풀이 ⑴ f(x)=x^4&-2x^2&+3에서 f~'(x)=4x^3&-4x=4x(x+1)(x-1)
⑵ f(x)=x^3&-3x^2&-1에서 f~'(x)=3x^2&-6x=3x(x-2),
f~'(x)=0에서 x=3/2&pai (∵ 0≤x≤2pai)
f~"(x)=0에서 x=pai/2 또는 x=3/2&pai
f~"(x)=0에서 x=3/4&pai (∵ 0≤x≤pai)
0≤x≤pai에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
Ⅱ. 미분법 063
(055~076)미적분해설2단원-3ok.indd 63 18. 10. 30. 오후 12:36
x 0 … pai/4 … 3/4&pai … pai
= 2x(x^2-3)(x^2+1)^3
= 2x(x+rt3&~)(x-rt3&~)(x^2+1)^3 이므로 f~"(x)=0에서
③ f~'(x) =rtx+3&+x\ 1 2rtx+3~
= 2(x+3)+x2rtx+3 =3(x+2) 2rtx+3 이므로 f~~'(x)=0에서 x=-2
f~~"(x) =6rtx+3&-3(x+2)\ 1rtx+3
4(x+3)
f~'(x)=-2e&-x^2+4x^2&e&-x^2=2(2x^2&-1)e&-x^2이므로 f~"(x)=0에서 x=- rt22 또는 x= rt22
f~"(x)=e&^x&+(1+x)e^x&=(2+x)e&^x&이므로 f~"(x)=0에서 x=-2
⑶ f(x)=e^x&-e&-&^x에서
① 정의역은 실수 전체의 집합이다.
② 임의의 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)이므로 함 수 y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.
③ ~f(0)=0이므로 점 (0, 0)을 지난다.
④ ~ f~'(x)=e^x&-(-e&-&^x)=e^x&+e&-&^x>0 f~"(x)=e^x&-e&-&^x이므로 f~"(x)=0에서 x=0 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x (0) … 1/e …
f~'(x) - 0 +
f~"(x) + + +
f(x) -1/e
④ limx=0+`f(x)=0, limx=inf`f(x)=inf 따라서 함수 y=f(x)의 그래프
O y
x y=f{x}
1 -1e
1e 는 오른쪽 그림과 같다.
⑸ f(x)= ln`xx 에서
① 정의역은 x>0인 실수 전체의 집합이다.
② f(1)=0이므로 점 (1, 0)을 지난다.
③ f~'(x)=1/x\x-ln`x
x^2 = 1-ln`xx^2 이므로 f~'(x)=0에서 ln`x=1 ∴ x=e f~"(x)=-1/x\x^2-(1-ln`x)\2x
x^4 = 2`ln`x-3x^3 이므로 f~"(x)=0에서 ln`x=3/2
∴ x=e&3/2=erte
x>0에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x (0) … e … erte …
f~'(x) + 0 - -
-f~"(x) - - - 0 +
f(x) 1/e 3
2erte~~ ④ x=0+`f(x)=-inf, limlim x=inf`f(x)=0이므로 점근선은 y축, x축이다.
따라서 함수 y=f(x)의 그
O y
1 e eÂe x y=f{x}
e1 2eÂe3 래프는 오른쪽 그림과 같 다.
17
답 ⑴ 최댓값: 1, 최솟값: -1 ⑵ 최댓값: 9/2, 최솟값: 2rt2 ⑶ 최댓값: 2, 최솟값: 0 ⑷ 최댓값: 1/2, 최솟값: -1/2풀이 ⑴ f~'(x)= 2(x^2+1)-2x\2x(x^2+1)^2 =- 2(x+1)(x-1)(x^2+1)^2
f~'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
구간 [-3, 2]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.
x -3 … -1 … 1 … 2
f~'(x) - 0 + 0
-f(x) -3/5 ↘ -1 ↗ 1 ↘ 4/5 따라서 구간 [-3, 2]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f(1)=1, 최솟값은 f(-1)=-1이다.
