7주차
관수로 시스템 해석(2)
충북대학교 토목공학부
3 병렬관수로
병렬관수로 : 한 개의 관로가 도중에 두 개 또는 그 이상으로 분기되어 나란히 흐르다가 하류쪽에서 다시 한 개의 관로로 합쳐서 흘러들어가는 경우의 관수로
관이 충분히 길어 부차적 손실은 무시 가능하다고 보고 마찰손실에 대해서만 고려함.
속도수두항이 미소하여 무시 가능하므로, 이 경우에는 에너지경사선과 동수경사선은 일치한다고 가정함.
3 병렬관수로
3.1 해석적인방법
부차적 손실을 무시하고,AB, BC, CD 사이에 베르누이방정식을 적용
BC, CD 사이에서도 마찬가지로
3 병렬관수로
앞의 두 식을 이용하면 다음과 같은 2개의 식을 얻는다.
관로 내 두 점 사이의 손실수두는 중간경로와 관계없이 동일하므로 BC 사이의 2관 3관에서는 hL2 = hL3 의 관계가 성립
연속방정식으로부터
(10.27 a)
(10.27 b)
(10.28)
(10.29)
3 병렬관수로
수조의 수위와 관의 특성 제원이 주어지면 미지수의 관 관의 유속을 구할 수 있다.
의 관계를 이용하여 식(10.28)을 나타내면
이것을 식(10.29 a, b)에 대입하면 각 관의 유속 사이의 관계는 다음과 같다.
식(10.31)을 식(10.27a)에 대입하면
3 병렬관수로
3.2 시산법
병렬관이 2개 이상인 경우에는 식이 매우 복잡하게 되어 계산이 매우 번거롭다. 이 경우에는 시산법을 이용하여 해석한다.
시산법을 사용할 때는 유량 Q1 또는 H1이 주어져야만 한다.
시산법의 적용절차는 다음과 같다.
1. H1이 주어진 경우 식(10.25)로부터 유량 Q1을 결정해 둔다.
2. 지관 2를 통하여 흐르는 유량을 적절히 가정하고, 가정유량을 Q2′으로 표시함.
3. 가정한 유량 Q2′ 에 대응하는 수두손실 hL2′을 계산한다.
4. hL2′=hL3′인 점을 이용하여 나머지 지관 3에서의 유량 Q3′을 계산한다.
5. Q2′, Q3′를 이용하여 총유량 Q1을 비례배분한다.
6. 단계 5에서 계산된 Q2, Q3 각각에 대한 손실수두 hL2 및 hL3을 계산하여 근사적으로 같은지 검토함.
7. 만일 hL2 ≒ hL3가 성립하지 않으면 5단계에서 구한 Q2를 관 2의 재가정치로 하여 단계 2로부터 계산을 되풀이 함.
3 병렬관수로
예제 ) 병렬관수로에서 부차적 손실을 무시하고 개개 관에 흐르는 유량을 (a) 해석적 방법과 (b) 시산법에 의해서 구하라. 단 관의 상당조도는 e=0.30mm로 모든 관에 대해서 동일.
12
H = m
1 2 3 41 2 3 4
2400 , 600 , 500 , 600 0.4 , d 0.3 , d 0.2 , d 0.4
l m l m l m l m
d m m m m
= = = =
= = = =
(a) 해석적인 방법
완전난류로 가정하면 마찰계수는 상대조도 만의 함수가 되어 Moody 도표로 부터 찾을 수 있다.
1 2 3 4
1 2 3 4
/ 0.00075, / 0.001, / 0.0015, / 0.00075 0.018, 0.0198, 0.0215, 0.018
e d e d e d e d
f f f f
= = = =
= = = =
3 병렬관수로
식(10.31)과 (10.32)로부터 속도를 구하면
유량을 구하면
3 병렬관수로
(b)시산법 (시행착오법)
1. Q=0.136 m3/sec로 주어진 경우의 문제를 다루어 본다.
2. 관 2로 흐르는 유량을 Q2=0.060m3/sec로 가정한다.
3. 가정한 유량 Q2에 대응하는 손실수두 hL2를 계산한다.
4. hL3′= hL2′인 점을 이용하여 3관에서의 유량 Q3를 구한다.
3 병렬관수로
5. Q2′, Q3′를 이용하여 총유량 Q1을 비례배분한다.
6. 전 단계에서 계산된 Q2, Q3 각각에 대한 손실수두 hL2와 hL3가 근사적으로 같은지 검토
hL2와 hL3는 약 3.5%의 오차범위에 있다.
