제10장생산함수와생산자균형장생산함수와생산자균형

수험경제학

동국대학교 교수 이시영

※ 이 교과목은 교육과학기술부 국고지원금으로 개발되었습니다.

제 10장

생산함수와 생산자균형

학습목표

• 단기생산함수에 대해 이해한다.

• 생산의 장기분석을 안다.

• 실증적 생산함수에 대해 이해한다.

학습순서

• 단기생산함수

• 생산의 장기분석

• 실증적 생산함수

10-1. 단기생산함수

(1) 생산함수(production function)의 정의 : 생산요소 투입량 (input)에 따른 생산물 산출량(output) 사이의 기술적 관계.

생산요소로서 자본 K와 노동 L만 있다고 가정할 때 생산함수는 다음과 같이 나타낸다.

(2) 단기의 생산함수 : 단기란 생산요소 중에서 불변적(변할 수 없는) 생산요소가 존재하는 경우를 뜻한다. 불변요소인

자본의 투입량이 이고 노동 L만이 가변요소인 경우에

단기생산함수를 노동의 총생산물(total product of labor, TPL)이라 한다.

(3) 노동의 평균생산물(average product, AP _L )과

한계생산물(marginal product, MP _L )

(4) 총생산물과 평균생산물, 한계생산물의 관계 : 총생산물곡선은 [그림 10-1]에서 보는 것과 같이 대체로 종(鐘)모양이다. 노동투입량이

L=L₀일 때 AP_L은 각 θ의 탄젠트(tangent) 값이므로 각 θ가 커질수록 점점 커진다.

따라서 θ의 빗변이 TP_L과 접하는 L₁에서 AP_L이 가장 커지고 L₁ 보다 노동 투입량이 증가하면 AP_L이 감소 한다. 그리고 MP_L은 TP_L의 기울기이므로 기울기가 증감이 바 뀌는 변곡점까지 MP_L이 증가하다가 이후에는 감소하며, AP_L이 극대가 되는 점에서 AP_L=MP_L이 된다.

(5) 생산의 3단계 : 한계생산물의 크기에 따라 생산을 다음과 같이 3단계로 구분한다.

① 생산의 Ⅰ단계 : 원점에서 AP_L이 극대가 되는 점까지의 영역으로서, 노동의 한계생산물은 양(+)이지만 자본의 한계생산물은 음(-)이 되는 구간.

② 생산의 Ⅱ단계 : AP_L이 극대인 점과 MP_L이 0인 점 사이의 영역으로서, 노동의 한계생산물과 자본의 한계생산물이 모두 양(+)인 구간이므로 생산의 경제적 영역.

③ 생산의 Ⅲ단계 : MP_L은 음(-)이지만 자본의 한계생산물은 양(+)인 구간.

※ 퀴즈문제(정답 4)

수확체감의 법칙이 작용하고 있을 때 가변생산요소의 투입이 한 단위 더 증가하면?(2002 감평)

① 총생산물은 반드시 감소한다.

② 평균생산물은 반드시 감소하지만 총생산물은 증가할 수도 있고 감소할 수도 있다.

③ 한계생산물은 반드시 감소하지만 총생산물과 평균생산물은 반드시 증가한다.

④ 한계생산물은 반드시 감소하지만 총생산물과 평균생산물은 증가할 수도 있고 감소할 수도 있다.

⑤ 한계생산물이 마이너스가 된다.

10-2. 생산의 장기분석

(1) 등생산량곡선

ⅰ. 등생산량곡선(isoquant)의 정의 : 장기에서는 노동 뿐만 아니라 자본도 가변적이므로 두 생산요소의 변동을 동시에 고려해야 한다. 일정한 생산량 Q ₀ 을 얻기 위한 두

생산요소인 노동 L과 자본 K의 결합비율들을 연결한

곡선으로서, 등량곡선 또는 생산무차별곡선(production indifference curve)이라고도 한다.

등생산량곡선 : Q ₀ =f(L, K)

ⅱ. 등생산량곡선의 성질 : 등생산량곡선은 무차별곡선과 거의 유사한 성질을 가진다.

① 두 생산요소 L과 K의 한계생산물이 모두 양인 범위 내에서는 음의 기울기를 갖는다. [그림 10-2]에서 구간 Ⅰ은 K의

한계생산물이 음이며 구간 Ⅲ은 L의 한계생산물이 음인

영역인데, 이것은 [그림 10-1]에서 생산을 세 단계로 구분하는 것과 이론적으로 동일하다. 등생산량곡선의 기울기가 음인

생산의 Ⅱ단계에서는 두 생산요소의 한계생산물이 모두 양이다.

