12. 진동

(1)

12.1 용수철에 매달린 물체의 운동

12.2 분석 모형: 단조화 운동을 하고 있는 입자

12.4 단진자

12장. 진동

숭실대학교 일반물리 강의자료

(2)

주기운동

(periodic motion)

:

물체가

_{규칙적으로 반복하는 운동}

물체에

_{작용하는 힘이 어떤 평형위치를 기준으로 변위에 비례할 때}

특별한

형태의

_주기운동

이

_{일어난다.}

단조화운동

_{(simple harmonic motion)}

15.1 용수철에 매달린 물체의 운동

(3)

평형위치_{(equillibrium position):} 용수철이_{변형되지 않았을 때의 위치}

훅

_{(Hooke)의 법칙:}

F

_s

: 선형 복원력

항상_{평형위치를 향한다.} 따라서_{, 항상 변위와 반대방향이다.}

k : 용수철 상수

x

:

변위

용수철 문제 단조화운동

(4)

단조화운동의

_{수학적 표현}

가속도

_:

이것을

_{a=F/m=-kx/m 으로 놓으면:}

라

놓으면

,

12.2 분석 모형: 단조화 운동을 하고 있는 입자

(5)

운동의 위상_(phase):

(

ωt

+

φ

)

_φ

_는_{t = 0에서 입자의 위상, 초기위상}

주기

Τ

: 운동을 한 번 반복하는 데 걸리는 시간

진동수

: 주기의 역수, 단위 시간당 진동하는 횟수

(6)

진동수와_{주기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.}

ω 는 각진동수의 의미를 가진다.

진동수와 주기는 물체의 질량과 용수철상수에만 의존하고, 다른 변수에 무관

(7)

위치, 속도, 가속도에 대한 식:

사인과 코사인 함수는 ±1 사이에서 진동하므로, SHM에서 속도와 가속도의 최대

(8)

오른쪽 그래프는

(b) 시간의 함수로 나타낸 속도

(a) 시간의 함수로 나타낸 변위

속도는 가속도와 90˚ 의

위상차가 있고, 가속도는

변위와 180˚의 위상차가

있다.

(c) 시간의 함수로 나타낸 가속도

(9)

평형위치로부터 거리 A 만큼 당겼다가 t =0에서 놓는다. 초기조건: x(0)=A, v(0)=0: 이것은 φ=0를 의미하므로: 가속도의 최대값은:±ω2_A 속도의 최대값은: ±ωA t=0를 물체가 오른쪽으로 진행하는 도중 평형위치를 지나는 순간의 시각으로 정의 초기조건:

x

(0)=

0, v

(0)=

v

_i

:

이것은 φ= ±π/2 를 의미: 처음 속도와 진폭이 양(+)이므로

(10)

2015-01-27 제12장 진동 10

질량이 200 g인 물체가 힘상수 5.00 N/m인 가벼운 용수철에 매달려 마찰 없는

수평면 위에서 자유롭게 진동한다. 이 물체를 평형 위치에서 5.00 cm만큼 벗어

나 그림과 같이 정지 상태에서 놓을 때

(A) 운동의 주기를 구하라.

각진동수

:

주기

:

물체-용수철 계 예제 12.1 풀이

(11)

(B) 물체의 최대 속력: (C) 최대가속도: (D) SI단위와 시간의 함수로 나타낸 위치, 속도, 가속도. 위상상수_: 위치_x(t): 속력_v(t): 가속도_a(t):

(12)

질량이 1300 kg인 자동차가 네 개의 용수철이 지지하도록 설계되어 있다. 각 용수철의 힘상수는 20 000 N/m이다. 자동차를 타고 있는 두 사람의 몸무게를 합치면 160 kg이다. 자동차가 직진하다 움푹 팬 곳을 지나가면서 자동차가 연직으로 진동할 때 진동수를 구 하라. 차에 작용하는 모든 힘: 유효 용수철 상수: 차체_{흔들림의 진동수:} 움푹 팬 곳을 주의하시오! 예제 12.2 풀이

(13)

단진자(Simple Pendulum): 주기운동을 하는 흔들이 질량_{m인 물체가 길이가 L인 가벼운 줄이나 막대에 매달려 있다.} 이러한 운동은 연직면 상에서 일어나며 중력에 의해 진동이 계속된다. 줄의_{윗부분은 고정되어 있다.} 물체를 한쪽으로 당겼다 놓으면 평형점인 가장 낮은 점을 중심으로 진동한다. 매달린 물체에 작용하는 힘 접선방향으로의_{운동방정식} : 줄에 작용하는 장력 : 물체의 무게

mg



T

(14)

θ

가

작은 경우, 미소각근사식 sin

θ

≈

θ

을

사용하면:

각진동수: 주기_:

단진자의 주기와 진동수는 줄의 길이와 중력가속도값에만 의존한다.

주기는 매달린 물체의 질량에 무관하다.

(15)

역사상 위대한 시계 제작자인 호이겐스(Christian Huygens, 1629∼1695)는 길이의 국제 단위는 정확하게 주기가 1s인 단진자의 길이로 정의될 수 있다고 제안했다. 그의 제안을 받아들이면 길 이 단위가 얼마나 짧아지는가? 길이에 대해 풀고 주어진 값들을 대입하면 시간이 정확히 1 s로 정의되어 있기 때문에 유효 숫자의 개수 는 g값의 정확도에 의존한다. 이 자의 길이는 현재 길이의 표준인 1m의 1/4 보다 조금 작다. 길이와 시간 사이의 관계 예제 12.4 풀이