박승동선생님과 함께하는 수학공부 ──────
복습은 수능 만점의 지름길입니다
수리영역
오늘 공부할 내용 :
경우의 수
합의 법칙
곱의 법칙
순열
중복순열
같은 것을 포함한 경우의 순열
원순열
조합
중복조합
이항정리
[단원말 평가 문제]
표지문제
아래 그림은 수리영역은만점 을 이용하여 삼각탑을 만든 것이다 그림에서 어둡게 칠한 칸의 예와 같이 수 자가 적힌 칸에서부터 아래로 또는 좌우로 이웃한 칸으로 움직이면 수리영역은만점 이라는 글이 만들어진다 수리영역은만점 이라는 글이 만들어지는 방법의 수는 모두 몇 가지인가 수 수 리 수 수 리 영 리 수 수 리 영 역 영 리 수 수 리 영 역 은 역 영 리 수 수 리 영 역 은 만 은 역 영 리 수 수 리 영 역 은 만 점 만 은 역 영 리 수합의 법칙 두 사건 A , B 가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A , B 가 일어날 경우의 수를 각각 m , n 이라 하면 A 또는 B 가 일어나는 경우의 수는 m + n 가지 [1] 큰 주사위와 작은 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 4 또는 5로 되는 경우의 수는? 눈의 합이 4인 경우는 (1, 3), (2, 2), (3, 1) ・・・ 가지 눈의 합이 5인 경우는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) ・・・ 가지 따라서 구하는 경우의 수는 + = 가지 [2] 두 종류의 주사위 A , B 를 동시에 던질 때, 나타나는 눈의 수의 합이 4의 배수가 되는 경우의 수를 구하면? ① 8 ② 9 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12 [3] 어느 도시의 도로망이 그림과 같다고 한다. A 지점에서 B 지점으로 가는 최단 경로의 수를 구하면? ① 7 ② 8 ③ 9 ④ 10 ⑤ 12 [4] 그림과 같은 6개의 전시실이 있는 전시회장이 있다. 관람자는 입구로 들어가서 출구로 나오는데, 작은 번호에서 큰 번호의 전시실 로만 갈 수 있다고 한다. 모두 몇 가지 경로가 있는가? ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10 [5] 그림과 같이 철사로 연결된 도형이 있다. 모든 모서리의 길이가 같을 때, A 지점에서 B 지점까지 철사를 따라서 최단거리로 움직이 는 방법의 수는? ① 25 ② 27 ③ 29 ④ 31 ⑤ 33
곱의 법칙 두 사건 A , B 에 대하여 사건 A , B 가 일어날 경우의 수를 각각 m , n 이라 하면 A , B 가 잇달아 일어나는 경우의 수는 m×n 가지 [6] 집에서 버스 정류장까지 가는 길은 2가지이고 다시 버스 정류장 에서 학교까지 가는 버스 노선은 3가지일 때, 집에서 학교까지 가는 경우의 수는? 집에서 버스 정류장까지는 a , b ・・・ 가지 그 각각에 대하여 학교까지 가는 버스 노선은 p , q , r ・・・ 가지 따라서 집에서 학교까지 가는 경우의 수는 × = 가지 [7] 미영이는 진주에 있는 할머니 댁 에 가지 위해 그림의 지도를 보고 있 다. 서울에서 출발하여 진주까지 가는 길을 택하는 방법의 수는 몇 가지인 가? ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10 [8] A = { 1, 2, 3, 4 } 일 때, 함수 f : A → A 중에서 A 의 임의의 원 a 에 대하여 f( a )≥a 를 만족시키는 함수 f 의 개수는? ① 12 ② 15 ③ 16 ④ 21 ⑤ 24 [9] 그림과 같은 경계선으로 나누어진 고 대국가의 지도에 5가지의 색을 칠하여 각 각의 나라의 영토를 구분하려고 한다. 같 은 색을 몇 번이고 사용해도 좋다고 할 때 색칠 방법의 수를 구하면? ① 120 ② 140 ③ 160 ④ 180 ⑤ 200 [10] 그림과 같은 길을 A 에서 B 까지 가 는 방법의 수는? 단, 돌아가도 되지만 서 쪽으로 가서는 안되고, 한 번 지나온 길 은 다시 지날 수 없다. ① 256 ② 362 ③ 512 ④ 824 ⑤ 1024
