정답과
해설
I
집합과 명제
1
| 집합002
2
| 집합의 연산007
3
| 명제016
II
함수
4
| 함수028
5
| 합성함수와 역함수033
6
| 유리함수041
7
| 무리함수051
III
경우의 수
8
| 경우의 수060
| 집합
1
집합의 뜻과 표현
1
개념 확인 8쪽~10쪽 1 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ _ ⑷ ◯2 ⑴ I ⑵ I ⑶ G ⑷ I
3 ⑴ ① A={5, 6, 7, 8, 9} 3 ⑵ ② A={x|x는 4보다 크고 10보다 작은 자연수} 3 ⑵ ③ 5 A 6 7 8 9 3 ⑵ ① B={1, 2, 3, 6} 3 ⑵ ② B={x|x는 6의 양의 약수} 3 ⑵ ③ 1 B 2 3 6 4 ⑴ B, C ⑵ A ⑶ C 5 ⑴ 6 ⑵ 5 ⑶ 2
2
집합 A의 원소는 2, 4, 6이다.4
0보다 크고 2보다 작은 짝수는 없으므로 C={x|x는 0보다 크고 2보다 작은 짝수}=0 따라서 집합 C는 공집합이면서 유한집합이다.5
⑵ 1 이상 10 이하의 2의 배수는 2, 4, 6, 8, 10이므로 A={2, 4, 6, 8, 10} ∴ n(A)=5 ⑶ (x-2)(x-3)=0에서 x=2 또는 x=3 따라서 A={2, 3}이므로 n(A)=21
⑴ {1} ⑵, ⑶ ‘잘하는’, ‘가까운’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명 하게 정할 수 없으므로 집합이 아니다.2
10보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7이므로 A={2, 3, 5, 7}⑴ 1IA ⑵ 2GA ⑶ 3GA ⑷ 5GA ⑸ 7GA ⑹ 9IA
4
⑴ {5, 10, 15, 20, …}이므로 무한집합이다. ⑵ 1보다 크고 3보다 작은 홀수는 없으므로 공집합이다. 또, 공집합은 유한집합이다. ⑶ {1}이므로 유한집합이다. ⑷ x=-'2이므로 x€=2를 만족시키는 정수는 없다. 따라서 주어진 집합은 공집합이다. 또, 공집합은 유한집합이다.5
⑴ A={0, 0}의 원소는 0, 0, 즉 2개이므로 n(A)=2 ⑵ A={3, 6, 9, 12, 15, 18}이므로 n(A)=6 ⑶ A={1, 2, 3, 4, …, 9}이므로 n(A)=9 ⑷ |x|<3에서 -3<x<3 따라서 정수 x는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이므로 n(A)=5개념 드릴
| 11쪽 |1
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1 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶_ ⑷ ◯ 2 ⑴ I ⑵ G ⑶ G ⑷ G ⑸ G ⑹ I 3 ⑴ A={1, 3, 5, 7, 9} ⑵ A={x|x는 1 이상 10 이하의 홀수} 3 ⑶ 1 3 5 7 9 A 4 ⑴ 무 ⑵ 유, 공 ⑶ 유 ⑷ 유, 공 5 ⑴ 2 ⑵ 6 ⑶ 9 ⑷ 501
-1
⑤ |해결 전략 | 집합은 대상을 분명하게 정할 수 있는 것들의 모임이다. ⑤ ‘재미있는’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명하게 정할 수 없으므로 집합이 아니다.01
-2
⑤ |해결 전략 | (원소)G(집합)임을 이용한다. 집합 A의 원소는 1, 2, {2, 3}, 4이다. ① 2는 집합 A의 원소이므로 2÷ GAB ② 3은 집합 A의 원소가 아니므로 3÷ IAB ③ 4는 집합 A의 원소이므로 4÷ GAB ④ {1, 2}는 집합 A의 원소가 아니므로 {1, 2}÷ IAB ⑤ {2, 3}은 집합 A의 원소이므로 {2, 3}GA 따라서 옳은 것은 ⑤이다.02
-1
② |해결 전략 | 먼저 각 집합을 원소나열법으로 나타낸다. ① {2, 4, 6, 8} ② {1, 2, 4, 8}필수 유형
| 12쪽~15쪽 |2
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③ {1, 2, 3, 4} ④ {2, 4, 6, 8, …} ⑤ {…, -3, -1, 1, 3, …} 따라서 집합 A={1, 2, 4, 8}과 같은 집합은 ②이다.
02
-2
③ |해결 전략 | 집합에 속하는 원소들이 갖는 공통된 성질과 집합에 속하는 모든 원 소가 일치하는지 확인한다. ③ {x|x는 1보다 크고 50보다 작은 짝수} ➡ {2, 4, 6, 8, …, ÷48}B03
-1
{-7, -5, -3, -2, 0, 2, 3, 5, 7} |해결 전략 | 표를 이용하여 A와 B의 원소를 하나씩 곱한다. 집합 A={-1, 0, 1}에 대하여 xGA이므로 x=-1, 0, 1 집합 B={2, 3, 5, 7}에 대하여 yGB이므로 y=2, 3, 5, 7 오른쪽 표에 의하여 xy의 값은 -7, -5, -3, -2, 0, 2, 3, 5, 7 이므로 집합 C를 원소나열법으로 나 타내면 C={-7, -5, -3, -2, 0, 2, 3, 5, 7}03
-2
⑤ |해결 전략 | 소인수분해했을 때 소인수가 2와 3뿐이면 A의 원소임을 이용한다. ①~④ 24=2‹_3, 36=2€_3€, 72=2‹_3€, 108=2€_3‹은 소인 수가 2와 3뿐이므로 집합 A의 원소이다. ⑤ 120=2‹_3_5는 5를 소인수로 가지므로 집합 A의 원소가 아니다. 따라서 집합 A의 원소가 아닌 것은 ⑤이다.04
-1
ㄴ, ㄷ |해결 전략 | n(A)는 유한집합 A의 원소의 개수를 뜻한다. ㄱ. n({a, b, 1, 2})=4 ㄴ. n(0)=0 ㄷ. 집합 {0}의 원소는 0, 즉 1개이므로 n({0})=1 ㄹ. n({2, 3, 4, 7})-n({3, 4, 7})=4-3=1 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.04
-2
4 |해결 전략 | 먼저 세 집합 A, B, C를 원소나열법으로 나타낸다. A={1, 3, 9, 27, 81} (x-1)(x-3)<0에서 1<x<3 이것을 만족시키는 정수는 2뿐이므로 B={2} x€=-2를 만족시키는 실수 x는 존재하지 않으므로 C=0 ∴ n(A)-n(B)+n(C)=5-1+0=4 y x -1 0 1 2 -2 0 2 3 -3 0 3 5 -5 0 5 7 -7 0 7집합 사이의 포함 관계
2
개념 확인 16쪽~19쪽 1 ⑴ 0 ⑵ {1}, {2} ⑶ {1, 2} 2 ⑴ + ⑵ = ⑶ + 3 ⑴ 0, {2}, {4}, {2, 4} ⑵ 0, {2}, {4} 4 ⑴ 16 ⑵ 15 5 ⑴ 8 ⑵ 4 ⑶ 22
C={2, 3, 5, 7}4
⑴ 2›=16 ⑵ 2›-1=15 참고 ⑴ 집합 A={1, 2, 3, 4}의 부분집합을 모두 구하면 다음과 같다. 0, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}5
⑴ 24-1=2‹=8 ⑵ 24-2=2€=4 ⑶ 24-1-2=2⁄=21
⑴ 1GA이지만 1IB이므로 AEB 7GB이지만 7IA이므로 BEA ⑵ x€=1에서 x=-1 ∴ A={-1, 1} ∴ AAB 0GB이지만 0IA이므로 BEA ⑶ B={1, 2, 4, 8}이므로 AAB 8GB이지만 8IA이므로 BEA2
⑴ B={2, 3}이므로 A+B ⑵ A={2, 4, 6, 8, …}, B={2, 4, 6, 8, …}이므로 A=B ⑶ B={1, 2, 4}이므로 A=B개념 드릴
| 20쪽 |1
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1 ⑴ AEB, BEA ⑵ AAB, BEA ⑶ AAB, BEA 2 ⑴ A+B ⑵ A=B ⑶ A=B
3 ⑴ 부분집합: 0, {0} 진부분집합: 0 ⑵ 부분집합: 0, {a}, {b}, {a, b} 진부분집합: 0, {a}, {b} ⑶ 부분집합: 0, {1}, {3}, {9}, {1, 3}, {1, 9}, {3, 9}, {1, 3, 9} 진부분집합: 0, {1}, {3}, {9}, {1, 3}, {1, 9}, {3, 9} 4 ⑴ 64 ⑵ 63 ⑶ 8 ⑷ 32
02
-2
-1<a<3 |해결 전략 | 집합이 부등식으로 표현되어 있을 때는 수직선을 이용하여 나타내고, 포함 관계가 성립할 조건을 찾는다. 0<x-a<2에서 a<x<a+2 ∴ A={x|a<x<a+2} x€-4x-5<0에서 (x+1)(x-5)<0, 즉 -1<x<5 ∴ B={x|-1<x<5} AAB가 되도록 두 집합 A, B를 수직 선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으 므로 -1<a, a+2<5 ∴ -1<a<303
-1
3 |해결 전략 | A=B이면 집합 A의 원소와 집합 B의 원소가 모두 같음을 이용 한다. 6GA에서 6GB이어야 하므로 a€-a=6, a€-a-6=0 (a+2)(a-3)=0 ∴ a=-2 또는 a=3 1 a=-2일 때 A={-5, 3, 6}, B={5, 6, 8}이므로 A+B 2 a=3일 때 A={5, 6, 8}, B={5, 6, 8}이므로 A=B 1, 2에서 구하는 a의 값은 3이다.03
-2
2|해결 전략 | AAB, BAA이면 A=B임을 이용한다.