⑵ f(x)=x+2/x&에서 f~'(x)=1- 2x^2=x^2-2
x^2 =(x+rt2&)(x-rt2&) x^2 f~'(x)=0에서 x=-rt2 또는 x=rt2
구간 [1, 4]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x 1 … rt2 … 4
f~'(x) - 0 +
f(x) 3 ↘ 2rt2 ↗ 9/2
따라서 구간 [1, 4]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f(4)=9/2, 최솟값은 f(rt2&~)=2rt2이다.
⑶ f(x)=24-x^2x에서
f~'(x)= -2x224-x^2x=- x24-x^2x f~'(x)=0에서 x=0
구간 [-2, 2]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.
x -2 … 0 … 2
f~'(x) + 0
-f(x) 0 ↗ 2 ↘ 0
따라서 구간 [-2, 2]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f(0)=2, 최솟값은 f(-2)=f(2)=0이다.
⑷ f(x)=x21-x^2x에서 f~'(x)=21-x^2&x- 2x^2
221-x^2x~= 1-2x^2 21-x^2x~ 이므로 f~'(x)=0에서 x=- rt22 또는 x= rt22
구간 [-1, 1]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.
x -1 … - rt22 … rt2
2 … 1
f~'(x) - 0 + 0
-f(x) 0 ↘ -1/2 ↗ 1/2 ↘ 0
따라서 구간 [-1, 1]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f`^(rt22 ^)=12, 최솟값은 f`^(-rt2/ 2 ^)=-1/2이다.
066 정답과 풀이
(055~076)미적분해설2단원-3ok.indd 66 18. 10. 30. 오후 12:36
18
답 ⑴ 최댓값: e-1, 최솟값: 1 ⑵ 최댓값: 1/e, 최솟값: 0 ⑶ 최댓값: e^35 , 최솟값: erte 2 ⑷ 최댓값: 1, 최솟값: -e^2 ⑸ 최댓값: ln`10, 최솟값: 0 ⑹ 최댓값: 5
ln`5, 최솟값: e
풀이 ⑴ f(x)=x+e&-&^x에서 f~'(x)=1-e&-&^x f~'(x)=0에서 e&-&^x=1, -x=0 ∴ x=0
구간 [-1, 1]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.
x -1 … 0 … 1
f~'(x) - 0 +
f(x) e-1 ↘ 1 ↗ 1+1/e
따라서 구간 [-1, 1]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f(-1)=e-1, 최솟값은 f(0)=1이다.
⑵ f(x)=xe&-&^x에서
f~'(x)=e&-&^x&-xe&-&^x=(1-x)e&-&^x f~'(x)=0에서 x=1
구간 [0, 2]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x 0 … 1 … 2
f~'(x) + 0
-f(x) 0 ↗ 1/e ↘ 2
e^2 따라서 구간 [0, 2]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f(1)=1/e, 최솟값은 f(0)=0이다.
⑶ f(x)= e^x2x-1 에서
f~'(x)= e^x(2x-1)-2e^x(2x-1)^2 = (2x-3)e^x(2x-1)^2
f~'(x)=0에서 x=3/2
구간 [1, 3]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x 1 … 3/2 … 3
f~'(x) - 0 +
f(x) e ↘ erte
2 ↗ e^3
5 따라서 구간 [1, 3]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f(3)= e^35, 최솟값은 f~(3/2)= erte2 이다.
⑷ f(x)=x-x`ln`x에서
f~'(x)=1-(ln`x+1)=-ln`x f~'(x)=0에서 x=1
구간 [1, e^2]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x 1 … e^2
f~'(x) 0
-f(x) 1 ↘ -e^2
따라서 구간 [1, e^2]에서 함수 f(x)의 최댓값은 f(1)=1, 최솟값은 f(e^2)=-e^2이다.
