2 유리함수

(x+4)-(x+2) { 1 x+2 - 1

x+4 }

+ 3

(x+7)-(x+4) { 1 x+4 - 1

x+7 }

={ 1x+1 - 1

x+2 }+{ 1 x+2 - 1

x+4 }+{ 1 x+4 - 1

x+7 }

= 1x+1 - 1

x+7 = 6

(x+1)(x+7)

03-2

^{ ;5#5^;}

|해결 전략 | 부분분수로의 변형을 이용하여 계산한다.

1_3 +1 1 2_4 + 1

3_5 + y + 1 9_11

=;2!; {1-;3!;}+;2!; {;2!;-;4!;}+;2!; {;3!;-;5!;}+ y +;2!; {;9!;-;1¡1;}

=;2!; [{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+ y +{;8!;-;1¡0;}+{;9!;-;1¡1;}]

=;2!; {1+;2!;-;1¡0;-;1¡1;}=;5#5^;

04-1

^ _(x+1)(x-3)^-3x+5

|해결 전략 | 먼저 분자를 분모로 나누어 간단한 꼴로 변형한다.

x€+x-2

x+1 -x€-3x+1 x-3

= x(x+1)-2 x+1 - x(x-3)+1 x-3

={x- 2 x+1 }-{x+ 1

x-3 }=- 2 x+1 - 1

x-3

= -2(x-3)-(x+1) (x+1)(x-3) = -3x+5 (x+1)(x-3)

04-2

^{ x}

|해결 전략 | 번분수식을 간단히 할 때는 유리식의 성질을 차례대로 적용한다.

1-aaaacb 1- aaa 1-a11 1 x

=1-aaaacb 1- aaa x-1 aab11x

=1-aaaacc 1- aaCC x-11x

=1-aaaaabaaaaa(x-1)-xxx-11

=1- x-1-1

=1+x-1=x

1

⑴ x-1+0에서 x+1

따라서 주어진 함수의 정의역은 {x|x+1인 실수}

⑵ 2x+3+0에서 x+-;2#;

따라서 주어진 함수의 정의역은 [x|x+-;2#;인 실수]

⑶ x€+0에서 x+0

따라서 주어진 함수의 정의역은 {x|x+0인 실수}

⑷ 모든 실수 x에 대하여 x€+4>0이므로 주어진 함수의 정의역은

{x|x는 실수}

개념 확인 145쪽~147쪽

1 ⑴ {x|x+1인 실수} ⑵ [x|x+-;2#;인 실수]

1 ⑶ {x|x+0인 실수} ⑷ {x|x는 실수}

2 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조

3 그래프: 풀이 참조 ⑴ {x|x+-2인 실수}

⑵ {y|y+3인 실수} ⑶ x=-2, y=3

2 유리함수

05-1

^{ -;7$;}

|해결 전략 | x：y：z를 구하여 각 문자를 비례상수 k에 대한 식으로 나타낸 후 주 어진 유리식에 대입한다.

4x=y에서 x=;4Y;, 2y=3z에서 z=;3@;y 4 x：y：z=;4Y;：y：;3@;y=3：12：8 x=3k, y=12k, z=8k (k+0)로 놓으면

xy-z€

(x-y+2z)€ = 3k_12k-(8k)€

(3k-12k+2_8k)€ =-28k€

49k€ =-;7$;

05-2

^{ 6}

|해결 전략 | 각 문자를 비례상수 k에 대한 식으로 나타낸 후 주어진 유리식에 대 입한다.

x+y=3k, y+z=4k, z+x=5k (k+0)로 놓고 세 식을 변끼리 더 하면

2(x+y+z)=12k 4 x+y+z=6k yy ㉠

㉠에 위의 세 식을 각각 대입하여 정리하면 x=2k, y=k, z=3k

4 x‹+y‹+z‹

xyz = (2k)‹+k‹+(3k)‹2k_k_3k = 36k‹6k‹ =6

2

^{⑴ y}

다른 풀이

이므로 정의역이 [x|-1<x<;2!;]일 때 y= 3x-4x-1 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 치역은 [y|;2&;<y<5]

02-2

^{ 4} 0<x<1에서 y= 3x+ax+1 의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 이므로 주어진 함수의 그래프는 두 점근선 x=;3!;, y=2의 교점 {;3!;, 2}

에 대하여 대칭이다.

따라서 a=;3!;, b=2이므로 a+b=;3&;

03-2

 a=1, b=-5

04 -2

^{ 13}

|해결 전략 | 점근선의 방정식을 이용하여 주어진 유리함수를 y= k x-p +q (k+0)로 놓은 후 그래프가 지나는 점의 좌표를 대입하여 미정계수를 구한다.