AAB, BAA이므로 A=B 2GA에서 2GB이어야 하므로 x€-x=2 또는 x-1=2 1 x€-x=2에서 x€-x-2=0 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 x=-1일 때, A={-2, 2}, B={-2, 2}이므로 A=B x=2일 때, A={2, 4}, B={1, 2}이므로 A+B 2 x-1=2에서 x=3 x=3일 때, A={2, 6}, B={2, 6}이므로 A=B 1, 2에서 A=B를 만족시키는 x의 값은 -1 또는 3이므로 구하는 x의 값의 합은 -1+3=2
04
-1
8 |해결 전략 | 원소의 개수가 n인 집합에 대하여 특정한 원소 k개는 반드시 원소로 갖고, m개는 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는 2n-k-m임을 이용한다. 집합 A의 부분집합 중 1, 2는 반드시 원소로 갖고, 5, 7은 원소로 갖 지 않는 부분집합은 집합 A에서 네 원소 1, 2, 5, 7을 제외한 집합 {3, 4, 6}의 부분집합에 두 원소 1, 2를 넣은 것과 같다. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 27-2-2=23=8 a B A x 5 a+2 -101
-1
⑤ |해결 전략 | 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타낸다. A={1, 3, 5, 7} ① 5÷ GAB ② 2÷ IAB ③ {4, 6}÷ EAB ④ {5, 7}÷ AAB ⑤ 0은 모든 집합의 부분집합이므로 0AA 따라서 옳은 것은 ⑤이다.01
-2
③ |해결 전략 | (원소)G(집합), (부분집합)A(집합)임을 이용한다. 집합 X의 원소는 0, 1, 2, {1, 2}이므로 ① 0GX ② 0은 모든 집합의 부분집합이므로 0AX ③ {0}÷ AXB ④ {1, 2}GX ⑤ {1, 2}A÷X 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.02
-1
-4 |해결 전략 | AAB일 때, xGA이면 xGB임을 이용한다. 3GA에서 3GB이어야 하므로 a=3 또는 a€-13=3 1 a=3일 때 A={3, 4}, B={-4, 3, 11}이므로 AEB 2 a€-13=3, 즉 a=-4일 때 a=4이면 A={3, 11}, B={3, 4, 11}이므로 AAB a=-4이면 A={3, 11}, B={-4, 3, 11}이므로 AAB 1, 2에서 구하는 a의 값은 -4이다.필수 유형
| 21쪽~25쪽 |2
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4
A={3, 6, 9, 12, 15, 18}이므로 ⑴ 2fl=64 ⑵ 2fl-1=63 ⑶ 26-3=2‹=8 ⑷ 26-1=2fi=3204
-2
8 |해결 전략 | {3, 9, 15}AX이므로 X는 3, 9, 15를 반드시 원소로 갖고, 1IX, 13IX이므로 1, 13은 원소로 갖지 않는다. 집합 X는 {3, 9, 15}AX에서 3, 9, 15를 반드시 원소로 갖고, 1IX, 13IX에서 1, 13은 원소로 갖지 않는 집합 A의 부분집합이다. 즉, X는 집합 A에서 다섯 원소 1, 3, 9, 13, 15를 제외한 집합 {5, 7, 11}에 세 원소 3, 9, 15를 넣은 것과 같다. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 28-3-2=23=804
-3
14 |해결 전략 | 구하는 부분집합의 개수는 집합 X의 부분집합의 개수에서 모두 짝수 가 아닌 원소로 이루어진 부분집합의 개수를 뺀 것임을 이용한다. 집합 X={1, 2, 4, 8}의 부분집합 중 적어도 한 개의 짝수를 원소로 갖는 부분집합은 집합 X의 부분집합 중 모두 짝수가 아닌 원소로 이 루어진 집합, 즉 {1}의 부분집합을 제외한 것과 같다. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 2›-2⁄=16-2=1405
-1
8 |해결 전략 | AAXAB를 만족시키는 집합 X는 집합 B의 부분집합 중 집합 A 의 모든 원소를 반드시 원소로 갖는 집합임을 이용한다. 집합 X는 집합 B의 부분집합 중 집합 A의 원소 1, 2, 3을 반드시 원 소로 갖는 집합이므로 구하는 집합 X의 개수는 26-3=23=805
-2
4 |해결 전략 | AAXAB를 만족시키는 집합 X는 집합 B의 부분집합 중 집합 A 의 모든 원소를 반드시 원소로 갖는 집합임을 이용한다. 두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타내면 A={1, 2, 3, 6}, B={1, 2, 3, 6, 9, 18} 집합 X는 집합 B의 부분집합 중 집합 A의 원소 1, 2, 3, 6을 반드시 원소로 갖는 집합이므로 구하는 집합 X의 개수는 26-4=2€=405
-3
9 |해결 전략 | BAXAA를 만족시키는 집합 X는 집합 A의 부분집합 중 집합 B 의 모든 원소를 반드시 원소로 갖는 집합임을 이용한다. A={1, 2, 3, …, k} 집합 X는 집합 A의 부분집합 중 집합 B의 원소 1, 2, 3, 6을 반드시 원소로 갖는 집합이다. 이때, 집합 X의 개수가 32이므로 2k-4=32=25 , k-4=5 ∴ k=91
-1
①, ③ |해결 전략 | 집합은 대상을 분명하게 정할 수 있는 것들의 모임이다. ①, ③ ‘충분히 큰’, ‘높은’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명하 게 정할 수 없으므로 집합이 아니다.1
-2
④ |해결 전략 | 집합은 대상을 분명하게 정할 수 있는 것들의 모임이다. ④ ‘작은’은 기준이 명확하지 않아 그 대상을 분명하게 정할 수 없으 므로 집합이 아니다. ⑤ 가장 작은 자연수의 모임은 {1}이므로 집합이다.2
-1
1 |해결 전략 | ax+by=5는 집합 A의 원소들이 갖는 공통된 성질임을 이용하여 연립방정식을 세운다. (1, 3)GA이므로 a+3b=5 …… ㉠ (-1, 2)GA이므로 -a+2b=5 …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2 ∴ a+b=12
-2
10 |해결 전략 | 먼저 집합 C를 원소나열법으로 나타낸다. 집합 A={-1, 0, 1}에 대하여 xGA이므로 x=-1, 0, 1 집합 B={1, 2}에 대하여 yGB이므로 y=1, 2 오른쪽 표에 의하여 x+y+xy의 값 은 -1, 1, 2, 3, 5이므로 집합 C를 원소나열법으로 나타내면 C={-1, 1, 2, 3, 5} 따라서 집합 C의 모든 원소의 합은 -1+1+2+3+5=103
-1
⑤ |해결 전략 | n(A)는 유한집합 A의 원소의 개수를 뜻한다. ① A={0}이면 n(A)=A1 ② A={1}, B={2, 3}이면 n(A)<n(B)이지만AEB이다. ③ A={a, {0, 1}}의 원소는 a, {0, 1}, 즉 2개이므로 n(A)=A2 ④ n({0})+n(0)=1+0=A1 ⑤ A={1, 2, 3, 4}이면 n(A)=4 따라서 옳은 것은 ⑤이다. y x -1 0 1 1 -1 1 3 2 -1 2 5유형 드릴
| 26쪽~27쪽 |3
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EP
3
-2
② |해결 전략 | n(A)는 유한집합 A의 원소의 개수를 뜻한다. ① n({3})=A1 ② A=0이면 n(A)=n(0)=0 ③ n({1, 2, 3})-n({1, 3})=3-2=A1 ④ A={0, 1}, B={0, 1}이면 AAB이지만 n(A)=n(B)이다. ⑤ A={0}, B={1}이면 n(A)=n(B)이지만 A+B이다. 따라서 옳은 것은 ②이다.4
-1
② |해결 전략 | (원소)G(집합), (부분집합)A(집합)임을 이용한다. ① 0은 집합 {1, 2}의 원소가 아니므로 0÷ I{1, 2}B ② 0은 모든 집합의 부분집합이므로 0A{1, 2} ③ 0은 집합 {0}의 원소가 아니므로 0÷ I{0}B ④ 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이므로 {1, 2}÷ A{1, 2}B ⑤ {0}은 집합 {0, 1, 2}의 원소가 아니므로 {0}÷ I{0, 1, 2}B 따라서 옳은 것은 ②이다.4
-2
④ |해결 전략 | (원소)G(집합), (부분집합)A(집합)임을 이용한다. 집합 A={0, a, {b}, c}의 원소는 0, a, {b}, c이다. ① 0은 집합 A의 원소이므로 0GA ② 0은 모든 집합의 부분집합이므로 0AA ③ a는 집합 A의 원소이므로 {a}는 집합 A의 부분집합이다. ∴ {a}AA ④ {b}는 집합 A의 원소이므로 {b}÷ GAB ⑤ {b}, c는 집합 A의 원소이므로 {{b}, c}는 집합 A의 부분집합이다. ∴ {{b}, c}AA 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.5
-1
4 |해결 전략 | 두 집합 A, B를 수직선 위에 나타낸다. -1<x+2<4에서 -3<x<2 ∴ A={x|-3<x<2} -2<x+a<5에서 -2-a<x<5-a ∴ B={x|-2-a<x<5-a} AAB가 되도록 두 집합 A, B를 수 직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 -2-a<-3, 5-a>2 ∴ 1<a<3 -3 B A x 5-a 2 -2-a 따라서 실수 a의 최댓값은 3, 최솟값은 1이므로 그 합은 3+1=45
-2
5 |해결 전략 | AAB일 때, xGA이면 xGB임을 이용한다. 2GA에서 2GB이어야 하므로 a=2 또는 a€-2a-1=2 1 a=2일 때 A={0, 2}, B={-1, 0, 2}이므로 AAB 2 a€-2a-1=2, 즉 a=-1 또는 a=3일 때 a=-1이면 A={2, 3}, B={-1, 0, 2}이므로 AEB a=3이면 A={2, 3}, B={0, 2, 3}이므로 AAB 1, 2에서 구하는 a의 값의 합은 2+3=56
-1
a=2, n=3|해결 전략 | AAB, BAA이면 A=B임을 이용한다.