그리고 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 구간의 경계선을 분계선(ridge lines)이라 한다.

② 서로 다른 생산량의 두 등생산량곡선은 절대 교차하지 않는다.

③ 원점으로부터 멀리 위치하는 등생산량곡선일수록 더 많은

생산량을 나타낸다. [그림 10-2]에서 등생산량곡선 c는 b보다, b는 a보다 높은 생산량을 나타낸다.

④ 등생산량곡선은 원점에 대해 볼록하다.

(2) 기술적 한계대체율

ⅰ. 기술적 한계대체율(marginal rate of technical

substitution, MRTS _LK )의 정의 : 노동 L을 한 단위 더 고용할 때 동일한 생산량을 유지하기 위해 줄여야 하는 자본 K의 양. 즉, 이는 등생산량곡선 기울기의 절대치이다. 등생산량곡선이 원점에 대해 볼록하다는 것은 노동 L의 고용량이 증가할수록 MRTS _LK 는

감소한다는 것을 뜻한다.

ⅱ. 기술적 한계대체율과 한계생산물의 관계 : 노동 L의 고용량을 ΔL 만큼 늘리면 생산량은 ΔL×MP _L (노동의 한계생산물) 만큼 증가하며, 자본 K의 고용량을 ΔK 만큼 줄이면 생산량은 ΔK×MP _K (자본의 한계생산물) 만큼 감소한다. 따라서 노동과 자본의 고용량을 각각 ΔL과 ΔK 만큼 늘리고 줄여서 생산량을 동일하게 유 지하려면, ΔL×MP _L +ΔK×MP _K =0 .

이 식을 정리하면,

(3) 등비용선(isocost) : 일정한 비용을 모두 지출하여 구입할 수 있는 두 생산요소의 배합점을 모두 연결한 선으로서, 등비선 이라고도 한다. 생산요소시장에서 노동 L과 자본 K의 가격이 각각 P_L과 P_K이며 기업의 총비용이 C₀이라면, 등비용선은

C₀=P_LL+P_KK

(4) 생산자 균형(producer's equilibrium) : 주어진 비용 하에서 생산량을 최대로 하는 생산요소의 배합. 아래 [그림10-4]에서 보는 것과 같이 생산자가 A 또는 B와 같은 생산요소의

배합을 선택한다면 비용 C₀을 모두 지출하여 Q₀만큼의 생산량 밖에는 얻을 수 없으나, E의 생산요소 배합을 선택한다면 상대적으로 더 높은 Q₁을 생산할 수 있다.

(4) 따라서 주어진 비용 C₀로 최대의 생산량을 얻는 방법은 주어진 등비용선과 등생량곡선이 접하는 점의 생산요소 배합을 선택하는 것이다. 즉, 등비용선과 등생산량곡선의 기울기가 같은 점 E가 생산자균형이므로 생산자균형의 조건은

(5) 확장선(extension line, expansion path) : 총비용이 증가하면 등비용선은 우측으로 이동하는데, 이에 따라 생산자균형도 이동한다. 이와 같이 총비용의 변화에 따라 이동하는

생산자균형을 연결한 궤적을 확장선이라고 하며, 규모선(scale line)이라고도 한다.

(6) 기술진보(technical progress) : 동일한 양의 생산요소를 투입하여 더 많이 생산하거나 생산요소를 종전보다 적게 투입하여 동일한 생산량을 얻을 수 있게 하는 기술의 변화.

따라서 기술진보가 발생하면, 등생산량곡선이 원점의 방향으로 이동한다.

① 중립적 기술진보

② 자본집약적 기술진보

③ 노동집약적 기술진보

ⅰ. 중립적(neutral) 기술진보 : [그림 10-6]과 같이 기술진보가 일어나서 등생산량곡선이 Q₀에서 Q₁로 이동하여 생산자 균형이 E₀에서 E₁로 이동하더라도 생산요소 노동 L과 자본 K의 결합비율이 동일하게 유지되는 기술진보.

ⅱ. 자본집약적(capital intensive) 기술진보: [그림 10-7]과 같이 기술진보가 일어나서 등생산량곡선이 Q₀에서 Q₁로 이동하여 생산자 균형이 E₀에서 E₁로 이동하면 노동과 자본의 결합비율 K/L이 증가하는 기술진보. 노동절약적(labor saving)

기술진보라고도 한다.

ⅲ. 노동집약적(labor intensive) 기술진보 : [그림 10-8]과 같이 기술진보가 일어나서 등생산량곡선이 Q₀에서 Q₁로 이동하여 생산자 균형이 E₀에서 E₁로 이동하면 노동과 자본의 결합비율 K/L이 감소하는 기술진보. 자본절약적(capital saving)

기술진보라고도 한다.