4 분기 또는 합류하는 관수로
분기 또는 합류하는 관수로의 계산은 매우 복잡하여 컴퓨터를 이용해 해결하는 경우가 많다.
에너지손실은 마찰손실만을 고려하고 속도수두항은 매우 작다고 보고 무시하여 동수경사선과 에너지 경사선을 일치하단고 가정함.
마찰계수 f는 흐름을 완전난류로 가정하여 상대조도 e/d만의 함수로 Moody 도표를 이용해서 구하거나, Manning의 마찰계수식을 이용하여 계산함.
기준면으로부터 각 수조의 수위 z1, z2, z3와 세 개 관의 교차점 J에서의 에너지수두 HJ 사이의 관계에 의해 분기관과 합류관으로 분류된다.
4 분기 또는 합류하는 관수로
분기관의 경우와 합류관의 경우로 에너지식과 연속식을 나타내면
(1)분기관의 경우 (2)합류관의 경우
실 제 로 문 제 를 풀 때 는 HJ 가 미 지 값 이 므 로 분기관 또는 합류관 둘 중 하나로 가정하여 푸는 수 밖에 없음.
풀이과정에서 어느 경우에 속하는지 알게 되거나, 잘 못 된 경 우 에 도 시 산 관 정 에 서 자 연 스 럽 게 변경된다.
4 분기 또는 합류하는 관수로
4.1 해석적인 방법
분기관으로 가정하고 분기관의 각 식에서 HJ를 소거하면
이 3개의 식을 이용 미지수 Q1, Q2, Q3를 구함.
양의 실근이 존재하면 가정이 옳고, 존재하지 않으면 가정이 잘못되었으므로 다른 경우로 재가정.
합류관의 경우도 동일함.
4.2 시산법
저수지의 개수가 많은 경우는 다수의 연립방정식을 풀어야 하므로 해석적인 방법은 비실용적임.
이런 경우 시산법으로 풀면 편리함.
처 음 의 가 정 이 잘 못 되 었 다 하 더 라 도 HJ를 보 정 하 는 과 정 에 서 자 연 적 으 로 수정되므로 처음에 어느 경우로 가정하든 관계없음.
4 분기 또는 합류하는 관수로
분기관이라 가정하고, HJ를 적당한 값으로 가정하여 계산을 시작함.
4 분기 또는 합류하는 관수로
4 분기 또는 합류하는 관수로
4.3 도식해법
관로계가 복잡한 경우에는 도식해법 또한 유용
HJ를 가정하여, 문제 조건에 부합되도록 적정간격으로 Hji를 충분한 개수로 가정하고, HJ에 대응하는 Q1i, Q2i, Q3i를 계산. HJ와 Q1, Q2, Q3에 대해서 플롯.
Q2+Q3값도 함께 도시(합류관의 경우 Q1+Q2를 도시).
교차점 J에서 Q1=Q2+Q3의 관계가 성립되므로, Q1과 Q2+Q3의 교점을 구하면 그에 대응하는 유량 Q1이 되고, HJ도 구할 수 있음.
교차점에서 횡축과 평행선을 그어 HJ를 찾고 그 때 Q2, Q3 곡선에 대응하는 값으로부터 Q2, Q3도 쉽게 구할 수 있음.
4 분기 또는 합류하는 관수로
예제 ) 그림과 같은 다지관수로에서, 저수지 A, B, C의 표고가 각각 zA=50m, zB=40m, zC=20m 일 때, 개개 관에 흐르는 유량을 (a)해석적인 방법, (b)시산법, (c)도식적인 방법에 의해서 구하라.
단 부차적 손실을 무시한다.
4 분기 또는 합류하는 관수로
흐름을 완전난류로 가정하면 마찰게수는 상대조도만의 함수이므로 Moody 도표를 이용하면 다음과 같다.
4 분기 또는 합류하는 관수로
(a)해석적인 방법
4 분기 또는 합류하는 관수로
4 분기 또는 합류하는 관수로
(b)시산법
4 분기 또는 합류하는 관수로
4 분기 또는 합류하는 관수로
4 분기 또는 합류하는 관수로
4 분기 또는 합류하는 관수로
(c) 도식해법
4 분기 또는 합류하는 관수로
(10.34)