⑸ f(x)=ln(x^2&+1)에서 f~'(x)= 2xx^2+1 f~'(x)=0에서 x=0
구간 [-3, 3]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다.
x -3 … 0 … 3
f~'(x) - 0 +
f(x) ln`10 ↘ 0 ↗ ln`10 따라서 구간 [-3, 3]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f(-3)=f(3)=ln`10, 최솟값은 f(0)=0이다.
⑹ f(x)= xln`x에서 f~'(x)=ln`x-x\1/x
(ln`x)^2 =ln`x-1 (ln`x)^2 f~'(x)=0에서 ln`x=1 ∴ x=e
구간 [2, 5]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x 2 … e … 5
f~'(x) - 0 +
f(x) 2
ln`2 ↘ e ↗ 5
ln`5 따라서 구간 [2, 5]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f(5)= 5ln`5, 최솟값은 f(e)=e이다.
19
답 ⑴ 최댓값: pai/2, 최솟값: -3/2&pai ⑵ 최댓값: rt3&-pai/3, 최솟값: -pai ⑶ 최댓값: pai, 최솟값: -2pai ⑷ 최댓값; 1, 최솟값: 0 ⑸ 최댓값: 3rt34 , 최솟값: - 3rt34 ⑹ 최댓값: rt2&e&pai / 4
2 , 최솟값: 0
풀이 ⑴ f(x)=x`sin`x+cos`x에서 f~'(x)=sin`x+x`cos`x-sinx=x`cos`x f~'(x)=0에서 x=0 또는 cos`x=0
∴ x=0 또는 x=pai/2 또는 x=3/2&pai (∵ 0-<x-<2pai) 구간 [0, 2pai]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나
타내면 다음과 같다.
Ⅱ. 미분법 067
(055~076)미적분해설2단원-3ok.indd 67 18. 10. 30. 오후 12:36
x 0 … pai/2 … 3/2&pai … 2pai
f~'(x) 0 + 0 - 0 +
f(x) 1 ↗ pai/2 ↘ -3/2&pai ↗ 1
따라서 구간 [0, 2pai]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f~(&pai/2&)=pai/2, 최솟값은 f~(&3/2&pai&)=-3/2&pai이다.
⑵ f(x)=2`sin`x-x에서 f~'(x)=2`cos`x-1
f~'(x)=0에서 cos`x=1/2 ∴ x=pai/3 (∵ 0-<x-<pai) 구간 [0, pai]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타
내면 다음과 같다.
x 0 … pai/3 … pai
f~'(x) + 0
-f(x) 0 ↗ rt3&-pai/3 ↘ -pai
따라서 구간 [0, pai]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f~(&pai/3&)=rt3&-pai/3, 최솟값은 f(pai)=-pai이다.
⑶ f(x)=sin`x-x`cos`x에서
f~'(x)=cos`x-(cos`x-x`sin`x)=x`sin`x f~'(x)=0에서 x=0 또는 sin`x=0
∴ x=0 또는 x=pai 또는 x=2pai (∵ 0≤x≤2pai) 구간 [0, 2pai]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나
타내면 다음과 같다.
x 0 … pai … 2pai
f~'(x) 0 + 0 - 0
f(x) 0 ↗ pai ↘ -2pai
따라서 구간 [0, 2pai]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f(pai)=pai, 최솟값은 f(2pai)=-2pai이다.