순열 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하여 순서 있게 늘어놓는 순열의 수는 nPr=n ( n - 1)( n- 2)× ×(n -r + 1) n! = n ( n -1)( n -2) × ×3×2×1 nPr= (n -r )!n! [11] 6P3-5P3의 값은? ① 30 ② 40 ③ 50 ④ 60 ⑤ 70 [12] 어떤 야구팀에서는 갑, 을, 병, 정의 4명의 선수 중에서 2명을 택하여 1번 타자와 2번 타자로 순번을 정하려고 한다. 몇 가지의 방 법이 있는가? ① 7 ② 8 ③ 9 ④ 12 ⑤ 15 [13] 집합 A ={ a , b , c , d , e }의 원소 5개를 일렬로 나열할 때, 적어도 한 쪽 끝에 자음이 오는 경우의 수는? ① 12 ② 24 ③ 56 ④ 108 ⑤ 120 [14] 5개의 문자 a , b , c , d , e 를 일렬로 배열할 때, a , b가 서로 이웃하는 경우의 수는? ① 36 ② 40 ③ 45 ④ 48 ⑤ 52 [15] 그림과 같이 A , B , C , D , E 의 지점 을 잇는 직선 도로가 있다. A 에서 출발하 여 네 지점을 한 번씩만 지나 A 에 도착하 는 길잡이의 수를 구하시오. 단, B 와 D 를 잇는 직선 도로는 없다. [16] 1, 2, 3, 4, 5 의 5개의 숫자를 모두 배열해서 만들어지는 5자리 의 양의 정수 중에서 32000보다 작은 양의 정수의 모두 몇 개인가? ① 45 ② 49 ③ 54 ④ 60 ⑤ 81
중복순열 서로 다른 n 개에서 중복을 허락하여 r 개를 택해 일렬로 나열하는 중복순열의 수는 n∏r=nr [17] 주역에서는 양을 나타내는 효 ( )와 음을 나타내는 효 ( )를 세 번 사용하여 다음과 같은 팔쾌를 만든다. 아래 그림과 같이 두 개의 효를 여섯 번 사용하여 만들 수 있는 쾌는 모두 몇 가지인가? ① 12 ② 16 ③ 32 ④ 64 ⑤ 128 [18] 노랑, 빨강, 파랑의 3가지 깃발을 4번 올려서 나타낼 수 있는 모든 신호의 개수를 구하면? ① 12 ② 27 ③ 81 ④ 90 ⑤ 100 [19] 그림과 같이, 5개의 부분에 홈의 깊이를 다르게 하면 다른 열쇠가 만들어진다. 홈의 깊이는 서로 다른 4종류가 있을 때, 만들 수 있는 서로 다른 열쇠의 종류 는? ① 25 ② 44 ③ 45 ④ 54 ⑤ 55 [20] 서로 다른 5개의 물건을 A , B , C 세 상자에 넣는 방법의 수는? ① 33 ② 35 ③ 53 ④ 55 ⑤ 3 5 [21] 집합 A ={ 1, 2, 3 }, B ={ 1, 2, 3, 4 } 가 있다. A 에서 B 로 의 함수의 개수를 a 개, A 에서 B 로의 일대일함수의 개수를 b 개라 할 때, a - b 의 값은? ① 30 ② 40 ③ 45 ④ 49 ⑤ 52 [22] 1 또는 2 또는 3 만을 이루어지는 수를 크기 순으로 나열하여 다음과 같은 수열을 만들었다. 1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 111, 112, 113, 121, ... 이 수열의 제 200항은? ① 13323 ② 13332 ③ 21111 ④ 21113 ⑤ 21122