10-3. 실증적 생산함수

(1) 동차생산함수(homogeneous production function) : 생산요소의 투입을 모두 λ배 증가시킬 때 생산량이 λ^k배 증가하면, 생산함수 Q=f(L, K)를 k차 동차생산함수라 한다.

f(λL, λK)=λ ^k f(L, K)

k>1 : 규모의 경제

k=1 : 규모에 대한 수확불변 k<1 : 규모의 비경제

(2) 요소간 대체탄력성(elasticity of substitution) : 생산요소의 대 체의 정도를 측정하는 계수로서, 값이 클수록 생산요소간 대 체가 상대적으로 용이하다. 요소간 대체탄력성은 노동과 자 본의 기술적 한계대체율 MRTS_LK의 변화율 ΔMRTS_LK/MRTS_LK 에 대한 생산요소 결합비율 K/L의 변화율 Δ(K/L)/(K/L)로 정의 된다. 즉, 요소간 대체탄력성 δ는

[그림 10-9]의 a와 같이 δ=0이면 생산요소간의 대체가 전혀 이루어질 수 없기 때문에 등생산량곡선이 L자 형이고, b와 같이 δ=∞이면 두 생산요소가 완전대체재인 경우로서

등량곡선은 직선이다.

(3) 실증적 생산함수

ⅰ. 레온티에프 생산함수(Leontief production function) : 두 생산요소가 완전보완재이기 때문에 대체가 불가능한

경우(δ=0)의 생산함수. 구체적인 함수 형태는 다음과 같은데, 여기서 α와 β는 상수이며, min(x, y)는 x와 y 중에서 작은 것이 값이 되는 함수이다. 레온티에프

생산함수의 등량곡선은 앞의 [그림 10-9]의 a와 같다.

ⅱ. 콥-더글라스(Cobb-Douglas) 생산함수 : 1934년에 콥(C.

W. Cobb)과 더글러스(P. H. Douglas)에 의해 발표된 최초의 실증적 생산함수. 이 생산함수는 1차 동차이며 요소간 대체탄력성은 1이다.

Q=AL^αK^1-α (0<α<1)

ⅲ. 고정대체탄력성(constant-elasticity-of-substitution, CES) 생산함수 : 에로우(K. J. Arrow)와 솔로우(R. M. Solow) 등의 학자들이 발표한 실증적 생산함수. 1차

동차함수이며 요소간 대체탄력성은 δ=1/(1+ρ)로서 항상 일정한 값을 갖는다.

Q=A[αL^-ρ+(1-α)K^-ρ]^-1/ρ (0<α<1, ρ>-1)

ⅵ. 가변대체탄력성(variable-elasticity-of-substitution. VES) 생산함수 : 레반카(N. S. Revankar)에 의해 1970년대에 발표되었으며, 자본과 노동의 결합비율 K/L이 변함에 따라 요소간 대체탄력성도 변한다는 가정하에서 도출된 생산함수.

Q=AK^α(1-ρσ)[L+(σ-1)K]^αρσ (A>0, α>0, 0<ρ<1, 0≤ρσ≤1)

※ 퀴즈문제(정답 5)

노동 L과 자본 K를 투입하여 생산하는 어떤 재화의 생산함수가 Q=αL+βK라면, 다음 중에서 옳지 않은 말은? 단, 여기에서 α와 β는 양의 상수이다.

① 생산요소의 결합비율에 관계없이 기술적 한계대체율이 항상 일정하다.

② 1차 동차생산함수이다.

③ 노동과 자본이 완전보완재인 경우이다.

④ 한 가지 생산요소만을 계속적으로 증가시키더라도 생산량은 지속적으로 증가한다.

⑤ α+β>1이면, 이 재화의 생산에는 규모의 경제가 작용한다.

문제풀이

10-1.

풀이 :

노동 투입량이 20에서 30으로 10단위 증가할 때 생산량은 100에서 180으로 80 증가하였다. 그러므로 노동투입량이 한 단위 더 증가할 때 생산량의 증가분을 의미하는 노동의

한계생산물은 MP_L=80/10=8이다. 그리고 노동의 평균생산물은 AP_L=Q/L=180/30=6이다.

풀이 :

AP_L이 극대가 되어 AP_L=MP_L이 되는 점으로부터 MP_L이 0이 되는 점까지의

Ⅱ단계 영역이 생산의 경제적 영역이다. 그러므로 다음의 표에 따르면, 노 동 투입량의 경제적 영역은 40∼70이다.

10-2.