점근선의 방정식이 x=-2, y=3인 유리함수는

y= kx+2 +3 (k+0) …… ㉠

㉠의 그래프가 점 (1, 5)를 지나므로 5= k1+2 +3에서 ;3K;=2 4 k=6 k=6을 ㉠에 대입하면

y= 6x+2 +3=3(x+2)+6

x+2 = 3x+12x+2 따라서 a=3, b=12, c=2이므로 a+b-c=13

다른 풀이

y= ax+bx+c =a(x+c)-ac+b

x+c = -ac+bx+c +a 이므로 그래프의 점근선의 방정식은 x=-c, y=a 4 a=3, c=2

또, y= 3x+bx+2 의 그래프가 점 (1, 5)를 지나므로

5= 3+b3 4 b=12 4 a+b-c=13

05 -1

^{ 4}

|해결 전략 | f €(x), f ‹(x), f ›(x), y를 차례로 구한다.

f(x)=1-;2¡x;에 대하여 f €(x)=( f@f )(x)=f( f(x)) =1- 1

2-;x!;=1- x2x-1 = x-1 2x-1

f ‹(x)=( f@f €)(x)=f( f €(x)) =1- 1

2(x-1) 2x-1

=1- 2x-12(x-1) = -1 2(x-1)

f ›(x)=( f@f ‹)(x)=f( f ‹(x)) =1- 1

x-1 -1

=1+x-1=x

⋮

따라서 f ⁿ(x)=x를 만족시키는 n의 최솟값은 4이다.

05 -2

^{ 2}

|해결 전략 | f €(2), f ‹(2), f ›(2), y의 값을 차례로 구해서 규칙을 찾는다.

주어진 그래프에서 f(2)=0, f(0)=2이므로 f €(2)=( f@f )(2)=f( f(2))=f(0)=2 f ‹(2)=( f@f €)(2)=f( f €(2))=f(2)=0 f ›(2)=( f@f ‹)(2)=f( f ‹(2))=f(0)=2 ⋮

따라서 자연수 k에 대하여

f(2)=f ‹(2)=f fi(2)= y =f ^2k-1(2)=0 f €(2)=f ›(2)=f fl(2)= y =f ^2k(2)=2 4 f €‚‚(2)=f €^_⁄‚‚(2)=f €(2)=2

다른 풀이

주어진 유리함수의 그래프의 점근선의 방정식이 x=-1, y=-1이므로

f(x)= kx+1 -1 (k+0) yy ㉠

로 놓을 수 있다.

㉠의 그래프가 점 (2, 0)을 지나므로 0=;3K;-1 4 k=3

k=3을 ㉠에 대입하면 f(x)= 3x+1 -1=-x+2

x+1 f €(x)=( f@f )(x)=f( f(x))

=

- -x+2x+1 +2 -x+2x+1 +1

=

x-2+2x+2 x+1 -x+2+x+1

x+1

=x

f ‹(x)=( f@f €)(x)=f( f €(x))=f(x)= -x+2x+1 f ›(x)=( f@f ‹)(x)=f( f ‹(x))=f( f(x))=x ⋮

따라서 자연수 k에 대하여

f(x)=f ‹(x)=f fi(x)= y =f ^2k-1(x)= -x+2x+1 f €(x)=f ›(x)=f fl(x)= y =f ^2k(x)=x 즉, f €‚‚(x)=f €^_⁄‚‚(x)=f €(x)=x이므로 f €‚‚(2)=2

06-1

^{ 1}

|해결 전략 | y= x+k

2x-3 에서 x를 y로 나타내고, x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구한다.

y= x+k2x-3 에서 x를 y로 나타내면 (2x-3)y=x+k, (2y-1)x=3y+k 4 x= 3y+k2y-1

x와 y를 서로 바꾸면 역함수는 y= 3x+k2x-1

이때, 역함수 y= 3x+k2x-1 의 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로

-1= 0+k0-1 4 k=1 다른 풀이

함수 y= x+k2x-3 의 역함수의 그래프가 점 (0, -1)을 지나면 함수 y= x+k2x-3 의 그래프는 점 (-1, 0)을 지나므로

0= -1+k-2-3 4 k=1

1-2

^{ -2}

|해결 전략 | 분모, 분자를 각각 인수분해한 후 약분을 이용하여 계산한다.

x€-3x+2

2x€+x-3 _ 2x+3

2x€-8x+8 = (x-1)(x-2)

(2x+3)(x-1) _ 2x+3 2(x-2)€^/

= 1

2(x-2) = 1 2x-4 따라서 a=2, b=-4이므로

a+b=-2

2-1

^{ 3}

|해결 전략 | 좌변을 통분한 후 양변의 분자의 동류항의 계수를 비교한다.

