제12장벡터함수장벡터함수방정식이

(1)

12.1 벡터함수와 공간곡선

12.2 벡터함수의 도함수와 적분 12.3 호의 길이와 곡률

제12장 벡터함수

(2)

방정식이 y = f(x)인 평면곡선의 곡률

 



^{f x}



x

f x



 ² ^3/2 ''( ) ( )

1 '( )



y = f(x) 의 벡터방정식 r(x) = xi + f(x)j, r’(x) = i + f ‘(x)j, r’’(x) = f ‘’(x)j

3

'( ) ''( )

( ) '( )

t t



 r ^r 벡터함수 r로 주어진 곡선의 곡률 r

(3)

점 (0, 0), (1, 1), (2, 4) 에서 포물선 y = x²의 곡률을 구하라.

예제

(4)

반지름이 r _{= 1/} (곡률의 역수)인 원을 P 에서의 C 의 접촉원이라 한다.

접촉원 (또는 곡률원)

원점에서 포물선 y = x²의 접촉원을 구하고 그래프로 나타내라.

예제

(5)

법선벡터와 종법선벡터

주단위법선벡터(principal unit normal vector, 단위법선벡터) N(t) ^N^{( )}^t ^ ^T_T^{'( )}_{'( )}^t_t

종법선벡터(binormal vector) B(t) = T(t) × N(t) t t

 '( )t ( ) '( ) T r

단위접선벡터(unit tangent vector)

r

벡터함수 r(t)

접선벡터(tangent vector) r’(t)

| T(t)|= 1 이므로 T(t)와 T’(t)는 직교

(6)

다음 원형나선에 대한 단위법선벡터와 종법선벡터를 구하라.

r(t) = cost i + sint j + tk

예제

(7)

C 위의 점 P에서 법선벡터 N과 종법선벡터 B 에 의해 결정되는 평면

법평면

(normal plane)

접선벡터 T와 단위법선벡터 N에 의해 결정되는 평면 (osculating plane)

접촉평면

** 접촉평면은 접선벡터 T와 직교하는 모든 직선들로 구성된다.

(8)

점 P (0, 1, 𝜋/2)에서 나선에 대한 법평면과 접촉평면의 방정식을 구하라.