AAB, BAA이므로 A=B 2GA에서 2GB이어야 하므로 2n+1=2 또는 a=2 2n+1=2에서 2n=1을 만족시키는 정수 n은 없다. ∴ a=2 또, 7GA에서 7GB이므로 2n+1=7, 2n=6 ∴ n=3
6
-2
-2 |해결 전략 | A=B이면 집합 A의 원소와 집합 B의 원소가 모두 같음을 이용 한다. 7GA에서 7GB이어야 하므로 a€-2a-1=7, a€-2a-8=0, (a+2)(a-4)=0 ∴ a=-2 또는 a=4 1 a=-2일 때 A={-3, 3, 7}, B={-3, 3, 7}이므로 A=B 2 a=4일 때 A={3, 7, 9}, B={-3, 3, 7}이므로 A+B 1, 2에서 구하는 a의 값은 -2이다. 다른 풀이 A=B이므로 {-3, 3}AB에서 {-3, 3}AA이어야 한다. 즉, {-3, 3}={a-1, a+5} 이때, a-1<a+5이므로 a-1=-3, a+5=3 ∴ a=-2 a€-2a-3=0, (a+1)(a-3)=0 ∴ a=-1 또는 a=37
-1
71 |해결 전략 | 원소의 개수가 n인 집합의 진부분집합의 개수는 2˜-1임을 이용한 다. n(A)=6이므로 집합 A의 진부분집합의 개수는 2fl-1=63 ∴ a=63 또, 4는 반드시 원소로 갖고, 6, 12는 원소로 갖지 않는 부분집합은 집합 A에서 4, 6, 12를 제외한 집합 {1, 2, 3}의 부분집합에 원소 4 를 넣은 것과 같다. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 26-1-2=2‹=8 ∴ b=8 ∴ a+b=717
-2
4 |해결 전략 | 원소의 최솟값이 3인 집합 A의 부분집합은 3은 반드시 원소로 갖고, 1, 2는 원소로 갖지 않아야 한다. 원소의 최솟값이 3인 집합 A의 부분집합은 3은 반드시 원소로 갖고, 1, 2는 원소로 갖지 않아야 하므로 집합 A에서 1, 2, 3을 제외한 집합 {4, 5}의 부분집합에 원소 3을 넣은 것과 같다. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 25-1-2=22=48
-1
4 |해결 전략| 먼저 집합 B를 원소나열법으로 나타낸다. 집합 B를 원소나열법으로 나타내면 B={1, 3, 5, 7} 집합 X는 집합 B의 부분집합 중 집합 A의 원소 3, 5를 반드시 원소 로 갖는 집합이므로 구하는 집합 X의 개수는 24-2=2€=48
-2
16 |해결 전략 | 먼저 집합 B를 원소나열법으로 나타낸다. 집합 A={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15}에 대하여 xGA, yGA, x, y는 서 로 다른 소수이므로 x=2, 3, 5 y=2, 3, 5 (단, x+y) 오른쪽 표에 의하여 xy의 값은 6, 10, 15이므로 집합 B를 원소나열법으로 나타내면 B={6, 10, 15} 따라서 집합 X는 집합 A의 부분집합 중 집합 B의 원소 6, 10, 15를 반드시 원소로 갖는 집합이므로 구하는 집합 X의 개수는 27-3=2›=16 주의 x, y는 서로 다른 소수이므로 표에서 x=y일 때의 xy의 값을 구하지 않도록 주의한다. y x 2 3 5 2 6 10 3 6 15 5 10 15집합의 연산
1
개념 확인 30쪽~31쪽 1 ⑴ ACB={1, 3, 5, 9}, ADB={1, 5} ⑵ ACB={a, i, n, o, r, s, w}, ADB={n} 2 ⑴ {6, 7} ⑵ {1, 3, 5, 7} ⑶ {1, 3, 5} ⑷ {6}1
⑴ A={1, 3, 5}, B={1, 5, 9}이므로 ACB={1, 3, 5, 9}, ADB={1, 5} ⑵ A={r, a, i, n}, B={s, n, o, w}이므로 ACB={a, i, n, o, r, s, w}, ADB={n}2
U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A={1, 2, 3, 4, 5}, B={2, 4, 6} ⑴ AC={6, 7} ⑵ BC={1, 3, 5, 7} ⑶ A-B={1, 3, 5} ⑷ B-A={6}| 집합의 연산
2
개념 드릴
| 33쪽 |1
S
T
EP
1 ⑴ ACB={2, 3, 5, 6, 7}, ADB=0 ⑵ ACB={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}, ADB={1, 3, 5} ⑶ ACB={-6, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, ADB={6} 2 ⑴ _ ⑵ _ ⑶ ◯ 3 ⑴ {3, 4, 6, 7, 8, 9} ⑵ {1, 2, 5, 10} ⑶ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⑷ 0 4 ⑴ {4, 8, 10} ⑵ {1, 3} ⑶ {5, 7, 9, 11, 12} ⑷ {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12}1
⑴ A={3, 6}, B={2, 5, 7}이므로 ACB={2, 3, 5, 6, 7}, ADB=0 ⑵ A={1, 3, 5, 7, 9}, B={1, 2, 3, 4, 5}이므로 ACB={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}, ADB={1, 3, 5} ⑶ A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={-6, 6}이므로 ACB={-6, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, ADB={6}01
-1
8 |해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다. A={1, 2, 5, 10}, B={1, 2, 3, 6}, C={1, 2, 3, 4, 5}에서 BCC={1, 2, 3, 4, 5, 6}이므로 AD(BCC) ={1, 2, 5, 10}D{1, 2, 3, 4, 5, 6} ={1, 2, 5} 따라서 AD(BCC)의 모든 원소의 합은 1+2+5=801
-2
③ |해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다. A={3, 6, 9, 12}, B={1, 2, 3, 4}, C={1, 2, 3, 4, 6, 12} ③ ADB={3}이므로 (ADB)CC ={3}C{1, 2, 3, 4, 6, 12} ={1, 2, 3, 4, 6, 12} ④ ACB={1, 2, 3, 4, 6, 9, 12}이므로 (ACB)DC ={1, 2, 3, 4, 6, 9, 12}D{1, 2, 3, 4, 6, 12} ={1, 2, 3, 4, 6, 12} ⑤ BDC={1, 2, 3, 4}이므로 AC(BDC) ={3, 6, 9, 12}C{1, 2, 3, 4} ={1, 2, 3, 4, 6, 9, 12}필수 유형
| 34쪽~40쪽 |2
S
T
EP
02
-1
32 |해결 전략 | 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내어 집합 B를 구한다. A={1, 3, 9}, ACB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ADB=0이므로 오른쪽 벤다이어그램에서 집합 A와 A 1 2 4 5 6 7 8 3 9 B 서로소인 집합 B는 B={2, 4, 5, 6, 7, 8} 따라서 집합 B의 모든 원소의 합은 2+4+5+6+7+8=3202
-2
16 |해결 전략 | 집합 A의 부분집합을 X라 하면 XDB=z이다. A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12}이고, 조건을 만족시키는 집합을 X라 하면 XAA이고 XDB=z 즉, X는 집합 A의 부분집합 중 집합 B의 원소 1, 2, 3, 4, 6을 모두 원소로 갖지 않는 집합이다. 따라서 구하는 집합 X의 개수는 29-5=2›=16 조건을 만족시키는 집합 X는 오른쪽 그림 A X B 과 같으므로 A-B의 부분집합이다. 즉, 집합 X는 집합 A에서 1, 2, 3, 4, 6을 제외한 집합 {5, 7, 8, 9}의 부분집합이다. LECTURE03
-1
{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12} |해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다. U={1, 2, 3, y, 12}, A={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={4, 8, 12}에서 A-B={2, 6, 10}이므로 (A-B)C={1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12}03
-2
{2} |해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다. U={1, 2, 3, y, 15}, A={2, 3, 5, 7, 11, 13}, B={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}, C={5, 10, 15}에서 A-B={2}, A-C={2, 3, 7, 11, 13}이므로 (A-B)D(A-C) ={2}D{2, 3, 7, 11, 13} ={2}04
-1
{1, 3, 5, 7} |해결 전략 | 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다. B={2, 3, 9}, ADB={3}, A 1 5 7 3 2 9 B ACB={1, 2, 3, 5, 7, 9}를 벤다이어그램 으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ A={1, 3, 5, 7}2
⑴ ADB={3, 9}이므로 두 집합 A, B는 서로소가 아니다. ⑵ A={1, 2, 3, 5, 7}, B={2, 3, 5, 7}이므로 ADB={2, 3, 5, 7} 따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다. ⑶ A={1, 3, 5, 7, 9}, B={4, 8}이므로 ADB=z 따라서 두 집합 A, B는 서로소이다.3
U={1, 2, 3, …, 10}, A={1, 2, 5, 10} ⑴ AC={3, 4, 6, 7, 8, 9} ⑵ (AC)C=A={1, 2, 5, 10} ⑶ ACAC=U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⑷ ADAC=z4
U={1, 2, 3, …, 12}, A={2, 4, 6, 8, 10}, B={1, 2, 3, 6} ⑴ A-B={4, 8, 10} ⑵ B-A={1, 3} ⑶ ACB={1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}이므로 (ACB)C={5, 7, 9, 11, 12} ⑷ ADB={2, 6}이므로 (ADB)C={1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12}04
-2
{2, 4, 6, 8} |해결 전략 | 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다. U={1, 2, 3, y, 10}, U A 4 8 5 7 9 2 1 10 3 6 B A-B={4, 8}, B-A={1, 3}, AC CBC={1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}을 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그 림과 같다. ∴ A={2, 4, 6, 8}05
-1
{-3, 0, 3} |해결 전략 | -3GB 또는 0GB임을 이용하여 a의 값을 먼저 구한다. ACB={-3, 0, 1, 3}, B={1, 3, a€-1}이므로 -3GB 또는 0GB 즉, a€-1=-3 또는 a€-1=0 이때, a€-1=-3을 만족시키는 실수 a는 존재하지 않으므로 a€-1=0, a€=1 ∴ a=-1 1 a=1일 때 A={-1, 2, 5}, B={0, 1, 3}이므로 ACB={-1, 0, 1, 2, 3, 5}가 되어 조건을 만족시키지 않는다. 2 a=-1일 때 A={-3, 0, 3}, B={0, 1, 3}이므로 ACB={-3, 0, 1, 3}이 되어 조건을 만족시킨다. 1, 2에서 a=-1이므로 A={-3, 0, 3}05
-2
2|해결 전략 | A-B={5}이면 5GA, 5IB임을 이용한다.
