“ 사영 기하학은

(1)

(G,*) : Abelian group

G4(P1). a*b=b*a for all a,b∈G Example. 1 (Z₅,+)={0,1,2,3,4}

+ 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3

(2)

Example.2

(Z₅,*)={1,2,3,4}

a*b=ab/5의 나머지 * 1 2 3 4

1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1

Example.3

(Q⁺/{0}, ⅹ)

(3)

(G,*,⊙) : ring

P4. (a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c) for all a,b,c∈G P5. a⊙(b*c)=(a⊙b)*(a⊙c) and

(b*c)⊙a=(b⊙a)*(c⊙a) for all a,b,c∈G Example. (Z₁₀, +,ⅹ)

(4)

⇒ (G,*,⊙) : ring with unit P7.

⇒ (G,*,⊙) : division ring

P10. ↓ ⇒ (G,*,⊙) : commutative ring ⇒ field P2.

⇒ (G,*,⊙) : integral domain P2. P7. P9.

ordered field

(5)

Example. 1. (Z₇,+,ⅹ) : integral domain 2 .(x-2)(x-3)=0 in Z₁₂

2ⅹ6=6ⅹ2=4ⅹ9=9ⅹ4 =6ⅹ8=8ⅹ6=……=0 is not a integral domain Example. 1. Z is not a field.

2. (Z₇,+,ⅹ) : field 3. Q

4. R

(6)

1829년 로바체프스키(러시아) : 기하학의 해방

1843년 헤밀턴의 사원수 : 대수학의 해방 1854년 리만(독일)기하학

1872년 Felix Klein(1849~1925) : 군을 기하학에 적용

(7)

S : non-empty set

nonsingular transformation : 정칙변환

: 일대일 대응

정리. 집합 S에서 S 위로의 정칙변환들의 집합 Γ는 곱셈에 관하여 군을 이룬다.

: non-commutative group example (1,0) → (2,0) → (0,2)

(1,0) → (0,1) → (1,1)

(8)

[증명]

1. (T₃T₂)T₁= T₃(T₂T₁) 2. T^-1

3. I

4. T₂T₁≠ T₁T₂

(9)

정리 . Suppose that Γ is a transformation

group. If Γ′ ⊆ Γ and Γ′ is closed under ◦ . Then (Γ′, ◦ ) is a group.

(10)

기하학은 집합 S의 원소에 어떤 변환군 Γ 의 변환들을 시행시켰을 때 변하지 않는 집합 S의 성질에 대한 연구이다.

(클라인:1849~1925,

의 기학학에 대한 정의)

http://cafe.naver.com/cookiesciencecafe/84

(11)

Example.

S=R²

Γ₁ = { 이동, 회전, 선에 대한 대칭이동}

⇒ 길이, 넓이 합동, 평행, 수직, 닮음, 점들이 같은 선위에 있기, 선들이 한 점에서 만나기

: 계량적 유클리드 평면 점 기하학

(12)

Example.

S=R²

Γ₂ = { 이동, 회전, 선에 대한 대칭이동, 상사변환}

⇒ 길이, 넓이, 합동, 평행, 수직, 닮 음, 점들이 같은 선위에 있기, 선들 이 한 점에서 만나기

: 닮음 평면 점 기하학

(13)

Example.

S=R²

Γ₃ = 사영변환군

⇒ 길이, 넓이, 합동, 평행, 수직, 닮 음, 점들이 같은 선위에 있기, 선들 이 한 점에서 만나기

: 사영평면 점 기하학

(14)

Γ₁⊆ Γ₂ ⊆ Γ₃⊆ Γ₄… 유클리드 평면기하학

⊆ 닮음 평면기하학 ⊆ 사영기하학

⋮

⊆ 기하학

멍!

(15)