같은 것을 포함한 경우의 순열 n 개 중에서 같은 것 a 가 p 개, b 가 q 개 있는 순열의 수는 n! p!×q! [23] 모양과 크기가 같은 흰 구슬 3개와 검은 구슬 2개를 일렬로 나열하는 방법의 수는? 흰 구슬에 1, 2, 3, 검은 구슬에 4, 5 의 번호를 붙여 일렬로 나 열하는 순열의 수는 5! 가지이다. 이 순열 중에서 번호의 구분을 없애면 그림과 같이 3!×2! 가지의 순열은 모두 같다. 따라서 구하는 방법의 수는 5! 3!2! = [24] 그림과 같이 10대의 승 용차를 주차시킬 수 있는 주 차장이 있다. 트럭 한 대는 2 대의 승용차가 주차할 수 있 는 공간이 필요하다고 한다. 트럭 3대와 승용차 4대를 주 차시키는 방법은 몇 가지인 가? (단, 트럭 3대와 승용차 4대는 서로 구별하지 않는 다.) ① 20 ② 32 ③ 35 ④ 42 ⑤ 45 [25] 그림과 같은 길이 있다. A 에서 P 를 거쳐 B 까지 최단 거리로 가는 길잡 이의 수는? ① 60 ② 64 ③ 66 ④ 70 ⑤ 72 [26] 다섯장의 숫자 카드 , , , , 중에서 네장을 뽑아서 만들 수 있는 네 자리의 자연수의 개수는? ① 10 ② 15 ③ 20 ④ 25 ⑤ 30 [27] 6개의 a 와 4개의 b 를 한 줄로 배열할 때, aaabbbbaaa , bbaaaaaabb , ・・・ 와 같이 좌우 대칭이 되는 경우의 수는? ① 10 ② 15 ③ 20 ④ 24 ⑤ 27
원순열 서로 다른 n 개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 n! n = (n - 1)! 뒤집어 놓을 수 있는 원순열(염주순열)의 수는 (n - 1)! 2 [28] 5명의 학생이 원형으로 둘러서는 방법의 수는? 5명의 학생 A, B, C, D, E 가 원형으로 설 때, 그림과 같은 순열 은 회전하면 모두 같은 순서가 된다. 원순열에서는 이를 모두 같은 순열로 본다. 5명이 한 줄로 나열하는 순열의 수는 5! 가지, 이것을 원형으로 나열하면 같은 것이 5가지씩 있으므로 서로 다른 원순열의 수는 5! 5 = [29] 그림과 같은 원판의 각 부분을 서로 다른 6가지의 색깔로 칠할 수 있는 방법 의 수를 구하면? ① 24 ② 81 ③ 120 ④ 144 ⑤ 160 [30] 모서리의 길이가 모두 같은 정사각 뿔이 있다. 주어진 다섯 가지 색으로 이 정사각뿔의 다섯 면을 칠하는 방법의 수 는? 단, 정사각뿔의 한 면에는 한 가지 색을 칠하며, 같은 색을 중복하여 사용하 지 않는다. ① 25 ② 30 ③ 36 ④ 45 ⑤ 64 [31] 8명을 원탁에 앉는 방법의 수를 a 가지라고 할 때, 그림과 같은 직사 각형의 책상에 8명이 앉는 방법의 수 는? ① a ② 2a ③ 3a ④ 4a ⑤ 6a [32] 정육면체의 여섯 면에 1부터 6까지의 숫자를 하나씩 써서 주사 위를 만들고자 한다. 모두 몇 가지 종류를 만들 수 있는가? ① 2 ② 12 ③ 16 ④ 15 ⑤ 30
조합 서로 다른 n 개에서 순서를 고려하지 않고 r 개를 택하는 조합의 수는 nCr= nPr r ! = n ( n -1)( n -2) (n - r + 1) r ! = n! r ! ( n -r )! nCr= nCn - r [33] 상자 속에 1부터 6까지의 숫자가 각각 적힌 카드 6장이 들어 있다. 여기에서 3장의 카드를 차례로 뽑을 때, 나오는 숫자의 집합 은 모두 몇 가지 있는가? 6장의 카드 중에서 3장의 카드를 차례로 뽑는 방법의 수는 6P3= 6×5×4 이 중에서 아래와 같은 3! 가지는 모두 {1, 3, 5} 인 경우이므로 한가지로 본다. 따라서 구하는 집합(조합)의 수는 6C3= 6×5×4 3! = [34] 그림과 같이 원 위에 8개의 서로 다른 점이 있다. 이들 점을 꼭지점으로 하는 삼각 형은 몇 가지인가? ① 64 ② 56 ③ 48 ④ 45 ⑤ 42 [35] 원에 내접하는 팔각형에서 세 개의 꼭지점을 이을 때, 팔각형과 한 변도 공 유하지 않는 삼각형의 개수는? ① 8 ② 12 ③ 16 ④ 24 ⑤ 27 [36] 1에서 10까지의 자연수 중에서 서로 다른 두 수를 임의로 선택 할 때, 선택된 두 수의 곱 이 짝수가 되는 경우의 수를 구하시오. [37] 오른쪽 그림과 같이 4개의 섬이 있다. 3개의 다리를 건설하여 4개의 섬 모두를 연 결하는 방법의 수를 구하시오.
