로 놓으면 sec^2`x`dx/dt=1
∴ int`tan`x`sec^2`x`dx=int`t`dt=1/2&t^2&+C
=1/2&`tan^2`x&+C
⑺ 1-cos`x=t로 놓으면 sin`x&dx/dt=1
∴ int`(1-cos`x)^2 sin`x`dx=int`t^2`dt=1/3&t^3&+C
=1/3(1-cos`x)^3&+C
⑻ cos^3`x=cos^2`x\cos`x=(1-sin^2`x)cos`x sin`x=t로 놓으면 cos`x&dx/dt=1
∴ int`cos^3`x`dx=int`(1-sin^2`x)cos`x`dx
=int`(1-t^2)dt=-1/3&t^3&+t+C
=-1/3&sin^3`x+sin`x+C
⑼ sin`x=t로 놓으면 cos`x&dx/dt=1
∴ int`e&sin`x`cos`x`dx=int`e^t`dt=e^t&+C=e&sin`x&+C
⑽ ln`x=t로 놓으면 1/x\dx/dt=1
∴ int` sin(ln`x)x ~dx=int`sin(ln`x)\1/x~dx
=int`sin`t`dt=-cos`t+C
=-cos(ln`x)+C
12
답 ⑴ ln(x^2&+x+1)+C ⑵ ln|x^2&-1|+C ⑶ -1/2~ln(x^2&-2x+3)+C ⑷ ln|x^3&-1|+C풀이 ⑴ x^2&+x+1=t로 놓으면 (2x+1)dx/dt=1
∴ ~int` 2x+1x^2+x+1~dx=int1/t&dt
=ln|t|+C
=ln(x^2&+x+1)+C
(∵ x^2&+x+1>0)
⑵ x^2&-1=t로 놓으면 2x&dx/dt=1
∴ ~int` 2xx^2-1~dx=int1/t&dt=ln|t|+C
=ln|x^2&-1|+C
⑶ x^2&-2x+3=t로 놓으면 (2x-2)dx/dt=1
∴ int` 1-xx^2-2x+3~dx=int^(-1/2t)dt
=-1/2&`ln|t|+C
=-1/2`ln(x^2&-2x+3)+C (∵ x^2&-2x+3>0)
⑷ (x-1)(x^2&+x+1)=x^3&-1=t로 놓으면 3x^2&dx/dt=1
∴ int` 3x^2
(x-1)(x^2&+x+1)~dx=int` 3x^2 x^3-1`dx
=int1/t&d&t
=ln|t|+C
=ln|x^3&-1|+C
13
답 ⑴ -ln|cos`x|+C ⑵ ln(1+e^x)+C ⑶ ln(e^x&+e&^-&^x&)+C ⑷ ln(2^x&+1)ln`2 +C ⑸ ln|ln`x|+C ⑹ 2`ln|ln`2x|+C ⑺ ln(2+sin`x)+C ⑻ 1/2ln|2`cos`x-1|+C ⑼ ln|sin`x|+C풀이 ⑴ tan`x= sin`xcos`x 이므로 cos`x=t로 놓으면 -sin`x&dx/dt =1
∴ inttan`x`dx=int` sin`xcos`x~dx
=int^(-1/t)~dt
=-ln|t|+C=-ln|cos`x|+C 082 정답과 풀이
(077~088)미적분해설3단원-1ok.indd 82 18. 10. 26. 오후 9:03
⑵ e^x&+1=t로 놓으면 e^x&dx/dt=1
∴ int` e^xe^x+1~dx=int1/t&dt=ln|t|+C
=ln(e^x&+1)+C (∵ e^x&+1>0)
⑶ e^x&+e&^-&^x&=t로 놓으면 (e^x&-e&^-&^x)dx/dt=1
∴ int` e^x-e&^-&^xe^x+e&^-&^x~dx=int`1/t&dt=ln|t|+C
=ln(e^x&+e&^-&^x)+C (∵ e^x&+e&^-&^x>0)
⑷ 2^x&+1=t로 놓으면 2^x`ln`2&dx/dt=1
∴ int` 2^x2^x+1~dx =int`1/t\ 1ln`2~dt=int` 1
t`ln`2~dt
= ln|t|ln`2 +C
= ln(2^x+1)ln`2 +C(∵ 2^x&+1>0)