⑷ f(x)=sin^2`x에서 f~'(x)=2`sin`x`cos`x f~'(x)=0에서 sin`x=0 또는 cos`x=0
∴ x=-pai/2 또는 x=0 또는 x=pai/2
^(∵ -pai/2≤x≤pai/2&)
구간 [-pai/2, pai/2]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x -pai/2 … 0 … pai/2
f~'(x) 0 - 0 + 0
f(x) 1 ↘ 0 ↗ 1
따라서 구간 [-pai/2, pai/2]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f~~(~-pai2)=f~~(pai/ 2)=1, 최솟값은 f(0)=0이다./
⑸ f(x)=(1+cos`x)sin`x에서 f~'(x) =-sin^2`x+(1+cos`x)cos`x
=2`cos^2`x+cos`x-1 (∵ sin^2`x+cos^2`x=1)
=(2`cos`x-1)(cos`x+1)
f~'(x)=0에서 cos`x=1/2 또는 cos`x=-1
∴ x=-pai3 또는 x=pai/ /3 또는 x=pai ^(∵ -pai/3≤x≤pai&)
구간 [-pai/3, pai]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x -pai/3 … pai/3 … pai
f~'(x) 0 + 0 - 0
f(x) -3rt34 ↗ 3rt3
4 ↘ 0
따라서 구간 [-pai/3, pai]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f~~(pai3)=3rt3/ 4 , 최솟값은 f~~(-pai/3)=-3rt34 이다.
⑹ f(x)=e^x`cos`x에서
f~'(x)=e^x`cos`x-e^x`sin`x=e^x(cos`x-sin`x) f~'(x)=0에서 cos`x-sin`x=0
∴ x=pai/4 ^(∵ 0≤x≤pai/2&)
구간 [0, pai/2]에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
x 0 … pai/4 … pai/2
f~'(x) + 0
-f(x) 1 ↗ rt2&e&pai/4
2 ↘ 0
따라서 구간 [0, pai/2]에서 함수 f(x)의
최댓값은 f~(pai/4)= rt2&e&2 ,pai/4& 최솟값은 f~(pai/2)=0이다.
20
답 ⑴ 2 ⑵ 2 ⑶ 0 ⑷ 0 ⑸ 1풀이 ⑴ x-rtx+1&+1=0에서 rtx+1=x+1
이때 두 함수 y=rtx+1과 y=x+1의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.
O y
x y=x+1
y=Âx°+·1·
-1 1
따라서 두 함수의 그래프가 두 점에서 만나므로 주어진 방정식의 실근의 개수는 2이다.
068 정답과 풀이
(055~076)미적분해설2단원-3ok.indd 68 18. 10. 30. 오후 12:36
⑵ 4x
x^2+2x-1=0에서 4x=x^2&+2x 이때 두 함수 y=4x와
⑸ sin`x-2x=0에서 sin`x=2x
구간 [-pai, pai]에서 두 함수 y=sin`x와 y=2x의 그래
x=inf`f(x)=inf이므로 함수 f(x)의 그래프는 오른쪽
f~'(x)=e^x, g~'(x)=1
곡선 y=f(x)와 직선 g(x)가 접할 때, 접점의 x좌표를 t라 하면
f(t)=g(t)에서 e^t=t+a .c3.c3 ㉠
f~'(t)=g~'(t)에서 e^t=1 ∴ t=0 t=0을 ㉠에 대입하면 a=1
f(x)=ln`x, g(x)=x+a로 놓으면 f~'(x)=1/x, g~'(x)=1
f(x)=ln`x, g(x)=ax^2으로 놓으면 f~'(x)=1/x, g~'(x)=2ax 0<a<1/2e
22
답 풀이 참조f(x)=e^x&-x+1로 놓으면 f~'(x)=e^x&-1 x>0일 때, e^x>1이므로 f~'(x)>0이다.
따라서 함수 f(x)는 x>0에서 증가한다.
그런데 f(0)=2이므로 x>0일 때 부등식 f(x)>0, 즉 e^x&-x+1>0이 성립한다.
∴ e^x>x-1
⑶ e^x&-1>sin`x에서 e^x&-sin`x-1>0이 성립함을 보인다.
f(x)=e^x&-sin`x-1로 놓으면 f~'(x)=e^x&-cos`x
x>0일 때, e^x>1이고 -1≤cos`x≤1이므로 f~'(x)>0이다.
즉, 함수 f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 f(x)의 최솟값은 f(1)=0이다.
