우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (26)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(지난 시간 복습) 7-3-1. 구분구적법  원의 면적  그림에서 원에 내접하는 다각형면적의 합은 다각형이 많을 수록 원의 면적에 근접.  다각형면적의 합을 𝑆_𝑛 , 다각형 밑변의 합을 𝑙_𝑛이라 하면, 𝑆_𝑛 = ∆𝑂𝐴𝐵 × 𝑛 = 1 2∙ 𝐴𝐵 ∙ ℎ ∙ 𝑛 = 1 2ℎ(𝑛 ∙ 𝐴𝐵) 𝑙_𝑛 = 𝑛 ∙ 𝐴𝐵 ∴ 𝑆_𝑛 = 1₂ℎ ∙ 𝑙_𝑛  여기서, 𝑛 → ∞ 이면, 𝑙_𝑛 → 2𝜋𝑟 & ℎ → 𝑟 ∴ lim 𝑛→∞𝑆𝑛 = lim𝑛→∞ 1 2ℎ ∙ 𝑙𝑛 = 1 2𝑟 ∙ 2𝜋𝑟 = 𝜋𝑟 2 _{= 𝑆}  구분구적법  주어진 도형을 충분히 작은 𝑛 개의 도형으로 세분화하여 그 도형에 근사 시키고,  세분된 기본 도형들의 면적을 합한 근사값의 극한을 취하여 면적 또는 체적을 구하는 방법을 구분구적법이라 함. 복습 𝑜 𝑟 𝐴 𝐵 ℎ

(지난 시간 복습) 7-3-2. 정적분의 정의  연속함수 𝑦 = 𝑓 𝑥 와 구간 [𝑎, 𝑏] 에서 𝑥 축과 이루는 도형의 면적을 구분구적법으로 구하면,  그림과 같이 함수 𝑓 𝑥 의 폐구간 [𝑎, 𝑏] 를 𝑛 등분하면 𝑥 와 이에 대응하는 함수 값은 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … 𝑥_𝑛−1, 𝑥_𝑛 𝑓(𝑥₁), 𝑓(𝑥₂), … , 𝑓(𝑥_𝑛−1), 𝑓(𝑥_𝑛)  𝑛 등분된 기본도형의 너비를 ∆𝑥 라 하면, ∆𝑥 = 𝑏−𝑎 𝑛  𝑛 등분된 기본도형의 면적의 합 𝑆_𝑛 은 𝑆_𝑛 = ∆𝑥 · 𝑛_𝑘=1𝑓(𝑥_𝑘)  여기서 𝑛 → ∞ 일 때 𝑆 = lim 𝑛→∞𝑆𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑓(𝑥𝑘) · ∆𝑥 𝑛 𝑘=1  이 극한값을 함수 𝑓 𝑥 의 𝑎 에서

b

(지난 시간 복습) 7-4-3. 우함수와 기함수의 적분  우함수: 𝑦 축에 대칭 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥)  𝑓 𝑥_−𝑎𝑎 𝑑𝑥 = 2 𝑓 𝑥₀𝑎 𝑑𝑥  대표적인 우함수: 2차 함수, cos 함수…  기함수: 원점에 대칭 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)  𝑓(𝑥)_−𝑎𝑎 𝑑𝑥 = 0 

예제) 다음의 정적분을 구하라 1) 𝑥₋₁1 2𝑑𝑥 ∴ 𝑥1 2 −1 𝑑𝑥 = 2 𝑥2 1 0 𝑑𝑥 = 2 3[𝑥 3_] 0 1 ₌ 2 3 2) 𝑥1 3 −1 𝑑𝑥 ∴ _𝑥−11 3 𝑑𝑥 = 0 3) 2𝑥₋₂2 3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 2 3𝑥2 2 _{+ 1} 0 𝑑𝑥 = 2[𝑥3_+𝑥] 0 2 _{= 2 8 + 2 = 20} 4) _−𝜋𝜋 2 sin 𝑥 + cos 𝑥 𝑑𝑥 = 2 cos 𝑥₀𝜋 𝑑𝑥 = 2 sin 𝑥 ₀𝜋 = 2 sin 𝜋 − sin 0 = 0 7. 적분 𝟐𝝅 0 𝑦 = sin 𝑥 𝑥 𝝅 −𝟐𝝅 −𝝅 𝟑𝝅 𝟐 0 𝑦 = cos 𝑥 𝑥 𝝅 −𝟐𝝅 −𝝅 𝑥3 _{= 기함수} 𝑥2 = 우함수 0 0 0