⑸ ln`x=t로 놓으면 1/x\dx/dt=1
∴ int` 1x`ln`x~dx =int`1/t&dt=ln|t|+C
=ln|ln`x|+C
⑹ ln`2x=ln`x+ln`2=t로 놓으면 1/x\dx/dt=1
∴ int` 2
x`ln`2x~dx =int2/t&dt=2`ln|t|+C
=2`ln|ln`2x|+C
⑺ 2+sin`x=t로 놓으면 cos`x&dx/dt=1
∴ int` cos`x2+sin`x~dx =int1/t&dt=ln|t|+C
=ln(2+sin`x)+C
(∵ 2+sin`x>0)
⑻ 2`cos`x-1=t로 놓으면 -2`sin`x&dx/dt=1
∴ int` -sin`x2`cos`x-1~dx =int`1/t\1/2~dt
=int1/2t&dt=1/2&`ln|t|+C
=1/2ln|2`cos`x-1|+C
⑼ cot`x= cos`xsin`x ~이므로 sin`x=t로 놓으면 cos`x&dx/dt=1
∴ int`cot`x`dx=int` cos`xsin`x ~dx
=int`1/t~dt=ln|t|+C
=ln|sin`x|+C
14
답 ⑴ 1/2&x^2&-x+ln|x+1|+C ⑵ 1/2&x^2&+3x+C ⑶ 1/3&x^3&-1/2&x^2&+x+C⑷ 1/2&x^2&+ln|x+2|+C ⑸ 1/2&x^2&+x+4`ln|x-1|+C ⑹ 1/2&x^2&+x+3`ln|2x+1|+C
풀이 ⑴ int` x^2x+1~dx =int` x^2-1+1x+1 ~dx
=int` (x+1)(x-1)+1x+1 ~dx
=int`^(x-1+ 1x+1)~dx
=1/2&x^2&-x+ln|x+1|+C
⑵ int` x^2+x-6x-2 ~dx=int`(x+3)(x-2)
x-2 ~dx
=int`(x+3)dx
=1/2&x^2&+3x+C
⑶ int` x^3+1x+1 ~dx=int`(x+1)(x^2&-x+1)
x+1 ~dx
=int`(x^2&-x+1)dx
=1/3&x^3&-1/2&x^2&+x+C
⑷ int` x^2&+2x+1x+2 ~dx=int`x(x+2)+1 x+2 ~dx
=int`^(x+ 1x+2)dx
=1/2&x^2&+ln|x+2|+C
⑸ int` x^2&+3x-1 ~dx=int`x^2&-1+4 x-1 ~dx
=int` (x+1)(x-1)+4x-1 ~dx
=int`^(x+1+ 4x-1)dx
=1/2&x^2&+x+4`ln|x-1|+C
⑹ int` 2x^2&+3x+42x+1 ~dx=int`(x+1)(2x+1)+3
2x+1 ~dx
=int`^(x+1+ 32x+1)dx
=1/2&x^2&+x+3`ln|2x+1|+C
15
답 ⑴ ln^| xx+1^|+C ⑵ ln^| x+1x+2^|+C⑶ 1/4&`ln^| x-1x+3^|+C ⑷ ln^| x-1x+1^|+C ⑸ 2`ln|x-3|-ln|x+2|+C
⑹ ln|2x+1|+2`ln|x-2|+C ⑺ 2`ln|x+2|-ln|x+1|+C ⑻ 3/2`ln|x-4|-1/2`&ln|x-2|+C ⑼ ln|x-1|+2`ln|3x+1|+C
Ⅲ. 적분법 083
(077~088)미적분해설3단원-1ok.indd 83 18. 10. 26. 오후 9:03
풀이 ⑴ int` 1x^2+x~dx =int` 1
x(x+1)~dx=int^(1/x- 1x+1)~dx
=ln|x|-ln|x+1|+C
=1/4(ln|x-1|-ln|x+3|)+C
=1/4`ln^| x-1x+3^|+C (x-3)(x+2)=x+7 A(x+2)+B(x-3)
(x-3)(x+2)
= (A+B)x+2A-3B(x-3)(x+2) 이 식은 x에 대한 항등식이므로 (2x+1)(x-2)=5x A(x-2)+B(2x+1)
(2x+1)(x-2)