따라서 부등식 f(x)->0, 즉 ln`x+1x-1->0이 성립한다./
∴ ln`x->1-1/x
23
답 ⑴ a-<2 ⑵ a-<1 ⑶ a>-e ⑷ a<-1 ⑸ 0<a<e ⑹ a->0풀이 ⑴ 2e^x>x^2&+a에서 2e^x&-x^2&-a>0 f(x)=2e^x&-x^2&-a로 놓으면
f~'(x)=2e^x&-2x, f~"(x)=2e^x&-2=2(e^x&-1) x>0일 때, e^x>1이므로 f~"(x)>0
즉, 함수 f~'(x)는 x>0에서 증가한다.
그런데 f~'(0)=2이므로 x>0일 때 f~'(x)>0이다.
따라서 함수 f(x)는 x>0에서 증가한다.
그런데 x>0에서 f(x)>0이 성립하려면 f(0)->0이어 야 하므로
2-a->0 ∴ a-<2
⑵ e^x>x+a에서 e^x&-x-a>0
f(x)=e^x&-x-a로 놓으면 f~'(x)=e^x&-1 x>0일 때, e^x>1이므로 f~'(x)>0 즉, 함수 f(x)는 x>0에서 증가한다.
그런데 x>0에서 f(x)>0이 성립하려면 f(0)->0이어 야 하므로
1-a->0 ∴ a-<1
⑶ f(x)=e^x&-e`ln`x+a로 놓으면 f~'(x)=e^x&-e/x= xe^x&-ex
f~'(x)=0에서 xe^x&-e=0 ∴ x=1
x>0에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.
x (0) … 1 …
f~'(x) - 0 +
f(x) ↘ e+a ↗
즉, 함수 f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 f(x)의 최솟값은
f(1)=e+a
따라서 x>0일 때 f(x)>0이려면 f(1)>0이어야 하므로 e+a>0 ∴ a>-e
⑷ x`ln`x>x+a에서 x`ln`x-x-a>0 f(x)=x`ln`x-x-a로 놓으면 f~'(x)=ln`x+x\1/x-1=ln`x f~'(x)=0에서 x=1
x>0에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.
x (0) … 1 …
f~'(x) - 0 +
f(x) ↘ -1-a ↗
즉, 함수 f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 f(x)의 최솟값은
f(1)=-1-a
따라서 x>0일 때 f(x)>0이려면 f(1)>0이어야 하 므로
-1-a>0 ∴ a<-1
⑸ 로그의 진수는 0보다 크므로
ax>0 ∴ a>0 (∵ x>0) .c3.c3 ㉠ f(x)=ln`ax-x로 놓으면
f~'(x)=1/x&-1= 1-xx f~'(x)=0에서 x=1
x>0에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.
x (0) … 1 …
f~'(x) + 0
-f(x) ↗ ln`a-1 ↘
즉, 함수 f(x)는 x=1에서 극대이면서 최대이므로 f(x)의 최댓값은
f(1)=ln`a-1
따라서 x>0일 때 f(x)<0이려면 f(1)<0이어야 하므로 ln`a-1<0 ∴ a<e .c3.c3 ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
0<a<e
⑹ f(x)=x^2&+sin`x+a로 놓으면 f~'(x)=2x+cos`x, f~"(x)=2-sin`x -1-<sin`x-<1이므로 1≤2-sin`x≤3
∴f~"(x)>0
즉, 함수 f~'(x)는 x>0에서 증가한다.
그런데 f~'(0)=1이므로 x>0에서 f~'(x)>0 따라서 함수 f(x)는 x>0에서 증가한다.