노동 10 20 30 40 50 60 70 80

생산량 40 100 180 240 280 300 300 280

MP

4 6 8 6 4 2 0 -2

AP

4 5 6 6 5.6 5 4.3 3.5

10-3.

풀이 :

L=16과 K=9일 때 생산량은

Q=24L^0.5K^0.5=24×16^0.5×9^0.5=288이다. 그러므로 노동의

평균생산물은 AP_L=Q/L=288÷16=18이다. 그리고 Q를 L에 대해 편미분하면 MP_L=∂Q/∂L=12L^-0.5K^0.5이다. 그러므로 L=16과

K=9일 때

MP_L=∂Q/∂L=12L^-0.5K^0.5=12×(1/16^0.5)×9^0.5=12×(1/4)×3=9이다.

10-5.

풀이 :

: Lagrange함수 F(L, K, λ)=L^0.6K^0.4+λ(100-5L-10K)를 K, L, λ에 대해 편미분하여 0으로 두면

①과 ②식을 정리하면,

④식에서 λ를 소거하고 정리하면, 6K=2L이다. 이를

③식과 연립하여 풀면, L=12와 K=4이다. 즉, 노동

12단위와 자본 4단위를 투입하면 생산량이 극대화된다.

10-7.

풀이 :

생산의 극대화 조건은 MP_L/MP_K=P_L/P_K인데, 이를 변형하면

이를 한계생산물 균등의 법칙(law of equal marginal

products)이라 한다. 그런데 문제에서 MP_L=20, MP_K=40, P_L=4, P_K=6이므로 MP_L/P_L=20/4<40/6=MP_K/P_K이다. 따라서 단기에서 기업은 가변요소의 한계생산물만 변화시킬 수 있으므로 생산의

Ⅱ단계에서 한계생산물 균등의 법칙을 만족하기 위해서는 노동투입량을 감소시켜서 MP_L을 증가시켜야 한다. 소비자 이론에서 한계효용 균등의 법칙이 생산이론에서 한계생산물 균등의 법칙에 대응하는 개념이라 할 수 있다.

10-9.

풀이 :

노동과 자본의 가격이 P _L 과 P _K 이고 총비용이 C ₀ 이면 등비용선은 C ₀ =P _L L+P _K K이다. 등비용선의 기울기가 - P _L /P _K 이므로 노동의 가격인 임금이 상승하면

기울기는 더 급하게 된다. 따라서 확장선도 기울기가

커진다.

10-10.

풀이 :

a는 자본과 노동의 결합비율 K/L(이를 노동장비율이라 함)이 6/10에서 5/5로 증가하고 노동과 자본의 투입량이 모두 감소하였으므로 자본집약적(노동절약적)

기술진보이다. 그리고 c는 K/L이 6/10에서 3/8로 증가하고 노동과 자본의 투입량이 모두 감소하였으므로

노동집약적(자본절약적) 기술진보이다. 그러나 b는 과거에 비해 노동 투입은 감소하였으나 자본 투입은

증가하였으므로 기술진보가 있었는지 판단할 수 없는 경우이다.

즉, 지금의 등생산량곡선이 과거에 비해 원점 쪽으로 더 접근하였다는 확실한 근거가 없다.

10-11.

풀이 :

K/L=k와 MRTS_LK=S라 두면, 요소간 대체탄력성 δ는

생산함수가 Q=AL^αK^β일 때 MP_L=αAL^α-1K^β와 MP_K=βAL^αK^β-1이다.

그런데 S=MRTS_LK=MP_L/MP_K이다.

그러므로 S=(α/β)(K/L)=(α/β)k이다. 따라서 dS/dk=α/β이다.

이에 따르면 δ는

따라서 생산함수가 Q=AL^αK^β일 때 요소간 대체탄력성은 항상 δ=1이다.

10-12.

풀이 :

CES 생산함수 Q=A[αL^-ρ+(1-α)K^-ρ]^-1/ρ에서 요소간 대체탄력성은 δ=1/(1+ρ)이다. 문제의 생산함수는 ρ=0.5인 경우이므로

δ=1/(1+0.5)=2/3이다.

10C-2.

풀이 :

노동자 10명을 고용한 경우의 평균생산물이 20단위이므로 총생산물은 20단위×10명=200단위이다. 노동자 1명을 더 고용했을 때 평균생산물이 19단위이므로 총생산물은

19단위×11명=209단위이다. 그러므로 11번째 노동자의 한계생산물은 209-200=9단위이다.

학습정리

• 총생산물, 평균생산물, 한계생산물

• 조업의 3단계

• 등량곡선과 예산선

• 생산자균형

• Leontief생산함수, Cobb-Douglass

생산함수, CES생산함수, VES생산함수