= (A+2B)x-2A+B(2x+1)(x-2) 이 식은 x에 대한 항등식이므로
x^2+3x+2=x A(x+2)+B(x+1) (x+1)(x+2)
= (A+B)x+2A+B(x+1)(x+2) 이 식은 x에 대한 항등식이므로
x^2-6x+8=x-1 A(x-4)+B(x-2) (x-2)(x-4)
= (A+B)x-(4A+2B)(x-2)(x-4) 이 식은 x에 대한 항등식이므로
A+B=1, 4A+2B=1
두 식을 연립하여 풀면 A=-1/2, B=3/2
∴ int` x-1x^2-6x+8~dx =int`^{- 1
3x^2-2x-1~=5x-1 A(3x+1)+B(x-1) (x-1)(3x+1)
~= (3A+B)x+A-B(x-1)(3x+1) 이 식은 x에 대한 항등식이므로
3A+B=5, A-B=-1
두 식을 연립하여 풀면 A=1, B=2
∴ int` 5x-13x^2-2x-1~dx=int`^( 1
x-1+ 2
3x+1)~dx
=ln|x-1|+2`ln|3x+1|+C
16
답 ⑴ (x-1)e^x&+C ⑵ (x+2)e^x&+C ⑶ (-x-1)e&^-&^x&+C⑷ ^(1/2&x^2&-x)~ln`x-1/4&x^2&+x+C ⑸ 1/3&x^3&`ln`x-1/9&x^3&+C
⑹ x`ln`x-x+C ⑺ x`sin`x+cos`x+C
⑻ -(2x+1)cos`x+2`sin`x+C ⑼ -1/2(x-3)cos`2x+1/4`sin`2x+C 084 정답과 풀이
(077~088)미적분해설3단원-1ok.indd 84 18. 10. 26. 오후 9:03
풀이 ⑴ f(x)=x, g'(x)=e^x으로 놓으면 f~'(x)=1, g(x)=e^x
∴ int`xe^x`dx=x\e^x&-int`1\e^x&&dx
=xe^x&-e^x&+C
=(x-1)e^x&+C
⑵ f(x)=x+3, g'(x)=e^x으로 놓으면 f~'(x)=1, g(x)=e^x
∴ int`(x+3)e^x&dx=(x+3)\e^x&-int`1\e^x&&dx
=(x+3)e^x&-e^x&+C
=(x+2)e^x&+C
⑶ f(x)=x, g'(x)=e&^-&^x으로 놓으면 f~'(x)=1, g(x)=-e&^-&^x
∴ int`xe&^-&^x`dx=x\(-e&^-&^x)-int`1\(-e&^-&^x)dx
=-xe&^-&^x&-e&^-&^x&+C
=(-x-1)e&^-&^x&+C
⑷ f(x)=ln`x, g'(x)=x-1로 놓으면 f~'(x)=1/x, g(x)=1/2&x^2&-x
∴ int`(x-1)ln`x`dx
=ln`x\^(1/2&x^2&-x)-int1/x^(1/2&x^2&-x)dx =^(1/2&x^2&-x)`ln`x-int^(1/2&x-1)~dx
=^(1/2&x^2&-x)~ln`x-1/4&x^2&+x+C
⑸ f(x)=ln`x, g'(x)=x^2으로 놓으면 f~'(x)=1/x, g(x)=1/3&x^3
∴ int`x^2`ln`x`dx=ln`x\1/3&x^3&-int1/x\1/3&x^3&dx
=1/3&x^3&`ln`x-int1/3&x^2&dx
=1/3&x^3`ln`x-1/9&x^3&+C
⑹ f(x)=ln x, g'(x)=1로 놓으면 f~'(x)=1/x, g(x)=x
∴ int`ln`x`dx=ln`x\x-int`1/x\x`dx
=x`ln`x-int`dx=x`ln`x-x+C
⑺ f(x)=x, g'(x)=cos`x로 놓으면 f~'(x)=1, g(x)=sin`x
∴ int`x`cos`x`dx=x`sin`x-int`1\sin`x`dx
=x`sin`x+cos`x+C
⑻ f(x)=2x+1, g'(x)=sin`x로 놓으면 f~'(x)=2, g(x)=-cos`x
∴ int`(2x+1)sin`x`dx