A-B={5}이므로 1GB, 3GB, a€+a-2GB 이때, B={1, 4, a€-1}이므로 1 3GB일 때, a€-1=3 a€=4 ∴ a=-2 2 a€+a-2GB일 때, a€+a-2=4 a€+a-6=0, (a+3)(a-2)=0 ∴ a=-3 또는 a=2 1, 2에서 a=2 다른 풀이 A-B={5}이므로 3GB이어야 한다. 즉, a€-1=3이므로 a=-2 1 a=2일 때 A={1, 3, 4, 5}, B={1, 3, 4}이므로 A-B={5}가 되어 조건을 만족시킨다. 2 a=-2일 때 A={0, 1, 3, 5}, B={1, 3, 4}이므로 A-B={0, 5}가 되어 조건을 만족시키지 않는다. 1, 2에서 a=2
06
-1
④ |해결 전략 | BAA를 만족시키도록 벤다이어그램으로 나타낸다. BAA를 만족시키도록 두 집합 A, B를 U B A 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. ① ACABC ② BAA이지만 B+A이면 A-B+z ③ ADBC=A-B+U ⑤ ACABC이므로 ACCBC=BC06
-2
②, ④ |해결 전략 | ACB=B가 나타내는 A, B 사이의 포함 관계를 알아본다. ACB=B이므로 AAB U A B AAB를 만족시키도록 두 집합 A, B를 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. ① ADB=A ② ADB=A이므로 AA(ADB) ③ B-A+U ④ ACB=B이므로 (ACB)AB ⑤ ADB=A이므로 (ADB)CB=ACB=B07
-1
16 |해결 전략 | 먼저 세 집합 A, B, X의 포함 관계를 알아본다. A={1, 4}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12} ACX=X에서 AAX BDX=X에서 XAB ∴ AAXAB 즉, 집합 X는 집합 B={1, 2, 3, 4, 6, 12}의 부분집합 중에서 1, 4 를 반드시 원소로 갖는 집합이다. 따라서 구하는 집합 X의 개수는 26-2=2›=1607
-2
8 |해결 전략 | 먼저 세 집합 B, B-A, X의 포함 관계를 알아본다. BDX=X에서 XAB (B-A)CX=X에서 (B-A)AX ∴ (B-A)AXAB 이때, B-A={2, 4}이므로 집합 X는 집합 B={1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 중에서 2, 4를 반드시 원소로 갖는 집합이다. 따라서 구하는 집합 X의 개수는 25-2=2‹=8집합의 연산법칙
2
개념 확인 41쪽~43쪽 1 {1, 3, 4, 5} 2 U 3 ⑴ 6 ⑵ 2 ⑶ 31
AD(BCC) =(ADB)C(ADC) ={1, 3}C{3, 4, 5} ={1, 3, 4, 5}2
(ACB)C(ACDBC) =(ACB)C(ACB)C =U3
⑴ n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB) =3+4-1=6 ⑵ n(AC)=n(U)-n(A)=8-6=2 ⑶ n(A-B)=n(A)-n(ADB)=8-5=31
⑴ AC(BCC) =(ACB)CC ={2, 4, 6, 8}C{1, 2, 4, 6} ={1, 2, 4, 6, 8} ⑵ (ADC)C(BDC) =(ACB)DC ={2, 4, 6, 8}D{1, 2, 4, 6} ={2, 4, 6}01
-1
⑴ ADB ⑵ B |해결 전략 | 집합의 연산법칙과 드모르간의 법칙을 이용하여 식을 간단히 한다. ⑴ AD(A-B)C =AD(ADBC)C =AD(AC CB) =(ADAC)C(ADB) =zC(ADB) =ADB⑵ (A-BC)C(ACDB) ={AD(BC)C}C(ACDB)
=(ADB)C(AC DB) =(ACAC)DB =UDB =B
필수 유형
| 45쪽~48쪽 |2
S
T
EP
개념 드릴
| 44쪽 |1
S
T
EP
1 ⑴ {1, 2, 4, 6, 8} ⑵ {2, 4, 6} 2 ⑴ 0 ⑵ {1, 3, 9} ⑶ {1} ⑷ {3, 9} 3 ⑴ 4 ⑵ 14 ⑶ 12 4 ⑴ 8 ⑵ 6 ⑶ 32
⑴ ACDBC=(ACB)C이고 ACB={1, 3, 5, 7, 9}=U이므로 ACDBC=z ⑵ ACCBC=(ADB)C이고 ADB={5, 7}이므로 ACCBC={1, 3, 9} ⑶ (ACCB)C =ADBC =A-B={1} ⑷ (ACBC)C =ACDB =B-A={3, 9}3
⑴ n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)에서 n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB) =13+8-17=4 ⑵ n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB) =5+9-0=14 ⑶ n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)에서 n(B) =n(ACB)+n(ADB)-n(A) =13+4-5=124
⑴ n(AC)=n(U)-n(A)에서 n(A) =n(U)-n(AC) =15-7=8 ⑵ n(A-B) =n(ACB)-n(B) =10-4=6 ⑶ n(B-A)=n(B)-n(ADB)에서 n(ADB) =n(B)-n(B-A) =6-3=307
-3
16 |해결 전략 | 먼저 세 집합 ADB, ACB, X의 포함 관계를 알아본다. (ADB)DX=ADB에서 (ADB)AX (ACB)CX=ACB에서 XA(ACB) ∴ (ADB)AXA(ACB) 이때, ADB={1, 2, 3}이므로 집합 X는 집합 ACB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합 중에서 1, 2, 3을 반드시 원 소로 갖는 집합이다. 따라서 구하는 집합 X의 개수는 27-3=2›=1601
-2
① |해결 전략 | 집합의 연산법칙과 드모르간의 법칙을 이용하여 식을 간단히 한다. (A-B)C(A-C) =(ADBC)C(ADCC) =AD(BC CCC) =AD(BDC)C =A-(BDC)02
-1
④ |해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 정리한 후 집합 A, B의 포함 관계를 알아본다. 주어진 식의 좌변을 정리하면 {(ADB)CB}C(A-B) =BC(A-B) (∵ (ADB)AB) =BC(ADBC) =(BCA)D(BCBC) =(BCA)DU =BCA 즉, ACB=B이므로 AAB 따라서 항상 옳은 것은 ④ A-B=z이다.02
-2
BAA |해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 정리한 후 집합 A, B의 포함 관계를 알아본다. 주어진 식의 좌변을 정리하면 {AD(AC CB)}C{BD(BCA)} ={(ADAC)C(ADB)}CB ={zC(ADB)}CB =(ADB)CB =B 즉, B=ADB이므로 BAA03
-1
17 |해결 전략 | 주어진 식을 n(ACB)를 포함한 식으로 나타낸다. n(A-B)=n(ACB)-n(B)에서 n(ACB) =n(A-B)+n(B) =8+9=17 다른 풀이 n(A-B)=n(A)-n(ADB)에서 n(ADB)=n(A)-n(A-B)=14-8=6 ∴ n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB) =14+9-6=1703
-2
35 |해결 전략 | n(ADB)를 구한 후 주어진 식을 n(ADB)를 포함한 식으로 나 타낸다. n(AC CBC) =n((ADB)C) =n(U)-n(ADB) 이때, n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)에서 n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB) =25+30-40=15 ∴ n(ACCBC) =n(U)-n(ADB) =50-15=3504
-1
29 |해결 전략 | 먼저 주어진 조건을 집합으로 나타낸다. 수학 수업을 신청한 학생의 집합을 A, 영어 수업을 신청한 학생의 집 합을 B라 하면 n(A)=16, n(B)=19, n(ADB)=6 이때, 수학 수업 또는 영어 수업을 신청한 학생의 집합은 ACB이므 로 구하는 학생 수는 n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB) =16+19-6=2904
-2
13 |해결 전략 | 먼저 주어진 조건을 집합으로 나타낸다. 스마트폰을 가지고 있는 학생의 집합을 A, 태블릿 PC를 가지고 있 는 학생의 집합을 B라 하면 n(A)=17, n(B)=8 또한, 21명 모두 적어도 하나의 기기를 가지고 있으므로 n(ACB)=21 이때, n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB)에서 n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB) =17+8-21 =4 따라서 스마트폰만 가지고 있는 학생의 집합은 A-B이므로 구하는 학생 수는 n(A-B) =n(A)-n(ADB) =17-4=13 다른 풀이 n(A-B) =n(ACB)-n(B) =21-8=13 참고 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 U의 모든 원소가 A, B 중 적어 도 한 집합에 속하면 ACB=U, (ACB)C=0 A 4 4 13 B3
-1
② |해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다. U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A={1, 2, 4}, B={2, 3, 5, 7} ② B-A={3, 5, 7} 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.3