중복조합 서로 다른 n 개에서 중복을 허락하여 r 개를 택하는 중복조합의 수 는 nHr= n + r - 1Cr [38] 1, 2, 3 에서 중복을 허용하여 4개를 뽑는 조합의 수는? 뽑힌 4개의 수를 크기 순으로 a≤b≤c≤d 라 하면 1≤a≤b≤c≤d≤3 이것을 변형하면 1≤a <b+1 < c + 2 < d +3≤6 이것은 1, 2, 3, 4, 5, 6 에서 서로 다른 4개의 수 a , b+ 1 , c +2 , d + 3을 뽑는 방법의 수와 같다. ∴ 3H4= 6C4 = [39] (a +b+ c)4을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수는? ① 12 ② 14 ③ 15 ④ 16 ⑤ 18 [40] 그림과 같이 넓이가 다른 세 종류 의 직사각형 종이 네장을 이용하여 (a + b)2=a2+ 2ab+ b2 임을 보일 수 있다. 이와 유사한 방법으 로 부피가 다른 몇 종류의 직육면체 나 무토막을 이용하여 (a + b)3=a3+ 3a2b+3ab2+b3 임을 보이고자 한다. 최소로 필요한 나무토막의 종류의 수와 전체의 개수를 순서대로 적은 것은? ① 3, 4 ② 3, 6 ③ 3, 8 ④ 4, 6 ⑤ 4, 8 이항정리 (a + b)n =nC0an+nC1an - 1b++nC2an - 2b2+ +nCran - rbr+ +nCnbn arbn - r항의 계수는 nCr = r ! ( n - r )!n! (a + b+c)n 의 전개식에서 apbqcr의 계수는 ⇒ n! p!q!r ! (단, p+ q+ r = n ) 파스칼의 삼각형 ( 1 +x)n= nC0+nC1x+nC2x 2 + +nCnx n 의 양변에 x= 1 을 대입하면 nC0+nC1+nC2+ +nCn= 2 n [41]
(
x+1 x)
7 의 전개식에서 x3의 계수는? ① 18 ② 21 ③ 24 ④ 27 ⑤ 32[42] (a +b+ c)5의 전개식에서 ab2c2의 계수는? ① 24 ② 28 ③ 30 ④ 32 ⑤ 45 [43] (x2+x+ 1)6의 전개식에서 x3의 계수는? ① 30 ② 40 ③ 50 ④ 60 ⑤ 70 [44] (x+ 1)12을 전개하였을 때, x 의 차수가 홀수인 항의 계수들 의 합을 구하면? ① 29 ② 211 ③ 213 ④ 215 ⑤ 217 [45] ( 3x - 3 2y )20의 전개식에서 계수가 유리수인 항의 개수 는? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 [46] log2(99C50+99C51+99C52+ +99C99)의 값을 구하시오. ① 100 ② 99 ③ 98 ④ 97 ⑤ 64 [47] ( 1 +i)16의 전개식을 이용하여 다음 식의 값을 구하시오. 16C0-16C2+16C4-16C6+ -16C14+16C16 ① 43 ② 96 ③ 144 ④ 256 ⑤ 289
[여러 가지 문제] [48] 서울에서 문산까지 운행하는 경의선 철도는 16개의 역이 있다. 각 역에서 사용할 출발역과 도착역이 표기된 차표를 준비하려고 한 다. 발행할 차표는 모두 몇 종류 인가? ① 15 ② 16 ③ 15×16 ④ 152 ⑤ 162 [49] 그림과 같이 3×3 개의 정사각형이 있다. 다음과 같은 규칙에 따라 9개의 정사각형을 모두 지나려고 한다. (규칙1) 변을 공유하는 이웃한 정사각형으로만 이동할 수 있다. (규칙2) 이미 지난 정사각형으로는 이동할 수 없다. 아래 그림은 1에서 시작하여 3으로 끝나는 한 예를 보인 것이다. 어디에서 시작하더라도 상관 없다고 할 때, 이 규칙에 따른 길의 수 는 몇 가지인가? 1→2→5→6→7→8→9→4→3 ① 20 ② 25 ③ 28 ④ 40 ⑤ 48 [50] 무게가 5g, 10g, 20g 인 세 종류의 숯이 있다. 세 종류를 묶어 100g 인 상품을 만들려고 한다. 이 때, 100g을 만드는 방법의 수는? (단, 3종류의 숯은 적어도 한 개씩은 포함되어야 한다.) ① 12 ② 14 ③ 16 ④ 18 ⑤ 20 [51] 그림은 정삼각형의 각 변의 4등분 점을 이어 놓은 것이다. 평행사변형의 개수는? ① 15 ② 30 ③ 36 ④ 45 ⑤ 60