=(2x+1)\(-cos`x)-int`2\(-cos`x)dx =-(2x+1)cos`x+2`sin`x+C
⑼ f(x)=x-3, g'(x)=sin`2x로 놓으면 f~'(x)=1, g(x)=-1/2&`cos`2x
∴ int`(x-3)sin`2x`dx
=(x-3)\^(-12&`cos`2x)-int`1\^(-1/ /2`cos`2x)~dx =-1/2(x-3)cos`2x+1/4`sin`2x+C
17
답 ⑴ 2x`sin`x-(x^2&-2)cos`x+C ⑵ (x^2&-2)sin`x+2x`cos`x+C ⑶ (x^2&-2x+2)e^x&+C⑷ (x^2&-2x+3)e&&^x&+C
⑸ 1/2&x^2(ln`x)^2&-1/2&x^2`ln`x+1/4&x^2&+C ⑹ x(ln`x)^2&-2x`ln`x+2x+C ⑺ 1/2&e^x(sin`x-cos`x)+C ⑻ 1/5&e^2^x(2`sin`x-cos`x)+C
풀이 ⑴ f(x)=x^2, g'(x)=sin`x로 놓으면 f~'(x)=2x, g(x)=-cos`x이므로
int`x^2`sin`x`dx=x^2&\(-cos`x)+int`2x`cos`x`dx
=-x^2`cos`x+2int`x`cos`x`dx .c3.c3 ㉠ 한편, int`x`cos`x`dx에서
u(x)=x, v'(x)=cos`x로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=sin`x이므로 int`x`cos`x`dx=x`sin`x-intsin`x`dx
=x`sin`x+cos`x+C_1 .c3.c3 ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
int`x^2`sin`x`dx=-x^2`cos`x+2(x`sin`x+cos`x+C_1)
=2x`sin`x-(x^2&-2)`cos`x+C
⑵ f(x)=x^2, g'(x)=cos`x로 놓으면 f~'(x)=2x, g(x)=sin`x이므로
int`x^2`cos`x`dx=x^2`sin`x-2`int`x`sin`x`dx .c3.c3 ㉠ 한편, int`x`sin`x`dx에서
u(x)=x, v'(x)=sin`x로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=-cos`x이므로 int`x`sin`x`dx=-x`cos`x+intcos`x`dx
=-x`cos`x+sin`x+C_1 .c3.c3 ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
int`x^2`cos`x`dx=x^2`sin`x-2(-x`cos`x+sin`x+C_1)
=x^2`sin`x+2x`cos`x-2`sin`x+C
Ⅲ. 적분법 085
(077~088)미적분해설3단원-1ok.indd 85 18. 10. 26. 오후 9:03
=(x^2&-2)sin`x+2x`cos`x+C
⑶ f(x)=x^2, g'(x)=e^x으로 놓으면 f~'(x)=2x, g(x)=e^x이므로
int`x^2&e^x&dx=x^2&e^x&-int`2xe^x&&dx .c3.c3 ㉠ 한편, int`2xe^x&dx에서 u(x)=2x, v'(x)=e^x으로 놓으면
u'(x)=2, v(x)=e^x이므로 int`2xe^x&dx=2xe^x&-int`2e^x&dx
=2xe^x&-2e^x&+C_1 .c3.c3 ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
int`x^2&e^x&dx=x^2&e^x&-(2xe^x&-2e^x&+C_1)
=(x^2&-2x+2)e^x&+C
⑷ int`(x^2&+1)e^x&dx에서