7-4-4. 정적분의 치환적분법 예제) 다음의 정적분을 치환적분법으로 구하라 (1) (2𝑥 − 1)2 2 0 𝑑𝑥  치환: 2𝑥 − 1 = 𝑡 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥 − 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥  구간 확인: 𝑥 = 0 𝑡 = −1 & 𝑥 = 2 𝑡 = 3 _{(2𝑥 − 1)0}2 2𝑑𝑥 = 𝑡₋₁3 2 ∙ 1 2𝑑𝑡 = 1 2 ∙ 𝑡3 3 −1 3 = 1 2∙ 27 3 + 1 3 = 14 3 (2) 𝑥 𝑥2₊₁ 1 0 𝑑𝑥  치환: 𝑥2 + 1 = 𝑡 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥  구간 확인: 𝑥 = 0 𝑡 = 1 & 𝑥 = 1 𝑡 = 2 𝑥 𝑥2₊₁ 1 0 𝑑𝑥 = 1 𝑡 2 1 ∙ 1 2𝑑𝑡 = 1 2∙ ln 𝑡 1 2 ₌ 1 2∙ ln 2 − ln 1 = 1 2ln 2 7. 적분 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형: case 1 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형: case 3

(3) ₀3 𝑥 + 1𝑑𝑥  치환: 𝑥 + 1 = 𝑡 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥  구간 확인: 𝑥 = 0 𝑡 = 1 & 𝑥 = 3 𝑡 = 4 ∴ ₀3 𝑥 + 1𝑑𝑥 = 𝑡4 12 1 𝑑𝑡 = 2 3 ∙ 𝑡 3 2 ₁ 4 = 2₃ ∙ 432 − 1 = 7 (4) 𝜋 2sin3𝑥 ∙ cos 𝑥 0 𝑑𝑥  치환: sin 𝑥 = 𝑡 𝑑 𝑑𝑥 sin 𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 cos 𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥  구간 확인: 𝑥 = 0 𝑡 = 0 & 𝑥 = 𝜋 2 𝑡 = 1 ∴ sin𝜋 2 3_{𝑥 ∙ cos 𝑥} 0 𝑑𝑥 = 𝑡3 1 0 𝑑𝑡 = 𝑡4 4 0 1 = 1₄ ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 정적분에서는 적분 구간을 이미 변경하였으므로, 치환한 변수를 다시 환원 할 필요 없음. 7. 적분 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형: case 1 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ _{𝑥 형: case 2}

7-4-5. 정적분의 부분 적분법  부분 적분법 Review 𝑓_𝑎𝑏 ′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) _𝑎𝑏 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥 예제) 다음의 정적분을 부분적분법으로 구하라 (1) 𝑥𝑒₁𝑒 𝑥 𝑑𝑥  𝑓′ _{𝑥 = 𝑒}𝑥 _{& 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒}𝑥 _{& 𝑔}′ _{𝑥 = 1} ∴ _𝑥𝑒1𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 ₁𝑒 − 𝑒₁𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 ∙ 𝑒𝑒 − 𝑒 − 𝑒𝑥 ₁𝑒 = 𝑒 ∙ 𝑒𝑒 _{− 𝑒 − 𝑒}𝑒 _{− 𝑒 = 𝑒}𝑒 _{𝑒 − 1} (2) 𝑥 cos 𝑥₀𝜋 𝑑𝑥

 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥 & 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = 1 ∴ _{𝑥 cos 𝑥0}𝜋 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ sin 𝑥 ₀𝜋 − sin 𝑥₀𝜋 𝑑𝑥 = 0 − −cos 𝑥 ₀𝜋

= cos 𝜋 − cos 0 = −2

7. 적분

case 1: 대수함수와 지수함수의 곱

7-5. 정적분의 응용 7-5-1. 도형의 면적 (1) 𝑥 축과 곡선의 면적: 𝑥 축과 곡선이 만드는 면적은 다음의 3 case 로 분류. case 1) 𝑓 𝑥 ≥ 0 인 경우: 𝑆 = 𝑓(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥 case 2) 𝑓 𝑥 ≤ 0 인 경우: 𝑆 = − 𝑓(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥 case 3) 일반적인 경우: 𝑆 = 𝑆₁ + 𝑆₂ = 𝑓(𝑥)_𝑎𝑐 𝑑𝑥 − 𝑓(𝑥)_𝑐𝑏 𝑑𝑥 7. 적분 𝑆1 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥

