자이로 운동
김 태 규 교수
조선대학교 항공우주공학과
자이로 운동: 정상세차운동
자이로스코프의 응용
짐발링 – 관성유도시스템 자이로 컴파스
선박 자이로 베이링 설계
자이로 운동해석
: spin angle : nutation angle : precession angle φ
θ ψ
자이로 운동해석
고정점 또는 질량중심에 대한 회전운동
대칭축에 대해 회전하는 물체의 정상세차운동 관성주축, 대칭
Ixy = Iyz = Izx = 0, Ixx = Iyy = I , I0 zz = I( )
( )
x xx x 0
y yy y 0
z zz z
(p ) sin cos
sin cos
sin cos
H I I
H I I sin
H I I cos
ω = θ + ψ + φ = φ
= θ + θ
ω = θ + ψ θ + ψ θ + φ
Ω = θ + ψ = θ + ψ θ + ψ θ ≠ ω
= ω = θ
= ω = ψ θ
= ω = ψ θ + φ
i K k
K j k
i j k
i K i j k
자이로 운동해석
임의의 고정점 O나 질량중심 G를 중심으로 회전하는 대칭물체에 대한 일반적인 운동방정식
( ) ( )
( ) ( )
( )
x x y z z y
y y z x x z
z z x y y x
2
x 0
y 0
z
M H H H
M H H H
M H H H
M I sin cos I cos sin
M I sin 2 cos I cos
M I d cos dt
= − Ω + Ω
= − Ω + Ω
= − Ω + Ω
= θ − ψ θ θ + ψ ψ θ + φ θ
= ψ θ + ψθ θ − θ ψ θ + φ
= ψ θ + φ
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
정상상태 세차운동
각도 로 일정하게 기울어져서 일정한 스핀속도 로 회전하는 로터가 일정한 속도 로 세차운동
θ p = φ
ψ
( )
x 0
y
z
cst, 0
cst, 0
cst, 0
M sin I cos I cos
M 0
M 0
ψ = ψ = θ = θ = θ = φ = φ =
= ψ θ ψ θ + φ − ψ θ
=
=
∑
∑ ∑
정상상태 세차운동
로터축에 수직인 축을 중심으로 세차운동
로터가 임의의 각도로 기울어져 세차운동
2 M I θ = π
= ψφ
( )
( )
0 2
0
2 2
2
mgr sin sin I cos I cos
mgr I I I cos
mgr gr
, I k m
I k
θ ≠ π
θ = ψ θ ψ θ + φ − ψ θ
= ψφ − − ψ θ
φ ψ
ψ = = =
φ φ
모멘트가 0일 때의 정상세차운동
스핀운동과 세차운동이 동시에 일어남 (우주선, 발사체)
x
y
z
G G G
G 0 x
G G 0 y
G G z
x
G y
0 G z
0, cst
H 0 I
H H sin I
H H cos I
0, cst H sin cst
I
H cos cst I
= = =
= = ω
= θ = ω
= θ = ω
ω = θ =
ω = θ =
ω = θ =
∑ M H H
일정한 HG 벡터를 중심으로 일어나는 정상세차운동
각속도벡터는 y-z평면 내에 존재
y
z
G 0 y 0
G z
H I I
tan tan
H I I
θ = = ω = β
ω
모멘트가 0일 때의 정상세차운동
세차운동속도
정세차 운동
세차방향=스핀방향=ccw
역세차 운동
세차방향=ccw, 스핀방향=cw
세차운동이 없는 경우
( )
( )
0
0
M 0, 0 sin I cos I cos
I
I I cos
= = ψ θ ψ θ + φ − ψ θ ψ = φ
− θ
I0 > I, β < θ (slim body)
I0 < I, β > θ (flat body)
I0 = I, β = θ = 0