-2
④ |해결 전략 | 각 보기의 식의 좌변을 간단히 정리한 후 원소나열법으로 나타낸다. ③ ACDB=B-A={2} ④ ACB={1, 2, 3, 5}이므로 AC-B=AC DBC=(ACB)C={4, 6} ⑤ (ADB)C(ACCBC) =(ADB)C(ADB)C =U ={1, 2, 3, 4, 5, 6} 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.4
-1
{1, 4, 6, 7, 8} |해결 전략 | 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다. ACB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A-B={2, 3, 5}, B-A={4, 6, 8}을 벤 다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ B={1, 4, 6, 7, 8}4
-2
{1, 2, 5, 9, 10} |해결 전략 | 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다. U={1, 2, 3, …, 10}, A={1, 2, 4, 7, 10}, ACB={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10}, ADB={4, 7}을 벤다이어그램으로 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ BC={1, 2, 5, 9, 10}5
-1
④ |해결 전략 | 각 보기의 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다. ① AD(B-C) A B C U AD(B-C) A B C U B-C A B C U A D = A 4 8 6 1 7 2 3 5 B U A 5 9 1 2 10 4 37 8 6 B1
-1
21 |해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다. A={1, 2, 4, 8}, B={2, 4, 6, 8, 10, 12}, C={1, 2, 3, 6}에서 BDC={2, 6} ∴ AC(BDC)={1, 2, 4, 8}C{2, 6}={1, 2, 4, 6, 8} 따라서 AC(BDC)의 모든 원소의 합은 1+2+4+6+8=211
-2
36 |해결 전략 | 먼저 주어진 집합을 원소나열법으로 나타낸다. U={1, 2, 3, y, 20}, A={3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20}, B={1, 2, 3, 6, 9, 18}이므로 ADB={3, 6, 9, 18} 따라서 ADB의 모든 원소의 합은 3+6+9+18=362
-1
ㄱ, ㄷ |해결 전략 | 두 집합 A, B가 서로소이면 ADB=z이다. ㄱ. ADB=z ㄴ. A={1, 3, 9}, B={1, 2, 5, 10}이므로 ADB={1} ㄷ. A={-1, 0}, B=z이므로 ADB=z 따라서 두 집합 A, B가 서로소인 것은 ㄱ, ㄷ이다.2
-2
①, ④ |해결 전략 | ADB=z이면 두 집합 A, B는 서로소이다. 주어진 조건을 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ① A-B=A ② B-A=B ③ ACDBC+0 ④ n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB)에서 n(ADB)=0이므로 n(ACB)=n(A)+n(B) ⑤ AC-BC =ACD(BC)C=ACDB =B-A=B 따라서 항상 옳은 것은 ①, ④이다. U A B유형 드릴
| 49쪽~51쪽 |3
S
T
EP
② AD(C-B) A B C U AD(C-B) A B C U C-B A B C U A D = ③ A-(BDC) A B C U A-(BDC) A B C U BDC A B C U A - = ④ AD(B-C)C A B C U AD(B-C)C A B C U (B-C)C A B C U A D = ⑤ AD(C-B)C A B C U AD(C-B)C A B C U (C-B)C A B C U A D = 따라서 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분을 나타내는 집합은 ④ AD(B-C)C이다.
5
-2
④ |해결 전략 | 각 보기의 집합을 벤다이어그램으로 나타낸다. ① A-(B-C) A B C U A-(B-C) A B C U B-C A B C U A = -② B-(ADC) A B C U B-(ADC) A B C U ADC A B C U B - = ③ (BCC)-A A B C U (BCC)-A A B C U A A B C U BCC - = ④ (B-A)D(B-C) A B C U (B-A)D(B-C) A B C U B-C A B C U B-A D = ⑤ (A-B)D(A-C) A B C U (A-B)D(A-C) A B C U A-C A B C U A-B D = 따라서 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분을 나타내는 집합은 ④ (B-A)D(B-C)이다.6
-1
3 |해결 전략 | 3GA임을 이용하여 a의 값을 구한다. ADB={1, 3}에서 3GA이므로 a€-2a=3, a€-2a-3=0 (a+1)(a-3)=0 ∴ a=-1 또는 a=3 1 a=-1일 때 A={1, 2, 3}, B={-3, -1, 2}이므로 ADB={2}가 되어 조 건을 만족시키지 않는다. 2 a=3일 때 A={1, 2, 3}, B={1, 3, 6}이므로 ADB={1, 3}이 되어 조건 을 만족시킨다. 1, 2에서 a=36
-2
{5} |해결 전략 | 3GA임을 이용하여 a의 값을 구한다. A-B={3}, A={0, a, a+1}에서 3GA이므로 a=3 또는 a+1=3 1 a=3일 때 A={0, 3, 4}, B={1, 4, 5}이므로 A-B={0, 3}이 되어 조건 을 만족시키지 않는다. 2 a+1=3, 즉 a=2일 때 A={0, 2, 3}, B={0, 2, 5}이므로 A-B={3}이 되어 조건을 만족시킨다. 1, 2에서 a=2이므로 B-A={0, 2, 5}-{0, 2, 3}={5}7
-1
ㄴ, ㄹ |해결 전략 | 주어진 식을 이용하여 A, B 사이의 포함 관계를 알아본다. A-(ADBC)=A, 즉 A-(A-B)=A에서 A-B=z이므로 AAB ㄱ. ACB=B ㄴ. ADBC=A-B=z ㄷ. AAB ㄹ. AAB이므로 BCAAC 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. 다른 풀이 주어진 식의 좌변을 정리하면 A-(ADBC) =AD(ADBC)C =AD(ACCB) =(ADAC)C(ADB) =zC(ADB) =ADB 즉, ADB=A이므로 AAB7
-2
⑤ |해결 전략 | 주어진 식을 이용하여 A, B 사이의 포함 관계를 알아본다. (ACB)DAC=z, 즉 (ACB)-A=z에서 ACB=A이므로 BAA ① B-A=z ② ACB=A ③ ADB=B ④ ACABC 따라서 옳은 것은 ⑤ ACBC=U이다. 다른 풀이 주어진 식의 좌변을 정리하면 (ACB)DAC =(ADAC)C(BDAC) =zC(BDAC) =BDAC =B-A 즉, B-A=z이므로 BAA8
-1
8 |해결 전략 | 먼저 세 집합 A, A-B, X의 포함 관계를 알아본다. ADX=X에서 XAA (A-B)CX=X에서 (A-B)AX ∴ (A-B)AXAA 이때, A-B={1, 3}이므로 집합 X는 집합 A={1, 3, 5, 7, 9}의 부분집합 중에서 1, 3을 반드시 원소로 갖는 집합이다. 따라서 구하는 집합 X의 개수는 25-2=2‹=88
-2
64 |해결 전략 | 주어진 두 조건을 이용하여 집합 X에 포함되는 원소와 포함되지 않 는 원소를 구한다. A={1, 3, 4}, ADX={3}에서 3은 집합 X의 원소이고, 1, 4는 집 합 X의 원소가 아니다. B-A={2, 5, 9}, (B-A)CX={2, 3, 5, 9, 10}에서 3, 10은 집합 X의 원소이다. 즉, 집합 X는 전체집합 U={1, 2, 3, y, 10}의 부분집합 중에서 3, 10은 반드시 원소로 갖고, 1, 4는 원소로 갖지 않는 집합이다. 따라서 구하는 집합 X의 개수는 210-2-2=2fl=64 참고 원소의 개수가 n인 집합에 대하여 특정한 원소 k개는 반드시 원소로 갖고, m 개는 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수 ➡ 2n-k-m (단, k+m<n)9
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① |해결 전략 | 집합의 연산법칙과 드모르간의 법칙을 이용하여 식을 간단히 한다. (ACB)D(B-A)C =(ACB)D(BDAC)C =(ACB)D(BC CA) =AC(BDBC) =ACz =A9
-2
④ |해결 전략 | 집합의 연산법칙과 드모르간의 법칙을 이용하여 식을 간단히 한다. ① AD(ACB)C =AD(ACDBC ) =(ADAC)DBC =zDBC =z② AD(ACCB) =(ADAC)C(ADB)
=zC(ADB)
=ADB
③ (ACB)C(ACDBC) =(ACB)C(ACB)C
=U
④ {(ADB)CD(ACBC)}DA ={(ACCBC)D(ACBC)}DA
={(AC DA)CBC}DA =(zCBC)DA =BC DA =A-B ⑤ (A-B)D(A-C) =(ADBC)D(ADCC) =AD(BC DCC) =AD(BCC)C =A-(BCC) 따라서 항상 성립하는 것이 아닌 것은 ④이다.
