2013년 1학기 다변수미분적분학 기말고사
1. 3차원 곡선 C가 r(t) = 13t3− t i + t2j + k, −1 ≤ t ≤ 1로 주어졌을 때, 다음을 구하시오. (각 5점)
(1) F = z i + y j + x k일 때, R
CF · dr.
(2) ρ(x, y, z) = y가 C의 선밀도일 때, C의 질량.
2. 2차원 벡터필드 F = sin(xy) (y i + x j)에 대하여 다음에 답하시오.
(1) F는 conservative인가? 맞을 경우 F의 potential 함수 ϕ를 구하시오. (8점) (2) r(t) = t3i + πt2j, −1 ≤ t ≤ 1로 매개변수화된 곡선 C에 대하여 R
CF · dr을 구하시오. (6점)
3. 평면곡선 C는 단위원 x2 + y2 = 1이고(방향은 반시계 방향), F =
ex2 − 3y i + cos (y3) j일 때, 선적분 H
CF · dr의 값을 구하시오. (6점)
4. 곡면 S가 함수 z = 1−x2−y2, z ≥ 0의 그래프로 주어졌을 때(orientation은 “위쪽”), 다음을 구하시오. (각 8점)
(1) S의 면밀도가 ρ(x, y, z) = 1 − z일 때, S의 질량.
(2) F = x i + y j −px2+ y2k일 때, S를 통과하는 F의 fluxRR
SF · dS.
5. 곡면 S가 x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0 (orientation은 “위쪽”)이고, S의 경계를 이루는 곡선을 C라고 할 때, 다음을 구하시오. (각 8점)
(1) F = x cos (y2z) i + y cos (z2x) j + z cos (x2y) k일 때, RR
Scurl F · dS.
(2) G = (z2+ yz sin(xyz)) i+(x2 + zx sin(xyz)) j+(y2+ xy sin(xyz)) k일 때,H
CG·
dr.
6. S는 정육면체 E = {(x, y, z) ∈ R3| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}의 표면이고, F = (zx + tan(yz)) i+(xy + tan(zx)) j+(yz + tan(xy)) k이다. S를 빠져나오는 F의 flux RR
SF · dS를 구하시오. (8점)
주의: 모든 문제의 풀이과정을 자세히 쓰시오.