주어진 식의 좌변을 통분하여 정리하면 x+1 +a b

x€+4x+3 = a

x+1 + b

(x+1)(x+3)

= a(x+3)+b(x+1)(x+3) =ax+(3a+b) x€+4x+3 즉, ax+(3a+b)

x€+4x+3 = x+5

x€+4x+3가 x에 대한 항등식이므로 a=1, 3a+b=5 4 a=1, b=2

4 a+b=3 다른 풀이

x€+4x+3=(x+1)(x+3)이므로 주어진 식의 양변에 (x+1)(x+3)을 곱하면

a(x+3)+b=x+5 4 ax+(3a+b)=x+5 이 식이 x에 대한 항등식이므로 a=1, 3a+b=5 4 a=1, b=2 4 a+b=3

2-2

^{ a=3, b=1}

|해결 전략 | 좌변을 통분한 후 우변의 식의 형태로 만든다.

주어진 식의 좌변을 통분하여 정리하면 x€-2x+1 +x€ 2x-4

x-1 = x€

(x-1)€ +2x-4 x-1

= x€+(2x-4)(x-1)(x-1)€ = 3x€-6x+4(x-1)€

= 3(x€-2x+1)-3+4(x-1)€ = 3(x-1)€+1(x-1)€

=3+ 1 (x-1)€

즉, 3+ 1

(x-1)€ =a+ b

(x-1)€가 x에 대한 항등식이므로 a=3, b=1

다른 풀이

x€-2x+1=(x-1)€이므로 주어진 식의 양변에 (x-1)€을 곱하면 x€+(2x-4)(x-1)=a(x-1)€+b

4 3x€-6x+4=ax€-2ax+a+b 이 식이 x에 대한 항등식이므로 a=3, a+b=4 4 a=3, b=1

1 -1

^{ ⑤}

|해결 전략 | 분모를 인수분해한 후 통분을 이용하여 계산한다.

x€-1 -2x 1

x+1 = 2x

(x+1)(x-1) - 1 x+1

= 2x-(x-1)(x+1)(x-1)

= x+1÷

(x+1÷)(x-1) = 1 x-1 유형 드릴

3

STEP ^| 155쪽~157쪽 ^|

06-2

^{ -7}

|해결 전략 | y=ax+b

2x+1 에서 x를 y로 나타내고, x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구한다.

함수 y=f(x)의 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로

f(1)= a+b3 =2 …… ㉠

y= ax+b2x+1 로 놓고 x를 y로 나타내면 (2x+1)y=ax+b, (2y-a)x=-y+b 4 x= -y+b2y-a

x와 y를 서로 바꾸면 y= -x+b2x-a

4 f ^-1(x)= -x+b2x-a

f=f ^-1이므로 ax+b

2x+1 =-x+b 2x-a 4 a=-1

이것을 ㉠에 대입하면 -1+b

3 =2 4 b=7 4 ab=-7

다른 풀이

함수 y=f(x)의 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로

f(1)= a+b3 =2 …… ㉠

f=f ^-1이므로 함수 y=f ^-1(x)의 그래프도 점 (1, 2)를 지난다.

즉, f ^-1(1)=2이므로 f(2)=1

4 2a+b5 =1 …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=7 4 ab=-7

3 -1

^{ 4}

a(a+6) =;1£6;이므로 a(a+6)=16 a€+6a-16=0, (a-2)(a+8)=0

=1-aaaaaaaaacx+1-xxx+12

=1-2(x+1)=-2x-1

2(x+y+z)=30k 4 x+y+z=15k yy ㉠

㉠에 위의 세 식을 각각 대입하여 정리하면

2(x+y+z)=12k 4 x+y+z=6k yy ㉠

㉠에 위의 세 식을 각각 대입하여 정리하면 x=k, y=2k, z=3k

4 (x+y+z)‹

x‹+y‹+z‹ = (6k)‹

k‹+(2k)‹+(3k)‹ =216k‹

36k‹ =6

y= 2x-5x-3 =2(x-3)+1

따라서 1<x<a에서 y= 2x-1x+1 의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 y=- 2xx+1 의 그래프는 y=;x@; ^y

-1O -2 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y x

축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이 므로 오른쪽 그림과 같다.