10
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③ |해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 정리한 후 집합 A, B의 포함 관계를 알아본다. 주어진 식의 좌변을 정리하면 A-(A-B) =AD(ADBC)C =AD(AC CB) =(ADAC)C(ADB) =zC(ADB) =ADB 즉, ADB=ACB이므로 A=B10
-2
ㄱ, ㅁ |해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 정리한 후 집합 A, B의 포함 관계를 알아본다. 주어진 식의 좌변을 정리하면 (ACB)D(AC DB)C =(ACB)D(ACBC) =AC(BDBC) =ACz =A 즉, A=ACB이므로 BAA ㄴ. B+z이면 A-B+A ㄷ. ACBC=U ㄹ. ACABC ㅁ. B-A=z이므로 B와 B-A는 서로소이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㅁ이다.11
-1
14 |해결 전략 | 주어진 식을 n(ADB)를 포함한 식으로 나타낸다. n(AC CBC) =n((ADB)C) =n(U)-n(ADB) 이므로 n(ADB) =n(U)-n(AC CBC) =40-33=7 ∴ n(ADBC) =n(A-B) =n(A)-n(ADB) =21-7=14 참고 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 ❶ n(AC)=n(U)-n(A) ❷ n(A-B) =n(A)-n(ADB) =n(ACB)-n(B)11
-2
24 |해결 전략 | 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분을 두 부분으로 나누어 생각한다. 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분이 나타내는 집합의 원소의 개수 는 n((ACB)C)+n(ADB)이다. n((ACB)C) =n(U)-n(ACB) =48-30=18 n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)이므로 n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB) =15+21-30=6 따라서 색칠한 부분을 나타내는 집합의 원소의 개수는 n((ACB)C)+n(ADB)=18+6=24 주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분은 다음과 같이 두 부분으로 나누어 생각할 수 있다. U A B (ACB)C U A B ADB 따라서 구하는 집합의 원소의 개수는 n((ACB)C)+n(ADB) LECTURE12
-1
17 |해결 전략 | 먼저 주어진 조건을 집합으로 나타낸다. 지후네 반 학생 중 축구 동아리에 가입한 학생의 집합을 A, 농구 동 아리에 가입한 학생의 집합을 B라 하면 n(A)=13, n(B)=9, n(ADB)=5 축구 동아리와 농구 동아리 중 적어도 하나의 동아리에 가입한 학생 의 집합은 ACB이므로 구하는 학생 수는 n(ACB) =n(A)+n(B)-n(ADB) =13+9-5=1712
-2
4 |해결 전략 | 먼저 주어진 조건을 집합으로 나타낸다. 인성이네 반 학생 전체의 집합을 U, A 영화를 본 학생의 집합을 A, B 영화를 본 학생의 집합을 B라 하면 n(U)=30, n(A)=13, n(B)=18, n(AC DBC)=3 이므로 n(ACB) =n(U)-n((ACB)C) =n(U)-n(AC DBC) =30-3=27 이때, A 영화와 B 영화를 모두 본 학생의 집합은 ADB이므로 구하 는 학생 수는 n(ADB) =n(A)+n(B)-n(ACB) =13+18-27=4| 명제
3
1
⑴ x의 값에 따라 참, 거짓이 달라지므로 명제가 아니다. ⑵ 1은 소수가 아니므로 거짓인 명제이다. ⑶ 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아니다. ⑷ 참인 명제이다.2
주어진 명제의 부정은 다음과 같다. ⑴ 4는 짝수가 아니다. (거짓) ⑵ 2_5+10 (거짓) ⑶ 8은 3의 배수가 아니다. (참) ⑷ 정사각형은 직사각형이다. (참)개념 드릴
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| 59쪽 | 1 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ _ ⑷ ◯ 2 ⑴ 4는 짝수가 아니다. (거짓) ⑵ 2_5+10 (거짓) ⑶ 8은 3의 배수가 아니다. (참) ⑷ 정사각형은 직사각형이다. (참) 3 ⑴ x+y+0 ⑵ x+0 또는 y+0 ⑶ 0<x<2 ⑷ x<3 또는 x>4 4 ⑴ {1, 2, 3, 4, 5} ⑵ {3, 6, 9} ⑶ {6, 7, 8, 9, 10} ⑷ {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} 5 ⑴ 가정: 1<x<2이다., 결론: 0<x<3이다. (참) ⑵ 가정: a+b는 자연수이다., 결론: a, b는 자연수이다. (거짓) ⑶ 가정: x€=4이다., 결론: x=2이다. (거짓) ⑷ 가정: 두 삼각형의 넓이가 같다., 결론: 두 삼각형은 합동이다. (거짓)1
⑴ x의 값에 따라 참, 거짓이 달라지므로 명제가 아니다. ⑵ 9의 양의 약수는 1, 3, 9이므로 거짓인 명제이다. ⑶ 지구가 큰지 작은지는 보는 사람에 따라 다르므로 명제가 아니 다.2
주어진 명제의 부정은 다음과 같다. ⑴ 3은 짝수가 아니다. ⑵ -1>0 ⑶ 4는 2의 배수가 아니다.3
주어진 조건의 부정은 다음과 같다. ⑴ x=5 ⑵ x+2 ⑶ x>4 ⑷ x<-34
⑴ 8의 양의 약수는 1, 2, 4, 8 따라서 주어진 조건의 진리집합은 {1, 2, 4, 8} ⑵ 4x-3<9에서 4x<12 4 x<3 따라서 주어진 조건의 진리집합은 {1, 2}5
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q 라 하면 P={1, 2, 3, 6}, Q={2, 4, 6} ⑴ PCQ={1, 2, 3, 4, 6} ⑵ PDQ={2, 6}6
⑴ ‘x=-1이고 x=2’ bad ‘부정 x+-1 또는 x+2’ ⑵ ‘x<1 또는 x>3’의 부정은 ‘x>1 그리고 x<3’이므로 1<x<3 U 1 2 6 3 4 5 P Q 개념 확인 54쪽~58쪽 1 명제: ⑵ 거짓 2 ⑴ 3은 짝수가 아니다. ⑵ -1>0 ⑶ 4는 2의 배수가 아니다. 3 ⑴ x=5 ⑵ x+2 ⑶ x>4 ⑷ x<-3 4 ⑴ {1, 2, 4, 8} ⑵ {1, 2} 5 ⑴ {1, 2, 3, 4, 6} ⑵ {2, 6} 6 ⑴ x+-1 또는 x+2 ⑵ 1<x<3 7 ⑴ 가정: x>2이다., 결론: x>1이다. (참) ⑵ 가정: x€=1이다., 결론: x=1이다. (거짓) 8 ⑴ 모든 양수 x에 대하여 2x>x이다. (참) ⑵ 어떤 자연수 x에 대하여 x<1이다. (거짓)명제와 조건
1
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⑴ 가정: x>2이다., 결론: x>1이다. p: x>2, q: x>1이라 하고 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|x>2}, Q={x|x>1} 따라서 PAQ이므로 주어진 명제는 참이다. ⑵ 가정: x€=1이다., 결론: x=1이다. p: x€=1, q: x=1이라 하고 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={-1, 1}, Q={1} 따라서 PEQ이므로 주어진 명제는 거짓이다.8
⑴ 부정: 모든 양수 x에 대하여 2x>x이다. 모든 양수 x에 대하여 x>0이므로 x+x>0+x 즉, 2x>x이다. 따라서 주어진 명제의 부정은 참이다. ⑵ 부정: 어떤 자연수 x에 대하여 x<1이다. 어떤 자연수 x에 대해서도 x>1이므로 x<1인 자연수는 존재 하지 않는다. 따라서 주어진 명제의 부정은 거짓이다.3
⑴ x+y=0 bad 부정 x+y+0⑵ ‘x=0이고 y=0’ bad ‘부정 x+0 또는 y+0’
⑶ ‘x<0 또는 x>2’의 부정은 ‘x>0 그리고 x<2’이므로 0<x<2 ⑷ 3<x<4, 즉 ‘x>3 그리고 x<4’의 부정은 ‘x<3 또는 x>4’
4
전체집합 U={1, 2, 3, …, 10}에 대하여 두 조건 p, q의 진리집합 을 각각 P, Q라 하면 ⑴ p: 2x-1<9에서 2x<10, 즉 x<5 ∴ P={1, 2, 3, 4, 5} ⑵ Q={3, 6, 9} ⑶ ~p의 진리집합은 PC이므로 PC={6, 7, 8, 9, 10} ⑷ ~q의 진리집합은 QC이므로 QC={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}5
⑴ 가정: 1<x<2이다., 결론: 0<x<3이다. p: 1<x<2, q: 0<x<3이라 하고, 두 조건 p, q의 진리집합 을 각각 P, Q라 하면 P={x|1<x<2}, Q={x|0<x<3} 따라서 PAQ이므로 주어진 명제는 참이다. ⑵ 가정: a+b는 자연수이다., 결론: a, b는 자연수이다. [반례]a=;2!;, b=;2!;이면 a+b는 자연수이지만 a, b는 자연수 가 아니다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다. ⑶ 가정: x€=4이다., 결론: x=2이다. [반례]x=-2이면 x€=4이지만 x+2이다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다. ⑷ 가정: 두 삼각형의 넓이가 같다., 결론: 두 삼각형은 합동이다. [반례] 밑변의 길이가 4, 높이가 1인 삼각형과 밑변의 길이가 2, 높이가 2인 삼각형은 넓이가 2로 같지만 두 삼각형은 합 동이 아니다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다. 1 P x 3 2 0 Q01
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④ |해결 전략 | 명제는 참, 거짓을 판별할 수 있다. ① '2+'3+'5이므로 거짓인 명제이다. ② (-3)€=9, (-2)€=4, 즉 (-3)€>(-2)€이므로 거짓인 명제이 다.필수 유형