그런데 x>0에서 f(x)>0이 성립하려면 f(0)->0이어 야 하므로
a->0
24
답 ⑴ 속도: 2`ln`2+5/2, 가속도: 2`ln`2+7/4 ⑵ 속도: e+1, 가속도: e풀이 ⑴ 점 P의 속도를 v라 하면
v=dx/dt=2t`ln`(t+1)+t^2&\ 1t+1+2
=2t`ln`(t+1)+ t^2t+1+2
따라서 시각 t=1에서의 점 P의 속도는 2`ln`2+1/2+2=2`ln`2+5/2
한편, 점 P의 가속도를 a라 하면
a=dv/dt=2`ln`(t+1)+2t\ 1t+1+2t(t+1)-t^2 (t+1)^2
=2`ln`(t+1)+ 3t^2&+4t(t+1)^2
Ⅱ. 미분법 071
(055~076)미적분해설2단원-3ok.indd 71 18. 10. 30. 오후 12:36
따라서 시각 t=1에서의 점 P의 가속도는 2`ln`2+ 72^2=2`ln`2+7/4
⑵ 점 P의 속도를 v라 하면 v=dx/dt=e^t&+1
따라서 시각 t=1에서의 점 P의 속도는 e+1이다.
한편, 점 P의 가속도를 a라 하면 a=dv/dt=e^t
이므로 시각 t=1에서의 점 P의 가속도는 e이다.
25
답 ⑴ 3/4&pai ⑵ 0, 2풀이 ⑴ 점 P가 운동 방향을 바꾸는 경우는 속도가 0일 때이다.
점 P의 속도를 v라 하면 v=dx/dt=cos`t+sin`t
이므로 v=0에서 cos`t+sin`t=0 1+ sin`tcos`t=0
∴ tan`t=-1
이때 0-<t-<pai이므로 t=3/4&pai
⑵ 점 P가 운동 방향을 바꾸는 경우는 속도가 0일 때이다.
점 P의 속도를 v라 하면
v=dx/dt=2te&-&^t&-t^2&e&-&^t&=-t(t-2)e&-&^t&
이므로 v=0에서 t=0 또는 t=2
26
답 ⑴ 속도: (4t-1, 2t+3), 속력: 220t^2&+4t+10x ⑵ 속도: (3, 4), 속력: 5⑶ 속도: (2t+1, t), 속력: rt5t^2&+4t+1x ⑷ 속도: (cos`t, -sin`t), 속력: 1
풀이 ⑴ dx/dt=4t-1, dy/dt=2t+3이므로 속도는 (4t-1, 2t+3)이고, 속력은
rt(dx/dt)^^2&+(dy/dt)^^2b =rt(4t-1)^2+(2t+3)^2w
=220t^2&+4t+10x
⑵ dx/dt=3, dy/dt=4이므로 속도는 (3, 4)이고, 속력은
rt(dx/dt)^^2&+(dy/dt)^^2b=rt3^2+4^2w=5
⑶ dx/dt=2t+1, dy/dt=t이므로 속도는 (2t+1, t)이고, 속력은
rt(dx/dt)^^2&+(dy/dt)^^2b =rt(2t+1)^2+t^2w
=rt5t^2+4t+1
⑷ dx/dt=cos`t, dy/dt=-sin`t이므로 속도는 (cos`t, -sin`t)이고, 속력은
rt(dx/dt)^^2&+(dy/dt)^^2b=2cos^2`t+(-sin`t)x^2=1
27
답 ⑴ 가속도: (-2, 6), 가속도의 크기: 2rt10 ⑵ 가속도: (e^t, -e^t), 가속도의 크기: rt2&e^t ⑶ 가속도: (-sin`t, cos`t), 가속도의 크기: 1풀이 ⑴ dx/dt=-2t, dy/dt=6t-2, d^2x
dt^2 =-2, d^2y dt^2 =6
따라서 가속도는 (-2, 6)이고, 가속도의 크기는
5^(d^2xdt^2 )^^2&+(d^2y
dt^2 ^)^^2b=rt(-2)^2+6^2w=rt40=2rt10
⑵ dx/dt=1+e^t, dy/dt=2-e^t, d^2x
dt^2 =e^t, d^2y dt^2 =-e^t