① 정의역은 {x|x+-1인 실수}이다.

② 치역은 {y|y+-2인 실수}이다.

③ x=0을 대입하면 y=- 00+1 =0이므로 그래프는 점 (0, 0)을 지난다.

④ 점근선의 방정식은 x=-1, y=-2이다.

⑤ y=- 2xx+1 의 그래프는 두 점근선의 교점 (-1, -2)를 지나고 기울기가 1인 직선 y+2=x+1, 즉 y=x-1에 대하여 대칭이다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

9 -2

^{ ①}

|해결 전략 | y=x+2

x+1 를 y= k

x-p +q 꼴로 변형하여 그래프의 성질을 알아 본다.

y= x+2x+1 =(x+1)+1

x+1 = 1x+1 +1 따라서 y= x+2x+1 의 그래프는 y=1

x 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축 의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

ㄱ. 두 점근선의 방정식은 x=-1, y=1 이다.

ㄴ. 제1, 2, 3사분면을 지난다.

ㄷ. y= x+2x+1 의 그래프는 두 점근선의 교점 (-1, 1)을 지나고 기울 기가 -1인 직선 y-1=-(x+1), 즉 y=-x에 대하여 대칭이

다.

따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

10 -1

^{ 1}

|해결 전략 | 점근선의 방정식을 이용하여 주어진 유리함수를 y= k x-p +q (k+0)로 놓은 후 그래프가 지나는 점의 좌표를 대입하여 미정계수를 구한다.

점근선의 방정식이 x=1, y=3인 유리함수는

y= kx-1 +3 (k+0) …… ㉠

㉠의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 1= k0-1 +3에서 -k=-2 4 k=2 k=2를 ㉠에 대입하면

y= 2x-1 +3=3(x-1)+2

x-1 = 3x-1x-1 따라서 a=3, b=-1, c=-1이므로 a+b+c=1

y

O 12 -1

-2 x

10-2

^{ 5}

|해결 전략 | 점근선의 방정식을 이용하여 주어진 유리함수를 y= k x-p +q (k+0)로 놓은 후 그래프가 지나는 점의 좌표를 대입하여 미정계수를 구한다.

주어진 함수의 그래프의 점근선의 방정식이 x=-1, y=1이므로 주 어진 함수는

y= kx+1 +1 (k+0) …… ㉠

㉠의 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로 3= k0+1 +1 4 k=2 k=2를 ㉠에 대입하면 y= 2x+1 +1=(x+1)+2

x+1 = x+3x+1 따라서 a=1, b=3, c=1이므로 a+b+c=5

11-1

^{ :¡9¡:}

|해결 전략 | f €(x), f ‹(x), f ›(x), y를 차례로 구해서 규칙을 찾는다.

f(x)= x+1x-1 에 대하여

f €(x)=( f@f )(x)=f( f(x))=

x+1x-1 +1 x+1x-1 -1

= x-12x x-12

=x

f ‹(x)=( f@f €)(x)=f( f €(x))=f(x)= x+1x-1 f ›(x)=( f@f ‹)(x)=f( f ‹(x))=f( f(x))=x ⋮

따라서 자연수 k에 대하여

f(x)=f ‹(x)=f fi(x)= y =f ^2k-1(x)= x+1x-1 f €(x)=f ›(x)=f fl(x)= y =f ^2k(x)=x 4 f ‹‚‹(10)=f(10)= 10+110-1 =:¡9¡:

11-2

^{ 3}

|해결 전략 | f €(x), f ‹(x), f ›(x), y를 차례로 구해서 규칙을 찾는다.

f(x)= 11-x 에 대하여

f €(x)=( f@f )(x)=f( f(x))= 1 1- 11-x

= 1

(1-x)-1 1-x

= x-1x

f ‹(x)=( f@f €)(x)=f( f €(x))= 1 1- x-1x

= 1

x-(x-1) x

=x

f ›(x)=( f@f ‹)(x)=f( f ‹(x))=f(x)= 11-x ⋮

따라서 자연수 k에 대하여

f(x)=f ›(x)=f ‡(x)= y =f ^3k-2(x)= 11-x

1

⑴ (근호 안의 식의 값)>0이어야 하므로 3-2x>0 4 x<;2#;

⑵ (근호 안의 식의 값)>0이어야 하므로 x€-3x+2>0, (x-1)(x-2)>0 4 x<1 또는 x>2

⑶ (근호 안의 식의 값)>0이고 (분모)+0이어야 하므로 2x+1>0 4 x>-;2!;

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