[52] 그림은 세 개의 동심원을 120o로 각각 나눈 것이다. 이 때, 생기는 9개의 부분에 9가지의 서로 다른색을 각각 한 번씩 사용하여 칠하는 방법의 수는? ① 9! ② 3 8! ③ ( 3! )3 ④ ( 2!) ( 3!)2 ⑤ 3( 3!) [53] 서로 평행한 5개, 5개의 직선이 그림 과 같이 주어져 있다. 이 때, 평행사변형 의 개수는? ① 50 ② 75 ③ 100 ④ 125 ⑤ 150 [54] 그림과 같이 세 방향의 평행선들 이 만나고 있다. 이 때, 이 그림에 있는 삼각형의 개수는? ① 12 ② 24 ③ 36 ④ 48 ⑤ 60 [55] 프로 골프경기예선에서 최종 성적이 우수한 5명의 선수가 결승 전을 한다. 예선 전적에 따라 1, 2, 3, 4, 5 등의 예선 등위를 정하고, 처음에 5등 선수외 4등 선수가 경기를 하여 진 사람은 5등, 이긴 사 람은 다시 3등 선수와 겨루어 진 사람이 4등, 다시 이긴 사람은 2등 선수와 겨루어 진 사람은 3등, 이긴 사람은 1등 선수와 겨루어 진 사람은 2등, 이긴 사람은 최종으로 1등으로 정한다. 이와 같이 결승 전을 치룰 때, 생길 수 있는 순위는 모두 몇 가지인가? ① 10 ② 16 ③ 24 ④ 32 ⑤ 48
[56] 5개의 입자가 있다. 이들은 각각 에 너지가 0, 1, 2, 3 인 4가지의 상태를 가 질 수 있고, 5개의 입자의 에너지의 총 합은 10이라고 한다. 그림은 그 중 에너 지가 3인 것이 1개, 2인 것이 3개, 1인 것이 1개, 0인 것은 0개인 경우를 나타 낸 것이다. 이 때, 그림의 예를 포함하여 5개의 입자를 에너지의 상태에 따라 배열할 수 있는 방법의 수를 구하시오. 단, 5개의 입자는 서로 구별되지 않는다. [57] 집합 A = { 1,2,3,4,} 의 네 원소를 배열하여 만든 순열 (a1,a2,a3,a4) 에 대하여 각 숫자 ak의 오른쪽에 있는 수 중에 서 ak보다 작은 것들의 개수를 sk (k = 1,2,3 ) 이라고 하고, 이들 의 합 s1+s2+s3을 | (a1,a2,a3,a4) | 로 나타내자. 예를 들면 | ( 2,4,3,1 ) | =s1+s2+s3= 1 + 2 + 1 = 4 이다. 집 합 A 에 대한 24개의 모든 순열 ( i1,i2,i3,i4) 마다 각각 정해지 는 | (i1,i2,i3,i4) | 의 총합을 구하여라. [58] 1, 2, 3 세 숫자를 사용한 비밀번호를 만들려고 한다. 비밀번호 는 4자리의 수로 하되 같은 숫자가 이웃하는 경우는 허용하지 않기 로 한다. 예를 들어 1212, 1231 은 비밀번호로 사용 가능하지만 1122 는 사용할 수 없다. 이 때, 만들 수 있는 비밀번호의 개수는? ① 18가지 ② 24가지 ③ 30가지 ④ 36가지 ⑤ 42가지 [59] 다음과 같이 10개의 빈칸에 3칸을 정하여 색을 칠하려고 한다. 어느 두 칸도 서로 이웃하지 않게 칠할 수 있는 경우의 수는? ① 8C2 ② 8C3 ③ 9C2 ④ 9C3 ⑤ 10C2
[정답] 반드시 스스로 풀어 보고 채점 하세요. (표지) 127 [1] 3 + 4 = 7[2]② [3]② [4]③ [5]① [6] 2×3 = 6 [7]⑤ [8]⑤ [9]④ [10]⑤ [11]④ [12]④ [13]④ [14]④ [15] 12 [16]③ [17]④ [18]③ [19]③ [20]② [21]② [22]② [23] 10 [24]③ [25]① [26]① [27]① [28] 24 [29]③ [30]② [31]④ [32]⑤ [33] 20 [34]② [35]③ [36] 35 [37] 16 [38] 15 [39]③ [40]⑤ [41]② [42]③ [43]③ [44]② [45]② [46]③ [47]④ [48]③ [49]④ [50]③ [51]④ [52]② [53]③ [54]③ [55]② [56] 5 [57] 72 [58]② [59]②