따라서 가속도는 (e^t, -e^t)이고, 가속도의 크기는
5^(d^2xdt^2 )^^2&+(d^2y
dt^2 ^)^^2b=3(e^t)^2&+(-e^t)c^2=rt2&e^t
⑶ dx/dt=2+cos`t, dy/dt=sin`t, d^2x
dt^2 =-sin`t, d^2y dt^2 =cos`t
따라서 가속도는 (-sin`t, cos`t)이고, 가속도의 크기는
5^(d^2xdt^2 )^^2&+(d^2y
dt^2 ^)^^2b=2(-sin`t)^2&+cos^2`xt=1
28
답 ⑴ 속도: (12, 26), 가속도: (4, 18) ⑵ 속도: (4, 7), 가속도: (0, 2) ⑶ 속도: (1/4, 3), 가속도: (-1/32, 3/8) ⑷ 속도: (1, -4), 가속도: (0, 16) ⑸ 속도: (e+1, 2e^2&-2), 가속도: (e, 4e^2) ⑹ 속도: (ln`2+1, 2), 가속도: (1/2, 2^) ⑺ 속도: (2, 0), 가속도: (0, -4) ⑻ 속도: (0, -3/2&pai), 가속도: (3/4&pai^2, 0^) 072 정답과 풀이(055~076)미적분해설2단원-3ok.indd 72 18. 10. 30. 오후 12:36
풀이 ⑴ dx/dt=4t, dy/dt=3t^2&-1이므로 속도는 (4t, 3t^2&-1)
d^2x
dt^2 =4, d^2y
dt^2 =6t이므로 가속도는 (4, 6t)
따라서 t=3에서의 점 P의 속도는 (12, 26), 가속도는 (4, 18)이다.
⑵ dx/dt=4, dy/dt=2t+5이므로 속도는 (4, 2t+5)
d^2x
dt^2 =0, d^2y
dt^2 =2이므로 가속도는 (0, 2)
따라서 t=1에서의 점 P의 속도는 (4, 7), 가속도는 (0, 2)이다.
⑶ dx/dt= 12rtt ,dy/dt=3/2rtt이므로 속도는
^( 12rtt ,3/2rtt&) d^2x
dt^2 =- 1 4trtt , d^2y
dt^2 = 3
4rtt이므로 가속도는
^(- 14trtt , 3 4rtt ^)
따라서 t=4에서의 점 P의 속도는 (1/4, 3), 가속도는 (-1/32, 3/8)이다.
⑷ dx/dt=1, dy/dt=- 1t^2이므로 속도는
(1, - 1t^2^) d^2x
dt^2 =0, d^2y dt^2 =2
t^3이므로 가속도는
(0, 2t^3^)
따라서 t=1/2에서의 점 P의 속도는 (1, -4), 가속도는 (0, 16)이다.
⑸ dx/dt=e^t&+1, dy/dt=2e^2^t&-2이므로 속도는 (e^t&+1, 2e^2^t&-2)
d^2x
dt^2 =e^t, d^2y
dt^2 =4e^2^t이므로 가속도는 (e^t, 4e^2^t)
따라서 t=1에서의 점 P의 속도는 (e+1, 2e^2&-2), 가속도는 (e, 4e^2)이다.
⑹ dx/dt=ln(t+1)+1, dy/dt=t^2&+1이므로 속도는 (ln(t+1)+1, t^2&+1)
d^2x dt^2 = 1
t+1, d^2y
dt^2 =2t이므로 가속도는
^( 1t+1,2t^)
따라서 t=1에서의 점 P의 속도는 (ln`2+1, 2), 가속도는 (1/2, 2^)이다.
⑺ dx/dt=2`cos`2t, dy/dt=-2`sin`2t이므로 속도는 (2`cos`2t, -2`sin`2t)
` d^2xdt^2 =-4`sin`2t, d^2y
dt^2 =-4`cos`2t이므로 가속도는 (-4`sin`2t, -4`cos`2t)
따라서 t=pai에서의 점 P의 속도는 (2, 0), 가속도는 (0, -4)이다.