f(x)=x^2&+1, g'(x)=e^x으로 놓으면 f~'(x)=2x, g(x)=e^x
∴ int`(x^2&+1)e^x&dx=(x^2&+1)e^x&-int`2xe^x&dx
=(x^2&+1)e^x&-2int`xe^x&dx .c3.c3 ㉠ 한편, int`xe^x`dx에서
u(x)=x, v'(x)=e^x으로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=e^x이므로 int`xe^x&dx=xe^x&-int`e^x&dx
=xe^x&-e^x&+C_1 .c3.c3 ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
int`(x^2&+1)e^x&dx =(x^2&+1)e^x&-2(xe^x&-e^x&+C_1)
=(x^2&-2x+3)e^x&+C
⑸ f(x)=(ln`x)^2, g'(x)=x로 놓으면 f~'(x)=2`ln`x\1/x, g(x)=1/2&x^2이므로
int`x(ln`x)^2&dx=1/2&x^2(ln`x)^2&-int`x`ln`x`dx .c3.c3 ㉠ 한편, int`x`ln`x`dx에서
u(x)=ln`x, v'(x)=x로 놓으면 u'(x)=1/x, v(x)=1/2&x^2이므로 int`x`ln`x`dx=1/2&x^2`ln`x-int`1/2&x`dx
=1/2&x^2`ln`x-1/4&x^2&+C_1 .c3.c3 ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
int`x(ln`x)^2&dx=12&x^2(ln`x)^2&&-^(&1/ /2&x^2`ln`x&-1/4&x^2&+C_1)
=12&x^2(ln`x)^2&&-&1/ /2&x^2`ln`x&+1/4&x^2&+C
⑹ f(x)=(ln`x)^2&, g'(x)=1로 놓으면 f~'(x)= 2`ln`xx ,g(x)=x이므로
int`(ln`x)^2&dx=x(ln`x)^2&-int` 2`ln`xx \x`dx
=x(ln`x)^2&-2`int`ln`x`dx
=x(ln`x)^2&-2^{x`ln`x-int`1`dx^}
=x(ln`x)^2&-2(x`ln`x-x)+C
=x(ln`x)^2&-2x`ln`x+2x+C
⑺ f(x)=sin`x, g'(x)=e^x으로 놓으면 f~'(x)=cos`x, g(x)=e^x이므로
int`e^x`sin`x`dx=e^x`sin`x-int`e^x`cos`x`dx .c3.c3 ㉠ 한편, int`e^x`cos`x`dx에서
u(x)=cos`x, v'(x)=e^x으로 놓으면 u'(x)=-sin`x, v(x)=e^x이므로
int`e^x`cos`x`dx=e^x`cos`x+int`e^x`sin`x`dx .c3.c3 ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
int`e^x`sin`x`dx=e^x`sin`x-^(e^x`cos`x+int`e^x`sin`x`dx)
=e^x`sin`x-e^x`cos`x-int`e^x`sin`x`dx 2`int`e^x`sin`x`dx=e^x(sin`x-cos`x)+C_1
∴ int`e^x`sin`x`dx=1/2&e^x(sin`x-cos`x)+C
⑻ f(x)=sin`x, g'(x)=e^2^x으로 놓으면 f~'(x)=cos`x, g(x)=1/2&e^2^x이므로
int`e^2^x`sin`x`dx =1/2&e^2^x`sin`x-int1/2&e^2^x`cos`x`dx
=1/2&e^2^x`sin`x-1/2int`e^2^x`cos`x`dx .c3.c3 ㉠ 한편, int`e^2^x`cos`x`dx에서
u(x)=cos`x, v'(x)=e^2^x으로 놓으면 u'(x)=-sin`x, v(x)=1/2&e^2^x이므로