(case 1) (case 2) _{(case 3)}

𝑆 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 0 𝑆 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 0 𝑆₂ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

예제) 다음의 주어진 구간에서 곡선 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 과 𝑥 축으로 둘러싸인 도형의 면적을 구하라. (1) 0, 1 (2) 1, 3 (3) 0, 3  함수 𝑦 와 𝑥 (𝑦 = 0) 축의 교점을 구하면, 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 𝑥 − 1 𝑥 − 3 = 0 ∴ 𝑥 = 1 𝑜𝑟 2 이고 , 주어진 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 1) 구간 0, 1 에서 도형의 면적은 𝑆₁ 이고, 함수 𝑦 ≥ 0 ∴ 𝑆_{1 = 𝑓(𝑥)0}1 _{𝑑𝑥 = 𝑥0}1 2 − 4𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥₃3− 2𝑥2 + 3𝑥 0 1 = 4₃ 2) 구간 1, 3 에서 도형의 면적은 𝑆₂ 이고, 함수 𝑦 ≤ 0 ∴ 𝑆₂ = − 𝑓 𝑥₁3 𝑑𝑥 = 𝑥₁3 2 − 4𝑥 + 3 𝑑𝑥 = − 𝑥₃3 − 2𝑥2 + 3𝑥 1 3 = 4₃ 3) 구간 0, 3 에서 도형의 면적은 각 구간에서 구한 면적의 합 ∴ 𝑆 = 𝑆₁ + 𝑆₂ = 4 3 + 4 3 = 8 3 7. 적분 𝑦 𝑥 0 −1 3 2 3 𝑺_𝟏 𝑺_𝟐 1

(2) 두 곡선 사이의 면적  그림 (A)와 같이 구간 𝑎, 𝑏 에서 두 곡선 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 로 둘러싸인 면적 S 는 위 그래프에서 아래 그래프를 뺀 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 를 구간 𝑎, 𝑏 로 적분한 값.  두 곡선이 모두 𝑥 축 위 또는 아래에 있거나, 𝑥 축을 사이에 두고 있는 경우 모두 위의 공식이 성립. ∴ 구간 𝑎, 𝑏 에서𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) 일 때, 두 곡선 사이의 면적은: 𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)𝑏 𝑎 𝑑𝑥 7. 적분 그림 (A) 𝑆 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑥 0 𝑎 𝑏 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)

예제) 다음 두 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 면적을 구하라. (1) 𝑦 = 𝑥 & 𝑦 = 𝑥2 − 2  주어진 두 함수의 교점을 구하면: 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥2 _{− 2} ∴ 𝑥2 − 2 − 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −1 𝑜𝑟 2  구간 −1, 2 에서 𝑥 ≥ 𝑥2 − 2 이므로, 도형의 면적 𝑆 는 _{𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)−1}2 _{𝑑𝑥 = 𝑥 − (𝑥−1}2 2 − 2) 𝑑𝑥 = (−𝑥2 2_{+𝑥 + 2)} −1 𝑑𝑥 = − 𝑥3 3 + 𝑥2 2 + 2𝑥 ₋₁ 2 = 9 2 7. 적분 𝑦 𝑥 0 −2 2 −1 𝑺 𝑥 = 𝑥2 − 2 𝑥2 − 2 − 𝑥 = 0

(2) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 & 𝑦 = −𝑥2 + 1  주어진 두 함수의 교점을 구하면: 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 𝑦 = −𝑥2 _{+ 1} ∴ 2𝑥2 − 2𝑥 − 4 = 2 𝑥 + 1 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −1 𝑜𝑟 2  구간 −1, 2 에서 −𝑥2 + 1 ≥ 𝑥2 − 2𝑥 − 3 이므로, 도형의 면적 𝑆 는 𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)₋₁2 𝑑𝑥 = 2 −𝑥2 _{+ 1 − (𝑥}2 _{− 2𝑥 − 3)} −1 𝑑𝑥 = (−2𝑥2 2_{+2𝑥 + 4)} −1 𝑑𝑥 = − 2𝑥3 3 + 𝑥 2 _{+ 4𝑥} −1 2 = 9 7. 적분 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = −𝑥2 + 1 2𝑥2 − 2𝑥 − 4 = 0 -3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 𝑦 = −𝑥2_{+ 1} 𝑦 = 𝑥2_{− 2𝑥 − 3}