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| 60쪽~65쪽 | ③ 9는 소수가 아니므로 거짓인 명제이다. ④ 참인 명제이다. ⑤ 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아니다.01
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③ |해결 전략 | 명제가 거짓이면 명제의 부정은 참이다. ①, ②, ④, ⑤ 주어진 명제가 참이므로 그 부정은 거짓이다. ③ 주어진 명제가 거짓이므로 그 부정은 참이다.02
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{1, 4, 6} |해결 전략 | 조건 p의 진리집합이 P이면 조건 ~p의 진리집합은 PC이다. 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={2, 3, 5, 7} 따라서 조건 ~p의 진리집합은 PC={1, 4, 6}02
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{1, 2} |해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 조건 ‘~p 그리고 q’의 진리 집합은 PCDQ이다. 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 p: x€+x=0에서 x(x+1)=0 ∴ x=-1 또는 x=0 ∴ P={-1, 0} q: x(x-2)<0에서 0<x<2 ∴ Q={0, 1, 2} 따라서 조건 ‘~p 그리고 q’의 진리집합은 PC DQ=Q-P={0, 1, 2}-{-1, 0}={1, 2}03
-1
⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 참 ⑷ 거짓 |해결 전략 | 명제 p bd q가 참이면 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 PAQ임을 보이고, 거짓이면 반례를 보인다. ⑴ [반례] x=12이면 x는 12의 양의 약수이지만 6의 양의 약수가 아 니다. 따라서 명제 p bd q는 거짓이다. ⑵ [반례]x=6이면 x는 3의 배수이지만 9의 배수가 아니다. 따라서 명제 p bd q는 거짓이다. ⑶ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 p: x€-4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 ∴ P={1, 3} q: 0<x<4에서 Q={x|0<x<4} 따라서 PAQ이므로 명제 p bd q는 참이다. ⑷ [반례]x=1, y=0이면 xy=0이지만 x€+y€+0이다.04
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④ |해결 전략 | 진리집합 P, Q의 포함 관계를 벤다이어그램으로 나타낸다. 명제 p bd ~q가 참이므로 PAQC 따라서 세 집합 U, P, Q를 벤다이어그램 으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ① PCQ+Q ∴ 거짓 ② Q-P=Q ∴ 거짓 ③ PDQ=0 ∴ 거짓 ④ P-Q=P ∴ 참 ⑤ PCQC=QC ∴ 거짓 따라서 옳은 것은 ④이다.04
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⑤ |해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 PAQ이면 명제 p bd q 가 참이다. ① PEQ이므로 명제 p bd q는 거짓 ② PER이므로 명제 p bd r는 거짓 ③ QEPC이므로 명제 q bd 〜p는 거짓 ④ REQ이므로 명제 r bd q는 거짓 ⑤ QAR이므로 명제 q bd r는 참 따라서 참인 명제는 ⑤이다.05
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5 |해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 PAQ가 되도록 수직선 위 에 나타낸다. 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|2<x<4}, Q={x|0<x<a} 명제 p bd q가 참이 되려면 PAQ이 어야 하므로 오른쪽 그림에서 a>4 따라서 정수 a의 최솟값은 5이다.05
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1<a<3 |해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q에 대하여 PAQC가 되도록 수직선 위에 나타낸다. q: x<1 또는 x>6이므로 ~q: 1<x<6 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|a<x<a+3}, QC={x|1<x<6} 명제 p bd ~q가 참이 되려면 PAQC 이어야 하므로 오른쪽 그림에서 a>1이고 a+3<6 ∴ 1<a<306
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② |해결 전략 | 명제 ‘모든 x에 대하여 p이다.’는 P=U일 때 참, 명제 ‘어떤 x에 대 하여 p이다.’는 P+z일 때 참임을 이용한다. U P Q 2 Q P x a 4 0 a P x 6 a+3 1 QC ① p: |x|>x라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={-2, -1, 0, 1, 2} 따라서 P=U이므로 주어진 명제는 참이다. ② p: x€>0이라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={-2, -1, 1, 2} 따라서 P+U이므로 주어진 명제는 거짓이다. ③ p: (x-1)€>0이라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={-2, -1, 0, 1, 2} 따라서 P+z이므로 주어진 명제는 참이다. ④ p: x<0이라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={-2, -1, 0} 따라서 P+z이므로 주어진 명제는 참이다. ⑤ p: (x+1)€<0이라 하고, 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={-1} 따라서 P+z이므로 주어진 명제는 참이다.06
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⑴ 명제: 참, 명제의 부정: 거짓 ⑵ 명제: 거짓, 명제의 부정: 참 |해결 전략 | ‘모든’과 ‘어떤’에 주의하여 참, 거짓을 판별한다. ⑴ 모든 자연수 n에 대하여 n€+n, 즉 n(n+1)은 연속된 두 자연수 의 곱이므로 2의 배수이다. 따라서 주어진 명제는 참이다. 주어진 명제의 부정은 ‘어떤 자연수 n에 대하여 n€+n은 2의 배수 가 아니다.’이고 거짓이다. ⑵ n€이 짝수가 되는 홀수 n은 없으므로 주어진 명제는 거짓이다. 주어진 명제의 부정은 ‘모든 홀수 n에 대하여 n€은 짝수가 아니 다.’이고 항상 성립하므로 참이다. 참고 ⑴ n이 홀수이면 n+1은 짝수, n이 짝수이면 n+1은 홀수이므로 n(n+1) 은 짝수, 즉 2의 배수이다. ⑵ n이 홀수이면 n€도 홀수, n이 짝수이면 n€도 짝수이다.1
역: n이 3의 배수이면 n은 6의 배수이다. [반례] n=9이면 n은 3의 배수이지만 n은 6의 배수가 아니다. 따라서 역은 거짓이다. 대우: n이 3의 배수가 아니면 n은 6의 배수가 아니다. 주어진 명제 ‘n이 6의 배수이면 n은 3의 배수이다.’가 참이므로 그 대우도 참이다. 개념 확인 66쪽~68쪽 1 역: n이 3의 배수이면 n은 6의 배수이다. (거짓) 대우: n이 3의 배수가 아니면 n은 6의 배수가 아니다. (참) 2 ⑴ 충분조건 ⑵ 필요조건 ⑶ 필요충분조건 3 ⑴ 필요조건 ⑵ 충분조건 ⑶ 필요충분조건명제 사이의 관계
2
2
⑴ 두 조건 p: x=0, q: x€=x에 대하여 p gm q, q fwm p 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ⑵ 두 조건 p: x>0, q: x>1에 대하여 p fwm q, q gm p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다. ⑶ 두 조건 p: x=1, q: (x-1)€=0에 대하여 p gm q, q gm p 4 p lgm q 따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.3
⑴ x€=4에서 x=-2 P={-2, 2}, Q={2} QAP이므로 q gm p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다. ⑵ P={4, 8, 12, 16, …}, Q={2, 4, 6, 8, …} PAQ이므로 p gm q 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ⑶ x€-3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 P={1, 2}, Q={1, 2} P=Q이므로 p lgm q 따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.1
⑴ 역: x가 16의 양의 약수이면 x는 8의 양의 약수이다. x=16이면 x는 16의 양의 약수이지만 8의 양의 약수는 아니므 로 주어진 명제의 역은 거짓이다. ⑵ 역: 정삼각형이면 삼각형의 세 변의 길이가 같다. 주어진 명제의 역은 참이다.개념 드릴
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| 69쪽 | 1 ⑴ x가 16의 양의 약수이면 x는 8의 양의 약수이다. (거짓) ⑵ 정삼각형이면 삼각형의 세 변의 길이가 같다. (참) ⑶ a+c=b+c이면 a=b이다. (참) 2 ⑴ x€>9이면 x>3이다. (거짓) ⑵ n이 홀수가 아니면 n은 소수가 아니다. (거짓) ⑶ a+b<2이면 a<1 또는 b<1이다. (참) 3 ⑴ 필요조건 ⑵ 충분조건 ⑶ 필요충분조건 ⑷ 충분조건 ⑸ 필요조건 ⑹ 필요충분조건 ⑶ 역: a+c=b+c이면 a=b이다.a+c=b+c에서 a+c-c=b+c-c, 즉 a=b이므로 주어진 명제의 역은 참이다.