int`e^2^x`cos`x`dx=1/2&e^2^x`cos`x+`int1/2`e^2^x`sin`x`dx
=1/2(e^2^x`cos`x+`int`e^2^x`sin`x`dx) .c3.c3 ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면
int`e^2^x`sin`x`dx
=1/2&e^2^x`sin`x-1/4&^(e^2^x`cos`x+int`&e^2^x`sin`x`dx)
=1/2&e^2^x`sin`x-1/4&e^2^x`cos`x-1/4int`e^2^x`sin`x`dx 5
/
4`int`e^2^x`sin`x`dx=1/4&e^2^x(2`sin`x-cos`x)+C_1
∴ int`e^2^x`sin`xdx=1/5&e^2^x(2`sin`x-cos`x)+C
086 정답과 풀이
(077~088)미적분해설3단원-1ok.indd 86 18. 10. 26. 오후 9:03
중단원 점검문제 I Ⅲ - 1. 여러 가지 적분법 142-143쪽
01
답 4/3-1/3&e^3풀이 f(x)=int` 1-x^3x ~dx
=int(1/x-x^2^)dx=ln|x|&-1/3&x^3&+C 이때f(1)=0이므로
ln`1-1/3+C=0 ∴C=1/3
따라서f(x)=ln|x|-1/3&x^3&+1/3이므로 f(e)=ln`e-1/3&e^3&+1/3=4/3-1/3&e^3
02
답 9풀이 f~'(x)= x-1rtx~&+1=(x-1)(rtx~&-1)
(rtx~&+1)(rtx~&-1)=rtx~&-1이므로 f(x)=int`f~'(x)dx=int`(rtx~&-1)dx=2/3&x&3/2-x+C
이때f(1)=-1/3이므로 2
/
3-1+C=-1/3& ∴C=0
따라서f(x)=2/3&x&3/2-x이므로 f(9)=2/3\9&3/2-9=18-9=9
03
답 ln`4풀이 int`16^x-x^24^x+x ~dx=int`(4^x)^2-x^24^x+x ~dx
=int`(4^x+x)(4^x-x)4^x+x ~dx
=int`(4^x&-x)dx= 4^xln`4-1/2&x^2&+C
∴ a=ln`4
04
답 f(x)=1/2&e^2^x&-e^x&+1풀이 f(x)=int`f~'(x)dx=int`(e^2^x&-e^x)dx=1/2&e^2^x&-e^x&+C 이때f(0)=1/2이므로
1 /
2-1+C=1/2& ∴C=1
∴f(x)=1/2&e^2^x&-e^x&+1
05
답 2pai+2풀이 f(x)=int`f~'(x)dx=int`(2+sin`x)dx
=2x-cos`x+C 이므로
f(pai)=2pai-cos`pai+C=2pai+1+C
f(0)=-1+C
∴ f(pai)-f(0)=2pai+2
06
답 -1풀이 int` 1-cos^2`xcos^2`x dx=int`^( 1cos^2`x-1^)dx
=int`(sec^2`x-1)dx
=tan`x-x+C 따라서a=1,b=-1이므로ab=-1
07
답 1풀이 f~'(x)=cos`x이므로
f(x)=int`f~'(x)dx=int`cos`x`dx=sin`x+C 이때곡선y=f(x)가원점을지나므로f(0)=0
∴C=0
따라서f(x)=sin`x이므로
f~(pai/2^)=sin`pai/2=1
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답 1/2풀이 2x+3=t로놓으면2&dx/dt=1
∴int`(2x+3)^5&dx=int`t^5&\1/2&dt=int`1/2&t^5&dt=1/12&t^6&+C
∴int`(2x+3)^5&dx=int`t^5&\1/2&dt=int`1/2&t^5&dt=1/12&t^6&+C