⑻ dx/dt=- 3pai2 &~sin`pai/2&t, dy/dt= 3pai2 ~cos`pai/2&t이므로 속도는 (-3pai/2~sin`pai/2&t, 3pai/2~cos`pai/2&t)
d^2x dt^2 =-3pai^2
4 `cos`pai/2&t, d^2ydt^2 =-3pai^2
4 `sin`pai/2&t이므로 가속도는
^(- 3pai^24 `cos`pai/2&t, - 3pai^24 `sin`pai/2&t)
따라서 t=2에서의 점 P의 속도는 (0, -3/2&pai), 가속도는 (3/4&pai^2, 0^)이다.
Ⅱ. 미분법 073
(055~076)미적분해설2단원-3ok.indd 73 18. 10. 30. 오후 12:36
중단원 점검문제 I Ⅱ - 3. 도함수의 활용 123-124쪽
01
답 2/3&e풀이 f(x)=ex^3으로 놓으면 f~'(x)=3x^2&ex^3 이 곡선 위의 점 (1, e)에서의 접선의 기울기는
f~'(1)=3e
따라서 곡선 위의 점 (1, e)에서의 접선의 방정식은 y-e=3e(x-1) ∴ y=3ex-2e
이때 접선의 x절편과 y절편이 각각 2/3, -2e이므로 구하는 도형의 넓이는
1 /
2\2/3\2e=2/3&e
02
답 -1풀이 y'=1/x이므로 접점 P의 좌표 O
y
1 x -1
y=ln`x P
를 (a, ln`a)로 놓으면 점 P에서의 접선의 기울기는 /a이다. 1
그런데 기울기가 1이므로 1
/
a=1 ∴ a=1
따라서 접점의 좌표는 (1, 0)이고, 접선의 방정식은 y=x-1
이므로 접선의 y절편은 -1이다.
03
답 ln`3풀이 f(x)=a-3`ln`x, g(x)=ln(x+2)로 놓고, 두 곡 선의 교점의 x좌표를 t라 하면
f(t)=g(t)에서 a-3`ln`t=ln(t+2) .c3.c3 ㉠ f~'(x)=-3/x, g~'(x)= 1x+2 이므로 두 곡선의 x=t에서의
접선의 기울기는 각각 -3/t, 1t+2이고, 두 접선이 서로 수직이므로
(-3/t&)\ 1t+2=-1
t^2&+2t-3=0, (t+3)(t-1)=0
∴ t=-3 또는 t=1
이때 로그의 진수 조건에 의하여 t>0이므로 t=1 이것을 ㉠에 대입하면
a=ln`3
04
답 e풀이 f(x)=xe^x으로 놓으면 f~'(x)=e^x&+x&e^x=&e^x(1+x)
접점의 좌표를 (t, t&e^t)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울 기는
f~'(t)=e^t(1+t) .c3.c3 ㉠
이므로 접선의 방정식은 y-te^t=e^t(1+t)(x-t)
∴ y=e^t(1+t)x-t^2&e&^t 이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로 0=e^t(1+t)-t^2&e^t
(t^2&-t-1)e^t=0
∴ t^2&-t-1=0 (∵ e^t>0)
이때 이차방정식 t^2&-t-1=0의 두 근을 alpha, beta라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
alpha+beta=1, alphabeta=-1 .c3.c3 ㉡ x=alpha, x=beta에서의 접선의 기울기를 각각 m_1, m_2라 하면 m_1=f~'(alpha)=e^alpha(1+alpha), m_2=f~'(beta)=e^beta(1+beta) (∵ ㉠) 이므로
m_1&m_2 =e^alpha(1+alpha)\e^beta(1+beta)
=e^alpha&+^beta(1+alpha+beta+alphabeta)
=e1(1+1-1) (∵ ㉡)
=e
05
답 6풀이 f~'(x) = x^2+5-(x-2)\2x(x^2+5)^2 = -x^2+4x+5(x^2+5)^2
= -(x+1)(x-5)(x^2+5)^2
f~'(x)=0에서 -(x+1)(x-5)=0 (∵ x^2&+5>0)
∴ x=-1 또는 x=5
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.