2
⑴ 대우: x€>9이면 x>3이다. x€>9에서 x€-9>0, (x+3)(x-3)>0 ∴ x<-3 또는 x>3 따라서 주어진 명제의 대우는 거짓이다. ⑵ 대우: n이 홀수가 아니면 n은 소수가 아니다. n=2이면 n은 홀수가 아니지만 소수이므로 주어진 명제의 대 우는 거짓이다. ⑶ 대우: a+b<2이면 a<1 또는 b<1이다. 명제 ‘a>1이고 b>1이면 a+b>2이다.’가 참이므로 주어진 명제의 대우도 참이다.3
⑴ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={5, 10, 15, 20, …}, Q={10, 20, 30, 40, …} QAP이므로 q gm p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다. ⑵ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|0<x<1}, Q={x|x<2} PAQ이므로 p gm q 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. ⑶ |x-1|=2에서 x-1=-2 ∴ x=-1 또는 x=3 x€-2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={-1, 3}, Q={-1, 3} P=Q이므로 p lgm q 따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다. ⑷ 1 명제 p bd q, 즉 ‘0<a<b이면 a€<b€이다.’는 참이다. 2 명제 q bd p, 즉 ‘a€<b€이면 0<a<b이다.’는 거짓이다. [반례]a=1, b=-2 1, 2에서 p ffm q이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다. ⑸ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 오른쪽 그림에서 QAP이므로 q gm p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건 이다. ⑹ 1 명제 p bd q, 즉 ‘a=b=0이면 a+bi=0이다.’는 참이다. 2 명제 q bd p, 즉 ‘a+bi=0이면 a=b=0이다.’는 참이다. 1, 2에서 p ffm q이고 q ffm p, 즉 p lffm q이므로 p는 q이 기 위한 필요충분조건이다. 0 Q P x 2 1 평행사변형(P) 마름모(Q)01
-1
풀이 참조|해결 전략 | 명제 p bd q의 역은 q bd p, 대우는 ~q bd ~p이다. ⑴ 역: x=0 또는 y=0이면 x€+y€=0이다. (거짓)
[반례]x=0, y=1이면 x=0 또는 y=0이지만 x€+y€+0이다.
대우: x+0이고 y+0이면 x€+y€+0이다. (참) ⑵ 역: x>1이고 y>1이면 xy>1, x+y>2이다. (참) 대우: x<1 또는 y<1이면 xy<1 또는 x+y<2이다. (거짓)
[반례]x=;2%;, y=;2!;이면 x<1 또는 y<1이지만 xy>1, x+y>2
이다.
01
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③ |해결 전략 | 명제 p bd q의 역은 q bd p, 대우는 ~q bd ~p이다. ① 역: x>-1이면 x>1이다. (거짓) [반례]x=0이면 x>-1이지만 x<1이다. 대우: x<-1이면 x<1이다. (참) ② 역: x+y<4이면 x<2, y<2이다. (거짓)[반례]x=-2, y=3이면 x+y<4이지만 x<2, y>2이다.
대우: x+y>4이면 x>2 또는 y>2이다. (참) ③ 역: x, y가 유리수이면 x+y, xy도 유리수이다. (참)
대우: x, y가 유리수가 아니면 x+y 또는 xy가 유리수가 아니다.
(거짓)
[반례] x='2, y=-'2이면 x, y는 유리수가 아니지만 x+y, xy 는 유리수이다.
④ 역: "ƒx€=x, x€+y>0이면 x>0, y>0이다. (거짓)
[반례] x=2, y=-1이면 "ƒx€=x, x€+y>0이지만 x>0, y<0 이다. 대우: "∂x€+x 또는 x€+y<0이면 x<0 또는 y<0이다. (참) ⑤ 역: 평행사변형이면 정사각형이다. (거짓) 대우: 평행사변형이 아니면 정사각형이 아니다. (참)
02
-1
-1 |해결 전략 | 주어진 명제가 참이면 그 대우도 참이다. 주어진 명제의 대우는 ‘x=1이면 x‹-3x€+(a+1)x+2=0이다.’ 명제가 참이면 그 대우도 참이므로 x=1일 때, x‹-3x€+(a+1)x+2=0에서 1-3+(a+1)+2=0 ∴ a=-102
-2
6 |해결 전략 | 주어진 명제가 참이면 그 대우도 참이다. 주어진 명제의 대우는 ‘x=a이면 (x-1)(x-2)(x-3)=0이다.’ 명제가 참이면 그 대우도 참이므로 x=a일 때, (x-1)(x-2)(x-3)=0에서 (a-1)(a-2)(a-3)=0필수 유형
2
S
T
EP
| 70쪽~75쪽 |∴ a=1 또는 a=2 또는 a=3
따라서 구하는 모든 상수 a의 값의 곱은 1_2_3=6
03
-1
① |해결 전략 | 두 명제 p bd q와 q bd r가 모두 참이면 명제 p bd r가 참이다. 명제 ~p bd ~q가 참이므로 그 대우 q bd p도 참이다. 즉, 두 명제 q bd p, p bd r가 모두 참이므로 명제 q bd r도 참이다. 명제 q bd r가 참이므로 그 대우 ~r bd ~q도 참이다. 따라서 항상 참인 명제는 ① ~r bd ~q이다.03
-2
ㄱ |해결 전략 | 두 명제 p bd q와 q bd r가 모두 참이면 명제 p bd r가 참이다. ㄱ. 명제 r bd ~q가 참이므로 그 대우 q bd ~r도 참이다. 즉, 두 명제 p bd q, q bd ~r가 모두 참이므로 명제 p bd ~r 도 참이다. ㄴ. 명제 q bd ~r가 참이므로 명제 q bd r는 거짓이다. ㄷ. 명제 p bd q가 참이므로 그 대우 ~q bd ~p도 참이다. 즉, 두 명제 r bd ~q, ~q bd ~p가 모두 참이므로 명제 r bd ~p도 참이다. 따라서 명제 r bd p는 거짓이다. 따라서 항상 참인 것은 ㄱ이다.04
-1
⑴, ⑵ |해결 전략 | 명제 p cd q에 대하여 p gm q이고 q gm p이면 p는 q이기 위한 필요충분조건이다. ⑴ 1 명제 p bd q, 즉 ‘AAB이면 ACB=B이다.’는 참이다. 2 명제 q bd p, 즉 ‘ACB=B이면 AAB이다.’는 참이다. 1, 2에 의하여 p lffm q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이 다. ⑵ 1 명제 p bd q, 즉 ‘A-B=A이면 ADB=0이다.’는 참이다. 2 명제 q bd p, 즉 ‘ADB=0이면 A-B=A이다.’는 참이다. 1, 2에 의하여 p lffm q이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이 다. ⑶ 1 명제 p bd q, 즉 ‘ADB=0이면 ACB=0이다.’는 거짓이 다.[반례]B=AC인 경우 ADB=0이지만 ACB=U이다. 2 명제 q bd p, 즉 ‘ACB=0이면 ADB=0이다.’는 참이다. 1, 2에 의하여 q ffm p이므로 p는 q이기 위한 필요조건이다.
05
-1
a>5 |해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, p가 q이기 위한 필요 조건이면 QAP이다. U A B U B A두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|x<a}, Q={x|1<x<5} p가 q이기 위한 필요조건이므로 q ffm p, 즉 QAP yy ㉠ 따라서 ㉠을 만족시키도록 두 집합 P, Q 를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 a>5
05
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2 |해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, p가 q이기 위한 충분 조건이면 PAQ, p가 q이기 위한 필요조건이면 QAP이다. p: a<x<7, q: 1<x<5, r: b<x<3이라 하고 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면 P={x|a<x<7}, Q={x|1<x<5}, R={x|b<x<3} p는 q이기 위한 필요조건이므로 q ffm p, 즉 QAP yy ㉠ r는 q이기 위한 충분조건이므로 r ffm q, 즉 RAQ yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡을 만족시키도록 세 집 합 P, Q, R를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 a<1, 1<b<3 이때, a의 최댓값은 1, b의 최솟값은 1이므로 그 합은 1+1=206
-1
⑤ |해결 전략 | 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, p가 q이기 위한 필요 조건이면 QAP이다. p는 q이기 위한 필요조건이므로 QAP ① PCQ=P ② PDQ=Q ③ P-Q=PDQC+z ④ PEQ이므로 PCCQ+U ⑤ PCDQ=Q-P=z 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여AAB lfm ADB=A lfm ACB=B
lfm A-B=0 lfm BCAAC LECTURE
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⑴ 충분 ⑵ 필요 |해결 전략 | 먼저 주어진 조건을 이용하여 P, Q의 포함 관계, P, R의 포함 관계 를 알아낸다. ⑴ P-Q=0에서 PAQ이므로 p는 q이기 위한 충분조건이다. ⑵ PDR=R에서 RAP이므로 PCARC 따라서 ~r는 ~p이기 위한 필요조건이다. b P R Q x 7 3 a 1 5 1 Q P x a 51
⑴ |x|>0은 x<0 또는 x>0일 때만 성립하므로 절대부등식이 아니다. ⑵ x€+2>0은 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 절대부등식이 다. ⑶ x€-2x+1>0, 즉 (x-1)€>0은 모든 실수 x에 대하여 성립 하므로 절대부등식이다. ⑷ 2x>x+2는 x>2일 때만 성립하므로 절대부등식이 아니다.2
x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여x+y>2'ßxy (단, 등호는 x=y일 때 성립)
6>2'ßxy, 'ßxy<3 ∴ xy<9 따라서 xy의 최댓값은 9이다.
3
x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여 (3€+4€)(x€+y€)>(3x+4y)€25_1>(3x+4y)€, (3x+4y)€<25
4 -5<3x+4y<5 {단, 등호는 ;3X;=;4Y;, 즉 4x=3y일 때 성립}
개념 확인 77쪽~78쪽 1 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ _ 2 9 3 -5<3x+4y<5
